確率を計算するための古典的な公式。確率論における単純な問題。基本式数字が抜ける確率を計算する式は？

それでは、多くの人が関心を持っているトピックについて話しましょう。この記事では、イベントの確率を計算する方法の質問に答えます。このような計算の公式といくつかの例を示して、これがどのように行われるかをより明確にします。

確率とは

このイベントまたはそのイベントが発生する確率は、何らかの結果の最終的な発生に対する一定の信頼度であるという事実から始めましょう。この計算のために、いわゆる条件付き確率を通じて、関心のあるイベントが発生するかどうかを判断できる合計確率式が開発されました。この式は次のようになります。P \u003d n / m、文字は変更できますが、これは本質には影響しません。

確率の例

最も単純な例では、この式を分析して適用します。あるイベント (P) があるとします。これをサイコロを投げる、つまり正サイコロにします。そして、2 点を獲得する確率を計算する必要があります。これには、肯定的なイベントの数 (n) が必要です。この場合、イベントの総数 (m) に対して 2 ポイントの損失です。 2 ポイントの損失は、サイコロに 2 ポイントがある場合にのみ発生する可能性があります。それ以外の場合は、金額が大きくなるため、n = 1 になります。次に、他の数字の数を計算します。サイコロ、1サイコロあたり-これらは1、2、3、4、5、および6であるため、6つの有利なケース、つまりm \u003d 6があります。ここで、式に従って、簡単な計算P \を行いますu003d 1/6 サイコロの 2 ポイントの損失は 1/6 であることがわかります。つまり、イベントの確率は非常に小さいです。

箱の中にある色付きのボールの例も考えてみましょう: 白 50 個、黒 40 個、緑 30 個です。緑のボールを引く確率を決定する必要があります。したがって、この色のボールは 30 個あるため、つまり、30 個の正のイベント (n = 30) しか存在できないため、すべてのイベントの数は 120、m = 120 (すべてのボールの総数による)、式によると、緑のボールを引く確率は P = 30/120 = 0.25、つまり 100 のうち 25% になると計算されます。同様に、緑のボールを引く確率を計算できます。別の色のボール (黒 33%、白 42% になります)。

賭けが成功する数学的確率を知りたいですか? それから、あなたに 2 つの良いニュースがあります。まず、開通性を計算するために、複雑な計算を実行して多くの時間を費やす必要はありません。簡単な数式を使用するだけで十分です。これには数分かかります。第二に、この記事を読んだ後、あなたのトレードが成功する確率を簡単に計算できるようになります。

開通性を正しく判断するには、次の 3 つの手順を実行する必要があります。

ブックメーカーのオフィスに従って、イベントの結果の確率のパーセンテージを計算します。
統計データから確率を自分で計算します。
両方の確率が与えられた場合の賭けの価値を見つけます。

式だけでなく例も使用して、各ステップを詳細に検討してみましょう。

最初のステップは、ブックメーカーが特定の結果の可能性を評価する確率を調べることです。結局のところ、ブックメーカーがそのようにオッズを賭けていないことは明らかです。これには、次の式を使用します。

PB=(1/K)*100%、

ここで、P B はブックメーカーのオフィスによる結果の確率です。

K - 結果に対するブックメーカーのオッズ。

バイエルン戦でロンドンアーセナルが勝利する確率を4倍とすると、BCが勝利する確率は(1/4)×100%=25%となります。または、ジョコビッチがサウスと対戦している。 Novak の勝利の乗数は 1.2 で、彼のチャンスは (1/1.2)*100%=83% に等しくなります。

これは、ブックメーカー自体が各プレーヤーとチームの成功の可能性を評価する方法です。最初のステップが完了したら、2 番目のステップに進みます。

プレイヤーによるイベントの確率の計算

私たちの計画の 2 番目のポイントは、イベントの可能性に関する私たち自身の評価です。モチベーションやゲームのトーンなどのパラメーターを数学的に考慮することはできないため、単純化したモデルを使用し、以前のミーティングの統計のみを使用します。結果の統計的確率を計算するには、次の式を使用します。

Pと\u003d (UM / M) * 100%、

どこPと- プレイヤーによるイベントの確率;

UM - そのようなイベントが発生した成功した試合の数;

M は一致の総数です。

わかりやすくするために、例を挙げましょう。アンディマレーとラファエルナダルは 14 試合に出場しました。そのうち6試合で合計アンダー21試合、合計8試合でオーバーを記録。次の試合が合計オーバーで行われる確率を求める必要があります: (8/14)*100=57%。バレンシアはメスタージャでアトレティコと 74 試合に出場し、29 勝を挙げました。バレンシアが勝つ確率: (29/74)*100%=39%。

これは、以前のゲームの統計のおかげです。当然のことながら、一部の新しいチームやプレーヤーではそのような確率を計算することはできません。そのため、この賭け戦略は対戦相手が初めてではない試合にのみ適しています。これで、賭けと結果の確率を決定する方法がわかり、最後のステップに進むためのすべての知識が得られました。

賭け金の決定

ベットの価値 (価値) と通行可能性は直接関連しています。評価が高いほど、パスの可能性が高くなります。値は次のように計算されます。

V=Pと*K-100%、

ここで、V は値です。

P I - より良い結果の確率;

K - 結果に対するブックメーカーのオッズ。

ミランがローマとの試合に勝つことに賭けたいとしましょう。赤黒の勝利の確率は 45% であると計算しました。ブックメーカーは、この結果に対して 2.5 の係数を提供しています。そのような賭けは価値がありますか? 計算を実行します：V \u003d 45% * 2.5-100% \u003d 12.5%。すばらしい、合格の可能性が高い貴重な賭けがあります。

別のケースを考えてみましょう。マリアシャラポワはペトラクビトバと対戦します。 Maria が勝つための取引を行いたいのですが、私たちの計算によると、その確率は 60% です。ブックメーカーは、この結果に対して 1.5 の乗数を提供します。値を決定します: V=60%*1.5-100=-10%。ご覧のとおり、この賭けには価値がなく、控えるべきです。

ベットパス確率: 結論

ベットの合格率を計算する際には、統計のみに基づく単純なモデルを使用しました。確率を計算するときは、各スポーツに固有のさまざまな要因を考慮することが望ましいです。より大きな影響を与えるのは統計的要因ではない場合があります。それがなければ、すべてが単純で予測可能になります。ニッチを選択することで、最終的にはこれらすべてのニュアンスを考慮に入れ、他の多くの影響を含むイベントの確率をより正確に評価することを学びます. 主なことは、自分のしていることを愛し、徐々に前進し、スキルを段階的に向上させることです。エキサイティングなベッティングの世界で幸運と成功を収めましょう!

正しい賭けの選択は、直感、スポーツの知識、賭けのオッズだけでなく、イベントのオッズ比にも依存します。賭けでそのような指標を計算する能力は、賭けが行われることになっている次のイベントを予測する上で成功するための鍵です.
ブックメーカーには 3 種類のオッズがあり (詳細については、記事を参照してください)、その種類によって、プレーヤーのイベントの確率を計算する方法が決まります。

小数オッズ

この場合のイベントの確率の計算は、次の式に従って行われます: 1/イベント係数。 = v.i、すすり泣きの係数。はイベントの係数、c.i は結果の確率です。たとえば、1 ドルの賭けで 1.80 のイベントオッズを取得し、式に従って数学的アクションを実行すると、プレーヤーは、ブックメーカーによるイベント結果の確率が 0.55% であることを取得します。

分数オッズ

分数オッズを使用する場合、確率計算式は異なります。したがって、7/2 の係数を使用すると、最初の桁が純利益の可能な金額を意味し、2 番目の桁がこの利益を得るために必要な率のサイズを表します。式は次のようになります。ここで、zn.coef は係数の分母、chs.coef は係数の分子、si.i は結果の確率です。したがって、フラクショナルオッズが 7/2 の場合、方程式は 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0.22 のようになり、ブックメーカーによるイベントの結果の確率は 0.22% になります。

アメリカのオッズ

アメリカのオッズはベッターの間であまり人気がなく、通常はアメリカでのみ使用され、複雑で複雑な構造を持っています。「このようにしてイベントの確率を計算する方法は?」という質問に答えるには、そのような係数が負と正になる可能性があることを知っておく必要があります。

-150 などの「-」記号の付いた係数は、プレーヤーが $100 の純利益を得るために $150 を賭ける必要があることを示します。イベントの確率は、負の係数を負の係数と 100 の合計で割る必要がある式に基づいて計算されます。これは、-150 の賭けの例のように見えるので、(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0.6、ここで 0.6 に 100 を掛けると、イベントの結果は 60% になります。同じ式が正のアメリカのオッズにも当てはまります。

テーマ1 . 確率を計算するための古典的な公式。

基本的な定義と式:

結果を予測できない実験を呼ぶ ランダム実験（SE）。

特定の SE で発生する場合と発生しない場合があるイベントが呼び出されます ランダムイベント.

基本的な結果要件を満たす名前のイベント:

1. SE の実装では、基本的な結果が 1 つだけ発生します。

2. すべてのイベントは何らかの組み合わせであり、基本的な結果のセットです。

すべての可能な基本的な結果のセットは、SE を完全に記述します。このようなセットを呼びます 初歩的な成果の空間(PEI). この SC を記述する SEI の選択はあいまいであり、解決する問題によって異なります。

P（A）\u003d n（A）/ n、

ここで、n は等しく起こり得る結果の総数です。

n (A) - 彼らが言うように、イベント A を構成する結果の数は、イベント A を支持します。

「ランダムに」、「ランダムに」、「ランダムに」という言葉は、基本的な結果の平等を保証するだけです。

代表例の解法

例 1 赤玉が5個、黒玉が3個、白玉が2個入っている壷から、ランダムに3個の玉を取り出します。事象の確率を求める：

あ– 「描かれたボールはすべて赤」;

の– 「描かれたボールはすべて同じ色です」;

と– 「抽出された正確に 2 つの黒人の中で」.

解決：

この SE の基本的な結果は、3 つの (順序付けられていない!) ボールです。したがって、結果の総数は組み合わせの数です: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2)。

イベントあ 5 つの赤いボールから引き出されたトリプルのみで構成されます。 n (A)== 10.

イベントの 10 個の赤のトリプレットに加えて、黒のトリプレットも支持され、その数は = 1 です。したがって、n (B)=10+1=11 です。

イベントと 2 つの黒と 1 つの非黒を含むボールのトリプルが優先されます。 2 つの黒のボールを選択する各方法は、(7 つのうち) 黒以外のボールを 1 つ選択することと組み合わせることができます。したがって、n(C) == 3 * 7 = 21 です。

それで： P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; P(S) = 21/120.

例 2 前の問題の条件では、各色のボールには 1 から始まる独自の番号が付けられていると仮定します。イベントの確率を見つけます。

D– 「取得できる最大数は 4 です」;

え– 「最大抽出数は 3 です」。

解決：

n (D ) を計算するには、骨壷に 4 番の玉が 1 個、大きい方の玉が 1 個、小さい方の玉が 8 個 (3k+3ch+2b) あると仮定します。イベント D必然的に番号 4 のボールとそれより小さい番号の 2 つのボールを含むボールのトリプルが優先されます。したがって: n(D) =

P(D) = 28/120。

n (E) を計算するには、次のように考えます。骨壷には、数字 3 のボールが 2 つ、数字が大きいボールが 2 つ、数字が小さいボールが 6 つ (2k + 2ch + 2b) あります。イベントえ 2 種類のトリプレットで構成されます。

1. 3 番のボール 1 個とそれより小さい番号の 2 個のボール。

2. 数字が 3 の 2 つのボールとそれより小さい数字のボール。

したがって、 n (E )=

P(E) = 36/120。

例 3 M 個の異なる粒子のそれぞれが、N 個のセルの 1 つにランダムに投入されます。事象の確率を求める：

あ– すべての粒子が 2 番目のセルに落ちました。

の– すべての粒子が 1 つのセルに落ちました。

と– 各セルには粒子が 1 つしか含まれていません (M < N )。

D– すべてのセルが占有されている (M =N +1);

え– 2 番目のセルには正確に含まれるに粒子。

解決：

各粒子について、特定のセルに到達するための N 個の方法があります。 M 粒子の組み合わせ論の基本原理によれば、N *N *N *…*N (M 回) となります。したがって、この SE の結果の総数は n = N M です。

各粒子について、2 番目のセルに入る機会が 1 回あります。したがって、n (A ) = 1*1*…*1= 1 M = 1、および P(A) = 1/ N M です。

1 つのセル (すべての粒子) に入るということは、すべてを最初のセルに入れること、またはすべてを 2 番目のセルに入れることなどを意味します。すべてN番目。しかし、これらの N 個のオプションのそれぞれは、1 つの方法で実装できます。したがって、n (B)=1+1+…+1(N 回)=N および Р(В)=N/N M .

イベント C は、各粒子が前の粒子より配置方法の数が 1 つ少なく、最初の粒子が N 個のセルのいずれかに入る可能性があることを意味します。それが理由です：

n (C) \u003d N * (N -1) * ... * (N + M -1) および P (C) \u003d

M =N の特別な場合: Р(С)=

イベント D は、セルの 1 つに 2 つの粒子が含まれ、残りの (N -1) 個のセルのそれぞれに 1 つの粒子が含まれることを意味します。 n (D ) を見つけるには、次のように主張します。2 つの粒子が存在するセルを選択します。次に、このセルに 2 つの粒子を選択します。これを行う方法はいくつかあります。その後、残りの (N -1) 粒子は残りの (N -1) セルに 1 つずつ分配されます。これには (N -1) があります。方法。

したがって、n(D) =

数 n (E) は次のように計算できます。に残りの (M - K) 個の粒子は、(N -1) 個のセル (N -1) に M-K 個の方法でランダムに分散されます。それが理由です：

N個の事象の和集合（論理和）を事象と呼ぶ、発生するたびに観測されますの少なくとも 1 つイベント . 特に、イベント A と B の和集合はイベントあ+ B(一部の作者は
)、これは次の場合に観察されます。来るまたあ、また Bまたこれらのイベントの両方が同時に（図7）。出来事の原文の定式化における交差のしるしは結合です "また".

米。 7. A+B イベントの組み合わせ

事象確率 P(A) は、図 2 の網掛け部分の左側に対応することを考慮に入れる必要があります。 7つの数字とその中央部分、
. また、イベント B に対応する結果は、影付きの図の右側とラベル付きの領域の両方にあります。
中央部分。したがって、追加するときはとエリア
実際にはこの合計を 2 回入力し、影付きの図の面積の正確な式は次の形式になります。
.

それで、関連確率 2 つのイベント A と B は

イベントの数が多い場合、一般的な計算式は、領域が相互に重なり合うための多数のオプションを考慮する必要があるため、非常に煩雑になります。ただし、組み合わせたイベントに互換性がない場合 (p. 33 を参照)、領域の相互オーバーラップは不可能であり、有利なゾーンは、個々のイベントに対応する領域の合計によって直接決定されます。

確率協会任意の数非互換イベント式によって定義されます

系1: イベントの完全なグループは、互換性のないイベントで構成されており、そのうちの 1 つが実験で必ず実現されます。結果として、もしイベント …
,完全なグループを形成する、そして彼らのために

したがって、

と結果 3「少なくとも1つのイベントが発生する」というステートメントの反対を考慮に入れます …
' はステートメント 'イベントのどれも …
実装されていません。」つまり、「経験の中で事象が観察される」ということです。、と、そして…、そして」、これはすでに元のセットとは反対のイベントの交差点です。したがって、(2 .0) を考慮すると、任意の数のイベントを組み合わせるために、

系 2、3 は、事象の確率を直接計算することが問題となる場合、それと反対の事象を研究することの複雑さを見積もることが有用であることを示しています。やっぱり意味がわかって
、 (2 .0) から目的の値を取得します
もう仕事はありません。

複雑なイベントの確率の計算例

例 1 : 2 人の学生 (イワノフとペトロフ) が一緒に I実験室の仕事を守るために丸くなって、最初の 8 kon を学んだ利用可能な 10 のうち、この作品に関するトローリングの質問。準備状況の確認、先生はみんなに一つだけ尋ねますn ランダムに選択された質問。次のイベントの確率を決定します。

あ= "イワノフは彼の実験室での仕事を擁護します";

B= 「ペトロフは彼の実験室での仕事を弁護するだろう」;

ハ= 「どちらも実験室での作業を保護します」;

D= 「生徒の少なくとも 1 人が作品を擁護します」;

え= "生徒の 1 人だけが作品を擁護します";

ふ= 「誰も作品を擁護しない」

解決。 イワノフとして作品を擁護する能力に注意してください、tペトロフのように、詩人はマスターされた質問の数によってのみ個別に決定されますで. (注: この例では、結果の分数の値は、計算結果の比較を単純化するために意図的に削減されていません。)

イベントハ「イワノフとペトロフの両方が仕事を擁護する」、つまり、別の方法で定式化できます。起こりますと イベントあ, と イベントB. こうしてイベントハイベントの交差点ですあとB、および (2 .0) によると

イベントの発生により、要因「7/9」が表示される場所あつまり、残りの 9 つの質問のうち、ペトロフには 7 つの「良い」質問しかないということです。

イベントD「作品は保護される」という意味また イワノフ、また ペトロフ、また 両方とも一緒です」、つまり少なくとも1つのイベントが発生しますあとB. だからイベントDイベントの連合ですあとB、および (2 .0) によると

これは期待に沿ったものです。個々の生徒の場合でも、成功の可能性は非常に高くなります。

とイベント E は、「作品が Ivano によって擁護されるかのいずれか」を意味します。c、およびペトロフ「n崩壊する」、また イワノフは失敗する長所、そしてペトロフは防御に対処します。 2 つの選択肢は相互に排他的 (互換性がない) ため、

最後に、ステートメントふ場合にのみ真になりますと イワノフ、と 保護されたペトロフいいえ 対処。" それで、

これで問題の解決は完了ですが、次の点に注意してください。

1. 得られた確率のそれぞれが条件 (1 .0) を満たす、no の場合
と
衝突すると(1 .0) は原則として不可能です。
試してみて(2 .0) の代わりに (2 .0) を使用すると、明らかに不正確になります。プロジェクト値
. そのような確率値は基本的に不可能であることを覚えておくことが重要であり、そのような逆説的な結果が得られたら、すぐにエラーを探し始めます。

2. 見つかった確率は次の関係を満たしますメートル

えその場合、それは非常に予想されます。イベントハ, えとふ完全な形にする番目のグループ、およびイベントDとふ互いに反対です。これらの説明一方では比率を使用できますまた、別の状況では、問題を解決するための別の方法の基礎として使用できます。

P ノート ：書くことを怠らないそうしないと、問題を解決する過程で、意図せずにこのイベントの意味の別の解釈に切り替える可能性があり、推論のエラーにつながります。

例 2 : 出力品質管理に合格しなかったマイクロ回路の大規模なバッチでは、製品の 30% が不良品です。このバッチから任意の 2 つのマイクロ回路がランダムに選択された場合、それらの中で次の確率：

あ= "両方に適合";

B= "ちょうど 1 枚の良いチップ";

ハ＝「どちらも不良品」。

次の推論の変種を分析してみましょう （注意、エラーが含まれています）：

製品の大規模なバッチについて話しているので、そこからいくつかのマイクロ回路を削除しても、良品と不良品の数の比率には実質的に影響しません。つまり、このバッチからいくつかのマイクロ回路を連続して数回選択することによって、それぞれのケースで確率が変わらないと仮定できます

= P(不良品を選択) = 0.3 かつ

= P(良い製品が選択された) = 0.7.

イベントが発生するためあそれが必要ですと 初めに、と 2度目に、適切な製品が選択されたため、（1番目と2番目のマイクロ回路を互いに選択することの独立性を考慮して）、私たちが持っているイベントの交差点のために

同様に、イベント C が発生するには両方とも不良品でなければならず、B を取得するには、良品と不良品を 1 つずつ選択する必要があります。

エラーサイン。 バツ上で得られた確率はすべてもっともらしく見えますが、それらを一緒に分析すると、ご了承ください .ただし、ケースあ, Bとハ完全な形にするイベントのグループ .この矛盾は、推論に何らかの誤りが存在することを示しています。

と エラーが発生しました。 2つの補助を紹介しましょうイベント:

= 「最初のチップは良好、2 番目のチップは不良」;

= 「最初のチップは不良、2 番目のチップは正常」。

ただし、イベントの確率を取得するために上記の計算オプションが使用されたことは明らかです。B、しかし、イベントBと e ではない同等. 実際には、
、なぜなら文言イベントBマイクロ回路の中で正確にそれを必要とします一 、しかし完全に必ずしも最初ではない 良かったです（もう一方は不良品でした）。したがって、 イベント重複したイベントではありません、しかし考慮する必要があります独立してたむろします。イベントの矛盾を考えるとと , それらの論理和の確率は次のようになります

この計算の修正後、

これは、見つかった確率の正しさを間接的に確認します。

ノート : 「のみ」など、イベントの文言の違いに特に注意してください。初め リストされた要素の…」および「のみ一 リストされたアイテムのエントは…」. 最後のイベントは明らかにより広く、含まれていますT（おそらく多数のx) オプション。これらの選択肢は (たとえそれらの確率が一致したとしても) 互いに独立して考慮されるべきです。

P ノート : 「パーセンテージ」という言葉は「あたり セント」、つまり"100人"。頻度と確率をパーセンテージで表すと、より大きな値で操作できるようになり、「耳による」値の認識が単純化されることがあります。ただし、正しい正規化の計算で「100%」による乗算または除算を使用するのは面倒で非効率的です。この点では、メンションによる値の使用を避けるパーセンテージとして、計算式でそれらを置き換えますまたは単位の分数として (たとえば、計算の 35% が書き込まれます。i を「0.35」として) 結果の誤った正規化のリスクを最小限に抑えます。

例 3 : 抵抗セットには 1 つの抵抗 n が含まれます公称値 4 kΩ、8 kΩ の抵抗 3 個と抵抗 6 個15キロオームの抵抗を持つorov。無作為に選んだ 3 つの抵抗器を並列に接続します。 4 kΩ を超えない最終的な抵抗が得られる確率を決定します。

レッシュ イオン。 並列接続抵抗 res履歴は次の式で計算できます

これにより、次のようなイベントを考慮することができます。

あ= 「3 つの 15 kΩ 抵抗器を選択」 = 「
”;

B= "で15 kOhm の抵抗器 2 つと抵抗付きの抵抗器 1 つm 8 kΩ」 =「
”…

問題の状態に対応するイベントの完全なグループには、いくつかのオプションが含まれています。これは、4kΩ以下の抵抗を得るための高度な要件に対応しています。ただし、「直接的な」ソリューションパスではあるものの、計算 (およびその後の合計ing) これらすべてのイベントを特徴付ける確率であり、正しいことですが、このように行動することはお勧めできません。

4 kOhm d 未満の最終抵抗を得るために、使用されるセットには、抵抗を持つ少なくとも1つの抵抗器が含まれているままです15kΩ未満で食べてください。したがって、場合にのみあタスク要件が満たされていない、つまりイベントあは反対 研究した。しかし、