Klasična formula za izračunavanje vjerovatnoće. Jednostavni problemi u teoriji vjerovatnoće. Osnovna formula Koja se formula koristi za izračunavanje vjerovatnoće ispadanja brojeva?

Dakle, hajde da pričamo o temi koja zanima mnoge ljude. U ovom članku ću odgovoriti na pitanje kako izračunati vjerovatnoću događaja. Dat ću formule za takav izračun i nekoliko primjera da bude jasnije kako se to radi.

Šta je vjerovatnoća

Počnimo s činjenicom da je vjerovatnoća da će se desiti ovaj ili onaj događaj određena doza povjerenja u eventualnu pojavu nekog rezultata. Za ovu kalkulaciju razvijena je formula ukupne vjerovatnoće koja vam omogućava da odredite da li će se događaj koji vas zanima desiti ili ne, kroz takozvane uslovne vjerovatnoće. Ova formula izgleda ovako: P = n/m, slova se mogu mijenjati, ali to ne utiče na samu suštinu.

Primjeri vjerovatnoće

Koristeći jednostavan primjer, analizirajmo ovu formulu i primijenimo je. Recimo da imate određeni događaj (P), neka to bude bacanje kocke, odnosno jednakostranična kocka. I moramo izračunati kolika je vjerovatnoća da dobijemo 2 boda na tome. Da biste to učinili, potreban vam je broj pozitivnih događaja (n), u našem slučaju - gubitak od 2 boda, za ukupan broj događaja (m). Bacanje od 2 poena može se desiti samo u jednom slučaju, ako su na kocki 2 boda, pošto će u suprotnom zbroj biti veći, sledi da je n = 1. Zatim računamo broj bacanja bilo kojih drugih brojeva na kockice, po 1 kocki - to su 1, 2, 3, 4, 5 i 6, dakle, ima 6 povoljnih slučajeva, odnosno m = 6. Sada, koristeći formulu, napravimo jednostavan proračun P = 1/ 6 i nalazimo da je bacanje 2 boda na kocki 1/6, odnosno da je vjerovatnoća događaja vrlo mala.

Pogledajmo i primjer korištenja kuglica u boji koje se nalaze u kutiji: 50 bijelih, 40 crnih i 30 zelenih. Morate odrediti kolika je vjerovatnoća da ćete izvući zelenu loptu. I tako, pošto ima 30 loptica ove boje, odnosno može biti samo 30 pozitivnih događaja (n = 30), broj svih događaja je 120, m = 120 (na osnovu ukupnog broja svih loptica), koristeći formulu izračunavamo da će vjerovatnoća izvlačenja zelene lopte biti jednaka P = 30/120 = 0,25, odnosno 25% od 100. Na isti način možete izračunati vjerovatnoću izvlačenja lopte od različite boje (crna će biti 33%, bijela 42%).

Želite li znati matematičke šanse da vaša opklada bude uspješna? Onda imamo dvije dobre vijesti za vas. Prvo: da biste izračunali sposobnost prelaska na teren, ne morate provoditi složene proračune i trošiti puno vremena. Dovoljno je koristiti jednostavne formule za koje će vam trebati nekoliko minuta za rad. Drugo: nakon što pročitate ovaj članak, lako možete izračunati vjerovatnoću prolaska bilo koje vaše transakcije.

Da biste ispravno odredili sposobnost trčanja, morate poduzeti tri koraka:

Izračunajte postotak vjerovatnoće ishoda nekog događaja prema kladioničarskoj kancelariji;
Sami izračunajte vjerovatnoću koristeći statističke podatke;
Saznajte vrijednost opklade, uzimajući u obzir obje vjerovatnoće.

Pogledajmo svaki od koraka detaljno, koristeći ne samo formule, već i primjere.

Prvi korak je saznati s kojom vjerovatnoćom sam kladioničar procjenjuje šanse za određeni ishod. Jasno je da kladionice ne postavljaju kvote tek tako. Za to koristimo sljedeću formulu:

PB=(1/K)*100%,

gdje je P B vjerovatnoća ishoda prema kladionici;

K – kladioničarska kvota na ishod.

Recimo da je kvota za pobjedu londonskog Arsenala u utakmici protiv Bayern Minhena 4. To znači da vjerovatnoću njihove pobjede kladioničar procjenjuje kao (1/4)*100%=25%. Ili Đoković igra protiv Youzhnyja. Množilac za Novakovu pobedu je 1,2, njegove šanse su (1/1,2)*100%=83%.

Ovako sama kladionica procjenjuje šanse za uspjeh svakog igrača i tima. Nakon što smo završili prvi korak, prelazimo na drugi.

Proračun vjerovatnoće događaja od strane igrača

Druga tačka našeg plana je naša vlastita procjena vjerovatnoće događaja. Budući da ne možemo matematički uzeti u obzir parametre kao što su motivacija i ton igre, koristit ćemo pojednostavljeni model i koristiti samo statistiku s prethodnih sastanaka. Za izračunavanje statističke vjerovatnoće ishoda koristimo formulu:

PI=(UM/M)*100%,

GdjePI– vjerovatnoća događaja prema igraču;

UM – broj uspješnih utakmica u kojima se dogodio takav događaj;

M – ukupan broj utakmica.

Da bi bilo jasnije, dajemo primjere. Andy Murray i Rafael Nadal odigrali su 14 mečeva između sebe. U 6 od njih ukupan je bio manji od 21 u utakmicama, u 8 ukupan je bio više. Morate saznati vjerovatnoću da će sljedeći meč biti odigran sa većim zbrojem: (8/14)*100=57%. Valensija je na Mestalji odigrala 74 utakmice protiv Atletica u kojima je ostvarila 29 pobjeda. Verovatnoća pobede Valensije: (29/74)*100%=39%.

A sve to učimo samo zahvaljujući statistici prethodnih utakmica! Naravno, takvu vjerovatnoću neće biti moguće izračunati ni za jedan novi tim ili igrač, pa je ova strategija klađenja prikladna samo za utakmice u kojima se protivnici sastaju više puta. Sada znamo kako odrediti kladioničareve i naše vlastite vjerovatnoće ishoda, i imamo svo znanje da pređemo na posljednji korak.

Određivanje vrijednosti opklade

Vrijednost (vrijednost) opklade i prolaznost imaju direktnu vezu: što je veća vrijednost, veća je šansa za prolaz. Vrijednost se izračunava na sljedeći način:

V=PI*K-100%,

gdje je V vrijednost;

P I – vjerovatnoća ishoda prema kladiocu;

K – kladioničarska kvota na ishod.

Recimo da želimo da se kladimo na pobedu Milana u meču protiv Rome i računamo da je verovatnoća da „crveno-crni” pobede 45%. Kladionica nam nudi kvotu 2,5 za ovaj ishod. Da li bi takva opklada bila vredna? Izvodimo proračune: V=45%*2,5-100%=12,5%. Odlično, imamo vrijednu opkladu sa dobrim šansama za prolaz.

Uzmimo drugi slučaj. Marija Šarapova igra protiv Petre Kvitove. Želimo da se dogovorimo da Maria pobedi, čija je verovatnoća, prema našim proračunima, 60%. Kladionice nude množitelj od 1,5 za ovaj ishod. Određujemo vrijednost: V=60%*1,5-100=-10%. Kao što vidite, ova opklada nema nikakvu vrijednost i treba je izbjegavati.

Vjerovatnoća prolaska opklade: zaključak

Prilikom izračunavanja prolaznosti opklade koristili smo jednostavan model, koji se bazira samo na statistici. Prilikom izračunavanja vjerovatnoće, preporučljivo je uzeti u obzir mnogo različitih faktora koji su individualni u svakom sportu. Dešava se da veći uticaj imaju nestatistički faktori. Bez toga bi sve bilo jednostavno i predvidljivo. Jednom kada odaberete svoju nišu, na kraju ćete naučiti da uzmete u obzir sve ove nijanse i napravite precizniju procjenu vlastite vjerovatnoće događaja, uključujući mnoge druge utjecaje. Glavna stvar je da volite ono što radite, postepeno idite naprijed i poboljšavate svoje vještine korak po korak. Sretno vam i uspjeh u uzbudljivom svijetu klađenja!

Odabir prave opklade ne zavisi samo od intuicije, sportskog znanja, kladioničarskih kvota, već i od koeficijenta vjerovatnoće događaja. Mogućnost izračunavanja takvog indikatora u klađenju je ključ uspjeha u predviđanju predstojećeg događaja na koji bi se trebala staviti opklada.
U kladionicama postoje tri vrste kvota (više detalja u članku), čija vrsta određuje kako izračunati vjerovatnoću događaja za igrača.

Decimalne kvote

U ovom slučaju, vjerovatnoća događaja se izračunava pomoću formule: 1/koeficijent. = v.i, gdje je koeficijent. je koeficijent događaja, a v.i je vjerovatnoća ishoda. Na primjer, uzmemo kvotu za događaj od 1,80 sa opkladom od jednog dolara, izvodeći matematičku operaciju prema formuli, igrač dobije da je vjerovatnoća ishoda događaja prema kladionici 0,55 posto.

Fractional kvote

Kada koristite razlomke, formula za izračunavanje vjerovatnoće će biti drugačija. Dakle, sa koeficijentom 7/2, pri čemu prva cifra označava mogući iznos neto dobiti, a druga veličinu potrebne opklade za dobijanje ovog profita, jednačina će izgledati ovako: zn.od/ za sumu od zn.od i chs.od = v.i . Ovdje je zn.coef imenilac koeficijenta, chs.coef je brojilac koeficijenta, v.i je vjerovatnoća ishoda. Dakle, za razlomak od 7/2, jednačina izgleda kao 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, stoga je vjerovatnoća ishoda događaja 0,22 posto prema kladioničaru.

Američki izgledi

Američke kvote nisu jako popularne među igračima i po pravilu se koriste isključivo u SAD-u, imaju složenu i zbunjujuću strukturu. Da biste odgovorili na pitanje: "Kako izračunati vjerovatnoću događaja na ovaj način?", morate znati da takvi koeficijenti mogu biti negativni i pozitivni.

Koeficijent sa znakom "-", na primjer -150, pokazuje da igrač treba da stavi opkladu od 150 dolara da bi dobio neto profit od 100 dolara. Vjerovatnoća događaja se izračunava na osnovu formule gdje trebate podijeliti negativni koeficijent sa zbirom negativnog koeficijenta i 100. Ovo izgleda kao na primjeru opklade od -150, pa (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, gdje je 0,6 pomnoženo sa 100 i vjerovatnoća ishoda događaja je 60 posto. Ista formula je pogodna i za pozitivne američke kvote.

TEMA 1 . Klasična formula za izračunavanje vjerovatnoće.

Osnovne definicije i formule:

Eksperiment čiji se ishod ne može predvidjeti naziva se nasumični eksperiment(SE).

Događaj koji se može ili ne mora dogoditi u datom SE se zove slučajni događaj.

Elementarni ishodi događaji koji ispunjavaju uslove nazivaju se:

1. kod bilo koje implementacije SE javlja se jedan i samo jedan elementarni ishod;

2. svaki događaj je određena kombinacija, određeni skup elementarnih ishoda.

Skup svih mogućih elementarnih ishoda u potpunosti opisuje SE. Takav skup se obično naziva prostor elementarnih ishoda(PEI). Izbor PEI za opisivanje datog SE je dvosmislen i zavisi od problema koji se rešava.

P(A) = n(A)/n,

gdje je n ukupan broj jednako mogućih ishoda,

n (A) – broj ishoda koji čine događaj A, kako još kažu, povoljan za događaj A.

Riječi “nasumično”, “nasumično”, “nasumično” garantuju jednaku mogućnost elementarnih ishoda.

Rješavanje tipičnih primjera

Primjer 1. Iz urne koja sadrži 5 crvenih, 3 crne i 2 bijele kuglice izvlače se 3 kuglice nasumično. Pronađite vjerovatnoće događaja:

A– „sve izvučene lopte su crvene“;

IN– „sve izvučene lopte su iste boje“;

WITH– “među izvađenim ima tačno 2 crna.”

Rješenje:

Elementarni ishod ovog SE je trostruka (poremećena!) loptica. Dakle, ukupan broj ishoda je broj kombinacija: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Događaj A sastoji se samo od onih trojki koje su izvučene iz pet crvenih loptica, tj. n(A)==10.

Događaj IN Pored 10 crvenih trojki, povoljne su i crne trojke čiji je broj = 1. Dakle: n (B)=10+1=11.

Događaj WITH Prednost imaju one trojke koje sadrže 2 crne i jednu necrnu. Svaki način odabira dvije crne lopte može se kombinirati sa odabirom jedne ne-crne lopte (od sedam). Dakle: n (C) = = 3 * 7 = 21.

dakle: P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.

Primjer 2. U uslovima prethodnog zadatka, pretpostavićemo da kuglice svake boje imaju svoju numeraciju, počevši od 1. Nađite verovatnoće događaja:

D– „maksimalni izdvojeni broj je 4”;

E– “Maksimalni broj koji se izdvaja je 3.”

Rješenje:

Da bismo izračunali n(D), možemo pretpostaviti da urna ima jednu kuglu sa brojem 4, jednu loptu sa većim brojem i 8 kuglica (3k+3h+2b) sa manjim brojevima. Događaj D Favoriziraju se one trojke loptica koje obavezno sadrže lopticu sa brojem 4 i 2 loptice s manjim brojevima. Prema tome: n(D) =

P(D) = 28/120.

Da bismo izračunali n (E), uzimamo u obzir: u urni se nalaze dvije kuglice sa brojem 3, dvije sa većim brojevima i šest kuglica sa manjim brojevima (2k+2h+2b). Događaj E sastoji se od dva tipa trojki:

1. jedna lopta sa brojem 3 i dve sa manjim brojevima;

2.dve lopte sa brojem 3 i jedna sa manjim brojem.

Prema tome: n(E)=

P(E) = 36/120.

Primjer 3. Svaka od M različitih čestica nasumično se baca u jednu od N ćelija. Pronađite vjerovatnoće događaja:

A– sve čestice su pale u drugu ćeliju;

IN– sve čestice su pale u jednu ćeliju;

WITH– svaka ćelija ne sadrži više od jedne čestice (M £ N);

D– sve ćelije su zauzete (M =N +1);

E– druga ćelija sadrži tačno To čestice.

Rješenje:

Za svaku česticu postoji N načina da se uđe u određenu ćeliju. Prema osnovnom principu kombinatorike za M čestica imamo N *N *N *…*N (M puta). Dakle, ukupan broj ishoda u ovom SE n = N M .

Za svaku česticu imamo jednu priliku da uđemo u drugu ćeliju, dakle n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1, i P(A) = 1/ N M.

Ući u jednu ćeliju (za sve čestice) znači ubaciti svakoga u prvu, ili svakoga u drugu, itd. svi u Nth. Ali svaka od ovih N opcija može se implementirati na jedan način. Stoga je n (B)=1+1+…+1(N -puta)=N i R(V)=N/N M.

Događaj C znači da svaka čestica ima jedan manji broj opcija za smještaj od prethodne čestice, a prva može pasti u bilo koju od N ćelija. Zbog toga:

n (C) = N *(N -1)*…*(N +M -1) i R(S) =

U konkretnom slučaju sa M =N: R(S)=

Događaj D znači da jedna od ćelija sadrži dvije čestice, a svaka od (N -1) preostalih ćelija sadrži jednu česticu. Da bismo pronašli n (D) razmišljamo ovako: odaberite ćeliju u kojoj će biti dvije čestice, to se može učiniti na =N načina; tada ćemo odabrati dvije čestice za ovu ćeliju, postoje načini da to učinimo. Nakon toga raspodjeljujemo preostale (N -1) čestice jednu po jednu u preostale (N -1) ćelije, za to postoji (N -1)! načine.

Dakle, n(D) =

Broj n(E) se može izračunati na sljedeći način: To čestice za drugu ćeliju se mogu uraditi na načine; preostale (M – K) čestice se nasumično raspoređuju po (N -1) ćeliji (N -1) na M-K načine. Zbog toga:

Unija (logički zbir) N događaja naziva se događaj , što se opaža svaki put kada se pojavi barem jedan od događaji . Konkretno, unija događaja A i B naziva se događaj A+ B(neki autori
), što se opaža kada dolaziili A,ili Bili oba ova događaja u isto vreme(Sl. 7). Znak ukrštanja u tekstualnim formulacijama događaja je konjunkcija "ili".

Rice. 7. Kombinovanje A+B događaja

Potrebno je uzeti u obzir da vjerovatnoća događaja P(A) odgovara lijevoj strani osenčenoj na Sl. 7 slike i njen središnji dio, označen kao
. A ishodi koji odgovaraju događaju B nalaze se i na desnoj strani osenčene figure i na označenoj
centralni dio. Dakle, prilikom dodavanja I području
će zapravo biti uključen u ovaj zbir dva puta, a tačan izraz za površinu osenčene figure ima oblik
.

dakle, vjerovatnoća ujedinjenja dva događaja A i B je jednaka

Za veći broj događaja opći računski izraz postaje izuzetno glomazan zbog potrebe da se uzmu u obzir brojne mogućnosti međusobnog preklapanja područja. Međutim, ako su događaji koji se kombinuju nekompatibilni (vidi str. 33), onda je međusobno preklapanje područja nemoguće, a povoljna zona se određuje direktno zbirom površina koje odgovaraju pojedinačnim događajima.

Vjerovatnoća udruženja bilo koji broj nekompatibilno događaji je određen izrazom

Zaključak 1: Kompletna grupa događaja sastoji se od nespojivih događaja, od kojih se jedan nužno ostvaruje u iskustvu. Kao rezultat, ako događaji …
,formiraju kompletnu grupu, zatim za njih

dakle,

WITHposljedica 3 Uzmimo u obzir da će se suprotna tvrdnji „dogoditi barem jedan od događaja …
" je izjava "nijedan od događaja …
se ne implementira." To jest, drugim riječima, „događaji će se posmatrati u iskustvu , And , i..., i ”, koji već predstavlja presek događaja suprotnih originalnom skupu. Odavde, uzimajući u obzir (2.0), za kombinovanje proizvoljnog broja događaja dobijamo

Korolacije 2 i 3 pokazuju da je u slučajevima kada je direktno izračunavanje vjerovatnoće događaja problematično, korisno procijeniti složenost proučavanja suprotnog događaja. Uostalom, znajući značenje
, dobiti traženu vrijednost iz (2 .0)
više ne predstavlja nikakvu poteškoću.

Primjeri izračunavanja vjerovatnoća složenih događaja

Primjer 1 : Dva učenika (Ivanov i Petrov) zajedno Iuključio se u odbranu laboratorijskog rada, naučivši prvih 8 pitanjatrolling pitanja za ovaj rad od 10 dostupnih. Provjera spremnosti, strUčitelj pita svakoga samo jednon nasumično odabrano pitanje. Odredite vjerovatnoću sljedećih događaja:

A= “Ivanov će braniti svoj laboratorijski rad”;

B= “Petrov će braniti svoj laboratorijski rad”;

C= “obojica će braniti laboratorijski rad”;

D= „najmanje jedan od učenika će braniti rad“;

E= „samo jedan od učenika će braniti rad“;

F= "niko od njih neće zaštititi posao."

Rješenje. Imajte na umu da je sposobnost odbrane rad kao Ivanov, tkao i Petrova posebno određuje samo broj savladanih pitanja, dakleat. (Napomena: u ovom primjeru vrijednosti dobivenih razlomaka namjerno nisu smanjene kako bi se pojednostavilo poređenje rezultata izračuna.)

DogađajCmože se formulisati drugačije jer će „i Ivanov i Petrov štititi delo“, tj. desiće seI događajA, I događajB. Dakle, događajCje presek događajaAIB, a u skladu sa (2 .0)

gdje se faktor “7/9” pojavljuje zbog činjenice da je pojava događajaAznači da je Ivanov dobio “uspješno” pitanje, što znači da Petrov sada ima samo 7 “dobrih” pitanja od preostalih 9 pitanja.

DogađajDimplicira da će „posao štititiili Ivanov,ili Petrov,ili oboje su zajedno”, tj. desiće se barem jedan od događajaAIB. Dakle, događajDje unija događajaAIB, a u skladu sa (2 .0)

koji ispunjava očekivanja, jer Čak i za svakog učenika pojedinačno, šanse za uspjeh su prilično velike.

WITHdogađaj E znači da će „ili Ivano zaštititi posaou, i Petrov „strpada"ili Ivanov će se loše provesti"Profesionalci, a Petrov može da se nosi sa odbranom." Dvije alternative se međusobno isključuju (nekompatibilne), dakle

Konačno, izjavaFbiće fer samo ako "I Ivanov,I Petrov sa zaštitomNe snaći će se." dakle,

Ovo dovršava rješenje problema, ali je korisno napomenuti sljedeće:

1. Svaka od dobijenih vjerovatnoća zadovoljava uslov (1 .0), noh ako za
I
dobiti sukobcosy with(1 .0) je nemoguće u principu, onda za
probaj ikorištenje (2 .0) umjesto (2.0) dovelo bi do očigledno netačnogznačenje projekta
. Važno je zapamtiti da je takva vrijednost vjerovatnoće u osnovi nemoguća, i ako se dobije takav paradoksalan rezultat, odmah počnite tražiti grešku.

2. Pronađene vjerovatnoće zadovoljavaju relacijem

Eovo je sasvim očekivano, jer događajiC, EIFformiraju kompletany grupa i događajiDIFsu suprotne jedna drugoj. Računovodstvo za ovemogu se koristiti omjeri s jedne stranekombi da još jednom provjeri proračune, au drugoj situaciji može poslužiti kao osnova za alternativni način rješavanja problema.

P Bilješka : Nemojte zanemariti pisanjeprecizna formulacija događaja, inače, u toku rješavanja problema, možete nehotice preći na drugačiju interpretaciju značenja ovog događaja, što će dovesti do grešaka u zaključivanju.

Primjer 2 : U velikoj seriji mikro krugova koji nisu prošli konačnu kontrolu kvaliteta, 30% proizvoda je neispravno.Ako nasumično odaberete bilo koja dva mikro kruga iz ove serije, šta je ondavjerovatnoća da je među njima:

A= “oba valjana”;

B= “tačno 1 upotrebljivo mikrokolo”;

C= “oba neispravna”.

Hajde da analiziramo sledeću verziju obrazloženja (pazi, sadrži grešku):

Budući da je riječ o velikoj seriji proizvoda, uklanjanje nekoliko mikro krugova iz nje praktički ne utječe na omjer broja upotrebljivih i neispravnih proizvoda, što znači da odabirom nekih mikro krugova iz ove serije nekoliko puta zaredom, mi može pretpostaviti da u svakom slučaju ostaju nepromijenjene vjerovatnoće

= P(odabran je neispravan proizvod) = 0,3 i

= P(odabran odgovarajući proizvod) = 0,7.

Da bi se događaj desioAto je neophodnoI kao prvo,I po drugi put je odabran odgovarajući proizvod, te stoga (uzimajući u obzir međusobno neovisnost uspješnosti izbora prvog i drugog mikrokola) za sjecište događaja imamo

Slično tome, da bi se dogodio događaj C, oba proizvoda moraju biti neispravna, a da biste dobili B, morate odabrati jedan dobar proizvod i jednom neispravan proizvod.

Znak greške. Xiako su svi dobili iznad vjerovatnoćei izgledaju uvjerljivo, kada se analiziraju zajedno, to je lakoImajte na umu da .Međutim, slučajeviA, BICformiraju kompletangrupa događaja za koje se treba izvršiti .Ova kontradikcija ukazuje da postoji neka greška u obrazloženju.

WITH postoje greške. Hajde da uvedemo dva pomoćnaspecijalni događaji:

= “prvo mikrokolo je dobro, drugo je neispravno”;

= "prvo mikrokolo je neispravno, drugo dobro."

Očigledno je da je, međutim, upravo ova opcija proračuna korištena gore za dobivanje vjerovatnoće događajaB, iako događajiBI nisu uhekvivalentno. Zapravo,
, jer formulacijadogađajiBzahtijeva da među mikro krugovima ima tačnojedan , ali nikakone nužno prvi bio dobar (a drugi je bio neispravan). Stoga, iako događaj nije duplikat događaja , ali treba ga podučavatida deluje samostalno. S obzirom na nespojivost događaja I , vjerovatnoća njihovog logičkog zbira će biti jednaka

Nakon naznačene korekcije proračuna imamo

što posredno potvrđuje ispravnost pronađenih vjerovatnoća.

Bilješka : Obratite posebnu pažnju na razliku u formulaciji događaja poput „samoprvo od navedenih elemenata mora…” i “samojedan od navedenih elemenataentov bi trebao...” Najnoviji događaj je očigledno širi i uključujeTu svoj sastav prvi kao jedan od (možda brojnihx) opcije. Ove alternative (čak i ako se njihove vjerovatnoće poklapaju) treba uzeti u obzir nezavisno jedna od druge.

P Bilješka : Riječ "postotak" dolazi od "per cent“, tj."na sto." Predstavljanje frekvencija i vjerovatnoća u postocima omogućava vam da radite s većim vrijednostima, što ponekad olakšava percepciju vrijednosti „na uho“. Međutim, korištenje množenja ili dijeljenja sa “100%” u proračunima za ispravnu normalizaciju je glomazno i neefikasno. S tim u vezi, neBudite oprezni kada koristite vrijednosti koje treba spomenutiizražene u procentima, zamijenite ih u izračunate izraze zau obliku razlomaka jedinice (na primjer, 35% je upisano u proračunuSviđa mi se “0,35”) kako bi se smanjio rizik od pogrešne normalizacije rezultata.

Primjer 3 : Set otpornika sadrži jedan otpornik n4 kOhm nominalno, tri 8 kOhm otpornika i šest otpornikaili sa otporom od 15 kOhm. Tri nasumično odabrana otpornika su međusobno povezana paralelno. Odredite vjerovatnoću dobivanja konačnog otpora koji ne prelazi 4 kOhm.

Resh cija. Otpor paralelne vezehistorije se mogu izračunati korištenjem formule

Ovo vam omogućava da uvedete događaje kao što su

A= “odabrana su tri otpornika od 15 kOma” = “
”;

B= “indva otpornika od 15 kOhm i jedan otpornikm 8 kOhm” =“
”…

Kompletna grupa događaja koji odgovaraju uslovima problema uključuje čitav niz opcija, i to upravo tihkoji ispunjavaju navedeni zahtjev za postizanje otpora ne većeg od 4 kOhm. Međutim, iako je „direktan“ put rješenja, koji uključuje izračunavanje (i naknadne sumeIako je ispravno odrediti vjerovatnoće koje karakterišu sve ove događaje, nije preporučljivo postupati na ovaj način.

Imajte na umu da da biste dobili konačni otpor manji od 4 kOhm dDovoljno je da set sadrži najmanje jedan otpornik sa otporomJedem manje od 15 kOhm. Dakle, samo u slučajuAuslov zadatka nije ispunjen, tj. događajAjesuprotno osobi koja se proučava. U isto vrijeme,

Dakle, .

P ri označavanje : Izračunavanje vjerovatnoće nekog događajaA, ne zaboravite analizirati složenost određivanjaJa sam vjerovatnoća događaja suprotnog tome. Ako diss.čitaj
lako, onda je to tačno odakle treba da počnete, rešenoodnosno zadataka, dovršavajući ga primjenom relacije (2 .0).

P primjer 4 : U kutiji postojenbijela,mcrna ikcrvene lopte. Kuglice se nasumično izvlače iz kutije jedna po jedna.i vraćaju se nazad nakon svake ekstrakcije. Odredite vjerovatnoćudogađajiA= „bijela loptaće biti izvučen prije crnog” .

Resh cija. Razmotrite sljedeći niz događaja

= “bijela lopta je izvučena iz prvog pokušaja”;

= “prvo je izvađena crvena lopta, a zatim bela”;

= “crvena lopta je izvađena dva puta, a bela treći put”…

Tako daKako se loptice vraćaju, onda nizyty može se formalno beskonačno produžiti.

Ovi događaji su nekompatibilni i zajedno čine skup situacija u kojima se događaj događaA. dakle,

Lako je vidjeti da su termini uključeni u zbirni oblikgeometrijska progresija sa početnim elementom
i imenilac
. Ali iznosia elementi beskonačne geometrijske progresije su jednaki