Taikymas

Diferencialinių lygčių sprendimas internete svetainėje, kad studentai galėtų konsoliduoti apžvelgtą medžiagą. Ir lavinti savo praktinius įgūdžius. Diferencialinės lygtys internete. Difurai internetu, matematikos sprendimas internetu. Žingsnis po žingsnio matematikos problemų sprendimai internete. Diferencialinės lygties tvarka arba laipsnis yra aukščiausia į ją įtrauktų išvestinių eilė. Diferencialinės lygtys internete. Diferencialinės lygties sprendimo procesas vadinamas integravimu. Diferencialinės lygties integravimo problema laikoma išspręsta, jei nežinomos funkcijos radimas gali būti nukreiptas į kvadratūrą, nepaisant to, ar gautas integralas galutine forma išreiškiamas žinomomis funkcijomis, ar ne. Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Visas diferencialines lygtis galima suskirstyti į įprastas diferencialines lygtis (ODE), apimančias tik vieno argumento funkcijas (ir jų išvestines), ir dalines diferencialines lygtis (PDE), kuriose įvesties funkcijos priklauso nuo daugelio kintamųjų. Diferencialinės lygtys internete. Taip pat yra stochastinių diferencialinių lygčių (SDE), apimančių atsitiktinius procesus. Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Priklausomai nuo išvestinių, funkcijų ir nepriklausomų kintamųjų derinių, diferencialinės lygtys skirstomos į tiesines ir netiesines, su pastoviais arba kintamaisiais koeficientais, vienarūšes arba nehomogeniškas. Dėl pritaikymo svarbos kvazilinijinės (tiesinės aukštesnių išvestinių atžvilgiu) dalinės diferencialinės lygtys priskiriamos atskirai klasei. Diferencialinių lygčių sprendiniai skirstomi į bendruosius ir specialiuosius. Diferencialinės lygtys internete. Bendrieji sprendiniai apima neapibrėžtas konstantas, o dalinėms diferencialinėms lygtims – savavališkas nepriklausomų kintamųjų funkcijas, kurias galima patikslinti iš papildomų integravimo sąlygų (paprastų diferencialinių lygčių pradinės sąlygos, dalinių diferencialinių lygčių pradinės ir ribinės sąlygos). Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Nustačius nurodytų pastovių ir neapibrėžtų funkcijų tipą, sprendiniai tampa specifiniai. Ieškant įprastų diferencialinių lygčių sprendimų, buvo sukurta specialiųjų funkcijų klasė - funkcijos, dažnai pasitaikančios programose, kurių negalima išreikšti žinomomis elementariomis funkcijomis. Diferencialinės lygtys internete. Buvo išsamiai ištirtos jų savybės, sudarytos verčių lentelės, nustatyti tarpusavio santykiai ir kt. . Galima ištirti surašytų skaičių aibę. Geriausias atsakymas į pateiktą problemą. Kaip pirmą aproksimaciją rasti išeinantį vektorių į konvergencijos sritį apie diferencialines lygtis, neišsiaiškinus viršutinės ribos. Pasirinkimas akivaizdus didinant matematines funkcijas. Yra progresyvus metodas, viršijantis tyrimo lygį. Pradinės problemos sąlygos suderinimas su diferencialinių lygčių sprendimu padės rasti unikaliai pasirinktą reikšmę. Gali būti, kad jis iš karto gali atpažinti nežinomąjį. Kaip ir ankstesniame matematinės problemos sprendimo pavyzdyje, tiesinės diferencialinės lygtys yra atsakymas į konkrečią problemą per tam tikrą laikotarpį. Tyrimo tvarkos palaikymas nėra lokaliai nustatytas. Bus taip, kad kiekvienam mokiniui bus rastas pavyzdys ir diferencialinių lygčių sprendimą nustatys atsakingam asmeniui priskirtas asmuo bent iš dviejų reikšmių. Paimkite tam tikro segmento bendrosios vertės funkciją ir perspėkite, išilgai kurios ašies bus tarpas. Studijuojant diferencialines lygtis internete, galima aiškiai parodyti, koks svarbus yra rezultatas, jei jį numato pradinės sąlygos. Iš funkcijos apibrėžimo srities iškirpti neįmanoma, nes nėra vietos užduoties apibrėžimo. Iš lygčių sistemos rastas atsakymas turi kintamąjį, kuris yra skaičiuojamas bendrąja prasme, tačiau diferencialinę lygtį išspręsti internetu natūraliai bus galima ir be šio minėtos sąlygos nustatymo veiksmo. Šalia segmento intervalo matosi, kaip diferencialinių lygčių sprendimas internetu gali pakelti tyrimo rezultatą teigiama linkme tuo momentu, kai nutrūksta studentų žinios. Geriausias dalykas ne visada ateina iš visuotinai priimto požiūrio į verslą. 2x lygyje naudinga peržiūrėti visas būtinas tiesines diferencialines lygtis natūralioje vaizdinėje, tačiau gebėjimas apskaičiuoti skaitinę reikšmę pagerins žinias. Pagal bet kurį matematikos metodą yra diferencialinių lygčių, kurios pateikiamos iš esmės skirtingomis išraiškomis, pavyzdžiui, vienarūšėmis arba sudėtingomis. Atlikus bendrą funkcijos tyrimo analizę, tampa aišku, kad diferencialų kaip galimybių visumos sprendimas reiškia aiškią reikšmių klaidą. Tiesa jame slypi erdvėje virš abscisių linijų. Kai kur sudėtingos funkcijos apibrėžimo srityje, tam tikru jos apibrėžimo tašku, tiesinės diferencialinės lygtys galės pateikti atsakymą analitine forma. tai yra bendrais bruožais kaip esmė. Niekas nepasikeičia, kai pakeičiate kintamąjį. Tačiau į atsakymą reikia žiūrėti su ypatingu susidomėjimu. Iš esmės skaičiuotuvas galiausiai pakeičia ryšį, tai yra, kaip diferencialinių lygčių sprendimas yra proporcingas pasaulinei reikšmei ir nurodomas norimo sprendimo ribose. Kai kuriais atvejais didžiulis įspėjimas apie klaidą yra neišvengiamas. Internetinės diferencialinės lygtys įgyvendina bendrą problemos idėją, tačiau galiausiai būtina kuo greičiau numatyti teigiamus vektorinio produkto aspektus. Matematikoje klaidų teorijos atvejai nėra neįprasti. Patikrinimo tikrai prireiks. Natūralu, kad šią teisę geriau suteikti savo srities profesionalams ir jie padės išspręsti diferencialinę lygtį internete, nes jų patirtis yra didžiulė ir teigiama. Figūrų paviršių ir ploto skirtumas yra toks, kad ne diferencialinių lygčių sprendimas internete leis matyti, o nesikertančių objektų rinkinys yra toks, kad linija būtų lygiagreti ašiai. Dėl to galite gauti dvigubai daugiau verčių. Nors ir nėra aiškus, mūsų supratimas apie formalaus žymėjimo teisingumą apima tiesines diferencialines lygtis tiek žiūrėjimo srityje, tiek dėl tyčinio rezultato kokybės pervertinimo. Keletą kartų peržiūrima panelinė diskusija visus studentus dominančia tema. Viso paskaitų kurso tyrimo metu didelį dėmesį skirsime diferencialinėms lygtims ir susijusioms mokslinių tyrimų sritims, jei tai neprieštarauja tiesai. Kelionės pradžioje galima išvengti daugelio žingsnių. Jei diferencialinių lygčių sprendimas studentams vis dar iš esmės yra naujas dalykas, tai sena visiškai neužmiršta, o sparčiai vystosi į ateitį. Iš pradžių matematikos uždavinio sąlygos skiriasi, tačiau tai nurodyta pastraipoje dešinėje. Praėjus apibrėžime nurodytam laikui, negalima atmesti proporcingos priklausomybės rezultato įvairiose vektoriaus judėjimo plokštumose galimybės. Tokį paprastą atvejį galima ištaisyti taip pat, kaip tiesinės diferencialinės lygtys aprašomos skaičiuotuvu bendra forma, tai bus greičiau ir skaičiavimų poslinkis nesukels klaidingos nuomonės. Tik penki atvejai, pavadinti pagal teoriją, gali peržengti to, kas vyksta, ribas. Mūsų diferencialinių lygčių sprendimas padės rankiniu būdu apskaičiuoti reikšmę skaičiais jau pirmuosiuose funkcijų erdvės skaidymo etapuose. Tinkamose vietose reikia pavaizduoti keturių linijų sąlyčio tašką bendra prasme. Bet jei turėsite pakeisti užduotį, bus lengva sulyginti sudėtingumą. Pradinių duomenų pakanka suprojektuoti gretimą koją, o internetinės diferencialinės lygtys atrodo išlygiuotos kairėje, o paviršius yra vienpusis nukreiptas į vektoriaus rotorių. Virš viršutinės ribos galimos skaitinės reikšmės, viršijančios nurodytą sąlygą. Galima atsižvelgti į matematinę formulę ir išspręsti diferencialinę lygtį internetu, naudojant tris nežinomuosius bendrojoje proporcijos reikšmėje. Vietinis skaičiavimo metodas pripažįstamas galiojančiu. Santykiniame plokštumos judėjime koordinačių sistema yra stačiakampė. Bendras diferencialinių lygčių sprendimas internete leidžia nedviprasmiškai padaryti išvadą, kad būtų galima skaičiuoti matricos apibrėžimus visoje tiesėje, esančioje virš aiškiai nurodytos funkcijos grafiko. Sprendimas aiškiai matomas, jei judesio vektorių pritaikysite trijų pusrutulių sąlyčio taškui. Cilindras gaunamas sukant stačiakampį aplink šoną ir tiesinės diferencialinės lygtys galės parodyti taško judėjimo kryptį pagal pateiktas jo judėjimo dėsnio išraiškas. Pradiniai duomenys yra teisingi, o matematikos uždavinys yra sukeičiamas viena paprasta sąlyga. Tačiau dėl aplinkybių, dėl keliamos papildomos užduoties sudėtingumo, diferencialinės lygtys supaprastina skaitmeninių erdvių skaičiavimo procesą trimatės erdvės lygyje. Nesunku įrodyti priešingai, bet to galima išvengti, kaip pateiktame pavyzdyje. Aukštojoje matematikoje pateikiami tokie punktai: kai uždavinys redukuojamas į supaprastintą formą, jai reikia skirti kuo daugiau mokinių pastangų. Atsižvelgiama į linijas, esančias viena ant kitos. Skirtumų sprendimas vis dar atnaujina minėto metodo pranašumą lenkta linija. Jei pirmiausia atpažinsite kažką, ko jums nereikia, matematinė formulė sukurs naują išraiškos reikšmę. Tikslas – optimalus požiūris į profesoriaus iškeltų uždavinių sprendimą. Neturėtumėte manyti, kad tiesinės diferencialinės lygtys supaprastinta forma viršys laukiamą rezultatą. Ant baigtinės sudėties paviršiaus dedame tris vektorius. statmenos vienas kitam. Apskaičiuokime produktą. Sudėkime didesnį skaičių simbolių ir iš gautos išraiškos išrašykime visus funkcijos kintamuosius. Yra proporcija. Keli veiksmai prieš skaičiavimo pabaigą neduos vienareikšmiško atsakymo į diferencialinių lygčių sprendimą iš karto, o tik po to, kai išilgai y ašies praeis nustatytas laikas. Į kairę nuo nutrūkimo taško, netiesiogiai nurodyto iš funkcijos, nubrėžiame ašį, statmeną geriausiai didėjančiam vektoriui, ir pateikiame internetines diferencialines lygtis pagal mažiausią matematinio objekto apatinio paviršiaus ribinę vertę. Funkcijos pertraukos srityje pridedame papildomą argumentą. Dešinėje nuo taškų, kuriuose yra kreivė, formulės, kurias parašėme, kad sumažintume iki bendro vardiklio, padės išspręsti diferencialinę lygtį internete. Mes laikysimės vienintelio teisingo požiūrio, kuris nušvies neišspręstas problemas nuo teorijos iki praktikos, bendru atveju vienareikšmiškai. Duotų taškų koordinačių kryptimi nukreiptos linijos niekada neuždarė kraštutinės kvadrato padėties, tačiau diferencialinių lygčių sprendimas internetu padės studentams, mums ir tik pradedantiesiems šioje srityje studijuoti matematiką. Kalbame apie galimybę pakeisti vertės argumentą į visas reikšmingas vieno lauko eilutes. Iš principo, kaip ir galima tikėtis, mūsų tiesinės diferencialinės lygtys yra kažkas išskirtos į vieną pateiktos reikšmės sąvoką. Norėdami padėti studentams, vienas geriausių skaičiuoklių tarp panašių paslaugų. Išklausykite visus kursus ir išsirinkite sau tinkamiausią.

=

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Sprendimų pavyzdžiai.
Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Diferencialinės lygtys (DE). Šie du žodžiai paprastai kelia siaubą paprastam žmogui. Diferencialinės lygtys daugeliui studentų atrodo pernelyg sudėtingos ir sunkiai įvaldomos. Uuuuuu... diferencialinės lygtys, kaip man visa tai išgyventi?!

Tokia nuomonė ir toks požiūris yra iš esmės klaidingi, nes iš tikrųjų DIFERENCINĖS LYGTYBĖS – PAPRASTAS IR NET LINKSMAS. Ką reikia žinoti ir mokėti, kad išmoktum spręsti diferencialines lygtis? Norėdami sėkmingai studijuoti difuziją, turite mokėti integruotis ir diferencijuoti. Kuo geriau nagrinėjamos temos Vieno kintamojo funkcijos išvestinė Ir Neapibrėžtas integralas, tuo lengviau bus suprasti diferencialines lygtis. Pasakysiu daugiau, jei turite daugiau ar mažiau padorų integracijos įgūdžių, tada tema jau beveik įvaldyta! Kuo daugiau įvairių tipų integralų galėsite išspręsti, tuo geriau. Kodėl? Turėsite daug integruotis. Ir atskirti. Taip pat labai rekomenduojama išmokti rasti.

95% atvejų bandomuosiuose darbuose yra 3 tipų pirmos eilės diferencialinės lygtys: atskiriamas lygtis kurią apžvelgsime šioje pamokoje; vienarūšės lygtys Ir tiesinės nehomogeninės lygtys. Tiems, kurie pradeda studijuoti difuzorius, patariu perskaityti pamokas būtent tokia tvarka, o išstudijavus pirmuosius du straipsnius, nepakenks sustiprinti savo įgūdžius papildomame seminare - lygtys redukuojamos į vienarūšes.

Yra dar retesnių diferencialinių lygčių tipų: visuminės diferencialinės lygtys, Bernulio lygtys ir kai kurios kitos. Svarbiausias iš paskutinių dviejų tipų yra lygtys bendruose diferencialuose, nes be šios diferencialinės lygties svarstau apie naują medžiagą - dalinė integracija.

Jei liko tik diena ar dvi, Tai itin greitam paruošimui Yra žaibo kursas pdf formatu.

Taigi, orientyrai nustatyti – eime:

Pirmiausia prisiminkime įprastas algebrines lygtis. Juose yra kintamųjų ir skaičių. Paprasčiausias pavyzdys:. Ką reiškia išspręsti įprastą lygtį? Tai reiškia rasti skaičių rinkinys, kurios tenkina šią lygtį. Nesunku pastebėti, kad vaikų lygtis turi vieną šaknį: . Kad būtų smagu, patikrinkime ir pakeiskime rastą šaknį į mūsų lygtį:

– gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad sprendimas buvo rastas teisingai.

Difuzoriai sukurti panašiai!

Diferencialinė lygtis Pirmas užsakymas apskritai yra:
1) nepriklausomas kintamasis;
2) priklausomasis kintamasis (funkcija);
3) pirmoji funkcijos išvestinė: .

Kai kuriose pirmosios eilės lygtyse gali nebūti „x“ ir (arba) „y“, tačiau tai nėra reikšminga - svarbu eiti į valdymo kambarį buvo pirmasis vedinys ir neturėjo aukštesnių eilių išvestiniai – , ir kt.

Ką reiškia ? Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti visų funkcijų rinkinys, kurios tenkina šią lygtį. Toks funkcijų rinkinys dažnai turi formą (– savavališką konstantą), kuri vadinama bendras diferencialinės lygties sprendimas.

1 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Pilna amunicija. Kur pradėti sprendimas?

Visų pirma, reikia perrašyti išvestinę šiek tiek kitokia forma. Primename sudėtingą pavadinimą, kuris tikriausiai daugeliui iš jūsų atrodė juokingas ir nereikalingas. Štai kas galioja difuzoriuose!

Antrame žingsnyje pažiūrėkime, ar tai įmanoma atskiri kintamieji? Ką reiškia atskirti kintamuosius? Apytiksliai kalbant, kairėje pusėje mums reikia išvykti tik "graikai", A dešinėje pusėje organizuoti tik "X". Kintamieji skirstomi naudojant „mokyklines“ manipuliacijas: iškeliant juos iš skliaustų, perkeliant terminus iš dalies į dalį keičiant ženklą, perkeliant veiksnius iš dalies į dalį pagal proporcingumo taisyklę ir kt.

Diferencialai ir yra visiški karo veiksmų skleidėjai ir aktyvūs dalyviai. Nagrinėjamame pavyzdyje kintamieji lengvai atskiriami sumetant veiksnius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti. Kairėje pusėje yra tik „Y“, dešinėje – tik „X“.

Kitas etapas - diferencialinės lygties integravimas. Tai paprasta, mes dedame integralus iš abiejų pusių:

Žinoma, reikia imti integralus. Šiuo atveju jie yra lentelėse:

Kaip prisimename, konstanta priskiriama bet kokiam antidariniui. Čia yra du integralai, bet konstantą užtenka parašyti vieną kartą (kadangi konstanta + konstanta vis tiek yra lygi kitai konstantai). Daugeliu atvejų jis dedamas dešinėje pusėje.

Griežtai tariant, paėmus integralus, diferencialinė lygtis laikoma išspręsta. Vienintelis dalykas yra tai, kad mūsų „y“ neišreiškiamas per „x“, tai yra, pateikiamas sprendimas numanomame forma. Diferencialinės lygties sprendimas implicitine forma vadinamas bendrasis diferencialinės lygties integralas. Tai yra, tai yra bendras integralas.

Atsakymas šia forma yra gana priimtinas, bet ar yra geresnis pasirinkimas? Pabandykime gauti bendras sprendimas.

Prašau, prisiminkite pirmąją techniką, tai labai dažna ir dažnai naudojama atliekant praktines užduotis: jei po integravimo dešinėje pusėje atsiranda logaritmas, tai daugeliu atvejų (bet ne visada!) konstantą taip pat patartina rašyti po logaritmu.

Tai yra, VIETOJ dažniausiai rašomi įrašai .

Kodėl tai būtina? Ir tam, kad būtų lengviau išreikšti „žaidimą“. Naudojant logaritmų savybę . Tokiu atveju:

Dabar logaritmus ir modulius galima pašalinti:

Funkcija pateikiama aiškiai. Tai yra bendras sprendimas.

Atsakymas: bendras sprendimas: .

Atsakymus į daugelį diferencialinių lygčių gana lengva patikrinti. Mūsų atveju tai daroma gana paprastai, imame rastą sprendimą ir jį išskiriame:

Tada išvestinę pakeičiame į pradinę lygtį:

– gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad bendrasis sprendimas tenkina lygtį, kurią ir reikėjo patikrinti.

Pateikdami konstantą skirtingas vertes, galite gauti begalinį skaičių privatūs sprendimai diferencialinė lygtis. Akivaizdu, kad bet kuri iš funkcijų , ir kt. tenkina diferencialinę lygtį.

Kartais vadinamas bendrasis sprendimas funkcijų šeima. Šiame pavyzdyje bendras sprendimas yra linijinių funkcijų šeima, o tiksliau – tiesioginio proporcingumo šeima.

Išsamiai peržiūrėjus pirmąjį pavyzdį, tikslinga atsakyti į keletą naivų klausimų apie diferencialines lygtis:

1)Šiame pavyzdyje mes galėjome atskirti kintamuosius. Ar tai visada galima padaryti? Ne ne visada. Ir dar dažniau kintamieji negali būti atskirti. Pavyzdžiui, in vienarūšės pirmos eilės lygtys, pirmiausia turite jį pakeisti. Kitų tipų lygtyse, pavyzdžiui, pirmos eilės tiesinėje nehomogeninėje lygtyje, norint rasti bendrą sprendimą, reikia naudoti įvairius metodus ir metodus. Lygtys su atskiriamais kintamaisiais, kurias svarstome pirmoje pamokoje, yra paprasčiausias diferencialinių lygčių tipas.

2) Ar visada įmanoma integruoti diferencialinę lygtį? Ne ne visada. Labai lengva sugalvoti „įmantrią“ lygtį, kurios negalima integruoti, be to, yra integralų, kurių negalima imti. Tačiau tokius DE galima apytiksliai išspręsti naudojant specialius metodus. D'Alembertas ir Košis garantuoja... ugh, slepiasi daugiau.Kad tik dabar daug skaityčiau, aš beveik pridėjau „iš kito pasaulio“.

3) Šiame pavyzdyje mes gavome sprendimą bendro integralo pavidalu . Ar visada galima rasti bendrą sprendimą iš bendro integralo, tai yra, aiškiai išreikšti „y“? Ne ne visada. Pavyzdžiui: . Na, kaip čia galima išreikšti „graikiškai“? Tokiais atvejais atsakymas turėtų būti rašomas kaip bendrasis integralas. Be to, kartais galima rasti bendrą sprendimą, tačiau jis parašytas taip gremėzdiškai ir nerangiai, kad geriau palikti atsakymą bendro integralo forma

4) ...galbūt kol kas užteks. Pirmajame pavyzdyje, su kuriuo susidūrėme dar vienas svarbus momentas, bet kad „manekenų“ neapimčiau naujos informacijos lavina, paliksiu tai kitai pamokai.

Mes neskubėsime. Kitas paprastas nuotolinio valdymo pultas ir kitas tipiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą

Sprendimas: pagal būklę reikia susirasti privatus sprendimas DE, kuris tenkina nurodytą pradinę sąlygą. Tokia klausimo formuluotė dar vadinama Cauchy problema.

Pirmiausia randame bendrą sprendimą. Lygtyje nėra kintamojo „x“, tačiau tai neturėtų klaidinti, svarbiausia, kad jis turi pirmąją išvestinę.

Išvestinę perrašome reikiama forma:

Akivaizdu, kad kintamuosius galima atskirti, berniukus į kairę, mergaites į dešinę:

Integruokime lygtį:

Gaunamas bendrasis integralas. Čia aš nupiešiau konstantą su žvaigždute, tiesa, kad labai greitai ji pavirs kita konstanta.

Dabar bandome paversti bendrąjį integralą bendruoju sprendimu (aiškiai išreikškite „y“). Prisiminkime senus gerus dalykus iš mokyklos: . Tokiu atveju:

Indikatoriaus konstanta atrodo kažkaip nekošeriškai, todėl dažniausiai nuleidžiama ant žemės. Išsamiau, tai atsitinka taip. Naudodamiesi laipsnių savybe, funkciją perrašome taip:

Jei yra konstanta, tai taip pat yra tam tikra konstanta, perskirkime ją raide:

Atminkite, kad konstanta yra „nugriauti“. antroji technika, kuris dažnai naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis.

Taigi bendras sprendimas yra toks: . Tai puiki eksponentinių funkcijų šeima.

Paskutiniame etape turite rasti konkretų sprendimą, kuris tenkintų nurodytą pradinę sąlygą. Tai taip pat paprasta.

Kokia užduotis? Reikia pasiimti toks konstantos reikšmę, kad sąlyga būtų įvykdyta.

Jis gali būti suformatuotas įvairiais būdais, bet tai tikriausiai bus aiškiausias būdas. Bendrajame sprendime vietoj „X“ pakeičiame nulį, o vietoj „Y“ – dviem:



Tai yra,

Standartinė dizaino versija:

Dabar rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendimu:
– Tai yra konkretus sprendimas, kurio mums reikia.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkime. Privataus sprendimo tikrinimas susideda iš dviejų etapų:

Pirmiausia reikia patikrinti, ar konkretus rastas sprendimas tikrai atitinka pradinę sąlygą? Vietoj „X“ pakeičiame nulį ir žiūrime, kas atsitiks:
– Taip, jūs tikrai gavote du, vadinasi, pradinė sąlyga yra įvykdyta.

Antrasis etapas jau pažįstamas. Paimame gautą konkretų sprendimą ir randame išvestinę:

Į pradinę lygtį pakeičiame:

– gaunama teisinga lygybė.

Išvada: konkretus sprendimas buvo rastas teisingai.

Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių.

3 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Sprendimas: Išvestinę perrašome mums reikalinga forma:

Vertiname, ar galima atskirti kintamuosius? Gali. Antrąjį terminą perkeliame į dešinę, pakeisdami ženklą:

Ir mes perkeliame daugiklius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti, integruokime abi dalis:

Turiu jus perspėti, kad teismo diena artėja. Jei gerai nesimokote neapibrėžtieji integralai, išsprendėte keletą pavyzdžių, tada nebėra kur dėtis – dabar turėsite juos įvaldyti.

Kairiosios pusės integralą lengva rasti su kotangento integralu naudodamiesi standartine technika, kurią apžvelgėme pamokoje Trigonometrinių funkcijų integravimas praeitais metais:

Dešinėje pusėje turime logaritmą, ir pagal mano pirmąją techninę rekomendaciją konstanta taip pat turėtų būti parašyta po logaritmu.

Dabar bandome supaprastinti bendrąjį integralą. Kadangi turime tik logaritmus, tai visiškai įmanoma (ir būtina) jų atsikratyti. Naudojant žinomos savybės Kiek įmanoma „pakuojame“ logaritmus. Aš parašysiu labai išsamiai:

Pakuotė baigta, kad būtų barbariškai suplyšusi:

Ar įmanoma išreikšti „žaidimą“? Gali. Būtina išlyginti abi dalis kvadratu.

Bet jums to daryti nereikia.

Trečias techninis patarimas: jei norint gauti bendrą sprendimą reikia pakelti į galią arba įsišaknyti, tada Daugeliu atvejų turėtumėte susilaikyti nuo šių veiksmų ir palikti atsakymą bendro integralo forma. Faktas yra tas, kad bendras sprendimas atrodys tiesiog baisus - su didelėmis šaknimis, ženklais ir kitomis šiukšlėmis.

Todėl atsakymą rašome bendro integralo forma. Manoma, kad gera praktika yra pateikti jį forma , tai yra, dešinėje pusėje, jei įmanoma, palikite tik konstantą. To daryti nebūtina, bet įtikti profesoriui visada naudinga ;-)

Atsakymas: bendras integralas:

! Pastaba: Bendrasis bet kurios lygties integralas gali būti parašytas daugiau nei vienu būdu. Taigi, jei jūsų rezultatas nesutampa su anksčiau žinomu atsakymu, tai nereiškia, kad lygtį išsprendėte neteisingai.

Bendrąjį integralą taip pat gana lengva patikrinti, svarbiausia, kad būtų galima rasti netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė. Išskirkime atsakymą:

Abu terminus padauginame iš:

Ir padalinti iš:

Pradinė diferencialinė lygtis buvo gauta tiksliai, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

4 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą. Atlikite patikrinimą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Leiskite jums priminti, kad algoritmas susideda iš dviejų etapų:
1) bendro sprendimo radimas;
2) rasti reikiamą konkretų sprendimą.

Patikra taip pat atliekama dviem etapais (žr. pavyzdį 2 pavyzdyje), jums reikia:
1) įsitikinkite, kad konkretus rastas sprendimas atitinka pradinę sąlygą;
2) patikrinkite, ar konkretus sprendimas apskritai atitinka diferencialinę lygtį.

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

5 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą , tenkinantis pradinę sąlygą. Atlikite patikrinimą.

Sprendimas: Pirma, suraskime bendrą sprendimą. Šioje lygtyje jau yra paruošti diferencialai, o tai reiškia, kad sprendimas yra supaprastintas. Mes atskiriame kintamuosius:

Integruokime lygtį:

Kairėje esantis integralas yra lentelės formos, o dešinėje esantis integralas imamas funkcijos įtraukimo po diferencialiniu ženklu metodas:

Gautas bendrasis integralas, ar įmanoma sėkmingai išreikšti bendrąjį sprendimą? Gali. Iš abiejų pusių pakabiname logaritmus. Kadangi jie yra teigiami, modulio ženklai nereikalingi:

(Tikiuosi, kad visi supranta transformaciją, tokius dalykus jau reikėtų žinoti)

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Raskime tam tikrą sprendimą, atitinkantį pateiktą pradinę sąlygą.
Bendrajame sprendime vietoj „X“ pakeičiame nulį, o vietoj „Y“ – dviejų logaritmą:

Labiau pažįstamas dizainas:

Rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendiniu.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkite: Pirmiausia patikrinkime, ar įvykdyta pradinė sąlyga:
- viskas yra gerai.

Dabar patikrinkime, ar rastas konkretus sprendimas iš viso atitinka diferencialinę lygtį. Išvestinio radimas:

Pažvelkime į pradinę lygtį: – jis pateikiamas diferencialais. Yra du būdai patikrinti. Galima išreikšti skirtumą nuo rastos išvestinės:

Rastą konkretų sprendimą ir gautą diferencialą pakeisime pradine lygtimi :

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad konkretus sprendimas buvo rastas teisingai.

Antrasis tikrinimo būdas yra veidrodinis ir labiau pažįstamas: iš lygties Išreikškime išvestinę, kad tai padarytume, visas dalis padaliname iš:

O į transformuotą DE pakeičiame gautą dalinį sprendinį ir rastą išvestinę. Dėl supaprastinimų taip pat turėtų būti pasiekta teisinga lygybė.

6 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Pateikite atsakymą bendrojo integralo forma.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, užbaigti sprendimą ir atsakyti pamokos pabaigoje.

Kokie sunkumai laukia sprendžiant diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais?

1) Ne visada akivaizdu (ypač „arbatinukui“), kad kintamuosius galima atskirti. Panagrinėkime sąlyginį pavyzdį: . Čia reikia išimti veiksnius iš skliaustų: ir atskirti šaknis: . Aišku ką daryti toliau.

2) Sunkumai su pačia integracija. Integralai dažnai nėra patys paprasčiausi, o jei yra trūkumų rasti įgūdžių neapibrėžtas integralas, tada su daugybe difuzorių bus sunku. Be to, logika „kadangi diferencialinė lygtis paprasta, tegul integralai būna sudėtingesni“ yra populiari tarp rinkinių ir mokymo vadovų sudarytojų.

3) Transformacijos su konstanta. Kaip visi pastebėjo, konstanta diferencialinėse lygtyse gali būti tvarkoma gana laisvai, o kai kurios transformacijos ne visada aiškios pradedančiajam. Pažvelkime į kitą sąlyginį pavyzdį: . Patartina visus terminus padauginti iš 2: . Gauta konstanta taip pat yra tam tikra konstanta, kurią galima žymėti taip: . Taip, ir kadangi dešinėje pusėje yra logaritmas, patartina konstantą perrašyti kitos konstantos forma: .

Bėda ta, kad jie dažnai nesivargina su indeksais ir naudoja tą pačią raidę. Dėl to sprendimo įrašas yra tokios formos:

Kokia erezija? Čia yra klaidų! Griežtai kalbant, taip. Tačiau, žiūrint iš esmės, klaidų nėra, nes transformuojant kintamąją konstantą vis tiek gaunama kintamoji konstanta.

Arba kitas pavyzdys, tarkime, kad sprendžiant lygtį gaunamas bendrasis integralas. Šis atsakymas atrodo negražiai, todėl patartina pakeisti kiekvieno termino ženklą: . Formaliai čia yra dar viena klaida – reikia rašyti dešinėje. Tačiau neoficialiai numanoma, kad „minus ce“ vis dar yra pastovus ( kuri taip pat lengvai gali turėti bet kokią reikšmę!), todėl dėti „minusą“ nėra prasmės ir galite naudoti tą pačią raidę.

Stengsiuosi vengti neatsargaus požiūrio, o konvertuojant konstantoms vis tiek priskirti skirtingus indeksus.

7 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Atlikite patikrinimą.

Sprendimas:Ši lygtis leidžia atskirti kintamuosius. Mes atskiriame kintamuosius:

Integruokime:

Nebūtina konstantos čia apibrėžti kaip logaritmą, nes iš to nieko naudingo nebus.

Atsakymas: bendras integralas:

Patikrinkite: išskirkite atsakymą (numanoma funkcija):

Atsikratome trupmenų, padaugindami abu terminus iš:

Gauta pradinė diferencialinė lygtis, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

8 pavyzdys

Raskite konkretų DE sprendimą.
,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Vienintelė užuomina yra ta, kad čia gausite bendrąjį integralą, o teisingiau tariant, turite sugalvoti, kad rastumėte ne konkretų sprendimą, o dalinis integralas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Diferencialinė lygtis yra lygtis, apimanti funkciją ir vieną ar daugiau jos išvestinių. Daugumoje praktinių uždavinių funkcijos vaizduoja fizikinius dydžius, išvestinės atitinka šių dydžių kitimo greitį, o lygtis nustato ryšį tarp jų.

Šiame straipsnyje aptariami tam tikrų tipų paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimo būdai, kurių sprendinius galima parašyti forma elementarios funkcijos, tai yra daugianario, eksponentinės, logaritminės ir trigonometrinės, taip pat jų atvirkštinės funkcijos. Daugelis šių lygčių pasitaiko realiame gyvenime, nors daugumos kitų diferencialinių lygčių šiais metodais išspręsti nepavyksta, o atsakymas joms rašomas specialiųjų funkcijų arba laipsnių eilučių pavidalu arba randamas skaitiniais metodais.

Norėdami suprasti šį straipsnį, turite mokėti diferencialinį ir integralinį skaičiavimą, taip pat šiek tiek suprasti dalines išvestines. Taip pat rekomenduojama žinoti tiesinės algebros pagrindus, taikomus diferencialinėms lygtims, ypač antros eilės diferencialinėms lygtims, nors joms išspręsti pakanka žinių apie diferencialinį ir integralinį skaičiavimą.

Preliminari informacija

• Diferencialinės lygtys turi plačią klasifikaciją. Šiame straipsnyje kalbama apie įprastos diferencialinės lygtys, tai yra apie lygtis, apimančias vieno kintamojo funkciją ir jo išvestines. Paprastąsias diferencialines lygtis daug lengviau suprasti ir išspręsti nei dalinės diferencialinės lygtys, kurie apima kelių kintamųjų funkcijas. Šiame straipsnyje nenagrinėjamos dalinės diferencialinės lygtys, nes šių lygčių sprendimo metodai paprastai nustatomi pagal jų konkrečią formą.
  • Žemiau pateikiami keli įprastų diferencialinių lygčių pavyzdžiai.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Žemiau yra keletas dalinių diferencialinių lygčių pavyzdžių.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\dalinis y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Įsakymas diferencialinės lygties dydis nustatomas pagal didžiausios išvestinės, įtrauktos į šią lygtį, eilę. Pirmoji iš minėtų įprastų diferencialinių lygčių yra pirmos eilės, o antroji – antros eilės lygtis. Laipsnis diferencialinės lygties laipsnis yra didžiausias laipsnis, į kurį pakeliamas vienas iš šios lygties narių.
  • Pavyzdžiui, žemiau esanti lygtis yra trečios eilės ir antrojo laipsnio.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ dešinė)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Diferencialinė lygtis yra tiesinė diferencialinė lygtis tuo atveju, kai funkcija ir visos jos išvestinės yra pirmojo laipsnio. Priešingu atveju lygtis yra netiesinė diferencialinė lygtis. Tiesinės diferencialinės lygtys yra nuostabios tuo, kad jų sprendiniai gali būti naudojami formuojant tiesinius derinius, kurie taip pat bus pateiktos lygties sprendiniai.
  • Žemiau pateikiami keli tiesinių diferencialinių lygčių pavyzdžiai.
  • Žemiau pateikiami keli netiesinių diferencialinių lygčių pavyzdžiai. Pirmoji lygtis yra netiesinė dėl sinuso termino.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Bendras sprendimasĮprasta diferencialinė lygtis nėra unikali, ji apima savavališkos integravimo konstantos. Daugeliu atvejų savavališkų konstantų skaičius yra lygus lygties tvarkai. Praktiškai šių konstantų reikšmės nustatomos remiantis duotomis pradines sąlygas, tai yra, pagal funkcijos ir jos išvestinių vertes x = 0. (\displaystyle x=0.) Pradinių sąlygų, kurias reikia rasti, skaičius privatus sprendimas diferencialinė lygtis, daugeliu atvejų taip pat yra lygi duotosios lygties tvarkai.
  • Pavyzdžiui, šiame straipsnyje bus nagrinėjama toliau pateiktos lygties sprendimas. Tai antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis. Jo bendrame sprendime yra dvi savavališkos konstantos. Norint rasti šias konstantas, būtina žinoti pradines sąlygas x (0) (\displaystyle x(0)) Ir x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Paprastai pradinės sąlygos nurodomos taške x = 0, (\displaystyle x=0,), nors tai nėra būtina. Šiame straipsnyje taip pat bus aptarta, kaip rasti konkrečius sprendimus tam tikroms pradinėms sąlygoms.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Žingsniai

1 dalis

Pirmosios eilės lygtys

Naudojantis šia paslauga, tam tikra informacija gali būti perkelta į „YouTube“.

1. Pirmosios eilės tiesinės lygtys.Šiame skyriuje aptariami tiesinių pirmos eilės diferencialinių lygčių sprendimo būdai bendrais ir ypatingais atvejais, kai kai kurie nariai lygūs nuliui. Apsimeskime tai y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) Ir q (x) (\displaystyle q(x)) yra funkcijos x. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x) = 0.) Pagal vieną iš pagrindinių matematinės analizės teoremų funkcijos išvestinės integralas taip pat yra funkcija. Taigi, norint rasti jos sprendimą, pakanka tiesiog integruoti lygtį. Reikėtų atsižvelgti į tai, kad skaičiuojant neapibrėžtą integralą, atsiranda savavališka konstanta.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x) = 0.) Mes naudojame metodą kintamųjų atskyrimas. Tai perkelia skirtingus kintamuosius į skirtingas lygties puses. Pavyzdžiui, galite perkelti visus narius iš y (\displaystyle y)į vieną, o visi nariai su x (\displaystyle x)į kitą lygties pusę. Nariai taip pat gali būti perkelti d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Ir d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), kurios yra įtrauktos į išvestinių reiškinius, tačiau reikia atsiminti, kad tai tik simbolis, patogus atskiriant sudėtingą funkciją. Šių narių, kurie vadinami, aptarimas diferencialai, nepatenka į šio straipsnio taikymo sritį.

   • Pirmiausia turite perkelti kintamuosius į priešingas lygybės ženklo puses.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integruokime abi lygties puses. Po integravimo abiejose pusėse atsiras savavališkos konstantos, kurias galima perkelti į dešinę lygties pusę.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • 1.1 pavyzdys. Paskutiniame žingsnyje naudojome taisyklę e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) ir pakeistas e C (\displaystyle e^(C))įjungta C (\displaystyle C), nes tai taip pat yra savavališka integravimo konstanta.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(sulygiuotas)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Norėdami rasti bendrą sprendimą, pristatėme integruojantis veiksnys kaip funkcija x (\displaystyle x) kairę pusę redukuoti į bendrą išvestinę ir taip išspręsti lygtį.

   • Padauginkite abi puses iš μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μd y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Norint sumažinti kairę pusę iki bendrosios išvestinės, reikia atlikti šiuos pakeitimus:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Paskutinė lygybė tai reiškia d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Tai yra integruojantis veiksnys, kurio pakanka bet kuriai pirmos eilės tiesinei lygčiai išspręsti. Dabar galime išvesti formulę, kaip išspręsti šią lygtį μ , (\displaystyle \mu ,) nors mokymui pravartu atlikti visus tarpinius skaičiavimus.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • 1.2 pavyzdys.Šis pavyzdys parodo, kaip rasti konkretų diferencialinės lygties sprendimą su nurodytomis pradinėmis sąlygomis.
     • t y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(sulygintas)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(sulygiuotas)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3 = y(2) = 1+(\frac (C) (4)),\quad C = 8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Pirmosios eilės tiesinių lygčių sprendimas (įrašytas Intuit – Nacionalinis atvirasis universitetas).

2. Netiesinės pirmos eilės lygtys. Šiame skyriuje aptariami kai kurių pirmos eilės netiesinių diferencialinių lygčių sprendimo būdai. Nors nėra bendro tokių lygčių sprendimo metodo, kai kurias iš jų galima išspręsti naudojant toliau nurodytus metodus.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Jei funkcija f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) galima suskirstyti į vieno kintamojo funkcijas, tokia lygtis vadinama diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Tokiu atveju galite naudoti aukščiau pateiktą metodą:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • 1.3 pavyzdys.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\) pradėti(sulygiuotas)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(sulygiuotas)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Apsimeskime tai g (x , y) (\displaystyle g(x,y)) Ir h (x , y) (\displaystyle h(x,y)) yra funkcijos x (\displaystyle x) Ir y. (\displaystyle y.) Tada vienalytė diferencialinė lygtis yra lygtis, kurioje g (\displaystyle g) Ir h (\displaystyle h) yra vienarūšės funkcijos tokiu pat laipsniu. Tai yra, funkcijos turi tenkinti sąlygą g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Kur k (\displaystyle k) vadinamas homogeniškumo laipsniu. Tinkama gali būti naudojama bet kokia homogeninė diferencialinė lygtis kintamųjų pakaitalai (v = y / x (\displaystyle v=y/x) arba v = x / y (\displaystyle v=x/y)) konvertuoti į atskiriamą lygtį.

   • 1.4 pavyzdys. Aukščiau pateiktas homogeniškumo aprašymas gali atrodyti neaiškus. Pažvelkime į šią koncepciją su pavyzdžiu.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Pirmiausia reikia pažymėti, kad ši lygtis yra netiesinė y. (\displaystyle y.) Taip pat matome, kad šiuo atveju neįmanoma atskirti kintamųjų. Tuo pačiu metu ši diferencialinė lygtis yra vienalytė, nes ir skaitiklis, ir vardiklis yra vienarūšiai, kurių laipsnis yra 3. Todėl galime pakeisti kintamuosius v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x) ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v) ((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Dėl to turime lygtį v (\displaystyle v) su atskiriamais kintamaisiais.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Tai Bernulio diferencialinė lygtis- ypatingo tipo netiesinė pirmojo laipsnio lygtis, kurios sprendimas gali būti parašytas naudojant elementariąsias funkcijas.

   • Padauginkite abi lygties puses iš (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac () (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Mes naudojame taisyklę sudėtingos funkcijos diferencijavimui kairėje pusėje ir lygtį paverčiame tiesine lygtimi y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) kuriuos galima išspręsti naudojant aukščiau nurodytus metodus.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) = 0.) Tai lygtis bendruose skirtumuose. Būtina rasti vadinamąjį potenciali funkcija φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), kuris tenkina sąlygą d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Norint įvykdyti šią sąlygą, būtina turėti bendra išvestinė. Suminėje išvestinėje atsižvelgiama į priklausomybę nuo kitų kintamųjų. Norėdami apskaičiuoti bendrą išvestinę priemonę φ (\displaystyle \varphi) Autorius x , (\displaystyle x,) manome, kad y (\displaystyle y) taip pat gali priklausyti nuo x. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Sąlygų palyginimas mums suteikia M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Ir N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Tai yra tipiškas rezultatas kelių kintamųjų lygtims, kuriose lygiųjų funkcijų mišrios išvestinės yra lygios viena kitai. Kartais šis atvejis vadinamas Clairaut teorema. Šiuo atveju diferencialinė lygtis yra visa diferencialinė lygtis, jei įvykdoma ši sąlyga:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Suminių diferencialų lygčių sprendimo būdas yra panašus į potencialių funkcijų suradimą esant kelioms išvestinėms, kurias trumpai aptarsime. Pirmiausia integruokime M (\displaystyle M) Autorius x. (\displaystyle x.) Nes M (\displaystyle M) yra funkcija ir x (\displaystyle x), Ir y , (\displaystyle y,) integruodami gauname nepilną funkciją φ , (\displaystyle \varphi ,) paskirtas kaip φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Rezultatas taip pat priklauso nuo y (\displaystyle y) integravimo konstanta.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Po to, norint gauti c (y) (\displaystyle c(y)) galime imti gautos funkcijos dalinę išvestinę atžvilgiu y , (\displaystyle y,) sulyginti rezultatą N (x , y) (\displaystyle N(x,y)) ir integruoti. Taip pat pirmiausia galite integruoti N (\displaystyle N), o tada paimkite dalinę išvestinę x (\displaystyle x), kuri leis jums rasti savavališką funkciją d(x). (\displaystyle d(x).) Tinka abu būdai, dažniausiai integravimui pasirenkama paprastesnė funkcija.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) dalinis (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • 1.5 pavyzdys. Galite paimti dalines išvestines ir pamatyti, kad žemiau pateikta lygtis yra visa diferencialinė lygtis.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(sulygintas)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\dalinis \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(sulyginta)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Jei diferencialinė lygtis nėra visuminė diferencialinė lygtis, kai kuriais atvejais galite rasti integravimo koeficientą, leidžiantį konvertuoti ją į bendrą diferencialinę lygtį. Tačiau tokios lygtys retai naudojamos praktikoje, nors ir integruojantis veiksnys egzistuoja, pasitaiko, kad jį randa nelengva, todėl šios lygtys šiame straipsnyje nenagrinėjamos.

2 dalis

Antros eilės lygtys

1. Homogeninės tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais.Šios lygtys plačiai naudojamos praktikoje, todėl jų sprendimas yra itin svarbus. Šiuo atveju kalbame ne apie vienarūšes funkcijas, o apie tai, kad lygties dešinėje pusėje yra 0 Kitas skyrius parodys, kaip išspręsti atitinkamą nevienalytis diferencialines lygtis. Žemiau a (\displaystyle a) Ir b (\displaystyle b) yra konstantos.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Charakteristinė lygtis. Ši diferencialinė lygtis yra nuostabi tuo, kad ją galima labai lengvai išspręsti, jei atkreipsite dėmesį į tai, kokias savybes turėtų turėti jos sprendimai. Iš lygties aišku, kad y (\displaystyle y) o jo išvestinės yra proporcingos viena kitai. Iš ankstesnių pavyzdžių, kurie buvo aptarti skyriuje apie pirmosios eilės lygtis, žinome, kad šią savybę turi tik eksponentinė funkcija. Todėl galima pateikti ansatz(išsamus spėjimas) apie tai, koks bus duotosios lygties sprendimas.

   • Sprendimas turės eksponentinės funkcijos formą e r x , (\displaystyle e^(rx),) Kur r (\displaystyle r) yra konstanta, kurios reikšmę reikia rasti. Pakeiskite šią funkciją į lygtį ir gaukite tokią išraišką
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Ši lygtis rodo, kad eksponentinės funkcijos ir daugianario sandauga turi būti lygi nuliui. Yra žinoma, kad jokioms laipsnio reikšmėms eksponentas negali būti lygus nuliui. Iš to darome išvadą, kad daugianario lygus nuliui. Taigi, mes sumažinome diferencialinės lygties sprendimo užduotį iki daug paprastesnės algebrinės lygties sprendimo problemos, kuri vadinama būdingąja tam tikros diferencialinės lygties lygtimi.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Turime dvi šaknis. Kadangi ši diferencialinė lygtis yra tiesinė, jos bendras sprendimas yra tiesinis dalinių sprendinių derinys. Kadangi tai yra antros eilės lygtis, žinome, kad taip yra tikrai bendras sprendimas, o kitų nėra. Griežtesnis to pagrindimas yra teoremos apie sprendimo egzistavimą ir unikalumą, kurias galima rasti vadovėliuose.
   • Naudingas būdas patikrinti, ar du sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi, yra apskaičiuoti Vronskiana. Vronskis W (\displaystyle W) yra matricos, kurios stulpeliuose yra funkcijos ir nuoseklios jų išvestinės, determinantas. Tiesinės algebros teorema teigia, kad funkcijos, įtrauktos į Vronskį, yra tiesiškai priklausomos, jei Vronskis yra lygus nuliui. Šiame skyriuje galime patikrinti, ar du sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi – kad tai padarytume, turime įsitikinti, kad Wronskianas nėra nulis. Vronskis svarbus sprendžiant nehomogenines diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais kintamų parametrų metodu.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Kalbant apie tiesinę algebrą, visų duotosios diferencialinės lygties sprendinių aibė sudaro vektorinę erdvę, kurios matmuo yra lygus diferencialinės lygties tvarkai. Šioje erdvėje galima pasirinkti pagrindą tiesiškai nepriklausomas sprendimus vienas nuo kito. Tai įmanoma dėl to, kad funkcija y (x) (\displaystyle y(x)) galioja linijinis operatorius. Darinys yra tiesinis operatorius, nes jis paverčia diferencijuojamų funkcijų erdvę į visų funkcijų erdvę. Lygtys vadinamos vienarūšėmis tais atvejais, kai bet kuriam tiesiniam operatoriui L (\displaystyle L) turime rasti lygties sprendimą L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Dabar pereikime prie kelių konkrečių pavyzdžių. Kelių charakteristikų lygties šaknų atvejį apsvarstysime šiek tiek vėliau, skyrelyje apie eilės mažinimą.

   Jei šaknys r ± (\displaystyle r_(\pm )) yra skirtingi realieji skaičiai, diferencialinė lygtis turi tokį sprendimą

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Dvi sudėtingos šaknys. Iš pagrindinės algebros teoremos išplaukia, kad polinominių lygčių sprendiniai su realiaisiais koeficientais turi realias šaknis arba sudaro konjuguotas poras. Todėl jei kompleksinis skaičius r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) tada yra charakteristikos lygties šaknis r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) taip pat yra šios lygties šaknis. Taigi sprendimą galime parašyti formoje c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) tačiau tai yra sudėtingas skaičius ir nepageidautinas sprendžiant praktines problemas.

   • Vietoj to galite naudoti Eulerio formulė e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), kuri leidžia rašyti sprendimą trigonometrinių funkcijų forma:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Dabar galite vietoj konstantos c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) užsirašyti c 1 (\displaystyle c_(1)), ir išraiška i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) pakeistas c 2 . (\displaystyle c_(2).) Po to gauname tokį sprendimą:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • Yra ir kitas būdas rašyti sprendimą amplitudės ir fazės forma, kuris geriau tinka fizikos uždaviniams.
   • 2.1 pavyzdys. Raskime toliau pateiktos diferencialinės lygties sprendimą su nurodytomis pradinėmis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, turite paimti gautą tirpalą, taip pat jo vedinys, ir pakeiskite jas į pradines sąlygas, kurios leis mums nustatyti savavališkas konstantas.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\rodymo stilius x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin (lygiuotas)x"(t)&=-(\frac (3) (2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end (sulyginta)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1 =-(\frac (3) (2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   N-osios eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimas (įrašyta Intuit - National Open University).

2. Mažėjanti tvarka. Eilės redukcija yra diferencialinių lygčių sprendimo metodas, kai žinomas vienas tiesiškai nepriklausomas sprendimas. Šis metodas susideda iš lygties eilės sumažinimo vienu, o tai leidžia išspręsti lygtį naudojant ankstesniame skyriuje aprašytus metodus. Tegul sprendimas yra žinomas. Pagrindinė užsakymų mažinimo idėja yra rasti sprendimą žemiau esančioje formoje, kur reikia apibrėžti funkciją v (x) (\displaystyle v(x)), pakeičiant jį į diferencialinę lygtį ir surandant v(x). (\displaystyle v(x).) Pažiūrėkime, kaip eilės mažinimas gali būti naudojamas sprendžiant diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais ir keliomis šaknimis.

   
   

   Kelios šaknys vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Prisiminkite, kad antros eilės lygtis turi turėti du tiesiškai nepriklausomus sprendinius. Jei charakteristikos lygtis turi kelias šaknis, sprendinių aibė Ne sudaro erdvę, nes šie sprendimai yra tiesiškai priklausomi. Šiuo atveju, norint rasti antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą, būtina naudoti eilės mažinimą.

   • Tegul būdingoji lygtis turi kelias šaknis r (\displaystyle r). Tarkime, kad antrasis sprendimas gali būti parašytas formoje y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), ir pakeiskite jį į diferencialinę lygtį. Šiuo atveju dauguma terminų, išskyrus terminą su antrąja funkcijos išvestine v , (\displaystyle v,) bus sumažintas.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • 2.2 pavyzdys. Pateikiame tokią lygtį, kuri turi kelias šaknis r = – 4. (\displaystyle r=-4.) Keitimo metu dauguma terminų sumažinami.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\pabaiga (sulygiuota)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(sulygintas )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(sulygintas)))
   • Panašiai kaip mūsų ansatz diferencialinei lygčiai su pastoviais koeficientais, šiuo atveju tik antroji išvestinė gali būti lygi nuliui. Integruojame du kartus ir gauname norimą išraišką v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Tada bendras diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimas tuo atveju, kai charakteristinė lygtis turi kelias šaknis, gali būti parašytas tokia forma. Patogumui galite prisiminti, kad norint gauti tiesinę nepriklausomybę, pakanka tiesiog padauginti antrąjį terminą iš x (\displaystyle x). Šis sprendinių rinkinys yra tiesiškai nepriklausomas, todėl mes radome visus šios lygties sprendimus.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Užsakymo sumažinimas taikomas, jei sprendimas žinomas y 1 (x) (\displaystyle y_ (1) (x)), kurį galima rasti arba pateikti problemos teiginyje.

   • Mes ieškome sprendimo formoje y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1) (x)) ir pakeiskite ją į šią lygtį:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Nes y 1 (\displaystyle y_(1)) yra diferencialinės lygties sprendimas, visi terminai su v (\displaystyle v) yra mažinami. Galų gale tai lieka pirmos eilės tiesinė lygtis. Norėdami tai matyti aiškiau, pakeiskime kintamuosius w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Jei integralus galima apskaičiuoti, bendrąjį sprendimą gauname kaip elementariųjų funkcijų derinį. Priešingu atveju sprendimas gali būti paliktas vientisa forma.

3. Koši-Eulerio lygtis. Koši-Eulerio lygtis yra antros eilės diferencialinės lygties su kintamieji koeficientai, kurie turi tikslius sprendinius. Ši lygtis naudojama praktikoje, pavyzdžiui, sprendžiant Laplaso lygtį sferinėmis koordinatėmis.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Charakteristinė lygtis. Kaip matote, šioje diferencialinėje lygtyje kiekvienas narys turi galios koeficientą, kurio laipsnis yra lygus atitinkamos išvestinės eilės tvarkai.

   • Taigi, galite pabandyti ieškoti sprendimo formoje y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) kur būtina nustatyti n (\displaystyle n), kaip ir mes ieškojome sprendinio tiesinės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais eksponentinės funkcijos pavidalu. Po diferenciacijos ir pakeitimo gauname
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Norėdami naudoti charakteringą lygtį, turime manyti, kad x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Taškas x = 0 (\displaystyle x=0) paskambino taisyklingas vienaskaitos taškas diferencialinė lygtis. Tokie taškai svarbūs sprendžiant diferencialines lygtis naudojant laipsnio eilutes. Ši lygtis turi dvi šaknis, kurios gali būti skirtingos ir tikrosios, daugybinės arba sudėtingos konjuguotos.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)

   Dvi skirtingos tikrosios šaknys. Jei šaknys n ± (\displaystyle n_(\pm )) yra tikri ir skirtingi, tada diferencialinės lygties sprendimas turi tokią formą:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Dvi sudėtingos šaknys. Jei charakteristikos lygtis turi šaknis n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), sprendimas yra sudėtinga funkcija.

   • Norėdami transformuoti sprendimą į realią funkciją, pakeičiame kintamuosius x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) tai yra t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) ir naudokite Eilerio formulę. Panašūs veiksmai buvo atlikti anksčiau nustatant savavališkas konstantas.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Tada bendrą sprendimą galima parašyti kaip
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Kelios šaknys. Norint gauti antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą, reikia dar kartą sumažinti tvarką.

   • Skaičiuoti reikia nemažai, tačiau principas išlieka tas pats: pakeičiame y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))į lygtį, kurios pirmasis sprendinys yra y 1 (\displaystyle y_(1)). Po redukcijos gaunama tokia lygtis:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Tai yra pirmos eilės tiesinė lygtis v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Jo sprendimas yra v (x) = c 1 + c 2 ln⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Taigi sprendimas gali būti parašytas tokia forma. Tai gana lengva prisiminti - norint gauti antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą, tiesiog reikia papildomo termino ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Nehomogeninės tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais. Nehomogeninės lygtys turi formą L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Kur f (x) (\displaystyle f(x))- vadinamasis nemokamas narys. Remiantis diferencialinių lygčių teorija, bendras šios lygties sprendimas yra superpozicija privatus sprendimas y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Ir papildomas sprendimas y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Tačiau šiuo atveju konkretus sprendimas reiškia ne pradinių sąlygų pateiktą sprendimą, o sprendimą, kurį lemia heterogeniškumo buvimas (laisvas terminas). Papildomas sprendimas yra atitinkamos vienalytės lygties sprendimas, kurioje f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Bendras sprendimas yra šių dviejų sprendimų superpozicija, nes L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), ir nuo to laiko L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) tokia superpozicija iš tiesų yra bendras sprendimas.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Neapibrėžtų koeficientų metodas. Neapibrėžtų koeficientų metodas naudojamas tais atvejais, kai pertraukos narys yra eksponentinių, trigonometrinių, hiperbolinių ar laipsnių funkcijų derinys. Garantuojama, kad tik šios funkcijos turės baigtinį tiesiškai nepriklausomų išvestinių skaičių. Šiame skyriuje rasime konkretų lygties sprendimą.

   • Palyginkime terminus f (x) (\displaystyle f(x)) su terminais nekreipiant dėmesio į nuolatinius veiksnius. Galimi trys atvejai.
     • Nėra dviejų vienodų narių.Šiuo atveju konkretus sprendimas y p (\displaystyle y_(p)) bus linijinis terminų derinys iš y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) yra narys x n (\displaystyle x^(n)) ir narys iš y c , (\displaystyle y_(c),) Kur n (\displaystyle n) yra nulis arba teigiamas sveikasis skaičius, ir šis terminas atitinka atskirą charakteringos lygties šaknį. Tokiu atveju y p (\displaystyle y_(p)) sudarys iš funkcijų derinio x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) jo tiesiškai nepriklausomi dariniai, taip pat kiti terminai f (x) (\displaystyle f(x)) ir jų tiesiškai nepriklausomi dariniai.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) yra narys h (x) , (\displaystyle h(x),) kuris yra kūrinys x n (\displaystyle x^(n)) ir narys iš y c , (\displaystyle y_(c),) Kur n (\displaystyle n) lygus 0 arba teigiamam sveikajam skaičiui, ir šis terminas atitinka daugkartinis charakteristikos lygties šaknis. Tokiu atveju y p (\displaystyle y_(p)) yra tiesinis funkcijos derinys x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Kur s (\displaystyle s)- šaknies dauginys) ir jos tiesiškai nepriklausomi dariniai, taip pat kiti funkcijos nariai f (x) (\displaystyle f(x)) ir jo tiesiškai nepriklausomi dariniai.
   • Užsirašykime y p (\displaystyle y_(p)) kaip linijinis aukščiau išvardytų terminų derinys. Dėl šių koeficientų tiesiniame derinyje šis metodas vadinamas „neapibrėžtų koeficientų metodu“. Kai yra y c (\displaystyle y_(c)) nariai gali būti atmesti dėl savavališkų konstantų buvimo y c . (\displaystyle y_(c).) Po to mes pakeičiame y p (\displaystyle y_(p))į lygtį ir sulyginkite panašius terminus.
   • Mes nustatome koeficientus. Šiame etape gaunama algebrinių lygčių sistema, kurią dažniausiai galima išspręsti be jokių problemų. Šios sistemos sprendimas leidžia mums gauti y p (\displaystyle y_(p)) ir taip išspręskite lygtį.
   • 2.3 pavyzdys. Panagrinėkime nehomogeninę diferencialinę lygtį, kurios laisvasis narys turi baigtinį skaičių tiesiškai nepriklausomų išvestinių. Ypatingą tokios lygties sprendimą galima rasti neapibrėžtų koeficientų metodu.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t) = Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(sulygintas)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ pabaiga (atvejai)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagranžo metodas. Lagranžo metodas arba savavališkų konstantų kitimo metodas yra bendresnis nehomogeninių diferencialinių lygčių sprendimo metodas, ypač tais atvejais, kai pertraukos narys neturi baigtinio skaičiaus tiesiškai nepriklausomų išvestinių. Pavyzdžiui, su nemokamomis sąlygomis tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) arba x − n (\displaystyle x^(-n)) norint rasti konkretų sprendimą, būtina naudoti Lagranžo metodą. Lagranžo metodas netgi gali būti naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis su kintamaisiais koeficientais, nors šiuo atveju, išskyrus Cauchy-Eulerio lygtį, jis naudojamas rečiau, nes papildomas sprendimas paprastai neišreiškiamas elementariomis funkcijomis.

   • Tarkime, kad sprendimas turi tokią formą. Jo išvestinė pateikta antroje eilutėje.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2) (x) y_ (2) (x))
     • y ′ = v 1 y 1 + v 1 y 1 + v 2 y 2 + v 2 y 2 (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Kadangi siūlomame sprendime yra du nežinomi kiekiai, būtina nustatyti papildomas sąlyga. Pasirinkime šią papildomą sąlygą tokia forma:
     • v 1 "y 1 + v 2" y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2) = 0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y"" = v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)"+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)")
   • Dabar galime gauti antrą lygtį. Pakeitę ir perskirstę narius, galite sugrupuoti narius su 1 versija (\displaystyle v_(1)) ir nariai su 2 versija (\displaystyle v_(2)). Šie terminai mažinami, nes y 1 (\displaystyle y_(1)) Ir y 2 (\displaystyle y_ (2)) yra atitinkamos vienalytės lygties sprendiniai. Dėl to gauname tokią lygčių sistemą
     • v 1 ′ y 1 + v 2 y 2 = 0 v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\pabaiga (sulygiuota)))
   • Šią sistemą galima paversti formos matricine lygtimi A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kurio sprendimas yra x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Dėl matricos 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) atvirkštinė matrica randama dalijant iš determinanto, pertvarkant įstrižainės elementus ir keičiant neįstrižainių elementų ženklą. Tiesą sakant, šios matricos determinantas yra Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Išraiškos, skirtos 1 versija (\displaystyle v_(1)) Ir 2 versija (\displaystyle v_(2)) pateikiami žemiau. Kaip ir eiliškumo mažinimo metodu, šiuo atveju integravimo metu atsiranda savavališka konstanta, kuri apima papildomą sprendinį bendrame diferencialinės lygties sprendime.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1) (x)=-\int (\frac (1) (W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2) (x)=\int (\frac (1) (W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Nacionalinio atvirojo universiteto „Intuit“ paskaita „N-osios eilės tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais“.

Praktinis naudojimas

Diferencialinės lygtys nustato ryšį tarp funkcijos ir vienos ar kelių jos išvestinių. Kadangi tokie ryšiai yra labai dažni, diferencialinės lygtys buvo plačiai taikomos įvairiose srityse, o kadangi gyvename keturiose dimensijose, šios lygtys dažnai yra diferencialinės lygtys. privatus dariniai. Šiame skyriuje aprašomos kai kurios svarbiausios tokio tipo lygtys.

• Eksponentinis augimas ir nykimas. Radioaktyvusis skilimas. Sudėtinės palūkanos. Cheminių reakcijų greitis. Vaistų koncentracija kraujyje. Neribotas gyventojų skaičiaus augimas. Niutono-Richmanno dėsnis. Realiame pasaulyje yra daug sistemų, kuriose augimo arba nykimo greitis bet kuriuo metu yra proporcingas kiekiui tam tikru metu arba gali būti gerai apytikslis modeliu. Taip yra todėl, kad duotosios diferencialinės lygties sprendimas, eksponentinė funkcija, yra viena iš svarbiausių matematikos ir kitų mokslų funkcijų. Apskritai, kontroliuojant populiacijos augimą, sistemoje gali būti papildomų terminų, kurie riboja augimą. Žemiau pateiktoje lygtyje konstanta k (\displaystyle k) gali būti didesnis arba mažesnis už nulį.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmoninės vibracijos. Tiek klasikinėje, tiek kvantinėje mechanikoje harmoninis osciliatorius yra viena iš svarbiausių fizinių sistemų dėl savo paprastumo ir plataus pritaikymo aproksimuojant sudėtingesnes sistemas, tokias kaip paprasta švytuoklė. Klasikinėje mechanikoje harmoninės vibracijos apibūdinamos lygtimi, kuri pagal Huko dėsnį susieja materialaus taško padėtį su jo pagreičiu. Šiuo atveju taip pat galima atsižvelgti į slopinimą ir varomąsias jėgas. Žemiau pateiktoje išraiškoje x ˙ (\displaystyle (\taškas (x)))- laiko išvestinė iš x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )- parametras, apibūdinantis slopinimo jėgą, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- sistemos kampinis dažnis, F (t) (\displaystyle F(t))- nuo laiko priklausoma varomoji jėga. Harmoninis osciliatorius taip pat yra elektromagnetinėse virpesių grandinėse, kur jis gali būti įgyvendintas tiksliau nei mechaninėse sistemose.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\taškas (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Besselio lygtis. Besselio diferencialinė lygtis naudojama daugelyje fizikos sričių, įskaitant bangų lygčių, Laplaso lygčių ir Šriodingerio lygčių sprendimą, ypač esant cilindrinei arba sferinei simetrijai. Ši antros eilės diferencialinė lygtis su kintamaisiais koeficientais nėra Cauchy-Eulerio lygtis, todėl jos sprendiniai negali būti užrašyti kaip elementarios funkcijos. Beselio lygties sprendiniai yra Beselio funkcijos, kurios yra gerai ištirtos dėl jų taikymo daugelyje sričių. Žemiau pateiktoje išraiškoje α (\displaystyle \alpha )- atitinkanti konstanta tvarka Beselio funkcijos.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maksvelo lygtys. Kartu su Lorenco jėga Maksvelo lygtys sudaro klasikinės elektrodinamikos pagrindą. Tai yra keturios elektrinės dalinės diferencialinės lygtys E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) ir magnetinis B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) laukai. Toliau pateiktose išraiškose ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- įkrovos tankis, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- srovės tankis ir ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Ir μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- atitinkamai elektrinės ir magnetinės konstantos.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle\c)\dotnabla(sulygiuotas (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(sulyginta)))
• Šriodingerio lygtis. Kvantinėje mechanikoje Schrödingerio lygtis yra pagrindinė judėjimo lygtis, nusakanti dalelių judėjimą pagal banginės funkcijos pasikeitimą. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) su laiku. Judėjimo lygtis apibūdinama elgesiu Hamiltono H^(\displaystyle (\kepurė (H))) - operatorius, kuris apibūdina sistemos energiją. Vienas iš gerai žinomų Schrödingerio lygties pavyzdžių fizikoje yra lygtis vienai nereliatyvistinei dalelei, kuriai taikomas potencialas. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Daugelis sistemų aprašomos nuo laiko priklausoma Schrödingerio lygtimi, o kairėje lygties pusėje yra E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Kur E (\displaystyle E)- dalelių energija. Toliau pateiktose išraiškose ℏ (\displaystyle \hbar )- sumažinta Planko konstanta.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Bangos lygtis. Fizika ir technologijos neįsivaizduojamos be bangų, jų yra visų tipų sistemose. Apskritai bangos apibūdinamos žemiau pateikta lygtimi, kurioje u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) yra norima funkcija ir c (\displaystyle c)- eksperimentiškai nustatyta konstanta. d'Alembertas pirmasis atrado, kad vienmačio atvejo bangos lygties sprendimas yra bet koks funkcija su argumentu x − c t (\displaystyle x-ct), kuris apibūdina savavališkos formos bangą, sklindančią į dešinę. Bendras vienmačio atvejo sprendimas yra šios funkcijos tiesinis derinys su antrąja funkcija su argumentu x + c t (\displaystyle x+ct), kuris apibūdina bangą, sklindančią į kairę. Šis sprendimas pateikiamas antroje eilutėje.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes lygtys. Navier-Stokes lygtys apibūdina skysčių judėjimą. Kadangi skysčių yra beveik visose mokslo ir technologijų srityse, šios lygtys itin svarbios prognozuojant orus, projektuojant orlaivius, tiriant vandenyno sroves ir sprendžiant daugelį kitų taikomų problemų. Navier-Stokes lygtys yra netiesinės dalinės diferencialinės lygtys ir daugeliu atvejų jas labai sunku išspręsti, nes netiesiškumas sukelia turbulenciją, o norint gauti stabilų sprendimą skaitmeniniais metodais, reikia skaidyti į labai mažas ląsteles, o tam reikia didelės skaičiavimo galios. Praktiniais hidrodinamikos tikslais turbulentiniams srautams modeliuoti naudojami tokie metodai kaip laiko vidurkis. Netgi pagrindiniai klausimai, tokie kaip netiesinių dalinių diferencialinių lygčių sprendinių egzistavimas ir unikalumas, yra sudėtingi, o Navier-Stokes lygčių trijų dimensijų sprendimo egzistavimo ir unikalumo įrodymas yra viena iš tūkstantmečio matematinių problemų. Žemiau yra nesuspaudžiamo skysčio srauto lygtis ir tęstinumo lygtis.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (u)bf (u)b )(\dalinis t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Daugelio diferencialinių lygčių paprasčiausiai negalima išspręsti naudojant aukščiau nurodytus metodus, ypač tuos, kurie paminėti paskutiniame skyriuje. Tai taikoma tais atvejais, kai lygtis turi kintamuosius koeficientus ir nėra Cauchy-Eulerio lygtis arba kai lygtis yra netiesinė, išskyrus keletą labai retų atvejų. Tačiau minėti metodai gali išspręsti daugybę svarbių diferencialinių lygčių, su kuriomis dažnai susiduriama įvairiose mokslo srityse.
• Skirtingai nuo diferenciacijos, kuri leidžia rasti bet kurios funkcijos išvestinę, daugelio išraiškų integralas negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis. Taigi negaiškite laiko bandydami apskaičiuoti integralą ten, kur tai neįmanoma. Pažvelkite į integralų lentelę. Jei diferencialinės lygties sprendinys negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis, kartais jis gali būti pavaizduotas integralo forma, ir šiuo atveju nesvarbu, ar šį integralą galima apskaičiuoti analitiškai.

Įspėjimai

• Išvaizda diferencialinė lygtis gali būti klaidinanti. Pavyzdžiui, žemiau pateiktos dvi pirmos eilės diferencialinės lygtys. Pirmąją lygtį galima lengvai išspręsti naudojant šiame straipsnyje aprašytus metodus. Iš pirmo žvilgsnio nedidelis pakeitimas y (\displaystyle y)įjungta y 2 (\displaystyle y^(2)) antroje lygtyje jis tampa netiesinis ir tampa labai sunkiai išsprendžiamas.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Paprastoji diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą šio kintamojo funkciją ir įvairios eilės jo išvestinius (arba diferencialus).

Diferencialinės lygties tvarka vadinamas aukščiausios jame esančios išvestinės eilės tvarka.

Be įprastų, tiriamos ir dalinės diferencialinės lygtys. Tai lygtys, susijusios su nepriklausomais kintamaisiais, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir jos dalinės išvestinės tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.

Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) lygtys yra antros eilės, (5) lygtis yra pirmos eilės.

Diferencialinė lygtis n eilėje nebūtinai turi būti aiški funkcija, visos jos išvestinės nuo pirmosios iki n-osios eilės ir nepriklausomas kintamasis. Jame negali būti aiškiai tam tikros eilės išvestinių, funkcijos ar nepriklausomo kintamojo.

Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijos; (2) lygtyje - antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje – nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtyje yra aiškiai visos išvestinės, funkcija ir nepriklausomas kintamasis.

Diferencialinės lygties sprendimas kiekviena funkcija vadinama y = f(x), pakeitus į lygtį, ji virsta tapatybe.

Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas jo integracija.

1 pavyzdys. Raskite diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Parašykime šią lygtį į formą . Sprendimas yra surasti funkciją iš jos išvestinės. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinio skaičiavimo, yra antiderivatinė, t.y.

Štai kas yra šios diferencialinės lygties sprendimas . Keistis joje C, gausime skirtingus sprendimus. Išsiaiškinome, kad pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendinių yra be galo daug.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas n eilė yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir turintis n nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.

1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.

Diferencialinės lygties dalinis sprendimas vadinamas sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

2 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir konkretų sprendimą .

Sprendimas. Integruokime abi lygties puses tiek kartų, kiek lygi diferencialinės lygties tvarkai.

,

.

Dėl to gavome bendrą sprendimą -

pateiktos trečios eilės diferencialinės lygties.

Dabar suraskime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite jų reikšmes vietoj savavališkų koeficientų ir gaukite

.

Jei, be diferencialinės lygties, pradinė sąlyga pateikiama forma , tada tokia problema vadinama Cauchy problema . Pakeiskite reikšmes ir į bendrąjį lygties sprendimą ir raskite savavališkos konstantos reikšmę C, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas C. Tai yra Koši problemos sprendimas.

3 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai iš 1 pavyzdžio subjekto iki .

Sprendimas. Pradinės sąlygos reikšmes pakeisime bendruoju sprendimu y = 3, x= 1. Gauname

Užrašome šios pirmos eilės diferencialinės lygties Koši uždavinio sprendimą:

Norint išspręsti diferencialines lygtis, net ir pačias paprasčiausias, reikia gerų integravimo ir išvestinių įgūdžių, įskaitant sudėtingas funkcijas. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.

4 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Lygtis parašyta tokia forma, kad galėtumėte iškart integruoti abi puses.

.

Taikome integravimo keičiant kintamąjį metodą (pakeitimą). Tebūnie tada.

Privaloma paimti dx o dabar – dėmesys – tai darome pagal kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisykles, kadangi x ir yra sudėtinga funkcija („obuolys“ yra kvadratinės šaknies ištraukimas arba, kas yra tas pats, padidinimas iki „pusės“, o „malta mėsa“ yra pati išraiška po šaknimi):

Mes randame integralą:

Grįžtant prie kintamojo x, mes gauname:

.

Tai yra bendras šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties sprendimas.

Sprendžiant diferencialines lygtis reikės ne tik ankstesnių aukštosios matematikos skyrių įgūdžių, bet ir pradinės, tai yra mokyklinės matematikos. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, ty kintamojo x. Išspręsti šią problemą padės mokyklos žinios apie proporcijas, kurios nebuvo pamirštos (tačiau, priklausomai nuo to, kas). Tai yra kitas pavyzdys.

Arba jau buvo išspręstos dėl išvestinės išvestinės priemonės, arba jos gali būti išspręstos atsižvelgiant į išvestinę priemonę .

Bendras intervalo tipo diferencialinių lygčių sprendimas X, kuris pateiktas, galima rasti imant abiejų šios lygybės pusių integralą.

Mes gauname .

Jei pažvelgsime į neapibrėžto integralo savybes, rasime norimą bendrą sprendimą:

y = F(x) + C,

Kur F(x)- viena iš primityvių funkcijų f(x) tarp X, A SU- savavališka konstanta.

Atkreipkite dėmesį, kad daugumoje problemų intervalas X nenurodyti. Tai reiškia, kad sprendimas turi būti rastas kiekvienam. x, kuriai ir norima funkcija y, o pradinė lygtis turi prasmę.

Jei reikia apskaičiuoti tam tikrą diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkina pradinę sąlygą y(x 0) = y 0, tada apskaičiavus bendrąjį integralą y = F(x) + C, vis tiek reikia nustatyti konstantos reikšmę C = C 0, naudojant pradinę sąlygą. Tai yra, konstanta C = C 0 nustatoma iš lygties F(x 0) + C = y 0, o norimas dalinis diferencialinės lygties sprendimas bus toks:

y = F(x) + C 0.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Raskime bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir patikrinkime rezultato teisingumą. Raskime konkretų šios lygties sprendimą, kuris patenkintų pradinę sąlygą.

Sprendimas:

Integravę pateiktą diferencialinę lygtį, gauname:

.

Paimkime šį integralą naudodami integravimo dalimis metodą:

Tai., yra bendras diferencialinės lygties sprendimas.

Norėdami įsitikinti, kad rezultatas yra teisingas, patikrinkite. Norėdami tai padaryti, rastą sprendimą pakeičiame į pateiktą lygtį:

.

Tai yra, kada pradinė lygtis virsta tapatybe:

todėl bendras diferencialinės lygties sprendinys buvo nustatytas teisingai.

Mūsų rastas sprendimas yra bendras kiekvienos tikrosios argumento vertės diferencialinės lygties sprendimas x.

Belieka apskaičiuoti konkretų ODE sprendimą, kuris atitiktų pradinę sąlygą. Kitaip tariant, reikia apskaičiuoti konstantos reikšmę SU, kurioje lygybė bus teisinga:

.

.

Tada, pakeičiant C = 2Į bendrą ODE sprendimą gauname konkretų diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkina pradinę sąlygą:

.

Paprastoji diferencialinė lygtis išvestinę galima išspręsti 2 lygties puses padalijus iš f(x). Ši transformacija bus lygiavertė, jei f(x) jokiomis aplinkybėmis nevirsta į nulį x nuo diferencialinės lygties integravimo intervalo X.

Tikėtinos situacijos, kai dėl kai kurių argumento vertybių x ∈ X funkcijas f(x) Ir g(x) kartu tapti nuliu. Dėl panašių vertybių x bendrasis diferencialinės lygties sprendimas yra bet kuri funkcija y, kuris juose apibrėžtas, nes .

Jei kai kurioms argumentų reikšmėms x ∈ X sąlyga yra įvykdyta, o tai reiškia, kad šiuo atveju ODE neturi sprendimų.

Visiems kitiems x nuo intervalo X iš transformuotos lygties nustatomas bendrasis diferencialinės lygties sprendinys.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

1 pavyzdys.

Raskime bendrą ODE sprendimą: .

Sprendimas.

Iš pagrindinių elementariųjų funkcijų savybių aišku, kad natūralaus logaritmo funkcija yra apibrėžta neneigiamoms argumento reikšmėms, todėl išraiškos apibrėžimo sritis ln(x+3) yra intervalas x > -3 . Tai reiškia, kad pateikta diferencialinė lygtis yra prasminga x > -3 . Šioms argumentų reikšmėms išraiška x+3 neišnyksta, todėl išvestinės ODE galite išspręsti padalydami 2 dalis iš x + 3.

Mes gauname .

Toliau integruojame gautą diferencialinę lygtį, išspręstą atsižvelgiant į išvestinę: . Norėdami paimti šį integralą, naudojame metodą, kai jį įtraukiame po diferencialo ženklu.