O senovės egiptiečiai naudojo įvairių figūrų plotų skaičiavimo metodus, panašius į mūsų metodus.
Mano knygose "Pradžia" garsus senovės graikų matematikas Euklidas aprašė gana didelis skaičius daugelio plotų apskaičiavimo metodai geometrines figūras. Pirmieji rankraščiai Rusijoje su geometrine informacija buvo parašyti XVI a. Juose aprašomos įvairių formų figūrų plotų radimo taisyklės.
Šiandien su pagalba šiuolaikiniai metodai galite labai tiksliai rasti bet kurios figūros plotą.
Panagrinėkime vieną iš paprasčiausių figūrų – stačiakampį – ir jo ploto nustatymo formulę.
Stačiakampio ploto formulė
Panagrinėkime figūrą (1 pav.), kurią sudaro $8$ kvadratai, kurių kraštinės yra $1$ cm. Vieno kvadrato, kurio kraštinė yra $1$ cm, plotas yra vadinamas kvadratiniu centimetru ir parašytas $1\ cm^2. $.
Šios figūros plotas (1 pav.) bus lygus $8\cm^2$.
Figūros, kurią galima padalyti į kelis kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$ (pavyzdžiui, $p$), plotas bus lygus $p\ cm^2$.
Kitaip tariant, figūros plotas bus lygus tiek $cm^2$, į kiek kvadratų, kurių kraštinė yra $1\ cm$, šią figūrą galima padalyti.
Panagrinėkime stačiakampį (2 pav.), kurį sudaro $3$ juostelės, kurių kiekviena padalinta į $5$ kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$. visas stačiakampis susideda iš $5\cdot 3=15$ tokių kvadratų, o jo plotas yra $15\cm^2$.
1 paveikslas.
2 pav.
Figūrų plotas paprastai žymimas raide $S$.
Norėdami rasti stačiakampio plotą, turite padauginti jo ilgį iš pločio.
Jei jo ilgį pažymėsime raide $a$, o plotį - raide $b$, tada stačiakampio ploto formulė atrodys taip:
1 apibrėžimas
Figūros vadinamos lygus jei, uždėjus viena ant kitos, skaičiai sutampa. Turi vienodus skaičius lygių plotų ir vienodi perimetrai.
Figūros plotą galima rasti kaip jos dalių plotų sumą.
1 pavyzdys
Pavyzdžiui, paveikslėlyje $3$ stačiakampis $ABCD$ yra padalintas į dvi dalis linija $KLMN$. Vienos dalies plotas yra $12\ cm^2$, o kitos - $9\ cm^2$. Tada stačiakampio $ABCD$ plotas bus lygus $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Raskite stačiakampio plotą naudodami formulę:
Kaip matote, abiem metodais rastos sritys yra lygios.
3 pav.
4 pav.
Linijos atkarpa $AC$ padalija stačiakampį į du vienodus trikampius: $ABC$ ir $ADC$. Tai reiškia, kad kiekvieno trikampio plotas yra lygus pusei viso stačiakampio ploto.
2 apibrėžimas
Stačiakampis su lygios pusės paskambino kvadratas.
Jei kvadrato kraštinę pažymime raide $a$, tada kvadrato plotas bus rastas pagal formulę:
Taigi skaičiaus $a$ pavadinimo kvadratas.
2 pavyzdys
Pavyzdžiui, jei kvadrato kraštinė yra $5 $ cm, tada jo plotas yra:
Apimtys
Plėtojant prekybai ir statyboms, net senovės civilizacijų laikais atsirado poreikis rasti apimtis. Matematikoje yra geometrijos šaka, kuri nagrinėja tyrimą erdvinės figūros, vadinamas stereometrija. Paminėjimai apie tai atskira kryptimi matematikai susitiko jau $IV$ amžiuje prieš Kristų.
Senovės matematikai sukūrė paprastų figūrų – kubo ir gretasienio – tūrio apskaičiavimo metodą. Visi tų laikų pastatai buvo tokios formos. Tačiau vėliau buvo rasti metodai sudėtingesnių formų figūrų tūriui apskaičiuoti.
Stačiakampio gretasienio tūris
Jei užpildysite formą šlapiu smėliu ir apverssite, gausite trimatė figūra, kuriai būdingas tūris. Jei padarysite kelias tokias figūras naudodami tą pačią formą, gausite vienodo tūrio figūras. Jei užpildysite formą vandeniu, vandens tūris ir smėlio figūros tūris taip pat bus lygus.
5 pav.
Galite palyginti dviejų indų tūrius, pripildydami vieną vandens ir supildami į antrąjį indą. Jei antrasis indas yra visiškai užpildytas, indai yra vienodo tūrio. Jei vandens lieka pirmajame, tada pirmojo indo tūris yra didesnis nei antrojo. Jei pilant vandenį iš pirmojo indo nepavyksta visiškai užpildyti antrojo indo, tai pirmojo indo tūris yra mažesnis už antrojo.
Tūris matuojamas naudojant šiuos vienetus:
$mm^3$ – kubinis milimetras,
$cm^3$ – kubinis centimetras,
$dm^3$ – kubinis decimetras,
$m^3$ – kubinis metras,
$km^3$ -- kubinis kilometras.
Bet koks geometrinis kūnas galima apibūdinti paviršiaus plotu (S) ir tūriu (V). Plotas ir tūris nėra tas pats dalykas. Pavyzdžiui, objektas gali turėti santykinai mažą V ir didelę S raidę, taip veikia žmogaus smegenys. Paprastoms geometrinėms figūroms šiuos rodiklius apskaičiuoti daug lengviau.
Lygiagretusis vamzdis: apibrėžimas, tipai ir savybės
Lygiagretainis yra keturkampė prizmė, kurio pagrindu yra lygiagretainis. Kodėl jums gali prireikti formulės figūros tūriui rasti? Knygos, pakavimo dėžės ir daug kitų dalykų iš Kasdienybė. Gyvenamųjų ir biurų pastatų kambariai dažniausiai yra stačiakampiai gretasieniai. Norint įrengti vėdinimą, oro kondicionavimą ir nustatyti šildymo elementų skaičių patalpoje, reikia apskaičiuoti patalpos tūrį.
Figūra turi 6 paviršius – lygiagretainiai ir 12 briaunų vadinami pagrindais. Lygiagretainis gali būti kelių tipų. Skirtumai atsiranda dėl kampų tarp gretimų kraštų. Skirtingų daugiakampių V suradimo formulės šiek tiek skiriasi.
Jei 6 geometrinės figūros paviršiai yra stačiakampiai, tada ji taip pat vadinama stačiakampiu. Kubas yra ypatinga byla gretasienis, kurio visi 6 paviršiai yra lygūs kvadratai. Šiuo atveju, norėdami rasti V, turite sužinoti tik vienos kraštinės ilgį ir pakelti ją į trečią laipsnį.
Norėdami išspręsti problemas, jums reikės žinių ne tik apie paruoštas formules, bet ir apie figūros savybes. Stačiakampės prizmės pagrindinių savybių sąrašas yra mažas ir labai lengvai suprantamas:
- Priešingos figūros pusės yra lygios ir lygiagrečios. Tai reiškia, kad priešais esantys šonkauliai yra vienodo ilgio ir pasvirimo kampo.
- Visi dešiniojo gretasienio šoniniai paviršiai yra stačiakampiai.
- Keturios pagrindinės geometrinės figūros įstrižainės susikerta viename taške ir juo dalijamos pusiau.
- Gretasienio įstrižainės kvadratas yra lygus figūros matmenų kvadratų sumai (iš Pitagoro teoremos).
Pitagoro teorema teigia, kad stačiojo trikampio kraštinėse pastatytų kvadratų plotų suma yra lygi trikampio, pastatyto ant to paties trikampio hipotenuzės, plotui.
Paskutinio turto įrodymą galite pamatyti žemiau esančiame paveikslėlyje. Problemos sprendimo procesas yra paprastas ir nereikalauja išsamių paaiškinimų.
Stačiakampio gretasienio tūrio formulė
Visų tipų geometrinių figūrų radimo formulė yra ta pati: V=S*h, kur V – reikalingas tūris, S – gretasienio pagrindo plotas, h – aukštis, nuleistas nuo priešingos viršūnės ir statmenai pagrindui. Stačiakampyje h sutampa su viena iš figūros kraštinių, todėl norint rasti stačiakampės prizmės tūrį, reikia padauginti tris matmenis.
Tūris paprastai išreiškiamas cm3. Žinant visas tris a, b ir c reikšmes, rasti figūros tūrį visai nėra sunku. Dažniausia unifikuoto valstybinio egzamino problema yra gretasienio tūrio arba įstrižainės paieška. Išspręskite daugelį tipiškų Vieningo valstybinio egzamino užduotys Tai neįmanoma be stačiakampio tūrio formulės. Užduoties pavyzdys ir jos sprendimo dizainas parodytas paveikslėlyje žemiau.
1 pastaba. Stačiakampės prizmės paviršiaus plotą galima rasti trijų figūros paviršių: pagrindo (ab) ir dviejų gretimų šoninių paviršių (bc + ac) plotų sumą padauginus iš 2.
Užrašas 2. Šoninių paviršių paviršiaus plotą galima lengvai nustatyti padauginus pagrindo perimetrą iš gretasienio aukščio.
Remiantis pirmąja gretasienio savybe AB = A1B1, o paviršius B1D1 = BD. Remiantis Pitagoro teoremos išvadomis, stačiojo trikampio visų kampų suma yra 180°, o koja, priešinga 30° kampui, lygi hipotenuzei. Pritaikius šias žinias trikampiui, nesunkiai galime rasti kraštinių AB ir AD ilgį. Tada gautas vertes padauginame ir apskaičiuojame gretasienio tūrį.
Pasvirusio gretasienio tūrio nustatymo formulė
Norėdami rasti pasvirusio gretasienio tūrį, turite padauginti figūros pagrindo plotą iš aukščio, sumažinto šis pagrindas iš priešingo kampo.
Taigi reikiamą V galima pavaizduoti h forma – lapų, kurių bazinis plotas S, skaičius, taigi kaladės tūris susideda iš visų kortų V.
Problemų sprendimo pavyzdžiai
Vieno egzamino užduotys turi būti įvykdytos per tam tikrą laiką. Tipiškos užduotys, kaip taisyklė, neturi didelis kiekis skaičiavimai ir sudėtingos trupmenos. Dažnai mokinio klausiama, kaip rasti netaisyklingos geometrinės figūros tūrį. Tokiais atvejais reikia atsiminti paprastą taisyklę, kad bendras tūris lygi sumai V komponentai.
Kaip matote iš aukščiau esančio pavyzdžio, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Atliekant užduotis iš sudėtingesnių skyrių, reikia žinoti Pitagoro teoremą ir jos pasekmes, taip pat figūros įstrižainės ilgio formulę. Norint sėkmingai išspręsti testo užduotis, pakanka iš anksto susipažinti su tipinių problemų pavyzdžiais.
Norėdami išspręsti geometrijos uždavinius, turite žinoti formules, tokias kaip trikampio plotas arba lygiagretainio plotas, taip pat paprastos technikos, apie kurią kalbėsime.
Pirmiausia išmokime figūrų sričių formules. Specialiai juos surinkome į patogią lentelę. Spausdinkite, mokykitės ir naudokitės!
Žinoma, ne visos geometrijos formulės yra mūsų lentelėje. Pavyzdžiui, norint išspręsti geometrijos ir stereometrijos uždavinius antroje profilio Vieningo valstybinio matematikos egzamino dalyje, naudojamos kitos trikampio ploto formulės. Apie juos būtinai papasakosime.
Ką daryti, jei reikia rasti ne trapecijos ar trikampio plotą, o kai kurių sudėtinga figūra? Yra universalių būdų! Mes juos parodysime naudodami FIPI užduočių banko pavyzdžius.
1. Kaip rasti nestandartinės figūros plotą? Pavyzdžiui, savavališkas keturkampis? Paprasta technika – padalinkime šią figūrą į tas, apie kurias viską žinome, ir suraskime jos plotą – kaip šių figūrų plotų sumą.
Padalinkite šį keturkampį su horizontalia linija į du trikampius, kurių bendras pagrindas lygus . Šių trikampių aukščiai yra lygūs ir . Tada keturkampio plotas lygus dviejų trikampių plotų sumai: .
Atsakymas:.
2. Kai kuriais atvejais figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip kai kurių sričių skirtumas.
Ne taip paprasta suskaičiuoti, kam lygus šio trikampio pagrindas ir aukštis! Bet galime sakyti, kad jo plotas lygus kvadrato su kraštine ir trijų stačiųjų trikampių plotų skirtumui. Ar matote juos paveikslėlyje? Mes gauname: .
Atsakymas:.
3. Kartais užduotyje reikia rasti ne visos figūros plotą, o jos dalį. Paprastai mes kalbame apie sektoriaus plotą - apskritimo dalį Raskite apskritimo, kurio lanko ilgis yra lygus, plotą.
Šiame paveikslėlyje matome apskritimo dalį. Viso apskritimo plotas lygus . Belieka išsiaiškinti, kuri apskritimo dalis pavaizduota. Kadangi viso apskritimo ilgis yra lygus (nuo ), o tam tikro sektoriaus lanko ilgis lygus , tai lanko ilgis kelis kartus mažesnis už viso apskritimo ilgį. Kampas, kuriuo remiasi šis lankas, taip pat yra mažesnis už visą apskritimą (ty laipsniais). Tai reiškia, kad sektoriaus plotas bus kelis kartus mažesnis už viso apskritimo plotą.
O senovės egiptiečiai naudojo įvairių figūrų plotų skaičiavimo metodus, panašius į mūsų metodus.
Mano knygose "Pradžia" Garsus senovės graikų matematikas Euklidas aprašė gana daug būdų, kaip apskaičiuoti daugelio geometrinių figūrų plotus. Pirmieji rankraščiai Rusijoje su geometrine informacija buvo parašyti XVI a. Juose aprašomos įvairių formų figūrų plotų radimo taisyklės.
Šiandien, naudodami šiuolaikinius metodus, galite labai tiksliai rasti bet kurios figūros plotą.
Panagrinėkime vieną iš paprasčiausių figūrų – stačiakampį – ir jo ploto nustatymo formulę.
Stačiakampio ploto formulė
Panagrinėkime figūrą (1 pav.), kurią sudaro $8$ kvadratai, kurių kraštinės yra $1$ cm. Vieno kvadrato, kurio kraštinė yra $1$ cm, plotas yra vadinamas kvadratiniu centimetru ir parašytas $1\ cm^2. $.
Šios figūros plotas (1 pav.) bus lygus $8\cm^2$.
Figūros, kurią galima padalyti į kelis kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$ (pavyzdžiui, $p$), plotas bus lygus $p\ cm^2$.
Kitaip tariant, figūros plotas bus lygus tiek $cm^2$, į kiek kvadratų, kurių kraštinė yra $1\ cm$, šią figūrą galima padalyti.
Panagrinėkime stačiakampį (2 pav.), kurį sudaro $3$ juostelės, kurių kiekviena padalinta į $5$ kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$. visas stačiakampis susideda iš $5\cdot 3=15$ tokių kvadratų, o jo plotas yra $15\cm^2$.
1 paveikslas.
2 pav.
Figūrų plotas paprastai žymimas raide $S$.
Norėdami rasti stačiakampio plotą, turite padauginti jo ilgį iš pločio.
Jei jo ilgį pažymėsime raide $a$, o plotį - raide $b$, tada stačiakampio ploto formulė atrodys taip:
1 apibrėžimas
Figūros vadinamos lygus jei, uždėjus viena ant kitos, skaičiai sutampa. Vienodos figūros turi vienodus plotus ir vienodus perimetrus.
Figūros plotą galima rasti kaip jos dalių plotų sumą.
1 pavyzdys
Pavyzdžiui, paveikslėlyje $3$ stačiakampis $ABCD$ yra padalintas į dvi dalis linija $KLMN$. Vienos dalies plotas yra $12\ cm^2$, o kitos - $9\ cm^2$. Tada stačiakampio $ABCD$ plotas bus lygus $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Raskite stačiakampio plotą naudodami formulę:
Kaip matote, abiem metodais rastos sritys yra lygios.
3 pav.
4 pav.
Linijos atkarpa $AC$ padalija stačiakampį į du vienodus trikampius: $ABC$ ir $ADC$. Tai reiškia, kad kiekvieno trikampio plotas yra lygus pusei viso stačiakampio ploto.
2 apibrėžimas
Vadinamas stačiakampis su lygiomis kraštinėmis kvadratas.
Jei kvadrato kraštinę pažymime raide $a$, tada kvadrato plotas bus rastas pagal formulę:
Taigi skaičiaus $a$ pavadinimo kvadratas.
2 pavyzdys
Pavyzdžiui, jei kvadrato kraštinė yra $5 $ cm, tada jo plotas yra:
Apimtys
Plėtojant prekybai ir statyboms, net senovės civilizacijų laikais atsirado poreikis rasti apimtis. Matematikoje yra geometrijos šaka, nagrinėjanti erdvines figūras, vadinama stereometrija. Šios atskiros matematikos šakos paminėjimai buvo rasti jau $IV$ amžiuje prieš Kristų.
Senovės matematikai sukūrė paprastų figūrų – kubo ir gretasienio – tūrio apskaičiavimo metodą. Visi tų laikų pastatai buvo tokios formos. Tačiau vėliau buvo rasti metodai sudėtingesnių formų figūrų tūriui apskaičiuoti.
Stačiakampio gretasienio tūris
Jei užpildysite formą šlapiu smėliu, o paskui apverssite, gausite erdvinę figūrą, kuriai būdingas tūris. Jei padarysite kelias tokias figūras naudodami tą pačią formą, gausite vienodo tūrio figūras. Jei užpildysite formą vandeniu, vandens tūris ir smėlio figūros tūris taip pat bus lygus.
5 pav.
Galite palyginti dviejų indų tūrius, pripildydami vieną vandens ir supildami į antrąjį indą. Jei antrasis indas yra visiškai užpildytas, indai yra vienodo tūrio. Jei vandens lieka pirmajame, tada pirmojo indo tūris yra didesnis nei antrojo. Jei pilant vandenį iš pirmojo indo nepavyksta visiškai užpildyti antrojo indo, tai pirmojo indo tūris yra mažesnis už antrojo.
Tūris matuojamas naudojant šiuos vienetus:
$mm^3$ – kubinis milimetras,
$cm^3$ – kubinis centimetras,
$dm^3$ – kubinis decimetras,
$m^3$ – kubinis metras,
$km^3$ -- kubinis kilometras.
Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas sėkmingam darbui reikalingas temas išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą iš matematikos už 60-65 balus. Visiškai visos problemos 1-13 Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematikos. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!
Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.
Visa reikalinga teorija. Greiti būdai Vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 reikalavimus.
Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.
Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. teorija, etaloninė medžiaga, visų tipų Vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Aiškūs sudėtingų sąvokų paaiškinimai. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.
