Palyginti su
galima nustatyti užduotį surasti bet kurį iš trijų skaičių iš kitų dviejų pateiktų. Jei duoti a ir N, jie randami eksponentiniu būdu. Jei N ir tada a yra duoti paėmus x laipsnio šaknį (arba pakėlus jį į laipsnį). Dabar apsvarstykite atvejį, kai, esant a ir N, turime rasti x.
Tegu skaičius N yra teigiamas: skaičius a yra teigiamas ir nelygus vienetui: .
Apibrėžimas. Skaičiaus N logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti a, kad gautume skaičių N; logaritmas žymimas
Taigi lygybėje (26.1) eksponentas randamas kaip N logaritmas bazei a. Įrašai
turi tą pačią reikšmę. Lygybė (26.1) kartais vadinama pagrindine logaritmų teorijos tapatybe; tikrovėje išreiškia logaritmo sąvokos apibrėžimą. Pagal šį apibrėžimą logaritmo a pagrindas visada yra teigiamas ir skiriasi nuo vienybės; logaritminis skaičius N yra teigiamas. Neigiami skaičiai ir nulis neturi logaritmų. Galima įrodyti, kad bet kuris skaičius, turintis tam tikrą bazę, turi tiksliai apibrėžtą logaritmą. Todėl lygybė reiškia. Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga čia yra esminė, kitaip išvada nebūtų pagrįsta, nes lygybė galioja bet kurioms x ir y reikšmėms.
1 pavyzdys. Rasti
Sprendimas. Norėdami gauti skaičių, turite pakelti bazę 2 iki galios Todėl.
Spręsdami tokius pavyzdžius galite užsirašyti tokia forma:
2 pavyzdys. Rasti .
Sprendimas. Mes turime
1 ir 2 pavyzdžiuose nesunkiai radome norimą logaritmą, pateikdami logaritmo skaičių kaip pagrindo laipsnį su racionaliuoju eksponentu. Bendruoju atveju, pavyzdžiui, ir pan., to padaryti negalima, nes logaritmas turi neracionalią reikšmę. Atkreipkime dėmesį į vieną su šiuo teiginiu susijusį klausimą. 12 pastraipoje mes pateikėme galimybę nustatyti bet kokią tikrosios tam tikro teigiamo skaičiaus galią. Tai buvo būtina logaritmų įvedimui, kurie paprastai gali būti neracionalūs skaičiai.
Pažvelkime į kai kurias logaritmų savybes.
Savybė 1. Jeigu skaičius ir bazė lygūs, tai logaritmas lygus vienetui, ir atvirkščiai, jei logaritmas lygus vienetui, tai skaičius ir bazė yra lygūs.
Įrodymas. Tegul Pagal logaritmo apibrėžimą turime ir iš kur
Ir atvirkščiai, tegul Tada pagal apibrėžimą
Savybė 2. Vieneto logaritmas bet kokiam pagrindui lygus nuliui.
Įrodymas. Pagal logaritmo apibrėžimą (bet kurios teigiamos bazės nulinė galia lygi vienetui, žr. (10.1)). Iš čia
Q.E.D.
Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei , tada N = 1. Iš tiesų, mes turime .
Prieš formuluodami kitą logaritmų savybę, susitarkime, kad du skaičiai a ir b yra toje pačioje trečiojo skaičiaus c pusėje, jei jie abu yra didesni už c arba mažesni už c. Jei vienas iš šių skaičių yra didesnis nei c, o kitas mažesnis už c, tada sakysime, kad jie yra priešingose c pusėse.
Savybė 3. Jei skaičius ir bazė yra vienoje pusėje, tai logaritmas yra teigiamas; Jei skaičius ir bazė yra priešingose vieneto pusėse, tada logaritmas yra neigiamas.
3 savybės įrodymas grindžiamas tuo, kad a galia yra didesnė už vienetą, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas. Laipsnis yra mažesnis už vieną, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas.
Yra keturi atvejai, į kuriuos reikia atsižvelgti:
Apsiribosime pirmojo iš jų analize;
Tegu tada lygybėje rodiklis negali būti nei neigiamas, nei lygus nuliui, todėl jis yra teigiamas, t. y. kaip reikia įrodyti.
3 pavyzdys. Sužinokite, kurie iš toliau pateiktų logaritmų yra teigiami, o kurie neigiami:
Sprendimas, a) kadangi skaičius 15 ir bazė 12 yra toje pačioje pusėje;
b) kadangi 1000 ir 2 yra vienoje įrenginio pusėje; šiuo atveju nėra svarbu, kad bazė būtų didesnė už logaritminį skaičių;
c) kadangi 3,1 ir 0,8 yra priešingose vienybės pusėse;
G); Kodėl?
d) ; Kodėl?
Tokios savybės 4-6 dažnai vadinamos logaritmavimo taisyklėmis: jos leidžia, žinant kai kurių skaičių logaritmus, rasti kiekvieno jų sandaugos, koeficiento ir laipsnio logaritmus.
4 savybė (produkto logaritmo taisyklė). Kelių teigiamų skaičių sandaugos logaritmas tam tikroje bazėje yra lygus šių skaičių logaritmų sumai toje pačioje bazėje.
Įrodymas. Tegul pateikti skaičiai yra teigiami.
Jų sandaugos logaritmui rašome lygybę (26.1), kuri apibrėžia logaritmą:
Iš čia rasime
Palyginę pirmosios ir paskutinės išraiškos eksponentus, gauname reikiamą lygybę:
Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga yra būtina; dviejų neigiamų skaičių sandaugos logaritmas turi prasmę, bet šiuo atveju gauname
Apskritai, jei kelių veiksnių sandauga yra teigiama, tada jo logaritmas yra lygus šių veiksnių absoliučių verčių logaritmų sumai.
5 savybė (datinių logaritmų ėmimo taisyklė). Teigiamų skaičių dalinio logaritmas yra lygus skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų, paimtų į tą pačią bazę. Įrodymas. Mes nuolat randame
Q.E.D.
Savybė 6 (laipsnio logaritmo taisyklė). Bet kurio teigiamo skaičiaus laipsnio logaritmas yra lygus to skaičiaus logaritmui, padaugintam iš eksponento.
Įrodymas. Dar kartą parašykime pagrindinę numerio tapatybę (26.1):
Q.E.D.
Pasekmė. Teigiamo skaičiaus šaknies logaritmas yra lygus radikalo logaritmui, padalytam iš šaknies eksponento:
Šios išvados pagrįstumą galima įrodyti įsivaizduojant, kaip ir naudojant 6 savybę.
4 pavyzdys. Paimkite logaritmą į a bazę:
a) (manoma, kad visos b, c, d, e reikšmės yra teigiamos);
b) (manoma, kad ).
Sprendimas, a) Šioje išraiškoje patogu pereiti prie trupmeninių laipsnių:
Remdamiesi lygybėmis (26.5)-(26.7), dabar galime rašyti:
Pastebime, kad su skaičių logaritmais atliekami paprastesni veiksmai nei su pačiais skaičiais: dauginant skaičius jų logaritmai pridedami, dalinant – atimami ir t.t.
Štai kodėl skaičiavimo praktikoje naudojami logaritmai (žr. 29 pastraipą).
Atvirkštinis logaritmo veiksmas vadinamas potenciavimu, būtent: potencija yra veiksmas, kuriuo iš tam tikro skaičiaus logaritmo randamas pats skaičius. Iš esmės stiprinimas nėra joks ypatingas veiksmas: jis susijęs su bazės pakėlimu iki laipsnio (lygaus skaičiaus logaritmui). Terminas „potencijavimas“ gali būti laikomas termino „eksponentavimas“ sinonimu.
Potencuodami turite naudoti taisykles, atvirkštines logaritmavimo taisyklėms: logaritmų sumą pakeiskite sandaugos logaritmu, logaritmų skirtumą - koeficiento logaritmu ir tt Ypač jei priešais yra koeficientas logaritmo ženklo, tada potencijavimo metu jis turi būti perkeltas į eksponento laipsnius po logaritmo ženklu.
5 pavyzdys. Raskite N, jei žinoma, kad
Sprendimas. Atsižvelgiant į ką tik nurodytą potenciavimo taisyklę, koeficientus 2/3 ir 1/3, stovinčius prieš logaritmų ženklus dešinėje šios lygybės pusėje, perkelsime į eksponentus po šių logaritmų ženklais; mes gauname
Dabar logaritmų skirtumą pakeičiame koeficiento logaritmu:
kad gautume paskutinę trupmeną šioje lygybių grandinėje, išlaisvinome ankstesnę trupmeną nuo iracionalumo vardiklyje (25 punktas).
Savybė 7. Jei bazė didesnis už vieną, tai didesnio skaičiaus logaritmas didesnis (o mažesnio mažesnis), jei mažesnis už vienetą, tai didesnio skaičiaus logaritmas yra mažesnis (o mažesnio). vienas turi didesnį).
Ši savybė taip pat suformuluota kaip taisyklė imant nelygybių logaritmus, kurių abi pusės yra teigiamos:
Logarituojant nelygybes į bazę, didesnę už vienetą, nelygybės ženklas išsaugomas, o logarituojant iki bazės, mažesnės už vieną, nelygybės ženklas pasikeičia į priešingą (taip pat žr. 80 pastraipą).
Įrodymas paremtas 5 ir 3 savybėmis. Apsvarstykite atvejį, kai If , tada ir, imant logaritmus, gauname
(a ir N/M yra toje pačioje vienybės pusėje). Iš čia
Toliau pateikiamas a atvejis, skaitytojas tai išsiaiškins pats.
Visuomenei vystantis ir gamybai vis sudėtingėjant, vystėsi ir matematika. Judėjimas nuo paprasto iki sudėtingo. Nuo įprastos apskaitos naudojant sudėjimo ir atimties metodus, juos kartojant, priėjome prie daugybos ir dalybos sampratos. Pakartotinės daugybos operacijos mažinimas tapo eksponencijos sąvoka. Pirmąsias skaičių priklausomybės nuo bazės ir eksponencijos skaičiaus lenteles dar VIII amžiuje sudarė indų matematikas Varasena. Iš jų galite suskaičiuoti logaritmų atsiradimo laiką.
Istorinis eskizas
Europos atgimimas XVI amžiuje paskatino ir mechanikos raidą. T pareikalavo daug skaičiavimų susiję su daugiaženklių skaičių daugyba ir dalyba. Senoviniai stalai buvo labai naudingi. Jie leido sudėtingas operacijas pakeisti paprastesnėmis - sudėtimi ir atimti. Didelis žingsnis į priekį buvo matematiko Michaelo Stiefelio darbas, paskelbtas 1544 m., kuriame jis įgyvendino daugelio matematikų idėją. Tai leido lenteles naudoti ne tik pirminių skaičių laipsniams, bet ir savavališkiems racionaliems skaičiams.
1614 m. škotas Johnas Napier, plėtodamas šias idėjas, pirmą kartą įvedė naują terminą „skaičiaus logaritmas“. Sinusų ir kosinusų logaritmams, taip pat liestims apskaičiuoti buvo sudarytos naujos sudėtingos lentelės. Tai labai sumažino astronomų darbą.
Pradėjo pasirodyti naujos lentelės, kurias mokslininkai sėkmingai naudojo tris šimtmečius. Praėjo daug laiko, kol nauja algebros operacija įgavo galutinę formą. Pateiktas logaritmo apibrėžimas ir ištirtos jo savybės.
Tik XX amžiuje, atsiradus skaičiuotuvui ir kompiuteriui, žmonija atsisakė senovinių lentelių, kurios sėkmingai veikė XIII amžių.
Šiandien vadiname b logaritmu, pagrįstu a skaičiumi x, kuris yra a galia sudaryti b. Tai parašyta kaip formulė: x = log a(b).
Pavyzdžiui, log 3(9) būtų lygus 2. Tai akivaizdu, jei laikotės apibrėžimo. Jei pakelsime 3 iki 2 laipsnio, gausime 9.
Taigi suformuluotas apibrėžimas nustato tik vieną apribojimą: skaičiai a ir b turi būti tikri.
Logaritmų tipai
Klasikinis apibrėžimas vadinamas tikruoju logaritmu ir iš tikrųjų yra lygties a x = b sprendimas. Variantas a = 1 yra ribinis ir nėra įdomus. Dėmesio: 1 bet kuriai galiai yra lygus 1.
Tikroji logaritmo vertė apibrėžiamas tik tada, kai bazė ir argumentas yra didesni nei 0, o bazė neturi būti lygi 1.
Ypatinga vieta matematikos srityježaisti logaritmus, kurie bus pavadinti atsižvelgiant į jų bazės dydį:
Taisyklės ir apribojimai
Pagrindinė logaritmų savybė yra taisyklė: sandaugos logaritmas yra lygus logaritminei sumai. log abp = log a(b) + log a(p).
Kaip šio teiginio variantas bus: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), koeficiento funkcija lygi funkcijų skirtumui.
Iš ankstesnių dviejų taisyklių nesunku suprasti, kad: log a(b p) = p * log a(b).
Kitos savybės apima:
komentuoti. Nereikia daryti įprastos klaidos – sumos logaritmas nelygus logaritmų sumai.
Daugelį amžių logaritmo paieškos operacija buvo gana daug laiko reikalaujanti užduotis. Matematikai naudojo gerai žinomą logaritminės daugianario plėtimosi teorijos formulę:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kur n yra didesnis už 1 natūralusis skaičius, kuris lemia skaičiavimo tikslumą.
Logaritmai su kitais pagrindais buvo apskaičiuoti naudojant teoremą apie perėjimą iš vienos bazės į kitą ir sandaugos logaritmo savybę.
Kadangi šis metodas yra labai daug darbo jėgos ir sprendžiant praktines problemas sunkiai įgyvendinamas, naudojome iš anksto sudarytas logaritmų lenteles, kurios gerokai paspartino visą darbą.
Kai kuriais atvejais buvo naudojami specialiai sudaryti logaritmų grafikai, kurie davė mažesnį tikslumą, tačiau žymiai pagreitino norimos reikšmės paiešką. Funkcijos y = log a(x) kreivė, sudaryta keliuose taškuose, leidžia naudoti įprastą liniuotę, norint rasti funkcijos reikšmę bet kuriame kitame taške. Ilgą laiką inžinieriai šiems tikslams naudojo vadinamąjį grafinį popierių.
XVII amžiuje atsirado pirmosios pagalbinės analoginio skaičiavimo sąlygos, kurios iki XIX amžiaus įgavo pilną formą. Sėkmingiausias įrenginys buvo vadinamas slydimo taisykle. Nepaisant prietaiso paprastumo, jo išvaizda žymiai paspartino visų inžinerinių skaičiavimų procesą, ir tai sunku pervertinti. Šiuo metu mažai žmonių yra susipažinę su šiuo įrenginiu.
Atsiradus skaičiuotuvams ir kompiuteriams, bet kokių kitų prietaisų naudojimas tapo beprasmis.
Lygtys ir nelygybės
Norint išspręsti įvairias lygtis ir nelygybes naudojant logaritmus, naudojamos šios formulės:
- Perėjimas iš vienos bazės į kitą: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Dėl ankstesnės parinkties: log a(b) = 1 / log b(a).
Norint išspręsti nelygybes, naudinga žinoti:
- Logaritmo reikšmė bus teigiama tik tuo atveju, jei bazė ir argumentas yra didesni arba mažesni už vieną; jei pažeidžiama bent viena sąlyga, logaritmo reikšmė bus neigiama.
- Jei logaritmo funkcija taikoma nelygybės dešinėje ir kairėje pusėje, o logaritmo pagrindas yra didesnis už vienetą, tai nelygybės ženklas išsaugomas; kitaip pasikeičia.
Pavyzdinės problemos
Panagrinėkime keletą logaritmų ir jų savybių naudojimo variantų. Lygčių sprendimo pavyzdžiai:
Apsvarstykite galimybę logaritmą įdėti į laipsnį:
- 3 uždavinys. Apskaičiuokite 25^log 5(3). Sprendimas: problemos sąlygomis įrašas panašus į (5^2)^log5(3) arba 5^(2 * log 5(3)). Parašykime kitaip: 5^log 5(3*2), arba skaičiaus kvadratą kaip funkcijos argumentą galima parašyti kaip pačios funkcijos kvadratą (5^log 5(3))^2. Naudojant logaritmų savybes, ši išraiška yra lygi 3^2. Atsakymas: atlikę skaičiavimus gauname 9.
Praktinis naudojimas
Kadangi logaritmas yra grynai matematinis įrankis, atrodo toli nuo tikrojo gyvenimo, kad logaritmas staiga įgijo didelę reikšmę aprašant objektus realiame pasaulyje. Sunku rasti mokslą, kur jis nebūtų naudojamas. Tai visiškai taikoma ne tik gamtinėms, bet ir humanitarinėms žinių sritims.
Logaritminės priklausomybės
Štai keletas skaitinių priklausomybių pavyzdžių:
Mechanika ir fizika
Istoriškai mechanika ir fizika visada vystėsi naudojant matematinius tyrimo metodus ir tuo pat metu buvo paskata plėtoti matematiką, įskaitant logaritmus. Daugumos fizikos dėsnių teorija parašyta matematikos kalba. Pateiksime tik du fizinių dėsnių apibūdinimo logaritmu pavyzdžius.
Tokio sudėtingo dydžio kaip raketos greitis apskaičiavimo problemą galima išspręsti naudojant Ciolkovskio formulę, kuri padėjo pagrindą kosmoso tyrinėjimo teorijai:
V = I * ln (M1/M2), kur
- V – galutinis orlaivio greitis.
- I – specifinis variklio impulsas.
- M 1 – pradinė raketos masė.
- M 2 – galutinė masė.
Kitas svarbus pavyzdys- tai panaudota kito puikaus mokslininko Maxo Plancko formulėje, kuri skirta termodinamikos pusiausvyros būsenai įvertinti.
S = k * ln (Ω), kur
- S – termodinaminė savybė.
- k – Boltzmanno konstanta.
- Ω yra skirtingų būsenų statistinis svoris.
Chemija
Mažiau akivaizdu, kad chemijoje naudojamos formulės, kuriose yra logaritmų santykis. Pateikiame tik du pavyzdžius:
- Nernsto lygtis, terpės redokso potencialo sąlyga medžiagų aktyvumo ir pusiausvyros konstantos atžvilgiu.
- Tokios konstantos kaip autolizės indeksas ir tirpalo rūgštingumas taip pat negali būti apskaičiuojamos be mūsų funkcijos.
Psichologija ir biologija
Ir visai neaišku, ką su tuo susijusi psichologija. Pasirodo, kad jutimo stiprumą ši funkcija gerai apibūdina kaip atvirkštinį stimulo intensyvumo reikšmės ir mažesnio intensyvumo vertės santykį.
Po minėtų pavyzdžių nebestebina, kad logaritmų tema plačiai naudojama biologijoje. Apie logaritmines spirales atitinkančias biologines formas būtų galima parašyti ištisus tomus.
Kitos sritys
Atrodo, kad pasaulio egzistavimas neįmanomas be ryšio su šia funkcija, ir jis valdo visus dėsnius. Ypač kai gamtos dėsniai siejami su geometrine progresija. Verta užsukti į „MatProfi“ svetainę ir yra daug tokių pavyzdžių šiose veiklos srityse:
Sąrašas gali būti begalinis. Įvaldę pagrindinius šios funkcijos principus, galite pasinerti į begalinės išminties pasaulį.
Teigiamo skaičiaus b logaritmas bazei a (a>0, a nelygus 1) yra toks skaičius c, kad a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Atkreipkite dėmesį, kad neteigiamojo skaičiaus logaritmas yra neapibrėžtas. Be to, logaritmo pagrindas turi būti teigiamas skaičius, kuris nėra lygus 1. Pavyzdžiui, jei kvadratu -2 gauname skaičių 4, tačiau tai nereiškia, kad 4 bazinis -2 logaritmas yra lygus iki 2.
Pagrindinė logaritminė tapatybė
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Svarbu, kad šios formulės dešinės ir kairės pusės apibrėžimo apimtis būtų skirtinga. Kairioji pusė apibrėžiama tik b>0, a>0 ir a ≠ 1. Dešinė pusė apibrėžiama bet kuriam b ir visiškai nepriklauso nuo a. Taigi pagrindinio logaritminio „tapatumo“ taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes gali lemti OD pasikeitimą.
Dvi akivaizdžios logaritmo apibrėžimo pasekmės
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Išties, keldami skaičių a iki pirmo laipsnio, gauname tą patį skaičių, o pakeldami iki nulinio laipsnio – vienetą.
Produkto logaritmas ir koeficiento logaritmas
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Norėčiau perspėti moksleivius, kad sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes neapgalvotai nenaudotų šių formulių. Naudojant juos „iš kairės į dešinę“, ODZ susiaurėja, o pereinant nuo logaritmų sumos ar skirtumo prie sandaugos ar koeficiento logaritmo, ODZ plečiasi.
Iš tiesų, išraiška log a (f (x) g (x)) apibrėžiama dviem atvejais: kai abi funkcijos yra griežtai teigiamos arba kai f (x) ir g (x) yra mažesnės už nulį.
Pavertę šią išraišką į sumą log a f (x) + log a g (x), esame priversti apsiriboti tik tuo atveju, kai f(x)>0 ir g(x)>0. Priimtinų verčių diapazonas susiaurėja, o tai kategoriškai nepriimtina, nes gali būti prarasti sprendimai. Panaši problema yra su (6) formule.
Laipsnį galima paimti iš logaritmo ženklo
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Ir vėl norėčiau paraginti tikslumo. Apsvarstykite šį pavyzdį:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Kairioji lygybės pusė akivaizdžiai apibrėžta visoms f(x) reikšmėms, išskyrus nulį. Dešinė pusė skirta tik f(x)>0! Iš logaritmo išėmę laipsnį, vėl susiauriname ODZ. Atvirkštinė procedūra leidžia išplėsti priimtinų verčių diapazoną. Visos šios pastabos galioja ne tik 2 galiai, bet ir bet kuriai lygiai galiai.
Perėjimo prie naujo pagrindo formulė
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Tas retas atvejis, kai transformacijos metu ODZ nesikeičia. Jei bazę c pasirinkote išmintingai (teigiama ir nelygu 1), perkėlimo į naują bazę formulė yra visiškai saugi.
Jei pasirinksime skaičių b kaip naują bazę c, gausime svarbų specialų (8) formulės atvejį:
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Keletas paprastų logaritmų pavyzdžių
Pavyzdys 1. Apskaičiuokite: log2 + log50.
Sprendimas. log2 + log50 = log100 = 2. Naudojome logaritmų sumos formulę (5) ir dešimtainio logaritmo apibrėžimą.
Pavyzdys 2. Apskaičiuokite: lg125/lg5.
Sprendimas. log125/log5 = log 5 125 = 3. Naudojome perėjimo į naują bazę formulę (8).
Su logaritmais susijusių formulių lentelė
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Logaritminės išraiškos, sprendimų pavyzdžiai. Šiame straipsnyje apžvelgsime problemas, susijusias su logaritmų sprendimu. Užduotyse keliamas klausimas, kaip rasti posakio prasmę. Pažymėtina, kad logaritmo sąvoka naudojama daugelyje užduočių ir jos prasmės supratimas yra nepaprastai svarbus. Kalbant apie vieningą valstybinį egzaminą, logaritmas naudojamas sprendžiant lygtis, atliekant taikomuosius uždavinius, taip pat atliekant užduotis, susijusias su funkcijų tyrimu.
Pateiksime pavyzdžių, kad suprastume pačią logaritmo reikšmę:
Pagrindinė logaritminė tapatybė:
Logaritmų savybės, kurias visada reikia atsiminti:
*Darbos logaritmas lygus faktorių logaritmų sumai.
* * *
*Dalyvio (trupmens) logaritmas lygus faktorių logaritmų skirtumui.
* * *
*Rodiklio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir jo bazės logaritmui.
* * *
*Perėjimas prie naujų pamatų
* * *
Daugiau savybių:
* * *
Logaritmų skaičiavimas yra glaudžiai susijęs su eksponentų savybių naudojimu.
Išvardinkime kai kuriuos iš jų:
Šios savybės esmė ta, kad skaitiklį perkėlus į vardiklį ir atvirkščiai, rodiklio ženklas pasikeičia į priešingą. Pavyzdžiui:
Šios nuosavybės pasekmė:
* * *
Didinant laipsnį į laipsnį, bazė išlieka ta pati, tačiau rodikliai dauginami.
* * *
Kaip matėte, pati logaritmo sąvoka yra paprasta. Svarbiausia, kad jums reikia geros praktikos, kuri suteikia jums tam tikrų įgūdžių. Žinoma, reikia žinoti formules. Jei įgūdis konvertuoti elementarius logaritmus nebuvo išugdytas, tada spręsdami paprastas užduotis galite lengvai suklysti.
Praktikuokite, pirmiausia išspręskite paprasčiausius matematikos kurso pavyzdžius, tada pereikite prie sudėtingesnių. Ateityje tikrai parodysiu, kaip išsprendžiami „baisūs“ logaritmai, jie nepasirodys vieningame valstybiniame egzamine, bet jie yra įdomūs, nepraleiskite jų!
Tai viskas! Sėkmės tau!
Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas
P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.
Šio straipsnio akcentas yra logaritmas. Čia pateiksime logaritmo apibrėžimą, parodysime priimtą žymėjimą, pateiksime logaritmų pavyzdžių, pakalbėsime apie natūraliuosius ir dešimtainius logaritmus. Po to mes apsvarstysime pagrindinę logaritminę tapatybę.
Puslapio naršymas.
Logaritmo apibrėžimas
Logaritmo sąvoka atsiranda sprendžiant uždavinį tam tikra atvirkštine prasme, kai reikia rasti eksponentą iš žinomos laipsnio reikšmės ir žinomos bazės.
Bet užtenka įvadų, laikas atsakyti į klausimą „kas yra logaritmas“? Pateiksime atitinkamą apibrėžimą.
Apibrėžimas.
B logaritmas iki a bazės, kur a>0, a≠1 ir b>0 yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautumėte b.
Šiame etape pastebime, kad ištartas žodis „logaritmas“ turėtų iš karto iškelti du tolesnius klausimus: „koks skaičius“ ir „kokiu pagrindu“. Kitaip tariant, logaritmo tiesiog nėra, o tik skaičiaus logaritmas tam tikram pagrindui.
Įeikime tuoj pat logaritmo žymėjimas: skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a paprastai žymimas kaip log a b. Skaičiaus b logaritmas iki bazės e ir logaritmas iki 10 bazės turi savo specialius žymėjimus atitinkamai lnb ir logb, tai yra, jie rašo ne log e b, o lnb, o ne log 10 b, o lgb.
Dabar galime duoti:.
Ir įrašai 
nėra prasmės, nes pirmame iš jų yra neigiamas skaičius po logaritmo ženklu, antrame yra neigiamas skaičius bazėje, o trečiajame yra neigiamas skaičius po logaritmo ženklu ir vienetas pagrindas.
Dabar pakalbėkime apie logaritmų skaitymo taisyklės. Žymėjimas log a b skaitomas kaip "logaritmas nuo b iki pagrindo a". Pavyzdžiui, log 2 3 yra logaritmas iš trijų iki 2 pagrindo ir yra dviejų taškų dviejų trečdalių logaritmas iki penkių bazinės kvadratinės šaknies. Vadinamas logaritmas iki pagrindo e natūralusis logaritmas, o žymėjimas lnb yra "natūralus b logaritmas". Pavyzdžiui, ln7 yra natūralusis septynių logaritmas, ir mes jį skaitysime kaip natūralųjį pi logaritmą. 10 bazinis logaritmas taip pat turi specialų pavadinimą - dešimtainis logaritmas, o lgb skaitomas kaip „b dešimtainis logaritmas“. Pavyzdžiui, lg1 yra dešimtainis vieneto logaritmas, o lg2.75 yra dviejų taškų septynių penkių šimtųjų dalių dešimtainis logaritmas.
Atskirai verta pasilikti ties sąlygomis a>0, a≠1 ir b>0, kurioms esant pateikiamas logaritmo apibrėžimas. Paaiškinkime, iš kur atsiranda šie apribojimai. Tai padaryti padės formos lygybė, kuri tiesiogiai išplaukia iš aukščiau pateikto logaritmo apibrėžimo.
Pradėkime nuo a≠1. Kadangi vienas bet kuriai laipsniai yra lygus vienetui, lygybė gali būti teisinga tik tada, kai b=1, bet log 1 1 gali būti bet koks realusis skaičius. Siekiant išvengti šios dviprasmybės, daroma prielaida, kad a≠1.
Pagrįskime sąlygos a>0 tikslingumą. Esant a=0, pagal logaritmo apibrėžimą, turėtume lygybę, kuri įmanoma tik esant b=0. Bet tada log 0 0 gali būti bet koks realusis skaičius, kuris nėra nulis, nes nuo nulio iki bet kurios nulinės galios yra nulis. Sąlyga a≠0 leidžia išvengti šios dviprasmybės. Ir kai a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Galiausiai sąlyga b>0 išplaukia iš nelygybės a>0, nes , o laipsnio su teigiama baze a reikšmė visada yra teigiama.
Baigdami šį klausimą, tarkime, kad nurodytas logaritmo apibrėžimas leidžia iš karto nurodyti logaritmo reikšmę, kai skaičius po logaritmo ženklu yra tam tikra bazės galia. Iš tiesų, logaritmo apibrėžimas leidžia teigti, kad jei b=a p, tai skaičiaus b logaritmas bazei a yra lygus p. Tai yra, lygybės log a a p =p yra teisinga. Pavyzdžiui, žinome, kad 2 3 = 8, tada log 2 8 = 3. Daugiau apie tai kalbėsime straipsnyje.
