Šlaitas tiesus. Liestinės kampinis koeficientas kaip polinkio kampo liestinė

Išmok imti funkcijų išvestinius. Išvestinė apibūdina funkcijos kitimo greitį tam tikrame taške, esančiame šios funkcijos grafike. Šiuo atveju grafikas gali būti tiesi arba lenkta linija. Tai yra, išvestinė apibūdina funkcijos kitimo greitį tam tikru laiko momentu. Prisiminti Bendrosios taisyklės, pagal kurią paimamos išvestinės priemonės, ir tik tada pereikite prie kito žingsnio.

• Perskaityk straipsnį.
• Kaip imti paprasčiausius išvestinius, pavyzdžiui, išvestinę eksponentinė lygtis, aprašyta. Tolesniuose etapuose pateikti skaičiavimai bus pagrįsti juose aprašytais metodais.

Išmokite atskirti užduotis, kuriose nuolydis reikia apskaičiuoti naudojant funkcijos išvestinę. Problemos ne visada prašo rasti funkcijos nuolydį arba išvestinę. Pavyzdžiui, jūsų gali būti paprašyta rasti funkcijos pokyčio greitį taške A(x,y). Taip pat gali būti paprašyta rasti liestinės nuolydį taške A(x,y). Abiem atvejais reikia paimti funkcijos išvestinę.

Ankstesniame skyriuje buvo parodyta, kad pasirinkę tam tikrą koordinačių sistemą plokštumoje, galime geometrines savybes, kuris apibūdina nagrinėjamos tiesės taškus, analitiškai išreiškiamas lygtimi tarp dabartinių koordinačių. Taip gauname tiesės lygtį. Šiame skyriuje bus nagrinėjamos tiesių linijos lygtys.

Norėdami sukurti tiesės lygtį Dekarto koordinatėmis, turite kažkaip nustatyti sąlygas, kurios nustato jos padėtį koordinačių ašių atžvilgiu.

Pirmiausia pristatysime tiesės kampinio koeficiento, kuris yra vienas iš dydžių, apibūdinančių tiesės padėtį plokštumoje, sąvoką.

Tiesės polinkio į Ox ašį kampu vadinkime kampą, kuriuo reikia pasukti Ox ašį, kad ji sutaptų su nurodyta tiese (arba būtų jai lygiagreti). Kaip įprasta, kampą svarstysime atsižvelgdami į ženklą (ženklas nustatomas pagal sukimosi kryptį: prieš arba pagal laikrodžio rodyklę). Kadangi papildomas Ox ašies pasukimas 180° kampu ją vėl sulygiuos su tiesia linija, tiesės polinkio į ašį kampas negali būti pasirinktas vienareikšmiškai (vieno termino ribose, kartotinis).

Šio kampo liestinė nustatoma vienareikšmiškai (nes keičiant kampą jo liestinė nekeičiama).

Tiesės polinkio kampo Ox ašies liestinė vadinama tiesės kampiniu koeficientu.

Kampinis koeficientas apibūdina tiesės kryptį (čia neskiriame dviejų tarpusavyje priešingų tiesės krypčių). Jei nuolydis tiesus lygus nuliui, tada tiesi linija yra lygiagreti x ašiai. Esant teigiamam kampiniam koeficientui, tiesės polinkio kampas į Ox ašį bus ūmus (čia svarstome mažiausią teigiama vertė pasvirimo kampas) (39 pav.); Be to, kuo didesnis kampo koeficientas, tuo didesnis jo pasvirimo kampas į Ox ašį. Jei kampinis koeficientas neigiamas, tai tiesės polinkio kampas į Ox ašį bus bukas (40 pav.). Atkreipkite dėmesį, kad tiesė, statmena Ox ašiai, neturi kampo koeficiento (kampo liestinė neegzistuoja).

Temos tęsinys, tiesės lygtis plokštumoje paremta tiesės tyrimu iš algebros pamokų. Šiame straipsnyje pateikiama bendra informacija apie tiesės ir nuolydžio lygtį. Panagrinėkime apibrėžimus, gaukime pačią lygtį ir nustatykime ryšį su kitų tipų lygtimis. Viskas bus aptarta naudojant problemų sprendimo pavyzdžius.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prieš rašant tokią lygtį, būtina apibrėžti tiesės pasvirimo kampą į O x ašį su jų kampiniu koeficientu. Tarkime, kad plokštumoje pateikta Dekarto koordinačių sistema O x.

1 apibrėžimas

Tiesios linijos pasvirimo kampas O x ašies atžvilgiu, esantis Dekarto koordinačių sistemoje O x y plokštumoje, tai kampas, matuojamas nuo teigiamos krypties O x iki tiesės prieš laikrodžio rodyklę.

Kai linija lygiagreti O x arba joje sutampa, pasvirimo kampas lygus 0. Tada intervale [0, π) apibrėžiamas duotosios tiesės pasvirimo kampas α.

2 apibrėžimas

Tiesioginis nuolydis yra tam tikros tiesės polinkio kampo liestinė.

Standartinis žymėjimas yra k. Iš apibrėžimo matome, kad k = t g α . Kai linija lygiagreti Ox, jie sako, kad nuolydis neegzistuoja, nes jis eina į begalybę.

Nuolydis yra teigiamas, kai funkcijos grafikas didėja ir atvirkščiai. Paveikslėlyje pavaizduoti įvairūs vietos variantai stačiu kampu koordinačių sistemos atžvilgiu su koeficiento reikšme.

Norint rasti šį kampą, reikia taikyti kampinio koeficiento apibrėžimą ir apskaičiuoti polinkio kampo liestinę plokštumoje.

Sprendimas

Iš sąlygos gauname, kad α = 120°. Pagal apibrėžimą nuolydis turi būti apskaičiuotas. Raskime jį iš formulės k = t g α = 120 = - 3.

Atsakymas: k = – 3 .

Jei žinomas kampo koeficientas ir reikia rasti pasvirimo kampą į abscisių ašį, reikia atsižvelgti į kampo koeficiento vertę. Jei k > 0, tai stačiasis kampas yra smailusis ir randamas pagal formulę α = a r c t g k. Jeigu k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

2 pavyzdys

Nustatykite nurodytos tiesės polinkio į O x kampą, kurio kampo koeficientas yra 3.

Sprendimas

Iš sąlygos turime, kad kampo koeficientas yra teigiamas, o tai reiškia, kad posvyrio kampas į O x yra mažesnis nei 90 laipsnių. Skaičiavimai atliekami naudojant formulę α = a r c t g k = a r c t g 3.

Atsakymas: α = a r c t g 3 .

3 pavyzdys

Raskite tiesės polinkio į O x ašį kampą, jei nuolydis = - 1 3.

Sprendimas

Jei laikysime raidę k kaip kampinio koeficiento žymėjimą, tada α yra pasvirimo kampas į tam tikrą tiesią liniją teigiama kryptimi O x. Taigi k = -1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Atsakymas: 5 π 6 .

Formos y = k x + b lygtis, kur k yra nuolydis, o b yra tikrasis skaičius, vadinama tiesės su nuolydžiu lygtimi. Lygtis būdinga bet kuriai tiesei, kuri nėra lygiagreti O y ašiai.

Jei detaliai nagrinėsime tiesę plokštumoje fiksuotoje koordinačių sistemoje, kuri nurodoma lygtimi su kampiniu koeficientu, kurios forma yra y = k x + b. Šiuo atveju tai reiškia, kad lygtis atitinka bet kurio tiesės taško koordinates. Jei taško M, M 1 (x 1, y 1) koordinates pakeisime į lygtį y = k x + b, tai šiuo atveju tiesė eis per šį tašką, kitaip taškas tiesei nepriklauso.

4 pavyzdys

Pateikta tiesė, kurios nuolydis y = 1 3 x - 1. Apskaičiuokite, ar taškai M 1 (3, 0) ir M 2 (2, - 2) priklauso duotai tiesei.

Sprendimas

Duotąja lygtimi reikia pakeisti taško M 1 (3, 0) koordinates, tada gauname 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Lygybė yra tiesa, o tai reiškia, kad taškas priklauso tiesei.

Jei pakeisime taško M 2 koordinates (2, - 2), tada gausime neteisingą lygybę - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Galime daryti išvadą, kad taškas M 2 nepriklauso tiesei.

Atsakymas: M 1 priklauso linijai, bet M 2 nepriklauso.

Žinoma, kad tiesė apibrėžiama lygtimi y = k · x + b, einanti per M 1 (0, b), pakeitus gauta lygybė b = k · 0 + b ⇔ b = b. Iš to galime daryti išvadą, kad tiesės lygtis su kampo koeficientu y = k x + b plokštumoje apibrėžia tiesę, kuri eina per tašką 0, b. Jis sudaro kampą α su teigiama O x ašies kryptimi, kur k = t g α.

Panagrinėkime, kaip pavyzdį, tiesę, apibrėžtą naudojant kampinį koeficientą, nurodytą forma y = 3 x - 1. Gauname, kad tiesė eis per tašką, kurio koordinatė yra 0, - 1 su α = a r c t g 3 = π 3 radianų nuolydžiu teigiama O x ašies kryptimi. Tai rodo, kad koeficientas yra 3.

Tiesios linijos su nuolydžiu, einančiomis per nurodytą tašką, lygtis

Būtina išspręsti uždavinį, kuriame reikia gauti tiesės su tam tikru nuolydžiu, einančios per tašką M 1 (x 1, y 1), lygtį.

Lygybę y 1 = k · x + b galima laikyti galiojančia, nes tiesė eina per tašką M 1 (x 1, y 1). Norint pašalinti skaičių b, reikia iš kairės ir dešinės pusės atimti lygtį su nuolydžiu. Iš to išplaukia, kad y - y 1 = k · (x - x 1) . Ši lygybė vadinama tiesės su nurodytu nuolydžiu k, einančios per taško M 1 (x 1, y 1) koordinates, lygtimi.

5 pavyzdys

Parašykite tiesės, einančios per tašką M 1, su koordinatėmis (4, - 1), kurios kampinis koeficientas lygus - 2, lygtį.

Sprendimas

Pagal sąlygą turime, kad x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Iš čia linijos lygtis bus parašyta taip: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Atsakymas: y = - 2 x + 7 .

6 pavyzdys

Parašykite tiesės su kampiniu koeficientu, kuri eina per tašką M 1 su koordinatėmis (3, 5), lygiagrečiai tiesei y = 2 x - 2, lygtį.

Sprendimas

Pagal sąlygą turime, kad lygiagrečios linijos turi vienodus pasvirimo kampus, o tai reiškia, kad kampiniai koeficientai yra lygūs. Norėdami rasti nuolydį iš šios lygties, turite atsiminti pagrindinę formulę y = 2 x - 2, tai reiškia, kad k = 2. Sudarome lygtį su nuolydžio koeficientu ir gauname:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Atsakymas: y = 2 x - 1 .

Perėjimas nuo tiesės lygties su nuolydžiu prie kitų tipų tiesių lygčių ir atgal

Ši lygtis ne visada tinka sprendžiant uždavinius, nes ji nėra labai patogiai parašyta. Norėdami tai padaryti, turite jį pateikti kita forma. Pavyzdžiui, y = k x + b formos lygtis neleidžia užrašyti tiesės krypties vektoriaus arba normalaus vektoriaus koordinačių. Norėdami tai padaryti, turite išmokti pavaizduoti kitokio tipo lygtimis.

Galime gauti kanoninė lygtis tiesė plokštumoje, naudojant tiesės su nuolydžiu lygtį. Gauname x - x 1 a x = y - y 1 a y . Reikia perkelti terminą b į kairę pusę ir padalinti iš gautos nelygybės išraiškos. Tada gauname y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k lygtį.

Tiesės su nuolydžiu lygtis tapo kanonine šios tiesės lygtimi.

7 pavyzdys

Įveskite tiesės lygtį su kampo koeficientu y = - 3 x + 12 į kanoninę formą.

Sprendimas

Apskaičiuokime ir pateiksime ją kanoninės tiesės lygties forma. Gauname formos lygtį:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Atsakymas: x 1 = y - 12 - 3.

Bendrąją tiesės lygtį lengviausia gauti iš y = k · x + b, tačiau tam reikia atlikti transformacijas: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Perėjimas atliekamas iš bendroji lygtis tiesi linija į kito tipo lygtis.

8 pavyzdys

Duota y = 1 7 x - 2 formos tiesės lygtis. Išsiaiškinkite, ar vektorius, kurio koordinatės a → = (- 1, 7), yra normaliosios tiesės vektorius?

Sprendimas

Norėdami išspręsti, būtina pereiti prie kitos šios lygties formos, už tai rašome:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Koeficientai prieš kintamuosius yra tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės. Parašykime taip: n → = 1 7, - 1, taigi 1 7 x - y - 2 = 0. Akivaizdu, kad vektorius a → = (- 1, 7) yra kolinearinis vektoriui n → = 1 7, - 1, nes turime teisingą ryšį a → = - 7 · n →. Iš to išplaukia, kad pradinis vektorius a → = - 1, 7 yra normalus tiesės 1 7 x - y - 2 = 0 vektorius, o tai reiškia, kad jis laikomas normaliu vektoriumi tiesei y = 1 7 x - 2.

Atsakymas: Is

Išspręskime atvirkštinę šios problemos problemą.

Reikia persikelti iš bendras vaizdas lygtis A x + B y + C = 0, kur B ≠ 0, į lygtį su nuolydžiu. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame y lygtį. Gauname A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B .

Rezultatas yra lygtis, kurios nuolydis lygus - A B .

9 pavyzdys

Pateikta 2 3 x - 4 y + 1 = 0 formos tiesinė lygtis. Gauti duotosios tiesės su kampiniu koeficientu lygtį.

Sprendimas

Remiantis sąlyga, reikia išspręsti y, tada gauname formos lygtį:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Atsakymas: y = 1 6 x + 1 4 .

Panašiai sprendžiama ir x a + y b = 1 formos lygtis, kuri vadinama tiesės lygtimi atkarpose, arba kanonine formos x - x 1 a x = y - y 1 a y. Turime ją išspręsti y, tik tada gauname lygtį su nuolydžiu:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Kanoninė lygtis gali būti sumažinta iki formos su kampiniu koeficientu. Už tai:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

10 pavyzdys

Yra tiesi linija, nurodyta lygtimi x 2 + y - 3 = 1. Sumažinti iki lygties formos su kampiniu koeficientu.

Sprendimas.

Remiantis sąlyga, reikia transformuoti, tada gauname _formulės_ formos lygtį. Norint gauti reikiamą nuolydžio lygtį, abi lygties puses reikia padauginti iš -3. Transformuodami gauname:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Atsakymas: y = 3 2 x - 3 .

11 pavyzdys

Sumažinkite formos x - 2 2 = y + 1 5 tiesės lygtį iki formos su kampiniu koeficientu.

Sprendimas

Reikia apskaičiuoti išraišką x - 2 2 = y + 1 5 kaip proporciją. Gauname, kad 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Dabar turite jį visiškai įjungti, kad atliktumėte šiuos veiksmus:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Atsakymas: y = 5 2 x - 6 .

Norint išspręsti tokius uždavinius, x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ formos tiesės parametrines lygtis reikia redukuoti į kanoninę tiesės lygtį, tik po to galima pereiti prie lygties su nuolydžio koeficientas.

12 pavyzdys

Raskite tiesės nuolydį, jei jis nurodytas parametrinėmis lygtimis x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Sprendimas

Būtina pereiti nuo parametrinio vaizdo į nuolydį. Norėdami tai padaryti, iš pateiktos parametrinės lygties randame kanoninę lygtį:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Dabar reikia išspręsti šią lygybę y atžvilgiu, kad gautume tiesės su kampiniu koeficientu lygtį. Norėdami tai padaryti, parašykite taip:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Iš to išplaukia, kad linijos nuolydis yra 2. Tai parašyta kaip k = 2.

Atsakymas: k = 2.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šlaitas tiesus. Šiame straipsnyje apžvelgsime problemas, susijusias su koordinačių plokštuma, įtraukta į vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Tai užduotys, skirtos:

— tiesės kampo koeficiento nustatymas, kai yra žinomi du taškai, per kuriuos ji eina;
— dviejų tiesių plokštumoje susikirtimo taško abscisės arba ordinatės nustatymas.

Kas yra taško abscisė ir ordinatė, buvo aprašyta šiame skyriuje. Jame jau apsvarstėme keletą problemų, susijusių su koordinačių plokštuma. Ką reikia suprasti, atsižvelgiant į nagrinėjamos problemos tipą? Šiek tiek teorijos.

Tiesios linijos lygtis koordinačių plokštumoje yra tokia:

Kur k – tai yra linijos nuolydis.

Kita akimirka! Tiesios linijos nuolydis lygus tiesės polinkio kampo liestinei. Tai kampas tarp nurodytos linijos ir ašiesOi.

Jis svyruoja nuo 0 iki 180 laipsnių.

Tai yra, jei tiesės lygtį sumažinsime iki formos y = kx + b, tada visada galime nustatyti koeficientą k (nuolydžio koeficientą).

Be to, jei pagal sąlygą galime nustatyti tiesės polinkio kampo liestinę, tada rasime jos kampinį koeficientą.

Kitas teorinis punktas!Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis.Formulė atrodo taip:

Panagrinėkime problemas (panašias į problemas iš atviras bankas užduotys):

Raskite tiesės, einančios per taškus, kurių koordinatės (–6;0) ir (0;6), nuolydį.

Šioje užduotyje racionaliausias sprendimo būdas – rasti kampo tarp x ašies ir duotosios tiesės liestinę. Yra žinoma, kad jis lygus nuolydžiui. Apsvarstykite statųjį trikampį, sudarytą iš tiesės ir ašių x ir oy:

Kampo liestinė in taisyklingas trikampis yra priešingos pusės ir gretimos pusės santykis:

*Abi kojos lygios šešioms (tai jų ilgiai).

Žinoma, šią problemą galima išspręsti naudojant formulę, kaip rasti tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtį. Bet tai bus ilgesnis sprendimas.

Atsakymas: 1

Raskite tiesės, einančios per taškus, kurių koordinatės (5;0) ir (0;5), nuolydį.

Mūsų taškai turi koordinates (5;0) ir (0;5). Reiškia,

Sudėkime formulę į formą y = kx + b

Mes nustatėme, kad nuolydis k = – 1.

Atsakymas: -1

Tiesiai a eina per taškus, kurių koordinatės (0;6) ir (8;0). Tiesiai b eina per tašką su koordinatėmis (0;10) ir yra lygiagreti tiesei a b su ašimi Oi.

Šiame uždavinyje galite rasti linijos lygtį a, nustatykite jo nuolydį. Tiesioje linijoje b nuolydis bus toks pat, nes jie yra lygiagretūs. Toliau galite rasti linijos lygtį b. Ir tada, pakeisdami reikšmę y = 0, raskite abscisę. BET!

Tokiu atveju lengviau panaudoti trikampių panašumo savybę.

Statieji trikampiai, sudaryti iš šių (lygiagrečių) tiesių ir koordinačių ašių, yra panašūs, o tai reiškia, kad jų atitinkamų kraštinių santykiai yra lygūs.

Reikalinga abscisė yra 40/3.

Atsakymas: 40/3

Tiesiai a eina per taškus, kurių koordinatės (0;8) ir (–12;0). Tiesiai b eina per tašką su koordinatėmis (0; –12) ir yra lygiagreti tiesei a. Raskite tiesės susikirtimo taško abscisę b su ašimi Oi.

Šiai problemai racionaliausias būdas ją išspręsti yra panaudoti trikampių panašumo savybę. Bet mes tai išspręsime kitaip.

Mes žinome taškus, per kuriuos eina linija A. Galime parašyti tiesės lygtį. Tiesios linijos, einančios per du nurodytus taškus, lygties formulė yra tokia:

Pagal sąlygą taškai turi koordinates (0;8) ir (–12;0). Reiškia,

Prisiminkime y = kx + b:

Gavau tą kampą k = 2/3.

* Kampo koeficientą galima rasti per kampo liestinę stačiame trikampyje su 8 ir 12 kojomis.

Yra žinoma, kad lygiagrečios tiesės turi vienodus kampo koeficientus. Tai reiškia, kad tiesės, einančios per tašką (0;-12), lygtis yra tokia:

Raskite vertę b galime pakeisti abscisę ir sureguliuoti į lygtį:

Taigi tiesi linija atrodo taip:

Dabar, norėdami rasti norimą tiesės ir x ašies susikirtimo taško abscisę, turite pakeisti y = 0:

Atsakymas: 18

Raskite ašies susikirtimo taško ordinates Oi ir tiesė, einanti per tašką B(10;12) ir lygiagreti tiesei, einančia per pradžios tašką ir tašką A(10;24).

Raskime tiesės, einančios per taškus, kurių koordinatės (0;0) ir (10;24), lygtį.

Tiesios linijos, einančios per du nurodytus taškus, lygties formulė yra tokia:

Mūsų taškai turi koordinates (0;0) ir (10;24). Reiškia,

Prisiminkime y = kx + b

Lygiagrečių tiesių kampų koeficientai lygūs. Tai reiškia, kad tiesės, einančios per tašką B(10;12), lygtis yra tokia:

Reikšmė b Raskime, pakeisdami taško B(10;12) koordinates į šią lygtį:

Gavome tiesios linijos lygtį:

Norėdami rasti šios tiesės susikirtimo su ašimi taško ordinates OU reikia pakeisti į rastą lygtį X= 0:

*Paprasčiausias sprendimas. Naudodami lygiagretųjį vertimą, mes perkeliame šią liniją žemyn išilgai ašies OUį tašką (10;12). Poslinkis įvyksta 12 vienetų, tai yra taškas A(10;24) „perkeltas“ į tašką B(10;12), o taškas O(0;0) „perkeltas“ į tašką (0;–12). Tai reiškia, kad gauta tiesi linija susikirs su ašimi OU taške (0;–12).

Reikalinga ordinatė yra –12.

Atsakymas: -12

Raskite lygties pateiktos tiesės susikirtimo taško ordinates

3x + 2u = 6, su ašimi Oy.

Duotos tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė OU turi formą (0; adresu). Pakeiskime abscises į lygtį X= 0 ir raskite ordinatę:

Tiesės ir ašies susikirtimo taško ordinatės OU lygus 3.

*Sistema išspręsta:

Atsakymas: 3

Raskite lygčių pateiktų tiesių susikirtimo taško ordinates

3x + 2y = 6 Ir y = – x.

Kai pateikiamos dvi tiesės ir kyla klausimas, kaip rasti šių tiesių susikirtimo taško koordinates, išsprendžiama šių lygčių sistema:

Pirmoje lygtyje pakeičiame - X vietoj adresu:

Ordinatės lygi minus šeši.

Atsakymas: – 6

Raskite tiesės, einančios per taškus, kurių koordinatės (–2;0) ir (0;2), nuolydį.

Raskite tiesės, einančios per taškus, kurių koordinatės (2;0) ir (0;2), nuolydį.

Tiesė a eina per taškus, kurių koordinatės (0;4) ir (6;0). Tiesė b eina per tašką su koordinatėmis (0;8) ir yra lygiagreti tiesei a. Raskite tiesės b susikirtimo su Ox ašimi taško abscisę.

Raskite oy ašies ir tiesės, einančios per tašką B (6;4) ir lygiagrečios tiesei, einančia per pradžią ir tašką A (6;8), susikirtimo taško ordinates.

1. Būtina aiškiai suprasti, kad tiesės kampinis koeficientas yra lygus tiesės polinkio kampo liestinei. Tai padės išspręsti daugelį tokio tipo problemų.

2. Reikia suprasti formulę, kaip rasti tiesę, einanti per du duotus taškus. Su jo pagalba visada rasite tiesės lygtį, jei pateiktos dviejų jos taškų koordinatės.

3. Atminkite, kad lygiagrečių tiesių nuolydžiai yra lygūs.

4. Kaip suprantate, kai kuriuose uždaviniuose patogu naudoti trikampio panašumo funkciją. Problemos sprendžiamos praktiškai žodžiu.

5. Gali būti išspręsti uždaviniai, kuriuose pateiktos dvi tiesės ir reikia rasti jų susikirtimo taško abscises arba ordinates. grafiškai. Tai yra, pastatykite juos koordinačių plokštumoje (ant popieriaus lapo kvadrate) ir vizualiai nustatykite susikirtimo tašką. *Tačiau šis metodas ne visada taikomas.

6. Ir galiausiai. Jeigu yra duota tiesė ir jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškų koordinatės, tai tokiuose uždaviniuose kampinį koeficientą patogu rasti ieškant kampo liestinės suformuotame stačiakampiame trikampyje. Žemiau schematiškai parodyta, kaip „pamatyti“ šį trikampį su skirtingomis tiesių linijomis plokštumoje:

>> Tiesus kampas nuo 0 iki 90 laipsnių<<

>> Tiesus kampas nuo 90 iki 180 laipsnių<<

Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Matematikoje vienas iš parametrų, nusakančių tiesės padėtį Dekarto koordinačių plokštumoje, yra šios tiesės kampinis koeficientas. Šis parametras apibūdina tiesios linijos nuolydį iki abscisių ašies. Norėdami suprasti, kaip rasti nuolydį, pirmiausia prisiminkite bendrą tiesės lygties formą XY koordinačių sistemoje.

Apskritai, bet kurią eilutę galima pavaizduoti išraiška ax+by=c, kur a, b ir c yra savavališki realieji skaičiai, bet a 2 + b 2 ≠ 0.

Naudojant paprastas transformacijas, tokią lygtį galima pateikti į formą y=kx+d, kurioje k ir d yra realieji skaičiai. Skaičius k yra nuolydis, o tokio tipo linijos lygtis vadinama lygtimi su nuolydžiu. Pasirodo, kad norint rasti nuolydį, tiesiog reikia sumažinti pradinę lygtį iki aukščiau nurodytos formos. Norėdami geriau suprasti, apsvarstykite konkretų pavyzdį:

Užduotis: Raskite tiesės, gautos pagal lygtį 36x - 18y = 108, nuolydį

Sprendimas: Transformuokime pradinę lygtį.

Atsakymas: Reikalingas šios linijos nuolydis yra 2.

Jei lygties transformacijos metu gavome tokią išraišką kaip x = const ir dėl to negalime pavaizduoti y kaip x funkcijos, tai yra lygiagreti X ašiai. Kampinis koeficientas tiesi linija lygi begalybei.

Tiesų, išreikštų lygtimi, pvz., y = const, nuolydis yra lygus nuliui. Tai būdinga tiesioms linijoms, lygiagrečioms abscisių ašiai. Pavyzdžiui:

Užduotis: Raskite tiesės nuolydį, gautą pagal lygtį 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Sprendimas: Pateikime pradinę lygtį į bendrą formą

24x + 12m - 12m + 28 = 4

Iš gautos išraiškos y išreikšti neįmanoma, todėl šios tiesės kampinis koeficientas lygus begalybei, o pati tiesė bus lygiagreti Y ašiai.

Geometrinė reikšmė

Norėdami geriau suprasti, pažvelkime į paveikslėlį:

Paveiksle matome tokios funkcijos kaip y = kx grafiką. Kad būtų paprasčiau, imkime koeficientą c = 0. Trikampyje OAB kraštinės BA ir AO santykis bus lygus kampiniam koeficientui k. Tuo pat metu santykis BA/AO yra stačiojo trikampio OAB smailiojo kampo α liestinė. Pasirodo, kad tiesės kampinis koeficientas yra lygus kampo, kurį ši tiesė sudaro su koordinačių tinklelio abscisių ašimi, tangentei.

Išspręsdami uždavinį, kaip rasti tiesės kampinį koeficientą, randame kampo tarp jos ir koordinačių tinklelio X ašies liestinę. Ribiniai atvejai, kai nagrinėjama linija yra lygiagreti koordinačių ašims, patvirtina tai, kas išdėstyta aukščiau. Iš tiesų, tiesei linijai, aprašytai lygtimi y=const, kampas tarp jos ir abscisių ašies yra lygus nuliui. Nulinio kampo liestinė taip pat lygi nuliui, o nuolydis taip pat lygus nuliui.

Tiesių tiesių, statmenų x ašiai ir apibūdinamų lygtimi x=const, kampas tarp jų ir X ašies yra 90 laipsnių. Stačiojo kampo liestinė lygi begalybei, o panašių tiesių kampinis koeficientas taip pat lygus begalybei, kas patvirtina tai, kas buvo parašyta aukščiau.

Tangentinis nuolydis

Įprasta užduotis, su kuria dažnai susiduriama praktikoje, taip pat yra surasti funkcijos grafiko liestinės nuolydį tam tikrame taške. Liestinė yra tiesi linija, todėl jai taikytina ir nuolydžio sąvoka.

Norėdami išsiaiškinti, kaip rasti liestinės nuolydį, turėsime prisiminti išvestinės sąvoką. Bet kurios funkcijos išvestinė tam tikrame taške yra konstanta, skaitiniu požiūriu lygi kampo, susidariusio tarp liestinės nurodytame šios funkcijos grafiko taške ir abscisių ašies, liestei. Pasirodo, norint nustatyti liestinės kampinį koeficientą taške x 0, reikia apskaičiuoti pradinės funkcijos išvestinės reikšmę šiame taške k = f"(x 0). Pažvelkime į pavyzdį:

Uždavinys: Raskite funkcijos y = 12x 2 + 2xe x liestinės nuolydį, kai x = 0,1.

Sprendimas: Raskite pradinės funkcijos išvestinę bendrąja forma

y"(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Atsakymas: Reikalingas nuolydis taške x = 0,1 yra 4,831