Pateiktas išvestinės grafikas, raskite minimalius taškus. Funkcijos išvestinė. Geometrinė išvestinės reikšmė

Tiesė y=3x+2 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko liestinė. Raskite b, atsižvelgiant į tai, kad liestinės taško abscisė yra mažesnė už nulį.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tegu x_0 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko taško, per kurį eina šio grafiko liestinė, abscisė.

Išvestinės reikšmė taške x_0 yra nuolydis liestinė, tai yra, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Kita vertus, liestinės taškas vienu metu priklauso ir funkcijos grafikui, ir tangentei, tai yra -12x_0^2+bx_0- 10=3x_0+2 Gauname lygčių sistemą \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(atvejai)

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1. Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Atsakymas

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x) grafikas (tai yra trūkinė linija, sudaryta iš trijų tiesių atkarpų). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių, yra lygus riboto kreivinės trapecijos plotui. funkcijos y=f(x) grafiku, tiesės y=0 , x=9 ir x=5. Iš grafiko nustatome, kad nurodyta kreiva trapecija yra trapecija, kurios pagrindai lygūs 4 ir 3, o aukštis 3.

Jo plotas lygus \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“ Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

Paveikslėlyje parodytas y=f"(x) grafikas – funkcijos f(x) išvestinė, apibrėžta intervale (-4; 10). Raskite mažėjančios funkcijos f(x) intervalus. Jūsų atsakyme, nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Kaip žinoma, funkcija f(x) mažėja tuose intervaluose, kurių kiekviename taške išvestinė f"(x) yra mažesnė už nulį. Atsižvelgiant į tai, kad reikia rasti didžiausio iš jų ilgį, yra trys tokie intervalai. natūraliai skiriasi nuo figūros: (-4; -2) (0; 3);

Didžiausio iš jų ilgis (5; 9) yra 4.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

Paveikslėlyje pavaizduotas y=f"(x) grafikas – funkcijos f(x) išvestinė, apibrėžta intervale (-8; 7). Raskite funkcijos f(x), priklausančių maksimalių taškų skaičių. intervalas [-6; -2].

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Grafikas rodo, kad funkcijos f(x) išvestinė f"(x) keičia ženklą iš pliuso į minusą (tokiuose taškuose bus maksimumas) tiksliai viename taške (tarp -5 ir -4) iš intervalo [ -6; -2 ] Todėl intervale yra lygiai vienas maksimalus taškas [-6;

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x), apibrėžtos intervale (-2; 8), grafikas. Nustatykite taškų, kuriuose funkcijos f(x) išvestinė yra lygi 0, skaičių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Išvestinės lygybė taške su nuliu reiškia, kad šiame taške nubrėžtos funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai. Todėl randame taškus, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai. Šioje diagramoje tokie taškai yra ekstremalūs taškai (maksimaliai arba minimalūs taškai). Kaip matote, yra 5 ekstremalūs taškai.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

Tiesė y=-3x+4 lygiagreti funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko liestinei. Raskite liestinės taško abscisę.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko tiesės kampinis koeficientas savavališkame taške x_0 yra lygus y"(x_0). Bet y"=-2x+5, o tai reiškia y" (x_0)=-2x_0+5. Sąlygoje nurodytas tiesės koeficientas y=-3x+4 lygiagrečios tiesės turi tokius pat kampinius koeficientus, kad = -2x_0 +5=-3.

Gauname: x_0 = 4.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Būklė

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas, o abscisėje pažymėti taškai -6, -1, 1, 4. Kuriame iš šių taškų išvestinė yra mažiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Vieningo valstybinio matematikos egzamino B dalies uždavinių sprendimas

Sprendimas. Didžiausi taškai atitinka taškus, kur išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą. Paveikslėlyje parodytas intervale (−10; 8) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių intervale [−9;6].

Sprendimas. Didžiausi taškai atitinka taškus, kur išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą. Atkarpoje [−9;6] funkcija turi du didžiausius taškus x = − 4 ir x = 4. Atsakymas: 2. Paveikslėlyje parodytas intervale (−10; 8) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių intervale [−9;6].

Sprendimas. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x), apibrėžtos intervale (−1; 12), grafikas. Nustatykite sveikųjų skaičių taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama, skaičių. Funkcijos išvestinė yra neigiama tuose intervaluose, kuriuose funkcija mažėja, t.y. intervaluose (0,5; 3), (6; 10) ir (11; 12). Juose yra ištisi 1, 2, 7, 8 ir 9 taškai. Iš viso yra 5 taškai. Atsakymas: 5.

Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės, apibrėžtos intervale (−10; 4), grafikas. Raskite funkcijos f(x) mažėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį. Sprendimas. Intervalai, kuriuose funkcija f(x) mažėja, atitinka intervalus, kurių funkcijos išvestinė yra neigiama.

Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės, apibrėžtos intervale (−10; 4), grafikas. Raskite funkcijos f(x) mažėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį. Sprendimas. Mažėjantys funkcijos f(x) intervalai atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama, tai yra 3 ilgio intervalą (-9; -6) ir ilgio intervalą (-2; 3). 5. Didžiausio iš jų ilgis yra 5. Atsakymas: 5.

Paveikslėlyje parodytas intervale (−7; 14) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių intervale [−6; 9]. Sprendimas. Didžiausi taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinis ženklas pasikeičia iš teigiamo į neigiamą.

Paveikslėlyje pavaizduotas intervale (−8; 6) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite funkcijos f(x) didėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį. Sprendimas. Funkcijos f(x) didėjimo intervalai atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra teigiama.

Paveikslėlyje parodytas intervale (−7; 10) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite funkcijos f(x) minimalių taškų skaičių intervale [−3; 8]. Sprendimas. Minimalūs taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą.

Paveiksle pavaizduotas intervale (−7; 10) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite funkcijos f(x) minimalių taškų skaičių intervale [−3; 8]. Sprendimas. Minimalūs taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą. Atkarpoje [−3; 8] funkcija turi vieną minimalų tašką x = 2. Atsakymas: 1.

Paveiksle pavaizduotas intervale (−16; 4) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite funkcijos f(x) ekstremalių taškų skaičių intervale [−14; 2]. Sprendimas. Ekstremumo taškai atitinka taškus, kuriuose keičiasi išvestinės ženklas – grafike parodytos išvestinės nuliai. Išvestinė išnyksta taškuose −13, −11, −9, −7. Atkarpoje [−14; 2] funkcija turi 4 ekstremumo taškus. Atsakymas: 4.

Paveiksle pavaizduotas intervale (−2; 12) apibrėžtos funkcijos y=f(x) grafikas. Raskite funkcijos f(x) ekstremalių taškų sumą. Sprendimas. Duota funkcija turi maksimumus taškuose 1, 4, 9, 11, o minimumus – 2, 7, 10. Todėl ekstremalių taškų suma yra 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. Atsakymas : 44.

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 .

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 . Sprendimas. Išvestinės reikšmė liesties taške yra lygi liestinės nuolydžiui, kuri savo ruožtu yra lygi šios liestinės polinkio kampo liestine su abscisių ašimi. Sukonstruokime trikampį, kurio viršūnės yra taškuose A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Abscisių ašies liestinės polinkio kampas bus lygus kampui, greta kampo ACB

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė abscisių taške, lygi 3. Raskite šios funkcijos išvestinės reikšmę taške x = 3. Norėdami išspręsti, naudojame geometrinė išvestinės reikšmė: funkcijos išvestinės reikšmė taške yra lygi šiame taške nubrėžto šios funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui. Liestinės kampas lygus kampo tarp liestinės ir teigiamos x ašies krypties tangentei (tg α). Kampas α = β, kaip kryžminiai kampai su lygiagrečiomis tiesėmis y=0, y=1 ir sekantine liestine. Trikampiui ABC

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 .

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 . Pagal liestinės savybes y=f ′ (x 0)⋅x+b, b=const Paveikslėlyje parodyta, kad funkcijos f(x) liestinė taške x 0 eina per taškus (-3;2 ), (5,4) . Todėl galime sukurti lygčių sistemą

Šaltiniai http://reshuege.ru/

Sveiki! Išlaikykime artėjantį Vieningą valstybinį egzaminą kokybišku sistemingu pasiruošimu ir užsispyrimu šlifuodami mokslo granitą!!! INĮrašo pabaigoje yra konkurso užduotis, būk pirmas! Viename iš šios skilties straipsnių tu ir aš, kuriame buvo pateiktas funkcijos grafikas ir iškelti įvairūs klausimai dėl ekstremalių, padidėjimo (sumažėjimo) intervalų ir kt.

Šiame straipsnyje apžvelgsime problemas, įtrauktas į Vieningą valstybinį matematikos egzaminą, kuriame pateikiamas funkcijos išvestinės grafikas ir pateikiami šie klausimai:

1. Kuriame duotosios atkarpos taške funkcija įgyja didžiausią (arba mažiausią) reikšmę.
2. Raskite didžiausių (arba mažiausių) funkcijos taškų, priklausančių duotam atkarpai, skaičių.
3. Raskite funkcijos, priklausančios duotam atkarpai, ekstremumo taškų skaičių.
4. Raskite funkcijos, priklausančios duotam atkarpai, ekstremumo tašką.
5. Raskite didėjančios (arba mažėjančios) funkcijos intervalus ir atsakyme nurodykite į šiuos intervalus įtrauktų sveikųjų skaičių sumą.
6. Raskite funkcijos didėjimo (arba mažėjimo) intervalus. Savo atsakyme nurodykite didžiausio iš šių intervalų ilgį.
7. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su y = kx + b formos tiese, skaičių.
8. Raskite taško, kuriame funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti abscisių ašiai arba su ja sutampa, abscisę.

Gali kilti ir kitų klausimų, bet jie nesukels jums sunkumų, jei suprasite ir (pateikiamos nuorodos į straipsnius, kuriuose pateikiama sprendimui reikalinga informacija, rekomenduoju pakartoti).

Pagrindinė informacija (trumpai):

1. Išvestinė didėjančiais intervalais turi teigiamą ženklą.

Jei išvestinė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi teigiama vertė, tada funkcijos grafikas didėja per šį intervalą.

2. Mažėjančiais intervalais išvestinė turi neigiamą ženklą.

Jei išvestinė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi neigiamą reikšmę, tai funkcijos grafikas šiame intervale mažėja.

3. Išvestinė taške x lygi funkcijos grafiko tame pačiame taške nubrėžtos liestinės nuolydžiui.

4. Funkcijos ekstremumo (maksimalaus-minimalumo) taškuose išvestinė lygi nuliui. Funkcijos grafiko liestinė šiame taške yra lygiagreti x ašiai.

Tai reikia aiškiai suprasti ir atsiminti!!!

Išvestinis grafikas „supainioja“ daugybę žmonių. Kai kurie žmonės netyčia jį supainioja su pačios funkcijos grafiku. Todėl tokiuose pastatuose, kur matote, kad pateiktas grafikas, iš karto sutelkite dėmesį į tai, kas duota: funkcijos grafiką ar funkcijos išvestinės grafiką?

Jei tai funkcijos išvestinės grafikas, traktuokite jį kaip pačios funkcijos „atspindį“, kuris tiesiog suteikia informacijos apie tą funkciją.

Apsvarstykite užduotį:

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–2;21).

Atsakysime į šiuos klausimus:

1. Kuriame atkarpos taške yra funkcija f(X) priima didžiausia vertė.

Tam tikrame intervale funkcijos išvestinė yra neigiama, o tai reiškia, kad funkcija šiame intervale mažėja (ji mažėja nuo kairiosios intervalo ribos į dešinę). Taigi didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama kairiojoje atkarpos kraštinėje, ty 7 taške.

Atsakymas: 7

2. Kuriame atkarpos taške yra funkcija f(X)

Iš šio išvestinio grafiko galime pasakyti taip. Tam tikrame intervale funkcijos išvestinė yra teigiama, o tai reiškia, kad funkcija šiame intervale didėja (ji didėja nuo kairiosios intervalo ribos į dešinę). Taigi, mažiausia vertė funkcija pasiekiama kairiojoje atkarpos riboje, ty taške x = 3.

Atsakymas: 3

3. Raskite funkcijos didžiausių taškų skaičių f(X)

Didžiausi taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinis ženklas pasikeičia iš teigiamo į neigiamą. Pasvarstykime, kur taip pasikeičia ženklas.

Segmente (3;6) išvestinė yra teigiama, segmente (6;16) – neigiama.

Segmente (16;18) išvestinė yra teigiama, segmente (18;20) – neigiama.

Taigi tam tikroje atkarpoje funkcija turi du didžiausius taškus x = 6 ir x = 18.

Atsakymas: 2

4. Raskite funkcijos minimalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui.

Minimalūs taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinis ženklas pasikeičia iš neigiamo į teigiamą. Mūsų išvestinė yra neigiama intervale (0;3), o teigiama intervale (3;4).

Taigi atkarpoje funkcija turi tik vieną minimalų tašką x = 3.

*Būkite atsargūs rašydami atsakymą – įrašomas taškų skaičius, o ne x reikšmė tokia klaida gali būti padaryta dėl neatidumo;

Atsakymas: 1

5. Raskite funkcijos ekstremalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui.

Atkreipkite dėmesį, ką reikia rasti kiekis ekstremalūs taškai (tai yra ir didžiausi, ir mažiausi taškai).

Ekstremalūs taškai atitinka taškus, kuriuose keičiasi išvestinės vertės ženklas (iš teigiamo į neigiamą arba atvirkščiai). Sąlygoje pateiktoje diagramoje tai yra funkcijos nuliai. Išvestinė dingsta 3, 6, 16, 18 taškuose.

Taigi funkcija atkarpoje turi 4 kraštutinius taškus.

Atsakymas: 4

6. Raskite didėjimo funkcijos intervalus f(X)

Šios funkcijos didinimo intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose jo išvestinė yra teigiama, tai yra intervalus (3;6) ir (16;18). Atkreipkite dėmesį, kad intervalo ribos į jį neįtrauktos (apvalūs skliaustai - ribos neįtraukiamos į intervalą, laužtiniai skliaustai - įtraukiami). Šiuose intervaluose yra sveikųjų skaičių taškai 4, 5, 17. Jų suma yra: 4 + 5 + 17 = 26

Atsakymas: 26

7. Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X) tam tikru intervalu. Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Mažėjantys funkcijos intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama. Šioje užduotyje tai yra intervalai (–2;3), (6;16), (18:21).

Šiuos intervalus sudaro šie sveikieji taškai: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Jų suma yra tokia:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Atsakymas: 140

*Atkreipkite dėmesį į sąlygą: ar ribos įtraukiamos į intervalą, ar ne. Jei ribos įtraukiamos, tai intervaluose, kurie atsižvelgiama į sprendimo procesą, taip pat reikia atsižvelgti į šias ribas.

8. Raskite didėjimo funkcijos intervalus f(X)

Funkcijos didėjimo intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra teigiama. Juos jau nurodėme: (3;6) ir (16:18). Didžiausias iš jų – intervalas (3;6), jo ilgis – 3.

Atsakymas: 3

9. Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X). Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Mažėjantys funkcijos intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama. Mes juos jau nurodėme, tai yra intervalai (–2;3), (6;16), (18;21), jų ilgiai yra atitinkamai 5, 10, 3.

Didžiausio ilgis 10.

Atsakymas: 10

10. Raskite taškų, kuriuose yra funkcijos grafiko liestinė, skaičių f(X) lygiagreti arba sutampa su tiese y = 2x + 3.

Išvestinės reikšmė liestinės taške yra lygi liestinės nuolydžiui. Kadangi liestinė lygiagreti tiesei y = 2x + 3 arba su ja sutampa, jų kampiniai koeficientai lygūs 2. Tai reiškia, kad reikia rasti taškų, kuriuose y′(x 0) = 2, skaičių. Geometriškai tai atitinka išvestinės grafiko susikirtimo taškų skaičių su tiese y = 2. Šiame intervale yra 4 tokie taškai.

Atsakymas: 4

11. Raskite funkcijos ekstremumo tašką f(X), priklausantis segmentui.

Funkcijos ekstremumo taškas yra taškas, kuriame jos išvestinė yra lygi nuliui, o šalia šio taško išvestinė keičia ženklą (iš teigiamo į neigiamą arba atvirkščiai). Atkarpoje išvestinis grafikas kerta x ašį, išvestinė keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą. Todėl taškas x = 3 yra ekstremumo taškas.

Atsakymas: 3

12. Raskite taškų, kuriuose grafiko y = f (x) liestinės yra lygiagrečios abscisių ašiai arba su ja sutampa, abscises. Atsakyme nurodykite didžiausią iš jų.

Grafo liestinė y = f (x) gali būti lygiagreti abscisių ašiai arba sutapti su ja tik taškuose, kur išvestinė lygi nuliui (tai gali būti ekstremalieji taškai arba stacionarūs taškai, šalia kurių išvestinė yra nekeisti savo ženklo). Šis grafikas rodo, kad taškuose 3, 6, 16, 18 išvestinė yra lygi nuliui. Didžiausias yra 18.

Savo samprotavimus galite sukurti taip:

Išvestinės reikšmė liestinės taške yra lygi liestinės nuolydžiui. Kadangi liestinė yra lygiagreti arba sutampa su x ašimi, jos nuolydis yra 0 (iš tikrųjų kampo liestinė yra nulis laipsnių lygus nuliui). Todėl ieškome taško, kuriame nuolydis lygus nuliui, todėl išvestinė lygi nuliui. Išvestinė lygi nuliui taške, kuriame jos grafikas kerta x ašį, ir tai yra taškai 3, 6, 16, 18.

Atsakymas: 18

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–8;4). Kuriame atkarpos [–7;–3] taške yra funkcija f(X) užima mažiausią vertę.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–7;14). Raskite maksimalų funkcijos taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–6;9].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–18;6). Raskite funkcijos minimalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–13;1].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–11; –11). Raskite funkcijos ekstremalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–10; -10].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–7;4). Raskite didėjančios funkcijos intervalus f(X). Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–5;7). Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X). Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–11;3). Raskite didėjančios funkcijos intervalus f(X). Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

F Paveikslėlyje parodytas grafikas

Problemos sąlygos yra tos pačios (ką mes svarstėme). Raskite trijų skaičių sumą:

1. Funkcijos f (x) ekstremalių kvadratų suma.

2. Funkcijos f (x) didžiausių taškų sumos ir mažiausių taškų sumos kvadratų skirtumas.

3. F (x) lygiagrečių tiesei y = –3x + 5 liestinių skaičius.

Pirmasis teisingai atsakęs gaus 150 rublių skatinamąjį prizą. Savo atsakymus rašykite komentaruose. Jei tai pirmas jūsų komentaras tinklaraštyje, jis pasirodys ne iš karto, o šiek tiek vėliau (nesijaudinkite, komentaro parašymo laikas įrašomas).

Sėkmės tau!

Pagarbiai, Aleksandras Krutitsikas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Funkcijos išvestinė yra viena iš sudėtingiausių temų mokyklos mokymo programa. Ne kiekvienas abiturientas atsakys į klausimą, kas yra darinys.

Šiame straipsnyje paprastai ir aiškiai paaiškinama, kas yra išvestinė priemonė ir kodėl ji reikalinga.. Dabar pristatyme nesieksime matematinio griežtumo. Svarbiausia suprasti prasmę.

Prisiminkime apibrėžimą:

Išvestinė yra funkcijos kitimo greitis.

Paveikslėlyje pavaizduoti trijų funkcijų grafikai. Kuris, jūsų nuomone, auga greičiau?

Atsakymas akivaizdus – trečiasis. Ji turi didžiausią kitimo greitį, ty didžiausią išvestinę priemonę.

Štai dar vienas pavyzdys.

Kostya, Grisha ir Matvey gavo darbus tuo pačiu metu. Pažiūrėkime, kaip per metus pasikeitė jų pajamos:

Grafikas rodo viską iš karto, ar ne? Kostjos pajamos per šešis mėnesius išaugo daugiau nei dvigubai. Ir Grišos pajamos taip pat padidėjo, bet tik šiek tiek. Ir Matvey pajamos sumažėjo iki nulio. Pradinės sąlygos yra tos pačios, bet funkcijos kitimo greitis, tai yra išvestinė, - kitoks. Kalbant apie Matvey, jo pajamų išvestinė priemonė paprastai yra neigiama.

Intuityviai mes lengvai įvertiname funkcijos kitimo greitį. Bet kaip tai padaryti?

Mes iš tikrųjų žiūrime į tai, kaip staigiai funkcijos grafikas kyla aukštyn (arba žemyn). Kitaip tariant, kaip greitai y keičiasi keičiantis x? Akivaizdu, kad ta pati funkcija skirtinguose taškuose gali turėti skirtinga prasmė išvestinė – tai yra, ji gali keistis greičiau arba lėčiau.

Funkcijos išvestinė žymima .

Parodysime, kaip jį rasti naudojant grafiką.

Nubraižytas kokios nors funkcijos grafikas. Paimkime tašką su abscise. Šioje vietoje nubrėžkime funkcijos grafiko liestinę. Norime įvertinti, kaip smarkiai pakyla funkcijos grafikas. Patogi vertė yra liestinės kampo liestinė.

Funkcijos išvestinė taške yra lygi liestinės kampo, nubrėžto į funkcijos grafiką šiame taške, liestinei.

Atkreipkite dėmesį, kad kaip liestinės pasvirimo kampas imame kampą tarp liestinės ir teigiamos ašies krypties.

Kartais mokiniai klausia, kas yra funkcijos grafiko liestinė. Tai tiesi linija, turinti tik vieną bendras taškas su grafiku ir kaip parodyta mūsų paveikslėlyje. Tai atrodo kaip apskritimo liestinė.

Suraskime. Prisimename, kad smailiojo kampo liestinė in taisyklingas trikampis lygus priešingos pusės ir gretimos pusės santykiui. Iš trikampio:

Išvestinę radome naudodami grafiką, net nežinodami funkcijos formulės. Tokios problemos dažnai aptinkamos vieningame valstybiniame matematikos egzamine pagal numerį.

Yra dar vienas svarbus ryšys. Prisiminkite, kad tiesią liniją suteikia lygtis

Šioje lygtyje esantis dydis vadinamas tiesios linijos nuolydis. Jis lygus tiesės polinkio į ašį kampo liestinei.

Mes tai gauname

Prisiminkime šią formulę. Ji išreiškia geometrinę išvestinės reikšmę.

Funkcijos išvestinė taške yra lygi to taško funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui.

Kitaip tariant, išvestinė lygi liestinės kampo tangentei.

Jau sakėme, kad ta pati funkcija skirtinguose taškuose gali turėti skirtingus išvestinius. Pažiūrėkime, kaip išvestinė yra susijusi su funkcijos veikimu.

Nubraižykime kokios nors funkcijos grafiką. Tegul ši funkcija vienose srityse padidėja, o kitose mažėja ir kartu skirtingu greičiu. Ir tegul ši funkcija turi didžiausius ir mažiausius taškus.

Tam tikru momentu funkcija padidėja. Susidaro taške nubrėžto grafiko liestinė aštrus kampas; su teigiama ašies kryptimi. Tai reiškia, kad taško išvestinė yra teigiama.

Tuo metu mūsų funkcija sumažėja. Liestinė šiame taške sudaro bukąjį kampą; su teigiama ašies kryptimi. Kadangi bukojo kampo liestinė yra neigiama, išvestinė taške yra neigiama.

Štai kas nutinka:

Jei funkcija didėja, jos išvestinė yra teigiama.

Jei jis mažėja, jo išvestinė yra neigiama.

Kas atsitiks su didžiausiu ir mažiausiu taškais? Matome, kad taškuose (maksimalus taškas) ir (minimalus taškas) liestinė yra horizontali. Todėl liestinės liestinė šiuose taškuose lygi nuliui, o išvestinė taip pat lygi nuliui.

Taškas – maksimalus taškas. Šiuo metu funkcijos padidėjimas pakeičiamas sumažėjimu. Vadinasi, išvestinės ženklas taške pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“.

Taške - minimaliame taške - išvestinė taip pat yra nulis, tačiau jos ženklas keičiasi iš „minuso“ į „pliusą“.

Išvada: naudodamiesi išvestine galime sužinoti viską, kas mus domina apie funkcijos elgesį.

Jei išvestinė yra teigiama, tada funkcija didėja.

Jei išvestinė yra neigiama, tada funkcija mažėja.

Didžiausiame taške išvestinė yra nulis ir keičia ženklą iš „pliuso“ į „minusą“.

Mažiausiame taške išvestinė taip pat yra nulis ir keičia ženklą iš „minuso“ į „pliusą“.

Parašykime šias išvadas lentelės pavidalu:

	dideja	maksimalus taškas	mažėja	minimalus taškas	dideja
+	0	-	0	+

Padarykime du nedidelius paaiškinimus. Vieno iš jų prireiks sprendžiant problemą. Kitas – pirmame kurse, su rimtesniu funkcijų ir išvestinių tyrimu.

Gali būti, kad funkcijos išvestinė tam tikru momentu yra lygi nuliui, tačiau funkcija šiuo metu neturi nei maksimumo, nei minimumo. Tai yra vadinamasis :

Taške grafiko liestinė yra horizontali, o išvestinė lygi nuliui. Tačiau prieš tašką funkcija padidėjo, o po taško ji toliau didėja. Išvestinės ženklas nesikeičia – išlieka teigiamas toks, koks buvo.

Taip pat atsitinka, kad maksimumo ar minimumo taške išvestinė neegzistuoja. Grafike tai atitinka staigų pertrauką, kai tam tikrame taške neįmanoma nubrėžti liestinės.