Logaritmų su skirtingais pagrindais sprendimai. Logaritmai: pavyzdžiai ir sprendimai

Logaritmo apibrėžimas

B logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, į kurį reikia pakelti a, kad gautume b.

Skaičius e matematikoje įprasta žymėti ribą, iki kurios išsireiškimas siekia

Skaičius e yra neracionalus skaičius- skaičius, nesuderinamas su vienu, jo negalima tiksliai išreikšti nei sveikuoju skaičiumi, nei trupmena racionalus numerį.

Laiškas e- pirmoji raidė Lotyniškas žodis exponere- pasipuikuoti, iš čia ir toks pavadinimas matematikoje eksponentinis- eksponentinė funkcija.

Skaičius e plačiai naudojami matematikoje ir visuose moksluose, kurie vienaip ar kitaip savo reikmėms naudoja matematinius skaičiavimus.

Logaritmai. Logaritmų savybės

Apibrėžimas: teigiamo skaičiaus b logaritmas iki jo bazės yra eksponentas c, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautume skaičių b.

Pagrindinė logaritminė tapatybė:

7) Persikėlimo į naują bazę formulė:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Uždaviniai ir testai tema „Logaritmai. Logaritmų savybės"

  • Logaritmai - Svarbios temos už Vieningo valstybinio matematikos egzamino kartojimą

Norėdami sėkmingai atlikti užduotis šia tema, turite žinoti logaritmo apibrėžimą, logaritmų savybes, pagrindinę logaritminę tapatybę, dešimtainių ir natūraliųjų logaritmų apibrėžimus. Pagrindinės šios temos problemų rūšys yra logaritminių išraiškų skaičiavimo ir transformavimo problemos. Panagrinėkime jų sprendimą naudodamiesi šiais pavyzdžiais.

Sprendimas: Pasinaudoję logaritmų savybėmis gauname

Sprendimas: Naudodamiesi laipsnių savybėmis gauname

1) (2 2) log 2 5 = (2 log 2 5) 2 = 5 2 =25

Logaritmų, formuluočių ir įrodymų savybės.

Logaritmai turi keletą būdingos savybės. Šiame straipsnyje apžvelgsime pagrindinius logaritmų savybės. Čia pateiksime jų formuluotes, surašysime logaritmų savybes formulių pavidalu, parodysime jų taikymo pavyzdžius, taip pat pateiksime logaritmų savybių įrodymą.

Puslapio naršymas.

Pagrindinės logaritmų savybės, formulės

Kad būtų lengviau atsiminti ir naudoti, įsivaizduokime Pagrindinės logaritmų savybės formulių sąrašo pavidalu. Kitoje pastraipoje pateiksime jų formuluotes, įrodymus, naudojimo pavyzdžius ir būtinus paaiškinimus.

  • Vienybės logaritmo savybė: log a 1=0 bet kuriam a>0, a≠1.
  • Skaičiaus, lygaus bazei, logaritmas: loga a a=1, kai a>0, a≠1.
  • Pagrindo laipsnio logaritmo savybė: log a a p =p, kur a>0, a≠1 ir p yra bet koks realusis skaičius.
  • Dviejų teigiamų skaičių sandaugos logaritmas: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
    ir n teigiamų skaičių sandaugos logaritmo savybė: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .
  • Dalinio logaritmo savybė: , kur a>0, a≠1, x>0, y>0.
  • Skaičiaus laipsnio logaritmas: log a b p =p·log a |b| , kur a>0, a≠1, b ir p yra tokie skaičiai, kad b p laipsnis turi prasmę, o b p >0.
  • Pasekmė: , kur a>0, a≠1, n – natūralusis skaičius, didesnis nei vienas, b>0.
  • 1 išvada: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.
  • 2 išvada: , a>0, a≠1, b>0, p ir q yra realieji skaičiai, q≠0, ypač jei b=a .

    • Savybių formuluotės ir įrodymai

    Mes pereiname prie logaritmų rašytinių savybių formulavimo ir įrodymo. Visos logaritmų savybės yra įrodytos remiantis logaritmo apibrėžimu ir iš jo išplaukiančiu pagrindiniu logaritminiu tapatumu, taip pat laipsnio savybėmis.

    Pradėkime nuo vieneto logaritmo savybės. Jo formuluotė yra tokia: vienybės logaritmas lygus nuliui, tai yra, log a 1=0 bet kuriam a>0, a≠1. Įrodymas nėra sudėtingas: kadangi a 0 =1 bet kuriai a, tenkinančiai aukščiau nurodytas sąlygas a>0 ir a≠1, tai įrodinėtina lygybė log a 1=0 iš karto išplaukia iš logaritmo apibrėžimo.

    Pateiksime nagrinėjamos savybės taikymo pavyzdžius: log 3 1=0, log1=0 ir .

    Pereikime prie kitos nuosavybės: skaičiaus, lygaus bazei, logaritmas lygus vienetui, tai yra, log a a=1 jei a>0, a≠1. Iš tiesų, kadangi a 1 =a bet kuriam a, tai pagal logaritmo apibrėžimą log a a = 1.

    Šios logaritmų savybės panaudojimo pavyzdžiai yra lygybės log 5 5=1, log 5.6 5.6 ir lne=1.

    Skaičiaus, lygaus logaritmo pagrindui, laipsnio logaritmas yra lygus eksponentui. Ši logaritmo savybė atitinka formos formulę log a a p =p, kur a>0, a≠1 ir p – bet koks realusis skaičius. Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš logaritmo apibrėžimo. Atkreipkite dėmesį, kad tai leidžia iš karto nurodyti logaritmo reikšmę, jei galima pavaizduoti skaičių po logaritmo ženklu kaip bazės laipsnį, plačiau apie tai pakalbėsime logaritmų skaičiavimo straipsnyje.

    Pavyzdžiui, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ir .

    Dviejų teigiamų skaičių sandaugos logaritmas x ir y yra lygūs šių skaičių logaritmų sandaugai: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Įrodykime sandaugos logaritmo savybę. Dėl laipsnio savybių a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, o kadangi pagal pagrindinę logaritminę tapatybę log a x =x ir log a y =y, tada log a x ·a log a y =x· y. Taigi log a x+log a y =x·y, iš kurio pagal logaritmo apibrėžimą išplaukia įrodoma lygybė.

    Parodykime gaminio logaritmo savybės panaudojimo pavyzdžius: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ir .

    Produkto logaritmo savybę galima apibendrinti baigtinio skaičiaus n teigiamų skaičių x 1 , x 2 , …, x n sandaugai kaip log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Šią lygybę galima be problemų įrodyti naudojant matematinės indukcijos metodą.

    Pavyzdžiui, sandaugos natūralusis logaritmas gali būti pakeistas trijų skaičių 4, e ir natūraliųjų logaritmų suma.

    Dviejų teigiamų skaičių dalinio logaritmas x ir y yra lygus šių skaičių logaritmų skirtumui. Dalinio logaritmo savybė atitinka formos formulę , kur a>0, a≠1, x ir y yra kai kurie teigiami skaičiai. Šios formulės pagrįstumas įrodytas kaip ir sandaugos logaritmo formulė: kadangi , tada pagal logaritmo apibrėžimą .

    Štai šios logaritmo savybės naudojimo pavyzdys: .

    Pereikime prie galios logaritmo savybė. Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir šio laipsnio pagrindo modulio logaritmui. Parašykime šią laipsnio logaritmo savybę kaip formulę: log a b p =p·log a |b|, kur a>0, a≠1, b ir p yra tokie skaičiai, kad b p laipsnis turi prasmę, o b p >0.

    Pirmiausia įrodome šią savybę teigiamam b. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada b p =(a log a b) p , o gauta išraiška dėl galios savybės yra lygi a p·log a b . Taigi gauname lygybę b p =a p·log a b, iš kurios pagal logaritmo apibrėžimą darome išvadą, kad log a b p =p·log a b.

    Belieka įrodyti šią savybę neigiamam b. Čia pažymime, kad reiškinys log a b p neigiamam b turi prasmę tik lyginiams eksponentams p (kadangi laipsnio b p reikšmė turi būti didesnė už nulį, antraip logaritmas neturės prasmės), o šiuo atveju b p =|b| p. Tada b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , iš kur log a b p =p·log a |b| .

    Pavyzdžiui, ir ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Tai išplaukia iš ankstesnio turto logaritmo savybė nuo šaknies: n-osios šaknies logaritmas yra lygus trupmenos 1/n sandaugai iš radikalios išraiškos logaritmo, tai yra, kur a>0, a≠1, n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą, b>0 .

    Įrodymas pagrįstas lygybe (žr. eksponento su trupmeniniu rodikliu apibrėžimą), kuri galioja bet kuriam teigiamam b, ir eksponento logaritmo savybe: .

    Štai šios nuosavybės naudojimo pavyzdys: .

    Dabar įrodykime perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė malonus . Tam pakanka įrodyti lygybės log c b=log a b·log c a pagrįstumą. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia mums pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada log c b=log c a log a b . Belieka naudoti laipsnio logaritmo savybę: log c a log a b =log a b·log c a . Tai įrodo lygybę log c b=log a b·log c a, o tai reiškia, kad taip pat įrodyta perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė .

    Parodykime keletą šios logaritmų savybės naudojimo pavyzdžių: ir .

    Perėjimo prie naujos bazės formulė leidžia pereiti prie darbo su logaritmais, kurie turi „patogų“ pagrindą. Pavyzdžiui, jį galima naudoti norint pakeisti natūraliuosius arba dešimtainius logaritmus, kad galėtumėte apskaičiuoti logaritmo reikšmę iš logaritmų lentelės. Perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė taip pat leidžia kai kuriais atvejais rasti tam tikro logaritmo reikšmę, kai žinomos kai kurių logaritmų su kitomis bazėmis reikšmės.

    Naudotas dažnai ypatinga byla formulės perėjimui į naują logaritmo bazę su formos c=b. Tai rodo, kad log a b ir log b a yra tarpusavyje atvirkštiniai skaičiai. Pvz., .

    Taip pat dažnai naudojama formulė, kuri yra patogu ieškant logaritmų reikšmių. Norėdami patvirtinti savo žodžius, parodysime, kaip jį galima naudoti apskaičiuojant formos logaritmo reikšmę. Mes turime . Norėdami įrodyti formulę, pakanka naudoti formulę, skirtą pereiti prie naujos logaritmo bazės a: .

    Belieka įrodyti logaritmų palyginimo savybes.

    Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad a 1 >1, a 2 >1 ir a 1 2 ir 0 1 log a 1 b≤log a 2 b yra teisinga. Remiantis logaritmų savybėmis, šias nelygybes galima perrašyti kaip Ir atitinkamai, o iš jų išplaukia, kad atitinkamai log b a 1 ≤log b a 2 ir log b a 1 ≥log b a 2. Tada pagal tų pačių bazių laipsnių savybes turi galioti lygybės b log b a 1 ≥b log b a 2 ir b log b a 1 ≥b log b a 2, tai yra a 1 ≥a 2 . Taigi mes priėjome prietarą sąlygai a 1 2. Tai užbaigia įrodymą.

    Pagrindinės logaritmų savybės

    • Medžiaga pamokai
    • Parsisiųsti visas formules

      • Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

      Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

      Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

      Apsvarstykite du logaritmus su tais pačiais pagrindais: log a x ir log a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

      Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

      Šios formulės padės jums apskaičiuoti logaritminė išraiška net kai atskiros jo dalys neskaičiuojamos (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

      Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 6 4 + log 6 9.

      Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
      log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

      Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

      Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
      log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

      Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

      Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
      log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

      Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis remiasi šiuo faktu bandomieji darbai. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

      Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

      Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio eksponentą galima išimti iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

    • log a x n = n · log a x ;

      • Tai lengva pastebėti paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

      Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

      Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

      Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
      log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

      Užduotis. Raskite posakio prasmę:

      [Paveikslo antraštė]

      Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mes turime:

      [Paveikslo antraštė]

      Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

      Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

      Perėjimas prie naujo pagrindo

      Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

      Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

      Tegu pateiktas logaritmas log a x. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

      [Paveikslo antraštė]

      Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

      [Paveikslo antraštė]

      Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

      Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jie patogūs, galima tik apsisprendus logaritmines lygtis ir nelygybės.

      Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

      Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

      Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

      Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:

      [Paveikslo antraštė]

      Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

      Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

      Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

      [Paveikslo antraštė]

      Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

      [Paveikslo antraštė]

      Pagrindinė logaritminė tapatybė

      Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

    1. n = log a a n

    2. Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

      Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip ji vadinama: pagrindinė logaritminė tapatybė.

      Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji įstrigo.

      Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

      [Paveikslo antraštė]

      Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 - mes tiesiog paėmėme kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo taisykles tuo pačiu pagrindu, mes gauname:

      [Paveikslo antraštė]

      Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

      Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

      Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

      1. log a a = 1 yra logaritminis vienetas. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
      2. log a 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

      Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

      Logaritmas. Logaritmo savybės (sudėti ir atimti).

      Logaritmo savybės išplaukia iš jo apibrėžimo. Ir taip skaičiaus logaritmas b remiantis A apibrėžiamas kaip eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas a norėdami gauti numerį b(logaritmas egzistuoja tik teigiamiems skaičiams).

      Iš šios formuluotės matyti, kad skaičiavimas x=log a b, yra lygiavertis lygties sprendimui a x =b. Pavyzdžiui, log 2 8 = 3 nes 8 = 2 3 . Logaritmo formuluotė leidžia pagrįsti, kad jeigu b=a c, tada skaičiaus logaritmas b remiantis a lygus Su. Taip pat aišku, kad logaritmų tema yra glaudžiai susijusi su galių tema.

      Su logaritmais, kaip ir su bet kuriais skaičiais, galite tai padaryti sudėjimo, atimties operacijos ir transformuotis visais įmanomais būdais. Tačiau dėl to, kad logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia galioja savos specialios taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

      Logaritmų pridėjimas ir atėmimas.

      Paimkime du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: užsirašyk x Ir log a y. Tada galima atlikti sudėjimo ir atimties operacijas:

      Kaip matome, logaritmų suma lygus sandaugos logaritmui ir skirtumas logaritmus- koeficiento logaritmas. Be to, tai tiesa, jei skaičiai A, X Ir adresu teigiamas ir a ≠ 1.

      Svarbu pažymėti, kad pagrindinis šių formulių aspektas yra tos pačios bazės. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės netaikomos!

      Logaritmų su tais pačiais pagrindais sudėties ir atėmimo taisyklės skaitomos ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai. Dėl to turime sandaugos logaritmo ir koeficiento logaritmo teoremas.

      Produkto logaritmas du teigiami skaičiai lygi sumai jų logaritmus ; perfrazuodami šią teoremą gauname taip, jei skaičiai A, x Ir adresu teigiamas ir a ≠ 1, Tai:

      Dalinio logaritmas du teigiami skaičiai yra lygūs skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų. Kitaip tariant, jei skaičiai A, X Ir adresu teigiamas ir a ≠ 1, Tai:

      Sprendimui pritaikykime aukščiau pateiktas teoremas pavyzdžių:

      Jei skaičiai x Ir adresu tada yra neigiami produkto logaritmo formulė tampa beprasmis. Todėl draudžiama rašyti:

      nes išraiškos log 2 (-8) ir log 2 (-4) iš viso neapibrėžtos (logaritminė funkcija adresu= 2 žurnalas X apibrėžta tik teigiamas vertes argumentas X).

      Produkto teorema taikomas ne tik dviem, bet ir neribotam skaičiui veiksnių. Tai reiškia, kad kiekvienam natūraliam k ir bet kokie teigiami skaičiai x 1 , x 2 , . . . ,x n yra tapatybė:

      Iš logaritmo koeficiento teorema Galima gauti dar vieną logaritmo savybę. Visiems žinoma, kad žurnalas a 1 = 0, todėl

      Tai reiškia, kad yra lygybė:

      Dviejų grįžtamųjų skaičių logaritmai dėl tos pačios priežasties vienas nuo kito skirsis tik ženklu. Taigi:

      Logaritmas. Logaritmų savybės

      Logaritmas. Logaritmų savybės

      Pasvarstykime apie lygybę. Leiskite mums žinoti ir vertes ir mes norime rasti vertę.

      Tai yra, mes ieškome eksponento, pagal kurį turime jį pakelti, kad gautume .

      Leisti kintamasis gali įgyti bet kokią realią reikšmę, tada kintamiesiems taikomi šie apribojimai: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />

      Jei žinome ir reikšmes ir susiduriame su užduotimi rasti nežinomybę, tai tam tikslui įvedamas matematinis veiksmas, kuris vadinamas logaritmas.

      Norėdami rasti vertę, kurią gauname skaičiaus logaritmas Autorius pagrindu :

      Skaičiaus logaritmas iki jo bazės yra eksponentas, iki kurio jis turi būti padidintas, kad gautų .

      Tai yra pagrindinė logaritminė tapatybė:

      o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

      iš esmės yra matematinis žymėjimas logaritmo apibrėžimai.

      Matematinis logaritmo veiksmas yra atvirkštinis eksponencijos veiksmas, taigi logaritmų savybės yra glaudžiai susiję su laipsnio savybėmis.

      Išvardinkime pagrindinius logaritmų savybės:

      (o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

      d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

      4.

      5.

      Ši savybių grupė leidžia pavaizduoti išraiškos eksponentą po logaritmo ženklu arba stovint logaritmo pagrindu koeficiento pavidalu prieš logaritmo ženklą:

      6.

      7.

      8.

      9.

      Kita formulių grupė leidžia pereiti nuo logaritmo su duota baze prie logaritmo su savavališka baze ir yra vadinama perėjimo prie naujos bazės formulės:

      10.

      12. (11 nuosavybės pasekmė)

      Šios trys savybės nėra gerai žinomos, tačiau jos dažnai naudojamos sprendžiant logaritmines lygtis arba supaprastinant logaritmų turinčias išraiškas:

      13.

      14.

      15.

      Ypatingi atvejai:

      — dešimtainis logaritmas

      — natūralusis logaritmas

      Supaprastinant išraiškas, kuriose yra logaritmų, naudojamas bendras metodas:

      1. Pristatome po kablelio paprastų pavidalu.

      2. Mišrius skaičius pavaizduojame kaip netinkamąsias trupmenas.

      3. Skaičius, esančius logaritmo pagrindu ir po logaritmo ženklu, išskaidome į paprastus veiksnius.

      4. Visus logaritmus stengiamės sumažinti iki tos pačios bazės.

      5. Taikyti logaritmų savybes.

      Pažvelkime į logaritmų turinčių išraiškų supaprastinimo pavyzdžius.

      1 pavyzdys.

      Apskaičiuoti:

      Supaprastinkime visus eksponentus: mūsų užduotis yra juos redukuoti iki logaritmų, kurių bazė yra tokia pati kaip ir eksponento bazė.

      ==(pagal 7 savybę)=(pagal 6 savybę) =

      Pakeiskime rodiklius, kuriuos gavome į pradinę išraišką. Mes gauname:

      Atsakymas: 5.25

      2 pavyzdys. Apskaičiuokite:

      Sumažinkime visus logaritmus iki 6 bazės (šiuo atveju logaritmai iš trupmenos vardiklio „perkels“ į skaitiklį):

      Išskaidykime skaičius po logaritmo ženklu į paprastus veiksnius:

      Taikykime 4 ir 6 savybes:

      Pristatome pakaitalą

      Mes gauname:

      Atsakymas: 1

      Logaritmas . Pagrindinė logaritminė tapatybė.

      Logaritmų savybės. Dešimtainis logaritmas. Natūralus logaritmas.

      Logaritmas teigiamas skaičius N į bazę (b > 0, b 1) yra eksponentas x, į kurį b reikia pakelti, kad gautume N .

      Šis įrašas atitinka šį: b x = N .

      Pavyzdžiai: log 3 81 = 4, nes 3 4 = 81;

      log 1/3 27 = – 3, nes (1/3) – 3 = 3 3 = 27.

      Aukščiau pateiktas logaritmo apibrėžimas gali būti parašytas kaip tapatybė:

      Pagrindinės logaritmų savybės.

      2) log 1 = 0, nes b 0 = 1 .

      3) Produkto logaritmas yra lygus faktorių logaritmų sumai:

      4) Dalinio logaritmas yra lygus skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų:

      5) Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir jo bazės logaritmui:

      Šios nuosavybės pasekmės yra šios: šaknies logaritmas lygus radikalinio skaičiaus logaritmui, padalytam iš šaknies galios:

      6) Jei logaritmo pagrindas yra laipsnis, tada reikšmė atvirkštinį rodiklį galima išimti iš loginio rimo ženklo:

      Paskutinės dvi savybės gali būti sujungtos į vieną:

      7) Perėjimo modulio formulė (t. y. perėjimas iš vienos logaritmo bazės į kitą):

      Ypatingu atveju, kai N=a mes turime:

      Dešimtainis logaritmas paskambino bazinis logaritmas 10. Jis žymimas lg, t.y. žurnalas 10 N= žurnalas N. Skaičių 10, 100, 1000, logaritmai. p yra atitinkamai 1, 2, 3, …, t.y. turi tiek daug teigiamo

      vienetų, kiek nulių yra logaritminiame skaičiuje po vieneto. Skaičių logaritmai 0,1, 0,01, 0,001, . p yra atitinkamai –1, –2, –3, …, t.y. turėti tiek neigiamų, kiek logaritminiame skaičiuje prieš vieną yra nulių (įskaitant nulius sveikųjų skaičių). Kitų skaičių logaritmai turi trupmeninę dalį, vadinamą mantisa. Sveikoji logaritmo dalis vadinama charakteristika. Praktiniam naudojimui patogiausias yra dešimtainis logaritmas.

      Natūralus logaritmas paskambino bazinis logaritmas e. Ji žymima ln, t.y. žurnalas e N= žurnalas N. Skaičius e yra neracionalus, jo apytikslė reikšmė yra 2,718281828. Tai riba, iki kurios linkęs skaičius (1 + 1 / n) n su neribotu padidėjimu n(cm. Pirmas nuostabi riba puslapyje „Skaičių sekos ribos“).
      Kad ir kaip būtų keista, natūralūs logaritmai pasirodė labai patogūs atliekant įvairaus pobūdžio operacijas, susijusias su funkcijų analize. Logaritmų skaičiavimas į bazę e atlikti daug greičiau nei dėl bet kokios kitos priežasties.

    • Ko šiandien reikia norint įvaikinti vaiką Rusijoje? Įvaikinimas Rusijoje, be atsakingo asmeninio sprendimo, apima daugybę procedūrų valstybinis patikrinimas kandidatai. Sunkus pasirinkimas paruošiamasis etapas prisideda prie daugiau […]
    • Nemokamą informaciją apie TIN arba OGRN iš mokesčių registro visoje Rusijoje - informaciją apie valstybinę registraciją galite gauti Vieningame mokesčių paslaugų portale juridiniai asmenys, individualūs verslininkai, […]
    • Bausmė už vairavimą be dokumentų (vairuotojo pažymėjimas, draudimas, STS) Kartais dėl užmaršumo vairuotojai sėda prie vairo neturėdami teisės ir gauna baudą už vairavimą be dokumentų. Primename, kad automobilių entuziastas privalo turėti […]
    • Gėlės vyrams. Kokias gėles galite padovanoti vyrui? Kokias gėles galite padovanoti vyrui? „Vyriškų“ gėlių nėra daug, tačiau yra tokių, kurios dovanojamos vyrams. Prieš jus mažas gėlių sąrašas: Chrizantemos. Rožės. Gvazdikai. […]
    • Vidinė atmintinė yra speciali dokumento forma, naudojama įmonės vidinėje aplinkoje ir skirta greitai išspręsti esamas gamybos problemas. Paprastai šis dokumentas yra parengtas siekiant supažindinti su kai kuriais […]
    • Kada ir kaip gauti finansuojamą pensijos dalį iš „Sberbank“? „Sberbank“ yra valstybinio pensijų fondo bankas partneris. Remiantis tuo, piliečiai, užsiregistravę į pensijų kaupimą, galėjo pervesti kaupiamąją dalį […]
    • Išmokos vaikams Uljanovske ir Uljanovsko srityje 2018 Be to, federaliniais teisės aktais patvirtintos programos veikia visuose regionuose. Pažiūrėkime, kas gali tikėtis kokios naudos. Kaip regioninės valdžios institucijos […]
    • Išsamus vadovas kaip surašyti įgaliojimą atstovauti interesams individualus teisme Civiliniame ar arbitražiniame ieškinyje, administracinėje ar baudžiamojoje byloje tiek ieškovo, tiek atsakovo interesams gali atstovauti advokatas: […]

    Šiandien kalbėsime apie logaritmines formules ir pateiksime orientacinius sprendimų pavyzdžiai.

    Jie patys reiškia sprendimų modelius pagal pagrindines logaritmų savybes. Prieš spręsdami taikydami logaritmines formules, priminsime visas savybes:

    Dabar, remdamiesi šiomis formulėmis (ypatybėmis), parodysime logaritmų sprendimo pavyzdžiai.

    Logaritmų sprendimo pagal formules pavyzdžiai.

    Logaritmas teigiamas skaičius b bazei a (žymimas log a b) yra eksponentas, į kurį reikia pakelti a, kad gautume b, kai b > 0, a > 0 ir 1.

    Pagal apibrėžimą log a b = x, kuris yra ekvivalentas a x = b, todėl log a a x = x.

    Logaritmai, pavyzdžiai:

    log 2 8 = 3, nes 2 3 = 8

    log 7 49 = 2, nes 7 2 = 49

    log 5 1/5 = -1, nes 5 -1 = 1/5

    Dešimtainis logaritmas- tai paprastas logaritmas, kurio pagrindas yra 10. Jis žymimas kaip lg.

    log 10 100 = 2, nes 10 2 = 100

    Natūralus logaritmas- taip pat įprastas logaritmo logaritmas, bet su baze e (e = 2,71828... - neracionalus skaičius). Žymima kaip ln.

    Patartina įsiminti logaritmų formules ar savybes, nes vėliau jų prireiks sprendžiant logaritmus, logaritmines lygtis ir nelygybes. Dar kartą panagrinėkime kiekvieną formulę su pavyzdžiais.

    • Pagrindinė logaritminė tapatybė
      a log a b = b

      8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

    • Produkto logaritmas lygus logaritmų sumai
      log a (bc) = log a b + log a c

      log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

    • Dalinio logaritmas lygus logaritmų skirtumui
      log a (b/c) = log a b - log a c

      9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

    • Logaritminio skaičiaus laipsnio ir logaritmo pagrindo savybės

      Logaritminio skaičiaus eksponentas log a b m = mlog a b

      Logaritmo pagrindo eksponentas log a n b =1/n*log a b

      log a n b m = m/n*log a b,

      jei m = n, gauname log a n b n = log a b

      log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

    • Perėjimas prie naujo pagrindo
      log a b = log c b/log c a,

      jei c = b, gauname log b b = 1

      tada log a b = 1/log b a

      log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

    Kaip matote, logaritmų formulės nėra tokios sudėtingos, kaip atrodo. Dabar, pažvelgę ​​į logaritmų sprendimo pavyzdžius, galime pereiti prie logaritminių lygčių. Išsamiau pažvelgsime į logaritminių lygčių sprendimo pavyzdžius straipsnyje: "". Nepraleisk!

    Jei vis dar turite klausimų apie sprendimą, parašykite juos straipsnio komentaruose.

    Pastaba: nusprendėme įgyti kitos klasės išsilavinimą ir studijuoti užsienyje.

    Instrukcijos

    Parašykite pateiktą logaritminę išraišką. Jei išraiška naudoja 10 logaritmą, tada jo žymėjimas sutrumpinamas ir atrodo taip: lg b yra dešimtainis logaritmas. Jei logaritmo pagrindas yra skaičius e, tada parašykite išraišką: ln b – natūralusis logaritmas. Suprantama, kad bet kurio rezultatas yra laipsnis, iki kurio turi būti padidintas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

    Surandant dviejų funkcijų sumą, tereikia jas atskirti po vieną ir sudėti rezultatus: (u+v)" = u"+v";

    Surandant dviejų funkcijų sandaugos išvestinę, reikia padauginti pirmosios funkcijos išvestinę iš antrosios ir pridėti antrosios funkcijos išvestinę, padaugintą iš pirmosios funkcijos: (u*v)" = u"*v +v"*u;

    Norint rasti dviejų funkcijų dalinio išvestinę, reikia iš dividendo, padauginto iš daliklio funkcijos, sandaugos atimti daliklio išvestinės sandaugą, padaugintą iš dividendo funkcijos, ir padalyti visa tai daliklio funkcija kvadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

    Jei duota kompleksinė funkcija, tai reikia padauginti vidinės funkcijos išvestinę ir išorinės išvestinę. Tegul y=u(v(x)), tada y"(x)=y"(u)*v"(x).

    Naudodamiesi aukščiau gautais rezultatais, galite atskirti beveik bet kurią funkciją. Taigi pažvelkime į keletą pavyzdžių:

    y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

    y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
    Taip pat kyla problemų apskaičiuojant išvestinę priemonę taške. Tegu funkcija y=e^(x^2+6x+5) duota, reikia rasti funkcijos reikšmę taške x=1.
    1) Raskite funkcijos išvestinę: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

    2) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę in duotas taškas y"(1)=8*e^0=8

    Video tema

    Naudingas patarimas

    Išmok elementariųjų išvestinių lentelę. Tai žymiai sutaupys laiko.

    Šaltiniai:

    • konstantos išvestinė

    Taigi, koks skirtumas tarp racionalioji lygtis nuo racionalaus? Jei nežinomas kintamasis yra po kvadratinės šaknies ženklu, tada lygtis laikoma neracionalia.

    Instrukcijos

    Pagrindinis tokių lygčių sprendimo būdas yra abiejų pusių konstravimo metodas lygtysį aikštę. Tačiau. tai natūralu, pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra atsikratyti ženklo. Šis metodas nėra techniškai sudėtingas, tačiau kartais jis gali sukelti problemų. Pavyzdžiui, lygtis yra v(2x-5)=v(4x-7). Padalinus abi puses kvadratu, gaunama 2x-5=4x-7. Išspręsti tokią lygtį nėra sunku; x=1. Bet numeris 1 nebus suteiktas lygtys. Kodėl? Vietoj x reikšmės lygtyje pakeiskite vieną, o dešinėje ir kairėje pusėje bus išraiškos, kurios neturi prasmės. Ši vertė negalioja kvadratinei šakniai. Todėl 1 yra pašalinė šaknis, todėl ši lygtis neturi šaknų.

    Taigi, neracionali lygtis išspręsta naudojant abiejų jos pusių kvadratūros metodą. Ir išsprendus lygtį, reikia nupjauti pašalines šaknis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite rastas šaknis į pradinę lygtį.

    Apsvarstykite kitą.
    2х+vх-3=0
    Žinoma, šią lygtį galima išspręsti naudojant tą pačią lygtį kaip ir ankstesnė. Perkelti junginius lygtys, kurie neturi kvadratinės šaknies, į dešinę pusę ir tada naudokite kvadrato metodą. išspręskite gautą racionaliąją lygtį ir šaknis. Bet ir kitas, elegantiškesnis. Įveskite naują kintamąjį; vх=y. Atitinkamai gausite 2y2+y-3=0 formos lygtį. Tai yra, įprasta kvadratinė lygtis. Raskite jo šaknis; y1=1 ir y2=-3/2. Tada išspręskite du lygtys vх=1; vх=-3/2. Antroji lygtis neturi šaknų iš pirmosios, kad x=1. Nepamirškite patikrinti šaknų.

    Išspręsti tapatybes yra gana paprasta. Tam reikia atlikti identiškas transformacijas, kol bus pasiektas užsibrėžtas tikslas. Taigi, naudojant paprastus aritmetinius veiksmus, iškeltas uždavinys bus išspręstas.

    Jums reikės

    • - popierius;
    • - rašiklis.

    Instrukcijos

    Paprasčiausias iš tokių transformacijų yra algebrinės sutrumpintos daugybos (pavyzdžiui, sumos kvadratas (skirtumas), kvadratų skirtumas, suma (skirtumas), sumos kubas (skirtumas)). Be to, yra daug ir trigonometrines formules, kurios iš esmės yra tos pačios tapatybės.

    Iš tiesų, dviejų narių sumos kvadratas yra lygus pirmojo kvadratui plius du kartus pirmojo sandauga iš antrojo ir pridėjus antrojo kvadratą, tai yra (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

    Supaprastinkite abu

    Bendrieji sprendimo principai

    Pakartokite iš matematinės analizės ar aukštosios matematikos vadovėlio, kas yra apibrėžtasis integralas. Kaip žinoma, apibrėžtojo integralo sprendimas yra funkcija, kurios išvestinė duos integrandą. Ši funkcija vadinamas antidariniu. Remiantis šiuo principu, konstruojami pagrindiniai integralai.
    Pagal integrando tipą nustatykite, kuris iš lentelės integralų tinka šiuo atveju. Ne visada tai įmanoma iš karto nustatyti. Dažnai lentelės forma tampa pastebima tik po kelių transformacijų, siekiant supaprastinti integrandą.

    Kintamojo pakeitimo metodas

    Jei integrando funkcija yra trigonometrinė funkcija, kurio argumente yra tam tikras daugianomas, tada pabandykite naudoti kintamojo pakeitimo metodą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite daugianarį integrando argumente nauju kintamuoju. Remdamiesi ryšiu tarp naujų ir senų kintamųjų, nustatykite naujas integravimo ribas. Išskirdami šią išraišką, raskite naują skirtumą . Taigi jūs gausite naujos rūšies ankstesnio integralo, artimas ar net atitinkantis bet kurią lentelę.

    Antrosios rūšies integralų sprendimas

    Jei integralas yra antrosios rūšies integralas, vektorinė integralo forma, tuomet turėsite naudoti perėjimo nuo šių integralų prie skaliarinių taisyklių. Viena iš tokių taisyklių yra Ostrogradskio ir Gauso santykis. Šis dėsnis leidžia pereiti nuo tam tikros vektoriaus funkcijos rotoriaus srauto prie trigubo integralo per tam tikro vektoriaus lauko divergenciją.

    Integracijos ribų pakeitimas

    Radus antidarinį, būtina pakeisti integracijos ribas. Pirma, viršutinės ribos reikšmę pakeiskite antidarinio išraiška. Jūs gausite tam tikrą skaičių. Tada iš gauto skaičiaus atimkite kitą skaičių, gautą iš apatinės ribos, į antidarinį. Jei viena iš integracijos ribų yra begalybė, tai pakeičiant ją į antiderivatinė funkcija reikia eiti iki ribos ir rasti tai, ko išsireiškimas siekia.
    Jei integralas yra dvimatis arba trimatis, tada integralo ribas turėsite pavaizduoti geometriškai, kad suprastumėte, kaip įvertinti integralą. Iš tiesų, tarkime, trimačio integralo atveju, integravimo ribos gali būti ištisos plokštumos, ribojančios integruojamą tūrį.

    Skaičiaus logaritmas N remiantis A vadinamas eksponentu X , prie kurios reikia statyti A norėdami gauti numerį N

    Su sąlyga, kad
    ,
    ,

    Iš logaritmo apibrėžimo išplaukia, kad
    , t.y.
    - ši lygybė yra pagrindinė logaritminė tapatybė.

    Logaritmai iki 10 bazės vadinami dešimtainiais logaritmais. Vietoj
    rašyti
    .

    Logaritmai iki pagrindo e yra vadinami natūraliais ir yra paskirti
    .

    Pagrindinės logaritmų savybės.

      Vieneto logaritmas yra lygus nuliui bet kuriai bazei.

      Produkto logaritmas lygus faktorių logaritmų sumai.

    3) koeficiento logaritmas lygus logaritmų skirtumui


    veiksnys
    vadinamas perėjimo iš logaritmų į bazę moduliu a prie logaritmų bazėje b .

    Naudojant 2–5 savybes, dažnai galima sumažinti sudėtingos išraiškos logaritmą iki paprastų aritmetinių logaritmų operacijų rezultato.

    Pavyzdžiui,

    Tokios logaritmo transformacijos vadinamos logaritmais. Transformacijos, atvirkštinės logaritmui, vadinamos potenciacija.

    2 skyrius. Aukštosios matematikos elementai.

    1. Ribos

    Funkcijos riba
    yra baigtinis skaičius A, jei, kaip xx 0 už kiekvieną iš anksto nustatytą
    , yra toks skaičius
    kad kai tik
    , Tai
    .

    Funkcija, turinti ribą, skiriasi nuo jos be galo mažu dydžiu:
    , kur- b.m.v., t.y.
    .

    Pavyzdys. Apsvarstykite funkciją
    .

    Kai stengiamasi
    , funkcija y linkęs į nulį:

    1.1. Pagrindinės teoremos apie ribas.

      Pastovios vertės riba yra lygi šiai pastoviai vertei

    .

      Baigtinio skaičiaus funkcijų sumos (skirtumo) riba yra lygi šių funkcijų ribų sumai (skirtumui).

      Baigtinio skaičiaus funkcijų sandaugos riba yra lygi šių funkcijų ribų sandaugai.

      Dviejų funkcijų koeficiento riba yra lygi šių funkcijų ribų daliniui, jei vardiklio riba nėra lygi nuliui.

    Nuostabios ribos

    ,
    , Kur

    1.2. Ribų skaičiavimo pavyzdžiai

    Tačiau ne visos ribos taip lengvai apskaičiuojamos. Dažniau apskaičiuojant ribą atskleidžiamas tipo neapibrėžtumas: arba .

    .

    2. Funkcijos išvestinė

    Leiskite mums atlikti funkciją
    , ištisinis segmente
    .

    Argumentas šiek tiek padidėjo
    . Tada funkcija gaus prieaugį
    .

    Argumento vertė atitinka funkcijos reikšmę
    .

    Argumento vertė
    atitinka funkcijos reikšmę.

    Vadinasi,.

    Raskime šio santykio ribą ties
    . Jei ši riba egzistuoja, tada ji vadinama duotosios funkcijos išvestine.

    3 apibrėžimas Nurodytos funkcijos išvestinė
    argumentu vadinama funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, kai argumento prieaugis savavališkai linksta į nulį.

    Funkcijos išvestinė
    gali būti žymimas taip:

    ; ; ; .

    4 apibrėžimas Funkcijos išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

    2.1. Mechaninė vedinio reikšmė.

    Panagrinėkime tiesinį kurio nors standaus kūno ar materialaus taško judėjimą.

    Leiskite tam tikru momentu judantis taškas
    buvo per atstumą nuo pradinės padėties
    .

    Po tam tikro laiko
    ji pasitraukė per atstumą
    . Požiūris =- vidutinis materialaus taško greitis
    . Atsižvelgdami į tai, suraskime šio santykio ribą
    .

    Vadinasi, momentinio materialaus taško judėjimo greičio nustatymas sumažinamas iki kelio išvestinės laiko atžvilgiu radimo.

    2.2. Geometrinė reikšmė išvestinė

    Turėkime grafiškai apibrėžtą funkciją
    .

    Ryžiai. 1. Geometrinė išvestinės reikšmė

    Jeigu
    , tada tašką
    , judės išilgai kreivės, artėdamas prie taško
    .

    Vadinasi
    , t.y. išvestinės reikšmė tam tikrai argumento reikšmei skaitine prasme lygus kampo, kurį sudaro liestinė tam tikrame taške su teigiama ašies kryptimi, tangentei
    .

    2.3. Pagrindinių diferenciacijos formulių lentelė.

    Maitinimo funkcija

    Eksponentinė funkcija

    Logaritminė funkcija

    Trigonometrinė funkcija

    Atvirkštinė trigonometrinė funkcija

    2.4. Diferencijavimo taisyklės.

    Darinys iš

    Funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė


    Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė


    Dviejų funkcijų dalinio išvestinė


    2.5. Darinys iš sudėtinga funkcija.

    Tegu funkcija duota
    tokia, kad ją būtų galima pavaizduoti formoje

    Ir
    , kur kintamasis tai yra tarpinis argumentas

    Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi duotosios funkcijos išvestinės tarpinio argumento ir tarpinio argumento išvestinei x atžvilgiu.

    1 pavyzdys.

    2 pavyzdys.

    3. Diferencialinė funkcija.

    Tebūnie
    , skiriasi tam tikru intervalu
    Paleisk adresu ši funkcija turi išvestinę

    ,

    tada galėsime rašyti

    (1),

    Kur - be galo mažas kiekis,

    nuo kada

    Padauginus visus lygybės (1) narius iš
    mes turime:

    Kur
    - b.m.v. aukštesnė tvarka.

    Didumas
    vadinamas funkcijos diferencialu
    ir yra paskirtas

    .

    3.1. Diferencialo geometrinė vertė.

    Tegu funkcija duota
    .

    2 pav. Geometrinė diferencialo reikšmė.

    .

    Akivaizdu, kad funkcijos skirtumas
    yra lygus liestinės ordinatės prieaugiui tam tikrame taške.

    3.2. Įvairių eilių dariniai ir diferencialai.

    Jeigu ten
    , Tada
    vadinamas pirmuoju dariniu.

    Pirmojo vedinio vedinys vadinamas antros eilės išvestiniu ir rašomas
    .

    Funkcijos n-osios eilės išvestinė
    vadinama (n-1) eilės išvestine ir rašoma:

    .

    Funkcijos diferencialo diferencialas vadinamas antruoju diferencialu arba antros eilės diferencialu.

    .

    .

    3.3 Biologinių problemų sprendimas naudojant diferenciaciją.

    1 užduotis. Tyrimai parodė, kad mikroorganizmų kolonijos augimas paklūsta įstatymui
    , Kur N – mikroorganizmų skaičius (tūkst.), t – laikas (dienos).

    b) Ar šiuo laikotarpiu kolonijos populiacija padidės ar mažės?

    Atsakymas. Kolonijos dydis padidės.

    2 užduotis. Ežero vanduo periodiškai tiriamas, siekiant stebėti patogeninių bakterijų kiekį. Per t dienų po tyrimo, bakterijų koncentracija nustatoma pagal santykį

    .

    Kada ežere bus minimali bakterijų koncentracija ir ar bus galima jame maudytis?

    Sprendimas: Funkcija pasiekia max arba min, kai jos išvestinė lygi nuliui.

    ,

    Nustatykime, kad maksimalus arba min. bus po 6 dienų. Norėdami tai padaryti, paimkime antrąją išvestinę.


    Atsakymas: Po 6 dienų bus minimali bakterijų koncentracija.

    Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

    Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

    Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

    Apsvarstykite du logaritmus su tais pačiais pagrindais: log a x ir žurnalas a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

    1. žurnalas a x+ žurnalas a y=log a (x · y);
    2. žurnalas a x− žurnalas a y=log a (x : y).

    Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

    Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

    Rąstas 6 4 + rąstas 6 9.

    Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
    log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

    Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

    Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
    log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

    Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

    Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
    log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

    Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

    Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

    Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio eksponentą galima išimti iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

    Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

    Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

    Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

    Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
    log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

    Užduotis. Raskite posakio prasmę:

    [Paveikslo antraštė]

    Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mes turime:

    [Paveikslo antraštė]

    Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

    Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

    Perėjimas prie naujo pagrindo

    Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

    Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

    Tegu pateikiamas logaritmo žurnalas a x. Tada už bet kokį skaičių c toks kad c> 0 ir c≠ 1, lygybė yra teisinga:

    [Paveikslo antraštė]

    Visų pirma, jei įdėtume c = x, mes gauname:

    [Paveikslo antraštė]

    Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

    Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

    Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

    Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

    Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

    Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:

    [Paveikslo antraštė]

    Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

    Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

    Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

    [Paveikslo antraštė]

    Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

    [Paveikslo antraštė]

    Pagrindinė logaritminė tapatybė

    Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

    Pirmuoju atveju skaičius n tampa argumentu stovinčio laipsnio rodikliu. Skaičius n gali būti visiškai bet kas, nes tai tik logaritmo reikšmė.

    Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip ji vadinama: pagrindinė logaritminė tapatybė.

    Tiesą sakant, kas atsitiks, jei numeris b pakelti iki tokios galios, kad skaičius bšiai galiai suteikia skaičių a? Teisingai: jūs gaunate tą patį numerį a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji įstrigo.

    Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

    Užduotis. Raskite posakio prasmę:

    [Paveikslo antraštė]

    Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:

    [Paveikslo antraštė]

    Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš Vieningo valstybinio egzamino :)

    Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

    Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

    1. žurnalas a a= 1 yra logaritminis vienetas. Prisiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a nuo šio pagrindo yra lygus vienetui.
    2. žurnalas a 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet koks, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Nes a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

    Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.