Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.
Per bet kurį tašką galima nubrėžti begalinį skaičių tiesių.
Per bet kuriuos du nesutampančius taškus galima nubrėžti vieną tiesią liniją.
Dvi besiskiriančios plokštumos tiesės arba susikerta viename taške, arba yra
lygiagretus (seka nuo ankstesnio).
Trimatėje erdvėje yra trys dviejų linijų santykinės padėties parinktys:
- linijos susikerta;
- linijos lygiagrečios;
- susikerta tiesios linijos.
Tiesiai linija— pirmosios eilės algebrinė kreivė: tiesė Dekarto koordinačių sistemoje
plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).
Bendroji tiesės lygtis.
Apibrėžimas. Bet kuri tiesi linija plokštumoje gali būti nurodyta pirmosios eilės lygtimi
Ax + Wu + C = 0,
ir pastovus A, B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras
tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B Ir SU Galimi šie ypatingi atvejai:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- per pradžią eina tiesi linija
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai OU
. B = C = 0, A ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi OU
. A = C = 0, B ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi
Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurią duotąją
pradines sąlygas.
Tiesės iš taško ir normalaus vektoriaus lygtis.
Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)
statmena lygties nurodytai tiesei
Ax + Wu + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).
Sprendimas. Kai A = 3 ir B = -1, sudarykime tiesės lygtį: 3x - y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C
Į gautą išraišką pakeisime duoto taško A koordinates Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl
C = -1. Iš viso: reikalinga lygtis: 3x - y - 1 = 0.
Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.
Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Ir M2 (x 2, y 2, z 2), Tada tiesės lygtis,
eina per šiuos taškus:
Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Įjungta
plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:
Jeigu x 1 ≠ x 2 Ir x = x 1, Jei x 1 = x 2 .
Frakcija = k paskambino nuolydis tiesiai.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.
Sprendimas. Taikydami aukščiau parašytą formulę, gauname:
Tiesios linijos lygtis naudojant tašką ir nuolydį.
Jei bendroji tiesės lygtis Ax + Wu + C = 0 Vesti į:
ir paskirti 
, tada gauta lygtis vadinama
tiesės su nuolydžiu k lygtis.
Tiesės iš taško ir krypties vektoriaus lygtis.
Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį
tiesė per tašką ir tiesės krypties vektorius.
Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą
Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino nukreipiantis tiesės vektorius.
Ax + Wu + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.
Sprendimas. Ieškosime norimos eilutės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,
koeficientai turi atitikti šias sąlygas:
1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.
Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.
adresu x = 1, y = 2 mes gauname C/A = -3, t.y. reikalinga lygtis:
x + y - 3 = 0
Tiesios linijos atkarpose lygtis.
Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ах + Ву + С = 0 С≠0, tada dalijant iš -С gauname:
arba kur
Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė
tiesiai su ašimi Oi, A b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė OU.
Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normalioji tiesės lygtis.
Jei abi lygties pusės Ax + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus 
kuris vadinamas
normalizuojantis veiksnys, tada gauname
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.
Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ*C< 0.
R- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki tiesės,
A φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.
Pavyzdys. Pateikiama bendroji linijos lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalinga parašyti įvairių tipų lygtis
ši tiesi linija.
Šios tiesės lygtis atkarpomis:
Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)
Linijos lygtis:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės,
lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.
Kampas tarp tiesių plokštumoje.
Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų
bus apibrėžtas kaip
Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi linijos yra statmenos
Jeigu k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
Tiesioginis Ax + Wu + C = 0 Ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 lygiagrečiai, kai koeficientai yra proporcingi
A 1 = λA, B 1 = λB. Jei taip pat С 1 = λС, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės
randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.
Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis.
Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b
pavaizduota lygtimi:
Atstumas nuo taško iki linijos.
Teorema. Jei skiriamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki tiesės Ax + Wu + C = 0 apibrėžtas kaip:
Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- iš taško nukritusio statmens pagrindas M už duotą
tiesioginis. Tada atstumas tarp taškų M Ir M 1:
(1)
Koordinatės x 1 Ir 1 val galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:
Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis
duota tiesi linija. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
tada išspręsdami gauname:
Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:
Teorema įrodyta.
Tegul tiesė eina per taškus M 1 (x 1; y 1) ir M 2 (x 2; y 2). Tiesės, einančios per tašką M 1, lygtis yra y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Kur k – dar nežinomas koeficientas.
Kadangi tiesė eina per tašką M 2 (x 2 y 2), šio taško koordinatės turi atitikti (10.6) lygtį: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Iš čia randame Rastos vertės pakeitimą k
į (10.6) lygtį gauname tiesės, einančios per taškus M 1 ir M 2, lygtį: 
Daroma prielaida, kad šioje lygtyje x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Jei x 1 = x 2, tai tiesė, einanti per taškus M 1 (x 1,y I) ir M 2 (x 2,y 2), yra lygiagreti ordinačių ašiai. Jo lygtis yra x = x 1 .
Jei y 2 = y I, tai tiesės lygtį galima parašyti kaip y = y 1, tiesė M 1 M 2 lygiagreti abscisių ašiai.
Atkarpų tiesės lygtis
Tegul tiesė kerta Ox ašį taške M 1 (a;0), o Oy ašį taške M 2 (0;b). Lygtis bus tokia: 
tie. 
. Ši lygtis vadinama tiesės lygtis atkarpose, nes skaičiai a ir b nurodo, kuriuos atkarpas linija nukerta koordinačių ašyse.
Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis
Raskime tiesės, einančios per duotą tašką Mo (x O; y o), statmeną duotam nuliniam vektoriui n = (A; B), lygtį.
Paimkime savavališką tiesės tašką M(x; y) ir apsvarstykime vektorių M 0 M (x - x 0; y - y o) (žr. 1 pav.). Kadangi vektoriai n ir M o M yra statmeni, jų skaliarinė sandauga lygi nuliui: tai yra
A(x – xo) + B(y – yo) = 0. (10.8)
Lygtis (10.8) vadinama tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis .
Vektorius n= (A; B), statmenas tiesei, vadinamas normaliuoju šios linijos normalusis vektorius .
Lygtį (10.8) galima perrašyti kaip Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
kur A ir B yra normaliojo vektoriaus koordinatės, C = -Ax o - Vu o yra laisvasis narys. Lygtis (10.9) yra bendroji linijos lygtis(žr. 2 pav.).
1 pav.2 pav
Kanoninės tiesės lygtys
,
Kur 
- taško, per kurį linija eina, koordinates ir 
- krypties vektorius.
Antros eilės kreivės Apskritimas
Apskritimas yra visų plokštumos taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo tam tikro taško, vadinamo centru, rinkinys.
Kanoninė spindulio apskritimo lygtis
R centruojamas taške 
:
Visų pirma, jei statymo centras sutampa su koordinačių pradžia, lygtis atrodys taip: 
Elipsė
Elipsė yra plokštumos taškų rinkinys, atstumų nuo kiekvieno iš jų iki dviejų nurodytų taškų suma
Ir 
, kurie vadinami židiniais, yra pastovus dydis 
, didesnis nei atstumas tarp židinių 
.
Kanoninė elipsės lygtis, kurios židiniai yra ant Ox ašies, o koordinačių pradžia viduryje tarp židinių turi formą 
G 
de a pusiau pagrindinės ašies ilgis; b – pusiau mažosios ašies ilgis (2 pav.).
Tegu yra du taškai M(X 1 ,U 1) ir N(X 2,y 2). Raskime tiesės, einančios per šiuos taškus, lygtį.
Kadangi ši linija eina per tašką M, tada pagal formulę (1.13) jos lygtis turi formą
U – Y 1 = K(X–x 1),
Kur K– nežinomas kampinis koeficientas.
Šio koeficiento reikšmė nustatoma pagal sąlygą, kad norima tiesė eina per tašką N, o tai reiškia, kad jo koordinatės atitinka (1.13) lygtį
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
Iš čia galite rasti šios linijos nuolydį:
,
Arba po konvertavimo
(1.14)
Formulė (1.14) nustato Tiesės, einančios per du taškus, lygtis M(X 1, Y 1) ir N(X 2, Y 2).
Ypatingu atveju, kai taškai M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, guli ant koordinačių ašių, (1.14) lygtis bus paprastesnė
Lygtis (1.15) paskambino Tiesios linijos atkarpose lygtis, Čia A Ir B pažymėkite ašyse tiesia linija nupjautas atkarpas (1.6 pav.).
1.6 pav
1.10 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per taškus, lygtį M(1, 2) ir B(3, –1).
. Pagal (1.14) norimos tiesės lygtis turi formą
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Perkeldami visus terminus į kairę pusę, galiausiai gauname norimą lygtį
3X + 2Y – 7 = 0.
1.11 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygtį M(2, 1) ir linijų susikirtimo taškas X+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.
. Tiesių susikirtimo taško koordinates rasime kartu išsprendę šias lygtis
Jei šias lygtis sudėsime po termino, gautume 2 X+ 1 = 0, iš kur . Pakeitę rastą reikšmę į bet kurią lygtį, randame ordinatės reikšmę U:
Dabar parašykime tiesės, einančios per taškus (2, 1), lygtį ir:
arba .
Vadinasi arba –5( Y – 1) = X – 2.
Galiausiai gauname formoje norimos eilutės lygtį X + 5Y – 7 = 0.
1.12 pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus, lygtį M(2.1) ir N(2,3).
Naudodami (1.14) formulę gauname lygtį
Tai nėra prasmės, nes antrasis vardiklis yra nulis. Iš uždavinio sąlygų aišku, kad abiejų taškų abscisės turi tą pačią reikšmę. Tai reiškia, kad norima tiesi linija yra lygiagreti ašiai OY ir jo lygtis yra tokia: x = 2.
komentuoti . Jei rašant eilutės lygtį naudojant (1.14) formulę, vienas iš vardiklių pasirodo lygus nuliui, tai norimą lygtį galima gauti prilyginus atitinkamą skaitiklį nuliui.
Panagrinėkime kitus būdus, kaip apibrėžti tiesę plokštumoje.
1. Tegul nulinis vektorius yra statmenas duotai tiesei L, ir taškas M 0(X 0, Y 0) yra ant šios linijos (1.7 pav.).
1.7 pav
Pažymėkime M(X, Y) bet kurį linijos tašką L. Vektoriai ir 
Stačiakampis. Naudodami šių vektorių ortogonalumo sąlygas gauname arba A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Gavome tiesės, einančios per tašką, lygtį M 0 yra statmenas vektoriui. Šis vektorius vadinamas Normalus vektorius į tiesią liniją L. Gautą lygtį galima perrašyti kaip
Oi + Wu + SU= 0, kur SU = –(AX 0 + Autorius 0), (1.16),
Kur A Ir IN– normalaus vektoriaus koordinates.
Mes gauname bendrąją linijos lygtį parametrine forma.
2. Tiesė plokštumoje gali būti apibrėžta taip: tegul nulinis vektorius yra lygiagretus duotai tiesei L ir laikotarpis M 0(X 0, Y 0) yra šioje eilutėje. Dar kartą paimkime savavališką tašką M(X, y) tiesia linija (1.8 pav.).
1.8 pav
Vektoriai ir 
kolinearinis.
Užrašykime šių vektorių kolineariškumo sąlygą: , kur T– savavališkas skaičius, vadinamas parametru. Parašykime šią lygybę koordinatėmis:
Šios lygtys vadinamos Parametrinės lygtys Tiesiai. Išskirkime parametrą iš šių lygčių T:
Kitu atveju šios lygtys gali būti parašytos kaip
. (1.18)
Gauta lygtis vadinama Kanoninė tiesės lygtis. Vektorius vadinamas Nukreipimo vektorius yra tiesus .
komentuoti . Nesunku pastebėti, kad jei yra normalus linijos vektorius L, tada jo krypties vektorius gali būti vektorius, nes , t.y.
1.13 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygtį M 0(1, 1) lygiagrečiai 3 tiesei X + 2U– 8 = 0.
Sprendimas . Vektorius yra normalus vektorius duotoms ir norimoms linijoms. Naudokime tiesės, einančios per tašką, lygtį M 0 su duotu normaliu vektoriumi 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 arba 3 X + 2у– 5 = 0. Gavome norimos tiesės lygtį.
Apibrėžimas. Bet kuri tiesi linija plokštumoje gali būti nurodyta pirmosios eilės lygtimi
Ax + Wu + C = 0,
Be to, konstantos A ir B tuo pačiu metu nėra lygios nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendroji tiesės lygtis. Atsižvelgiant į konstantų A, B ir C vertes, galimi šie specialūs atvejai:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – tiesė eina per pradžios tašką
A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0) – tiesi linija, lygiagreti Ox ašiai
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – tiesi linija, lygiagreti Oy ašiai
B = C = 0, A ≠0 – tiesė sutampa su Oy ašimi
A = C = 0, B ≠0 – tiesė sutampa su Ox ašimi
Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, priklausomai nuo bet kokių pradinių sąlygų.
Tiesės iš taško ir normaliojo vektoriaus lygtis
Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B) yra statmenas tiesei, kurią suteikia lygtis Ax + By + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką A(1, 2), statmeną (3, -1), lygtį.
Sprendimas. Kai A = 3 ir B = -1, sudarykime tiesės lygtį: 3x – y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C, gautoje išraiškoje pakeičiame duoto taško A koordinates. 3 – 2 + C = 0, todėl C = -1 . Iš viso: reikalinga lygtis: 3x – y – 1 = 0.
Tiesės, einančios per du taškus, lygtis
Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesės, einančios per šiuos taškus, lygtis:
Jei kuris nors vardiklis yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui.
jei x 1 ≠ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2.
Vadinama trupmena = k nuolydis tiesiai.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.
Sprendimas. Taikydami aukščiau parašytą formulę, gauname:
Tiesios linijos iš taško ir nuolydžio lygtis
Jei bendras Ax + Bu + C = 0, eikite į formą:
ir paskirti 
, tada gauta lygtis vadinama tiesės su nuolydžiu lygtisk.
Tiesės iš taško ir krypties vektoriaus lygtis
Analogiškai su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti tiesės apibrėžimą per tašką ir tiesės nukreipimo vektorių.
Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1, α 2), kurio komponentai tenkina sąlygą A α 1 + B α 2 = 0, vadinamas tiesės nukreipiamuoju vektoriumi.
Ax + Wu + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.
Sprendimas. Ieškosime norimos tiesės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą koeficientai turi atitikti sąlygas:
1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.
Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0. Jei x = 1, y = 2, gauname C/ A = -3, t.y. reikalinga lygtis:
Atkarpų tiesės lygtis
Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ах + Ву + С = 0 С≠0, tai dalijant iš –С gauname: 
arba
Koeficientų geometrinė reikšmė yra ta, kad koeficientas A yra tiesės susikirtimo su Ox ašimi taško koordinatė ir b– tiesės susikirtimo su Oy ašimi taško koordinatė.
Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės x – y + 1 = 0 lygtis. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normalioji tiesės lygtis
Jei abi lygties pusės Ax + By + C = 0 padauginamos iš skaičiaus 
kuris vadinamas normalizuojantis veiksnys, tada gauname
xcosφ + ysinφ – p = 0 –
normalioji tiesės lygtis. Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip, kad μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Pavyzdys. Pateikiama bendroji eilutės 12x – 5y – 65 = 0 lygtis. Šiai eilutei reikia parašyti įvairių tipų lygtis.
šios linijos lygtis segmentais: 
šios tiesės ir nuolydžio lygtis: (padalinkite iš 5)
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės, lygiagrečios ašims arba einančios per koordinačių pradžią.
Pavyzdys. Tiesi linija nupjauna lygias teigiamas atkarpas koordinačių ašyse. Parašykite tiesės lygtį, jei iš šių atkarpų sudaryto trikampio plotas yra 8 cm 2.
Sprendimas. Tiesės lygtis yra tokia: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką A(-2, -3), ir pradžios lygtį.
Sprendimas.
Tiesios linijos lygtis yra tokia: 
, kur x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.
Kampas tarp tiesių plokštumoje
Apibrėžimas. Jei dvi tiesės pateiktos y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų bus apibrėžtas kaip
.
Dvi tiesės yra lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi tiesės yra statmenos, jei k 1 = -1/ k 2.
Teorema. Tiesės Ax + Bу + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai A 1 = λA, B 1 = λB yra proporcingi. Jei taip pat C 1 = λC, tai tiesės sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.
Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis
Apibrėžimas. Tiesi linija, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmena tiesei y = kx + b, pavaizduota lygtimi:
Atstumas nuo taško iki linijos
Teorema. Jei nurodytas taškas M(x 0, y 0), tai atstumas iki tiesės Ax + Bу + C = 0 nustatomas kaip
.
Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, nuleistos iš taško M į nurodytą tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:
(1)
Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti išsprendus lygčių sistemą:
Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną duotai tiesei, lygtis. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Iš 0 + C = 0,
tada išspręsdami gauname:
Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:
Teorema įrodyta.
Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
Pavyzdys. Parodykite, kad tiesės 3x – 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y – 3 = 0 yra statmenos.
Sprendimas. Randame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, vadinasi, tiesės yra statmenos.
Pavyzdys. Duotos trikampio A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.
Sprendimas. Randame kraštinės AB lygtį: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Reikalinga aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b. k = . Tada y = . Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį: 
iš kur b = 17. Iš viso: . 
Atsakymas: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Tiesė, einanti per tašką K(x 0 ; y 0) ir lygiagreti tiesei y = kx + a, randama pagal formulę:
y - y 0 = k(x - x 0) (1)
Kur k yra linijos nuolydis.
Alternatyvi formulė:
Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1 ; y 1) ir lygiagreti tiesei Ax+By+C=0, pavaizduota lygtimi
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
1 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką M 0 (-2,1), lygtį ir tuo pačiu metu:a) lygiagreti tiesei 2x+3y -7 = 0;
b) statmenai tiesei 2x+3y -7 = 0.
Sprendimas . Pavaizduokime lygtį su nuolydžiu forma y = kx + a. Norėdami tai padaryti, visas reikšmes, išskyrus y, perkelkite į dešinę: 3y = -2x + 7 . Tada padalykite dešinę pusę iš koeficiento 3. Gauname: y = -2/3x + 7/3
Raskime lygtį NK, einantį per tašką K(-2;1), lygiagrečią tiesei y = -2 / 3 x + 7 / 3
Pakeitę x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1, gauname:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
arba
y = -2 / 3 x - 1 / 3 arba 3 m + 2x +1 = 0
2 pavyzdys. Parašykite tiesės, lygiagrečios tiesei 2x + 5y = 0, lygtį ir kartu su koordinačių ašimis sudaro trikampį, kurio plotas lygus 5.
Sprendimas
. Kadangi tiesės lygiagrečios, norimos tiesės lygtis yra 2x + 5y + C = 0. Stačiojo trikampio plotas, kur a ir b yra jo kojos. Raskime norimos tiesės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis: 
;
.
Taigi, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Pakeiskime jį į ploto formulę: 
. Gauname du sprendinius: 2x + 5y + 10 = 0 ir 2x + 5y – 10 = 0.
3 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką (-2; 5) ir lygiagrečios tiesei 5x-7y-4=0, lygtį.
Sprendimas. Šią tiesią liniją galima pavaizduoti lygtimi y = 5/7 x – 4/7 (čia a = 5/7). Norimos tiesės lygtis yra y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), t.y. 7(y-5)=5(x+2) arba 5x-7y+45=0 .
4 pavyzdys. Išsprendę 3 pavyzdį (A=5, B=-7) naudodami formulę (2), randame 5(x+2)-7(y-5)=0.
5 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką (-2;5) ir lygiagrečios tiesei 7x+10=0, lygtį.
Sprendimas. Čia A = 7, B = 0. (2) formulė duoda 7(x+2)=0, t.y. x+2=0. Formulė (1) netaikoma, nes šios lygties negalima išspręsti y atžvilgiu (ši tiesė lygiagreti ordinačių ašiai).
