Šaknies ištraukimas yra atvirkštinė galios didinimo operacija. Tai yra, paėmę skaičiaus X šaknį, gauname skaičių, kuris kvadratu duos tą patį skaičių X.
Šaknies ištraukimas yra gana paprasta operacija. Kvadratų lentelė gali palengvinti ištraukimo darbą. Nes visų kvadratų ir šaknų atmintinai atsiminti neįmanoma, bet skaičiai gali būti dideli.
Skaičiaus šaknies ištraukimas
Ištraukimas kvadratinė šaknis iš skaičiaus - paprasta. Be to, tai galima padaryti ne iš karto, o palaipsniui. Pavyzdžiui, paimkite išraišką √256. Iš pradžių neišmanančiam žmogui sunku iš karto duoti atsakymą. Tada mes tai darysime žingsnis po žingsnio. Pirmiausia dalijame tik iš skaičiaus 4, iš kurio paimame pasirinktą kvadratą kaip šaknį.
Pavaizduokime: √(64 4), tada jis bus lygus 2√64. Ir kaip žinote, pagal daugybos lentelę 64 = 8 8. Atsakymas bus 2*8=16.
Registruokitės į kursą „Pagreitinkite protinę aritmetiką, NE mintinė aritmetika"išmokti greitai ir taisyklingai sudėti, atimti, dauginti, padalyti, kvadratuoti skaičius ir net įvesti šaknis. Per 30 dienų išmoksite naudoti nesudėtingus aritmetinių veiksmų supaprastinimo būdus. Kiekvienoje pamokoje yra naujų technikų, aiškūs pavyzdžiai ir naudingos užduotys.
Sudėtingos šaknies išgavimas
Kvadratinės šaknies negalima apskaičiuoti iš neigiamų skaičių, nes bet kuris kvadratinis skaičius yra teigiamas skaičius!
Kompleksinis skaičius yra skaičius i, kuris kvadratu lygus -1. Tai yra, i2 = -1.
Matematikoje yra skaičius, kuris gaunamas paėmus šaknį iš skaičiaus -1.
Tai yra, galima apskaičiuoti neigiamo skaičiaus šaknį, bet tai jau taikoma aukštajai, o ne mokyklinei matematikai.
Panagrinėkime tokio šaknies ištraukimo pavyzdį: √(-49)=7*√(-1)=7i.
Internetinė šakninė skaičiuoklė
Naudodamiesi mūsų skaičiuokle, galite apskaičiuoti skaičiaus ištraukimą iš kvadratinės šaknies:
Išraiškų, kuriose yra šakninė operacija, konvertavimas
Radikalių išraiškų transformavimo esmė – radikalų skaičių išskaidyti į paprastesnius, iš kurių galima išgauti šaknį. Tokie kaip 4, 9, 25 ir pan.
Pateiksime pavyzdį, √625. Radikaliąją išraišką padalinkime iš skaičiaus 5. Gauname √(125 5), pakartokite operaciją √(25 25), bet žinome, kad 25 yra 52. Tai reiškia, kad atsakymas bus 5*5=25.
Tačiau yra skaičių, kurių šaknies negalima apskaičiuoti naudojant šį metodą ir tereikia žinoti atsakymą arba turėti po ranka kvadratų lentelę.
√289=√(17*17)=17
Apatinė eilutė
Mes pažvelgėme tik į ledkalnio viršūnę, kad geriau suprastume matematiką – užsiregistruokite į mūsų kursą: Spartinanti mintinė aritmetika – NE mintinė aritmetika.
Kurso metu ne tik išmoksite dešimtis supaprastinto ir greito daugybos, sudėties, daugybos, dalybos, procentų skaičiavimo technikų, bet ir praktikuosite jas specialiose užduotyse ir lavinamuosiuose žaidimuose! Protinė aritmetika taip pat reikalauja daug dėmesio ir susikaupimo, kurie aktyviai lavinami sprendžiant įdomius uždavinius.
Ar norite gerai išlaikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą? Tada reikia mokėti skaičiuoti greitai, teisingai ir be skaičiuoklės. Po visko Pagrindinė priežastis balų praradimas iš vieningo valstybinio matematikos egzamino – skaičiavimo klaidos.
Pagal Vieningojo valstybinio egzamino taisykles, matematikos egzamino metu naudoti skaičiuotuvą draudžiama. Kaina gali būti per didelė – pašalinimas iš egzamino.
Tiesą sakant, jums nereikia skaičiuoklės vieningam valstybiniam matematikos egzaminui. Visos problemos išsprendžiamos be jo. Svarbiausia yra dėmesys, tikslumas ir keletas slaptų metodų, apie kuriuos mes jums papasakosime.
Pradėkime nuo pagrindinės taisyklės. Jei skaičiavimą galima supaprastinti, supaprastinkite.
Pavyzdžiui, čia yra „velniška lygtis“:
Septyniasdešimt procentų abiturientų tai išsprendžia tiesiai šviesiai. Jie apskaičiuoja diskriminantą pagal formulę, po kurios sako, kad šaknies negalima išgauti be skaičiuotuvo. Bet jūs galite padalyti kairę ir dešinę lygties puses iš . Tai pavyks
Kuris būdas lengvesnis? :-)
Daugelis moksleivių nemėgsta stulpelių daugybos. Ketvirtoje klasėje niekas nemėgo spręsti nuobodžių „pavyzdžių“. Tačiau daugeliu atvejų skaičių galima padauginti be „stulpelio“ iš eilės. Tai daug greičiau.
Atkreipkite dėmesį, kad pradedame ne nuo mažesnių skaitmenų, o nuo didesnių. Tai patogu.
Dabar – padalijimas. Nelengva padalinti „stulpelyje“ iš . Tačiau atminkite, kad padalijimo ženklas: ir trupmenos juosta yra tas pats dalykas. Parašykime kaip trupmeną ir sumažinkime trupmeną:
Kitas pavyzdys.
Kaip greitai ir be jokių stulpelių kvadratuoti dviženklį skaičių? Taikome sutrumpintas daugybos formules:
Kartais patogu naudoti kitą formulę:
Skaičiai, kurie baigiasi , iš karto padalinami kvadratu.
Tarkime, kad reikia rasti skaičiaus kvadratą ( – nebūtinai skaičių, bet bet kokį natūralųjį skaičių). Padauginame iš ir pridedame prie rezultato. Viskas!
Pavyzdžiui: (ir priskirta).
(ir priskiriama).
(ir priskiriama).
Šis metodas naudingas ne tik nustatant kvadratą, bet ir paimant skaičių, kurie baigiasi , kvadratinę šaknį.
Kaip jūs netgi galite išgauti kvadratinę šaknį be skaičiuotuvo? Parodysime du būdus.
Pirmasis metodas yra radikalios išraiškos faktorinavimas.
Pavyzdžiui, suraskime
Skaičius dalijasi iš (kadangi jo skaitmenų suma dalijasi iš ). Suskaičiuokime faktorius:
Suraskime. Šis skaičius dalijasi iš. Jis taip pat yra padalintas į. Išsiaiškinkime.
Kitas pavyzdys.
Yra antras būdas. Patogu, jei skaičius, iš kurio reikia išgauti šaknį, negali būti koeficientas.
Pavyzdžiui, reikia rasti. Skaičius po šaknimi yra nelyginis, jis nedalomas iš, nedalomas iš, nedalomas iš... Galite toliau ieškoti, iš ko jis dalijasi, arba galite tai padaryti lengviau - suraskite šią šaknį pasirinkdami .
Akivaizdu, kad dviženklis skaičius buvo kvadratas, kuris yra tarp skaičių ir , nes , , o skaičius yra tarp jų. Mes jau žinome pirmąjį atsakymo skaitmenį, tai yra .
Paskutinis skaitmuo yra . Kadangi , paskutinis skaitmuo atsakyme yra arba , arba . Patikrinkime:
. Įvyko!
Suraskime.
Tai reiškia, kad pirmasis atsakymo skaitmuo yra penki.
Paskutinis skaičiaus skaitmuo yra devyni. , . Tai reiškia, kad paskutinis skaitmuo atsakyme yra arba , arba .
Patikrinkime:
Jei skaičius, iš kurio reikia išgauti kvadratinę šaknį, baigiasi arba, tada jo kvadratinė šaknis bus neracionalus skaičius. Nes joks sveikasis kvadratas nesibaigia arba . Prisiminkite tai užduočių dalyje Vieningo valstybinio egzamino parinktys matematikoje atsakymas turi būti parašytas kaip sveikasis skaičius arba baigtinė dešimtainė trupmena, tai yra, tai turi būti racionalus skaičius.
Su kvadratinėmis lygtimis susiduriame vieningo valstybinio egzamino uždaviniuose ir variantuose, taip pat dalyse. Jie turi suskaičiuoti diskriminantą ir tada iš jo išgauti šaknį. Ir visai nebūtina ieškoti šaknų iš penkiaženklių skaičių. Daugeliu atvejų diskriminantas gali būti faktorinuojamas.
Pavyzdžiui, lygtyje.
Kita situacija, kai po šaknimis esanti išraiška gali būti faktorizuota, yra paimta iš problemos.
Hipotenuzė taisyklingas trikampis yra lygus , viena iš kojų lygi , rasti antrą koją.
Pagal Pitagoro teoremą jis lygus . Galite skaičiuoti stulpelyje ilgą laiką, tačiau lengviau naudoti sutrumpintą daugybos formulę.
Ir dabar mes jums pasakysime įdomiausią dalyką - kodėl abiturientai praranda brangius taškus išlaikydami vieningą valstybinį egzaminą. Juk klaidų skaičiavimuose pasitaiko ne šiaip.
1 . Tikras būdas prarasti taškus yra aplaidūs skaičiavimai, kai kažkas taisoma, perbraukiama arba vienas skaičius užrašomas ant kito. Pažiūrėkite į savo juodraščius. Galbūt jie atrodo vienodai? :-)
Rašykite įskaitomai! Netaupykite popieriaus. Jei kažkas negerai, netaisykite vieno skaičiaus kitu, geriau rašykite dar kartą.
2. Kažkodėl daugelis moksleivių, skaičiuodami stulpelyje, stengiasi tai padaryti 1) labai labai greitai, 2) labai mažais skaičiais, savo sąsiuvinio kamputyje ir 3) pieštuku. Rezultatas yra toks:
Neįmanoma nieko išsiaiškinti. Taigi ar nenuostabu, kad vieningo valstybinio egzamino balas yra mažesnis nei tikėtasi?
3. Daugelis moksleivių yra įpratę nekreipti dėmesio į skliaustus posakiuose. Kartais taip nutinka:
Atminkite, kad lygybės ženklas dedamas ne bet kur, o tik tarp vienodų reikšmių. Rašykite kompetentingai, net juodraštyje.
4 . Daugybė skaičiavimo klaidų apima trupmenas. Jei dalijate trupmeną iš trupmenos, naudokite ką
Čia nupieštas „mėsainis“, tai yra kelių aukštų trupmena. Taikant šį metodą labai sunku gauti teisingą atsakymą.
Apibendrinkime.
Pirmos dalies užduočių tikrinimas profilis Vieningas valstybinis egzaminas matematikoje – automatinis. Čia nėra „beveik teisingo“ atsakymo. Arba jis teisus, arba ne. Viena skaičiavimo klaida – ir sveiki, užduotis nesiskaito. Todėl jums naudinga išmokti skaičiuoti greitai, teisingai ir be skaičiuoklės.
Profilio Vieningas valstybinis matematikos egzaminas antrosios dalies užduotis tikrina ekspertas. Pasirūpink juo! Leisk jam suprasti ir tavo rašyseną, ir sprendimo logiką.
Instrukcijos
Pasirinkite radikalaus skaičiaus daugiklį, kurio pašalinimas iš apačios šaknis iš tikrųjų yra išraiška – kitaip operacija praras . Pavyzdžiui, jei po ženklu šaknis kai rodiklis lygus trims (kubo šaknis), tai kainuoja numerį 128, tada iš po ženklo galite išimti, pvz. numerį 5. Kartu ir radikalus numerį 128 turės būti padalintas iš 5 kubelių: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Jei trupmeninio skaičiaus buvimas po ženklu šaknis neprieštarauja problemos sąlygoms, tuomet tai įmanoma tokia forma. Jei jums reikia paprastesnio varianto, pirmiausia suskaidykite radikaliąją išraišką į tokius sveikojo skaičiaus veiksnius, kurių vieno kubo šaknis bus sveikasis skaičius numerį m. Pavyzdžiui: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
Naudokite norėdami pasirinkti radikalaus skaičiaus veiksnius, jei neįmanoma apskaičiuoti skaičiaus galių jūsų galvoje. Tai ypač pasakytina apie šaknis m, kurio rodiklis didesnis nei du. Jei turite prieigą prie interneto, galite atlikti skaičiavimus naudodami Google ir Nigma paieškos sistemose integruotus skaičiuotuvus. Pavyzdžiui, jei reikia rasti didžiausią sveikojo skaičiaus koeficientą, kurį galima paimti iš po kubinio ženklo šaknis skaičiui 250, tada eikite į „Google“ svetainę ir įveskite užklausą „6^3“, kad patikrintumėte, ar galima jį pašalinti iš po ženklo šaknisšeši. Paieškos sistema parodys rezultatą, lygų 216. Deja, 250 negalima padalyti be likučio iš šio numerį. Tada įveskite užklausą 5^3. Rezultatas bus 125, o tai leidžia padalyti 250 į koeficientus 125 ir 2, o tai reiškia, kad jis bus pašalintas iš ženklo šaknis numerį 5, paliekant ten numerį 2.
Šaltiniai:
- kaip jį ištraukti iš po šaknų
- Kvadratinė produkto šaknis
Išimkite jį iš apačios šaknis vienas iš veiksnių yra būtinas situacijose, kai reikia supaprastinti matematinę išraišką. Yra atvejų, kai neįmanoma atlikti reikiamų skaičiavimų naudojant skaičiuotuvą. Pavyzdžiui, jei vietoj skaičių naudojami raidžių žymėjimai kintamiesiems.
Instrukcijos
Suskaidykite radikalią išraišką į paprastus veiksnius. Pažiūrėkite, kuris iš veiksnių kartojasi tiek pat kartų, nurodytas rodikliuose šaknis, arba daugiau. Pavyzdžiui, reikia paimti ketvirtąją a šaknį. Šiuo atveju skaičius gali būti pavaizduotas kaip a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Rodiklis šaknisšiuo atveju jis atitiks veiksnys a3. Jį reikia išimti iš ženklo.
Jei įmanoma, gautų radikalų šaknis ištraukite atskirai. Ištraukimas šaknis yra algebrinė operacija, atvirkštinė eksponencijai. Ištraukimas šaknis savavališkos laipsnio, suraskite skaičių iš skaičiaus, kurį padidinus iki šios savavališkos laipsnio, bus gautas nurodytas skaičius. Jei ištraukimas šaknis negali būti pagamintas, palikite radikalią išraišką po ženklu šaknis tiesiog taip, kaip yra. Dėl aukščiau nurodytų veiksmų būsite pašalinti iš apačios ženklas šaknis.
Video tema
pastaba
Būkite atsargūs rašydami radikalias išraiškas faktorių forma - klaida šiame etape sukels neteisingus rezultatus.
Išgaunant šaknis patogu naudoti specialias lenteles arba logaritminių šaknų lenteles – tai žymiai sumažins laiką, kurio reikia rasti teisingas sprendimas.
Šaltiniai:
- šaknų ištraukimo ženklas 2019 m
Supaprastinti algebrines išraiškas reikia daugelyje matematikos sričių, taip pat ir sprendžiant lygtis aukštesni laipsniai, diferenciacija ir integracija. Naudojami keli metodai, įskaitant faktorizaciją. Norėdami pritaikyti šį metodą, turite rasti ir padaryti bendrą veiksnys už nugaros skliausteliuose.
Instrukcijos
Atliekant bendrą daugiklį skliausteliuose- vienas iš labiausiai paplitusių skaidymo būdų. Ši technika naudojama ilgų algebrinių išraiškų struktūrai supaprastinti, t.y. daugianariai. Bendrasis skaičius gali būti skaičius, vienanaris arba dvinaris, o norint jį rasti, naudojama daugybos skirstomoji savybė.
Skaičius atidžiai pažiūrėkite į kiekvieno daugianario koeficientus, kad pamatytumėte, ar juos galima padalyti iš to paties skaičiaus. Pavyzdžiui, išraiškoje 12 z³ + 16 z² – 4 tai akivaizdu veiksnys 4. Po transformacijos gausite 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Kitaip tariant, šis skaičius yra mažiausiai paplitęs sveikasis visų koeficientų daliklis.
Monomialas Nustatykite, ar tas pats kintamasis yra kiekviename daugianario naryje. Darant prielaidą, kad taip yra, dabar pažiūrėkite į koeficientus, kaip ir ankstesniu atveju. Pavyzdys: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.
Kiekvienas šio daugianario elementas turi kintamąjį z. Be to, visi koeficientai yra skaičiai, kurie yra 3 kartotiniai. Todėl bendras koeficientas bus monomialas 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z – 1).
Dvejetainė.Dėl skliausteliuose bendras veiksnys iš dviejų, kintamasis ir skaičius, kuris yra bendras daugianario. Todėl, jei veiksnys-Benomialas nėra akivaizdus, tada reikia rasti bent vieną šaknį. Pasirinkite laisvąjį daugianario narį, tai yra koeficientas be kintamojo. Dabar taikykite pakeitimo metodą į bendrą visų laisvojo termino sveikųjų skaičių daliklių išraišką.
Apsvarstykite: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Patikrinkite, ar kuris nors iš 4 sveikųjų skaičių yra z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Paprastu pakeitimu raskite z1 = 1 ir z2 = 2, o tai reiškia, kad skliausteliuose galime pašalinti dvejetainius (z - 1) ir (z - 2). Norėdami rasti likusią išraišką, naudokite nuoseklų ilgąjį padalijimą.
Mokiniai visada klausia: „Kodėl aš negaliu naudoti skaičiuoklės matematikos egzamine? Kaip išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus be skaičiuoklės? Pabandykime atsakyti į šį klausimą.
Kaip išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus be skaičiuoklės pagalbos?
Veiksmas kvadratinė šaknis atvirkštinis kvadratavimo veiksmui.
√81= 9 9 2 =81
Jei paimsite teigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį ir gaukite rezultatą kvadratu, gausite tą patį skaičių.
Iš ne dideli skaičiai, kurie yra tikslūs kvadratai natūraliuosius skaičius, pavyzdžiui, žodžiu galima išgauti 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 kvadratinių šaknų. Paprastai mokykloje mokoma natūraliųjų skaičių iki dvidešimties kvadratų lentelės. Žinant šią lentelę, nesunku iš skaičių 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 ištraukti kvadratines šaknis. Iš skaičių, didesnių nei 400, galite juos išskirti pasirinkimo metodu, naudodami keletą patarimų. Pabandykime pažvelgti į šį metodą su pavyzdžiu.
Pavyzdys: Ištraukite skaičiaus 676 šaknį.
Pastebime, kad 20 2 = 400 ir 30 2 = 900, o tai reiškia 20< √676 < 900.
Natūraliųjų skaičių tikslūs kvadratai baigiasi 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Skaičius 6 pateikiamas 4 2 ir 6 2.
Tai reiškia, kad jei šaknis paimta iš 676, tada ji yra arba 24, arba 26.
Belieka patikrinti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Atsakymas: √676 = 26 .
Daugiau pavyzdys: √6889 .
Kadangi 80 2 = 6400 ir 90 2 = 8100, tada 80< √6889 < 90.
Skaičius 9 pateikiamas iš 3 2 ir 7 2, tada √6889 yra lygus 83 arba 87.
Patikrinkime: 83 2 = 6889.
Atsakymas: √6889 = 83 .
Jei jums sunku išspręsti taikant atrankos metodą, galite atsižvelgti į radikalią išraišką.
Pavyzdžiui, rasti √893025.
Suskaičiuokime skaičių 893025, atminkite, kad tai padarėte šeštoje klasėje.
Gauname: √893025 = √3 6∙5 2∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Daugiau pavyzdys: √20736. Paskaičiuokime skaičių 20736:
Gauname √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Žinoma, faktorizacijai reikia žinių apie dalijamumo ženklus ir faktorizavimo įgūdžius.
Ir pagaliau yra kvadratinių šaknų ištraukimo taisyklė. Susipažinkime su šia taisykle pavyzdžiais.
Apskaičiuokite √279841.
Norėdami išgauti kelių skaitmenų sveikojo skaičiaus šaknį, padalijame jį iš dešinės į kairę į veidus, turinčius 2 skaitmenis (kraštinėje kairiajame krašte gali būti vienas skaitmuo). Rašome taip: 27’98’41
Norėdami gauti pirmąjį šaknies skaitmenį (5), paimame kvadratinę šaknį iš didžiausio tobulo kvadrato, esančio pirmame kairėje pusėje (27).
Tada šaknies pirmojo skaitmens kvadratas (25) atimamas iš pirmojo paviršiaus, o kitas veidas (98) pridedamas prie skirtumo (atimamas).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 298 parašykite šaknies dviženklį skaitmenį (10), padalykite iš jo visų anksčiau gauto skaičiaus dešimčių skaičių (29/2 ≈ 2), patikrinkite koeficientą (102 ∙ 2 = 204). turėtų būti ne daugiau kaip 298) ir parašykite (2) po pirmojo šaknies skaitmens.
Tada gautas koeficientas 204 atimamas iš 298 ir prie skirtumo (94) pridedama kita briauna (41).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 9441 parašykite dvigubą šaknies skaitmenų sandaugą (52 ∙2 = 104), padalinkite visų skaičiaus 9441 dešimčių skaičių (944/104 ≈ 9) iš šio sandaugos, išbandykite koeficientas (1049 ∙9 = 9441) turi būti 9441 ir užrašykite jį (9) po antrojo šaknies skaitmens.
Gavome atsakymą √279841 = 529.
Ištraukite panašiai dešimtainių trupmenų šaknys. Tik radikalus skaičius turi būti padalintas į veidus, kad kablelis būtų tarp veidų.
Pavyzdys. Raskite reikšmę √0,00956484.
Jūs tiesiog turite atsiminti, kad jei dešimtainis Tai turi nelyginis skaičius po kablelio, kvadratinės šaknies iš jo tiksliai išgauti negalima.
Taigi dabar matėte tris būdus, kaip išgauti šaknį. Pasirinkite sau tinkamiausią ir praktikuokite. Norint išmokti spręsti problemas, reikia jas spręsti. Ir jei turite klausimų, registruokitės į mano pamokas.
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
1 faktas.
\(\bullet\) Paimkime neneigiamą skaičių \(a\) (ty \(a\geqslant 0\) ). Tada (aritmetika) kvadratinė šaknis iš skaičiaus \(a\) vadinamas toks neneigiamas skaičius \(b\) , sudėjus kvadratą gauname skaičių \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tas pats kaip )\quad a=b^2\] Iš apibrėžimo išplaukia, kad \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Šie apribojimai yra svarbi sąlyga kvadratinės šaknies egzistavimą ir juos reikia atsiminti!
Prisiminkite, kad bet koks skaičius kvadratu duoda neneigiamą rezultatą. Tai yra, \(100^2=10000\geqslant 0\) ir \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Kam lygi \(\sqrt(25)\)? Žinome, kad \(5^2=25\) ir \((-5)^2=25\) . Kadangi pagal apibrėžimą turime rasti neneigiamą skaičių, \(-5\) netinka, todėl \(\sqrt(25)=5\) (nes \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) reikšmės radimas vadinamas kvadratinės šaknies iš skaičiaus \(a\) ėmimu, o skaičius \(a\) vadinamas radikalia išraiška.
\(\bullet\) Remiantis apibrėžimu, išraiška \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) ir kt. neturi prasmės.
2 faktas.
Norint greitai atlikti skaičiavimus, bus naudinga išmokti natūraliųjų skaičių kvadratų lentelę nuo \(1\) iki \(20\): \[\begin(masyvas)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(masyvas)\]
3 faktas.
Kokias operacijas galima atlikti su kvadratinėmis šaknimis?
\(\bullet\) Kvadratinių šaknų suma arba skirtumas NĖRA LYGI sumos arba skirtumo kvadratinei šakniai, tai yra \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Taigi, jei reikia apskaičiuoti, pavyzdžiui, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , iš pradžių turite rasti \(\sqrt(25)\) ir \(\ sqrt(49)\) ir sulenkite juos. Vadinasi, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jei reikšmių \(\sqrt a\) arba \(\sqrt b\) nepavyksta rasti pridedant \(\sqrt a+\sqrt b\), tada tokia išraiška toliau netransformuojama ir lieka tokia, kokia yra. Pavyzdžiui, sumoje \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) galime rasti, kad \(\sqrt(49)\) yra \(7\) , bet \(\sqrt 2\) negali būti transformuotas į bet kokiu atveju, štai kodėl \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Deja, šios išraiškos negalima supaprastinti\(\bullet\) Kvadratinių šaknų sandauga / dalinys yra lygus sandaugos / dalinio kvadratinei šaknims, tai yra \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (su sąlyga, kad abi lygybės pusės turi prasmę)
Pavyzdys: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Naudojant šias ypatybes, patogu rasti didelių skaičių kvadratines šaknis, jas koeficientuojant.
Pažiūrėkime į pavyzdį. Raskime \(\sqrt(44100)\) . Nuo \(44100:100=441\) , tada \(44100=100\cdot 441\) . Pagal dalijimosi kriterijų skaičius \(441\) dalijasi iš \(9\) (nes jo skaitmenų suma yra 9 ir dalijasi iš 9), todėl \(441:9=49\), tai yra, \(441=9\ cdot 49\) .
Taip gavome: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pažvelkime į kitą pavyzdį: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
' Kadangi \(5=\sqrt(25)\) , tada \
Taip pat atkreipkite dėmesį, kad pvz.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Kodėl taip? Paaiškinkime naudodami 1 pavyzdį). Kaip jau supratote, negalime kažkaip pakeisti skaičiaus \(\sqrt2\). Įsivaizduokime, kad \(\sqrt2\) yra koks nors skaičius \(a\) . Atitinkamai, išraiška \(\sqrt2+3\sqrt2\) yra ne kas kita, kaip \(a+3a\) (vienas skaičius \(a\) ir dar trys tokie patys skaičiai \(a\)). Ir mes žinome, kad tai lygu keturiems tokiems skaičiams \(a\) , tai yra \(4\sqrt2\) .
4 faktas.
' . Pavyzdžiui, galite paimti skaičiaus \(16\) šaknį, nes \(16=4^2\) , todėl \(\sqrt(16)=4\) . Tačiau neįmanoma išgauti skaičiaus \(3\) šaknies, tai yra, rasti \(\sqrt3\), nes nėra skaičiaus, kuris kvadratu suteiktų \(3\) .
Tokie skaičiai (arba išraiškos su tokiais skaičiais) yra neracionalūs. Pavyzdžiui, skaičiai \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) ir taip toliau. yra neracionalūs.
Taip pat neracionalūs yra skaičiai \(\pi\) (skaičius „pi“, maždaug lygus \(3,14\)), \(e\) (šis skaičius vadinamas Eilerio skaičiumi, jis yra maždaug lygus \(2,7) \)) ir kt.
\(\bullet\) Atminkite, kad bet kuris skaičius bus racionalus arba neracionalus. O kartu visi racionalūs ir viskas neracionalūs skaičiai sudaryti rinkinį, vadinamą realiųjų skaičių rinkinys.Šis rinkinys žymimas raide \(\mathbb(R)\) .
Tai reiškia, kad visi įjungti numeriai Šis momentasžinome, kad jie vadinami tikraisiais skaičiais.
5 faktas.
\(\bullet\) Realiojo skaičiaus \(a\) modulis yra neneigiamas skaičius \(|a|\), lygus atstumui nuo taško \(a\) iki \(0\) tikra linija. Pavyzdžiui, \(|3|\) ir \(|-3|\) yra lygūs 3, nes atstumai nuo taškų \(3\) ir \(-3\) iki \(0\) yra tas pats ir lygus \(3 \) .
\(\bullet\) Jei \(a\) yra neneigiamas skaičius, tada \(|a|=a\) .
Pavyzdys: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jei \(a\) yra neigiamas skaičius, tada \(|a|=-a\) .
Pavyzdys: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Jie sako, kad neigiamiems skaičiams modulis „suvalgo“ minusą, o teigiamus skaičius, taip pat skaičių \(0\), modulis nepakeičia.
BETŠi taisyklė taikoma tik skaičiams. Jei po jūsų modulio ženklu yra nežinomas \(x\) (arba kitas nežinomasis), pavyzdžiui, \(|x|\) , apie kurį mes nežinome, ar jis teigiamas, nulis ar neigiamas, tada atsikratykite modulio negalime. Šiuo atveju ši išraiška išlieka ta pati: \(|x|\) . \(\bullet\) Galioja šios formulės: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( pateikta ) a\geqslant 0\] Labai dažnai daroma tokia klaida: sakoma, kad \(\sqrt(a^2)\) ir \((\sqrt a)^2\) yra vienas ir tas pats. Tai tiesa, tik jei \(a\) yra teigiamas skaičius arba nulis. Bet jei \(a\) yra neigiamas skaičius, tai klaidinga. Pakanka apsvarstyti šį pavyzdį. Vietoj \(a\) imkime skaičių \(-1\) . Tada \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , bet išraiška \((\sqrt (-1))^2\) iš viso neegzistuoja (juk Neįmanoma naudoti šaknies ženklo įdėti neigiamus skaičius!).
Todėl atkreipiame jūsų dėmesį į tai, kad \(\sqrt(a^2)\) nėra lygus \((\sqrt a)^2\) ! Pavyzdys: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), nes \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Kadangi \(\sqrt(a^2)=|a|\) , tada \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (išraiška \(2n\) reiškia lyginį skaičių)
Tai yra, paimant skaičiaus, kuris yra tam tikru laipsniu, šaknį, šis laipsnis sumažinamas perpus.
Pavyzdys:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (atkreipkite dėmesį, kad jei modulis nepateikiamas, paaiškėja, kad skaičiaus šaknis yra lygi \(-25\) ) );
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (kadangi bet koks skaičius iki lyginio laipsnio yra neneigiamas)
6 faktas.
Kaip palyginti dvi kvadratines šaknis?
\(\bullet\) Kvadratinių šaknų atveju tai tiesa: jei \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) palyginkite \(\sqrt(50)\) ir \(6\sqrt2\) . Pirma, paverskime antrąją išraišką į \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Taigi, nuo \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Tarp kokių sveikųjų skaičių yra \(\sqrt(50)\)?
Nuo \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ir \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Palyginkime \(\sqrt 2-1\) ir \(0,5\) . Tarkime, kad \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(sulygiuotas) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pridėkite po vieną prie abiejų pusių))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((iš abiejų pusių kvadratu))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end (sulygiuotas)\] Matome, kad gavome neteisingą nelygybę. Todėl mūsų prielaida buvo neteisinga ir \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Atkreipkite dėmesį, kad tam tikro skaičiaus pridėjimas prie abiejų nelygybės pusių neturi įtakos jos ženklui. Abiejų nelygybės pusių dauginimas/dalinimas iš teigiamo skaičiaus taip pat neturi įtakos jos ženklui, tačiau padauginus/dalijus iš neigiamo skaičiaus nelygybės ženklas apverčiamas!
Abi lygties/nelygybės puses galite kvadratuoti TIK JEI abi pusės yra neneigiamos. Pavyzdžiui, nelygybėje iš ankstesnio pavyzdžio galite kvadratuoti abi puses, nelygybėje \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Reikia atsiminti, kad ' Apytikslės šių skaičių reikšmės žinojimas padės lyginant skaičius! \(\bullet\) Norint išgauti šaknį (jei ją galima išgauti) iš kokio nors didelio skaičiaus, kurio nėra kvadratų lentelėje, pirmiausia reikia nustatyti tarp kurių „šimtų“ jis yra, tada – tarp kurių „ dešimčių“, tada nustatykite paskutinį šio skaičiaus skaitmenį. Parodykime, kaip tai veikia pavyzdžiu.
Paimkime \(\sqrt(28224)\) . Žinome, kad \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) ir kt. Atminkite, kad \(28224\) yra tarp \(10\,000\) ir \(40\,000\) . Todėl \(\sqrt(28224)\) yra tarp \(100\) ir \(200\) .
Dabar nustatykime, tarp kurių „dešimties“ yra mūsų skaičius (ty, pavyzdžiui, tarp \(120\) ir \(130\)). Taip pat iš kvadratų lentelės žinome, kad \(11^2=121\) , \(12^2=144\) ir tt, tada \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) ). Taigi matome, kad \(28224\) yra tarp \(160^2\) ir \(170^2\) . Todėl skaičius \(\sqrt(28224)\) yra tarp \(160\) ir \(170\) .
Pabandykime nustatyti paskutinį skaitmenį. Prisiminkime, kokie vienaženkliai skaičiai, surašyti kvadratu, pateikia \(4\) pabaigoje? Tai yra \(2^2\) ir \(8^2\) . Todėl \(\sqrt(28224)\) baigsis 2 arba 8. Patikrinkime tai. Raskime \(162^2\) ir \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Todėl \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!
Norint tinkamai išspręsti vieningą valstybinį matematikos egzaminą, pirmiausia reikia išstudijuoti teorinę medžiagą, kuri supažindina su daugybe teoremų, formulių, algoritmų ir kt. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad tai gana paprasta. Tačiau rasti šaltinį, kuriame vieningo valstybinio matematikos egzamino teorija būtų lengvai ir suprantamai pateikta bet kokio lygio mokiniams, iš tikrųjų yra gana sudėtinga užduotis. Mokykliniai vadovėliai ne visada gali būti po ranka. Ir net internete gali būti sunku rasti pagrindines vieningo valstybinio matematikos egzamino formules.
Kodėl matematikos teoriją taip svarbu mokytis ne tik laikantiesiems vieningą valstybinį egzaminą?
- Nes tai praplečia akiratį. Matematikos teorinės medžiagos studijavimas naudingas kiekvienam, norinčiam gauti atsakymus į įvairiausius klausimus, susijusius su juos supančio pasaulio pažinimu. Gamtoje viskas sutvarkyta ir turi aiškią logiką. Būtent tai atsispindi moksle, per kurį galima suprasti pasaulį.
- Nes ugdo intelektą. Studijuodamas vieningo valstybinio matematikos egzamino informacinę medžiagą, taip pat spręsdamas įvairias problemas, žmogus išmoksta logiškai mąstyti ir mąstyti, kompetentingai ir aiškiai formuluoti mintis. Jis ugdo gebėjimą analizuoti, apibendrinti ir daryti išvadas.
Kviečiame asmeniškai įvertinti visus mūsų požiūrio į mokomosios medžiagos sisteminimą ir pateikimą privalumus.
