Remdamiesi antros ir trečios eilės determinantų sąvokomis, galime panašiai įvesti eilės determinanto sąvoką n. Didesnės nei trečiosios eilės determinantai paprastai apskaičiuojami naudojant 1.3 punkte suformuluotas determinantų savybes, kurios galioja bet kurios eilės determinantams.
Naudodami determinantų skaičių 9 0, pateikiame 4 eilės determinanto apibrėžimą:
2 pavyzdys. Apskaičiuokite naudodami tinkamą išplėtimą.
Panašiai įvedama determinanto sąvoka 5, 6 ir kt. įsakymas. Taigi n eilės determinantas:
.
Visos anksčiau aptartos 2 ir 3 eilės determinantų savybės galioja ir n eilės determinantams.
Panagrinėkime pagrindinius determinantų skaičiavimo metodus n– įsakymas.
komentaras: Prieš taikant šį metodą, naudojant pagrindines determinantų savybes, naudinga visus tam tikros eilutės ar stulpelio elementus, išskyrus vieną, paversti nuliu. (Efektyvus užsakymų mažinimo metodas)
Sumažinimo iki trikampio formos metodas susideda iš tokios determinanto transformacijos, kai visi jo elementai, esantys vienoje pagrindinės įstrižainės pusėje, tampa lygūs nuliui. Šiuo atveju determinantas yra lygus jo pagrindinės įstrižainės elementų sandaugai.
3 pavyzdys. Apskaičiuokite redukuodami iki trikampio formos.
4 pavyzdys. Apskaičiuokite naudodami efektyvų užsakymų mažinimo metodą
.
Sprendimas: pagal 4 0 determinantų savybę iš pirmos eilės išimsime koeficientą 10, o paskui antrą eilutę padauginsime iš 2, iš 2, iš 1 ir pridėsime su pirmąja, trečia ir ketvirta. eilutės, atitinkamai (8 0 nuosavybė).
.
Gautas determinantas gali būti išplėstas į pirmojo stulpelio elementus. Jis bus sumažintas iki trečios eilės determinanto, kuris apskaičiuojamas naudojant Sarrus (trikampio) taisyklę.
5 pavyzdys. Apskaičiuokite determinantą sumažindami jį iki trikampio formos.
.
3 pavyzdys. Apskaičiuokite naudojant pasikartojimo ryšius.
.
.
4 paskaita. Atvirkštinė matrica. Matricos rangas.
1. Atvirkštinės matricos samprata
1 apibrėžimas. Kvadratas vadinama n eilės matrica A neišsigimęs, jei jo determinantas | A| ≠ 0. Tuo atveju, kai | A| = 0, vadinama matrica A išsigimęs.
Tik kvadratinėms nevienetinėms matricoms A įvesta atvirkštinės matricos A -1 sąvoka.
2 apibrėžimas . Matrica A -1 vadinama atvirkščiai kvadratinei nevienetinei matricai A, jei A -1 A = AA -1 = E, kur E yra eilės vienetinė matrica n.
3 apibrėžimas
.
Matrica 
paskambino pridedamas jo elementai yra algebriniai papildiniai 
perkelta matrica 
.
Atvirkštinės matricos apskaičiavimo adjungtinės matricos metodu algoritmas.
, Kur 
.
Patikriname skaičiavimo teisingumą A -1 A = AA -1 = E. (E yra tapatybės matrica)
Matricos A ir A -1 abipusis. Jeigu | A| = 0, tada atvirkštinė matrica neegzistuoja.
1 pavyzdys. Duota matrica A. Įsitikinkite, kad ji nėra vienaskaita, ir raskite atvirkštinę matricą 
.
Sprendimas: 
. Todėl matrica nėra vienaskaita.
Raskime atvirkštinę matricą. Sudarykime matricos A elementų algebrinius papildinius.
Mes gauname 
.
Aptarę keletą svarbių skaičiavimo uždavinių ypatybių, atkreipkime dėmesį į tuos metodus, kurie naudojami skaičiavimo matematikoje, kad uždaviniai būtų paverčiami patogia forma realizavimui kompiuteryje ir leidžia sukurti skaičiavimo algoritmus. Šiuos metodus vadinsime skaičiavimo metodais. Esant tam tikram susitarimui, skaičiavimo metodus galima suskirstyti į šias klases: 1) ekvivalentinių transformacijų metodai; 2)
aproksimavimo metodai; 3) tiesioginiai (tikslūs) metodai; 4) iteraciniai metodai; 5) statistinio testavimo metodai (Monte Karlo metodai). Metodas, apskaičiuojantis konkrečios problemos sprendimą, gali turėti gana sudėtingą struktūrą, tačiau pagrindiniai jo žingsniai, kaip taisyklė, yra nurodytų metodų įgyvendinimas. Suteikime bendrą idėją apie juos.
1. Lygiaverčių transformacijų metodai.
Šie metodai leidžia pakeisti pradinę problemą kita, kuri turi tą patį sprendimą. Lygiaverčių transformacijų atlikimas yra naudingas, jei nauja problema yra paprastesnė nei pradinė arba turi geresnes savybes, arba yra žinomas jos sprendimo būdas, o gal jau paruošta programa.
3.13 pavyzdys. Lygiavertis kvadratinės lygties transformavimas į formą (viso kvadrato pasirinkimas) sumažina problemą iki kvadratinės šaknies apskaičiavimo ir veda prie formulių (3.2), žinomų dėl jos šaknų.
Ekvivalentiškos transformacijos kartais leidžia redukuoti pradinės skaičiavimo problemos sprendimą iki visiškai kitokio tipo skaičiavimo uždavinio sprendimo.
3.14 pavyzdys. Netiesinės lygties šaknies radimo problemą galima redukuoti iki ekvivalentinės funkcijos globalaus minimumo taško radimo. Iš tiesų, funkcija yra neneigiama ir pasiekia minimalią reikšmę, lygią nuliui tiems ir tik tiems x, kuriems
2. Aproksimacijos metodai.
Šie metodai leidžia aproksimuoti (apytiksliai) pirminę problemą su kita, kurios sprendimas tam tikra prasme yra artimas pirminės problemos sprendimui. Klaida, atsirandanti dėl tokio pakeitimo, vadinama aproksimacijos klaida. Paprastai aproksimavimo uždavinyje yra kai kurie parametrai, leidžiantys reguliuoti aproksimacijos paklaidos dydį arba paveikti kitas problemos savybes. Įprasta sakyti, kad aproksimacijos metodas konverguoja, jei aproksimacijos paklaida linkusi į nulį, nes metodo parametrai linkę į tam tikrą ribinę vertę.
3.15 pavyzdys. Vienas iš paprasčiausių būdų apskaičiuoti integralą yra apytikslis integralas pagal stačiakampių dydžio formulę
Veiksmas čia yra metodo parametras. Kadangi tai yra specialiai sukurta integralų suma, iš apibrėžtojo integralo apibrėžimo matyti, kad stačiakampio metodui suartėjus,
3.16 pavyzdys. Atsižvelgdami į funkcijos išvestinės apibrėžimą, jos apytiksliai apskaičiavimui galite naudoti formulę Apytikslė šios skaitinės diferenciacijos formulės paklaida linkusi į nulį, kai
Vienas iš paplitusių aproksimacijos metodų yra diskretizavimas – apytikslis pradinės problemos pakeitimas baigtinių matmenų uždaviniu, t.y. uždavinys, kurio įvesties duomenis ir norimą sprendimą galima vienareikšmiškai nurodyti baigtine skaičių aibe. Problemoms, kurios nėra baigtinių matmenų, šis veiksmas būtinas tolesniam diegimui kompiuteryje, nes kompiuteris gali veikti tik su baigtiniu skaičių skaičiumi. Pirmiau pateiktuose 3.15 ir 3.16 pavyzdžiuose buvo naudojamas mėginių ėmimas. Nors tikslus integralo apskaičiavimas apima begalinio skaičiaus reikšmių naudojimą (visiems jo apytikslę vertę galima apskaičiuoti naudojant baigtinį reikšmių skaičių taškuose a). Panašiai išvestinės apskaičiavimo problema, kurio tikslus sprendimas apima perėjimą prie ribos ties (ir todėl begalinio skaičiaus funkcijos reikšmių naudojimas sumažinamas iki apytikslio išvestinės apskaičiavimo, atsižvelgiant į dvi funkcijos reikšmes.
Sprendžiant netiesines problemas, plačiai naudojami įvairūs tiesinimo metodai, kuriuos sudaro apytikslis pradinės problemos pakeitimas paprastesniais tiesiniais uždaviniais. 3.17 pavyzdys. Tegul reikia apytiksliai apskaičiuoti reikšmę kompiuteryje, galinčiame atlikti paprastas aritmetines operacijas. Atkreipkite dėmesį, kad pagal apibrėžimą x yra teigiama netiesinės lygties šaknis. Tegul yra žinomas aproksimacija Pakeiskime parabolę tiesia linija, kuri yra jai nubrėžta liestinė
taškas su abscise.Šios liestinės susikirtimo su ašimi taškas duoda geresnį aproksimaciją ir randamas iš tiesinės lygties Ją išsprendę gauname apytikslę formulę
Pavyzdžiui, jei imsite už, gausite patobulintą vertę
Sprendžiant skirtingų klasių skaičiavimo uždavinius, gali būti naudojami skirtingi aproksimavimo metodai; Tai apima metodus, kaip sureguliuoti netinkamai iškeltų problemų sprendimą. Atkreipkite dėmesį, kad reguliavimo metodai yra plačiai naudojami blogai sąlygotoms problemoms spręsti.
3. Tiesioginiai metodai.
Uždavinio sprendimo būdas vadinamas tiesioginiu, jeigu jis leidžia gauti sprendimą atlikus baigtinį elementariųjų operacijų skaičių.
3.18 pavyzdys. Kvadratinės lygties šaknų apskaičiavimo formulėmis metodas yra tiesioginis metodas. Keturios aritmetinės operacijos ir kvadratinės šaknies operacijos laikomos elementariais.
Atkreipkite dėmesį, kad elementari tiesioginio metodo operacija gali būti gana sudėtinga (skaičiuojant elementariosios ar specialiosios funkcijos reikšmes, sprendžiant tiesinių algebrinių lygčių sistemą, apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir kt.). Tai, kad jis yra priimtas kaip elementarus, bet kuriuo atveju reiškia, kad jo įgyvendinimas yra daug paprastesnis nei apskaičiuoti visos problemos sprendimą.
Konstruojant tiesioginius metodus didelis dėmesys skiriamas elementarių operacijų skaičiaus mažinimui.
3.19 pavyzdys (Hornerio diagrama). Tegul uždavinys yra apskaičiuoti daugianario reikšmę
pagal duotus koeficientus ir argumento x reikšmę. Jei apskaičiuosite daugianarį tiesiogiai naudodami formulę (3.12) ir surasite jį nuosekliai daugindami iš x, turėsite atlikti daugybos ir sudėjimo operacijas.
Daug ekonomiškesnis skaičiavimo metodas vadinamas Hornerio schema. Jis pagrįstas daugianario užrašymu tokia lygiaverte forma:
Skliaustų išdėstymas lemia tokią skaičiavimų tvarką: Čia reikia apskaičiuoti reikšmę, atliekant tik daugybos ir sudėjimo operacijas.
Hornerio schema įdomi tuo, kad joje pateikiamas metodo, optimalaus elementariųjų operacijų skaičiaus atžvilgiu, pavyzdys. Apskritai reikšmės negalima gauti jokiu būdu, nes atliekama mažiau daugybos ir sudėjimo operacijų.
Kartais tiesioginiai metodai vadinami tiksliais, tai reiškia, kad jei įvesties duomenyse nėra klaidų ir tiksliai atliekamos elementarios operacijos, gaunamas rezultatas taip pat bus tikslus. Tačiau įdiegus metodą kompiuteryje, neišvengiama skaičiavimo klaidos atsiradimo, kurios dydis priklauso nuo metodo jautrumo apvalinimo klaidoms. Daugelis tiesioginių (tikslių) metodų, sukurtų priešmašininiu laikotarpiu, pasirodė esą netinkami mašininiams skaičiavimams būtent dėl per didelio jautrumo apvalinimo klaidoms. Ne visi tikslūs metodai yra tokie, tačiau verta paminėti, kad ne visai sėkmingas terminas „tikslus“ apibūdina idealaus metodo įgyvendinimo savybes, bet ne rezultato, gauto iš realių skaičiavimų, kokybę.
4. Iteraciniai metodai.
Tai yra specialūs metodai, skirti sukurti nuoseklias problemos sprendimo aproksimacijas. Metodo taikymas prasideda nuo vieno ar kelių pradinių aproksimacijų pasirinkimo. Norint gauti kiekvieną iš paskesnių aproksimacijų, atliekamas panašus veiksmų rinkinys, naudojant anksčiau rastus aproksimacijas – iteraciją. Neribotas šio iteracinio proceso tęsinys teoriškai leidžia mums sukurti begalinę sprendinio aproksimacijų seką
iteracijos seka. Jei ši seka susilieja į problemos sprendimą, tada sakoma, kad iteracinis metodas susilieja. Pradinių aproksimacijų rinkinys, kuriam metodas konverguoja, vadinamas metodo konvergencijos sritimi.
Atkreipkite dėmesį, kad iteraciniai metodai yra plačiai naudojami sprendžiant įvairias problemas naudojant kompiuterius.
3.20 pavyzdys. Panagrinėkime gerai žinomą iteracinį metodą, skirtą skaičiuoti (kur Niutono metodas. Nustatykime savavališką pradinį aproksimaciją. Kitą aproksimaciją apskaičiuojame pagal formulę, gautą taikant 3.17 pavyzdyje esantį linijavimo metodą (žr. formulę (3.11)). Tęsiant šį procesą toliau gauname iteracinę seką, kurioje sekanti aproksimacija apskaičiuojama naudojant pasikartojančią formulę
Yra žinoma, kad šis metodas konverguoja esant bet kokiam pradiniam aproksimavimui, todėl jo konvergencijos sritis yra visų teigiamų skaičių aibė.
Naudokime jį reikšmei apskaičiuoti -bitų dešimtainiame kompiuteryje. Nustatykime (kaip 3.17 pavyzdyje). Tada tolesni skaičiavimai yra beprasmiški, nes dėl riboto bitų tinklelio pobūdžio visi tolesni patobulinimai duos tą patį rezultatą. Tačiau palyginus su tikslia reikšme matyti, kad jau per trečią iteraciją buvo gauti 6 teisingi reikšmingi skaičiai.
Naudodami Niutono metodą kaip pavyzdį, aptarsime kai kurias tipines iteraciniams metodams (ir ne tik jiems) būdingas problemas. Iteraciniai metodai iš esmės yra apytiksliai; nė vienas iš gautų aproksimacijų nėra tiksli sprendinio reikšmė. Tačiau konvergencinis iteracijos metodas leidžia iš principo rasti sprendimą bet kokiu duotu tikslumu, todėl, naudojant iteracinį metodą, reikiamas tikslumas visada nurodomas ir kartotinis procesas nutraukiamas, kai tik jis pasiekiamas.
Nors tai, kad metodas sutampa, yra tikrai svarbus, nepakanka rekomenduoti metodą naudoti praktikoje. Jei metodas konverguoja labai lėtai (pavyzdžiui, norint gauti 1% tikslumo sprendimą, reikia atlikti iteracijas), tada jis netinkamas kompiuteriniams skaičiavimams. Greitai konverguojantys metodai, įskaitant Niutono metodą, turi praktinę vertę (prisiminkime, kad skaičiavimo tikslumas buvo pasiektas vos per tris iteracijas). Teoriškai tirti konvergencijos greitį ir iteracinių metodų pritaikomumo sąlygas, išvedami vadinamieji aprioriniai klaidų įverčiai, leidžiantys dar prieš skaičiavimus padaryti tam tikras išvadas apie metodo kokybę.
Pateiksime du tokius a priori Niutono metodo įverčius. Leiskite žinoti, kad tada visų ir dviejų nuoseklių aproksimacijų paklaidos yra susijusios su tokia nelygybe:
Čia yra reikšmė, apibūdinanti santykinę aproksimacijos paklaidą. Ši nelygybė rodo labai aukštą kvadratinį metodo konvergencijos greitį: kiekvienoje iteracijoje „klaida“ yra kvadratinė. Jei ją išreiškiame per pradinio aproksimavimo paklaidą, gauname nelygybę
nuo kurio priklauso geras pradinės aproksimacijos pasirinkimas. Kuo mažesnė vertė, tuo greičiau metodas suartės.
Praktinis iteracinių metodų įgyvendinimas visada siejamas su būtinybe pasirinkti iteracinio proceso užbaigimo kriterijų. Skaičiavimai negali tęstis neribotą laiką ir turi būti nutraukti pagal tam tikrą kriterijų, susijusį, pavyzdžiui, su tam tikro tikslumo pasiekimu. Naudoti a priori įverčius šiam tikslui dažniausiai būna neįmanoma arba neveiksminga. Nors kokybiškai teisingai apibūdina metodo veikimą, tokie įverčiai yra pervertinti ir suteikia labai nepatikimą kiekybinę informaciją. Dažnai a priori įvertinimuose yra nežinomųjų
kiekiai (pavyzdžiui, įvertinimuose (3.14), (3.15) yra kiekis a) arba reiškia, kad yra ir rimtai naudojama papildoma informacija apie sprendimą. Dažniausiai tokios informacijos nėra, o jos gavimas yra susijęs su poreikiu išspręsti papildomas problemas, dažnai sudėtingesnes nei pradinė.
Norint sudaryti nutraukimo kriterijų pasiekus nurodytą tikslumą, paprastai naudojami vadinamieji a posteriori klaidų įverčiai - nelygybės, kuriose klaidos dydis įvertinamas pagal žinomas vertes arba skaičiavimo proceso metu gautas vertes. Nors tokie įverčiai negali būti naudojami prieš pradedant skaičiavimus, jie suteikia konkretų neapibrėžties kiekybinį įvertinimą skaičiavimo proceso metu.
Pavyzdžiui, Niutono metodui (3.13) galioja toks posteriori įvertinimas:
S. Ulamas atsitiktiniais skaičiais imitavo neutronų elgesį branduoliniame reaktoriuje, naudodamas kompiuterį. Šie metodai gali būti būtini modeliuojant dideles sistemas, tačiau išsamus jų pateikimas apima reikšmingą tikimybių teorijos ir matematinės statistikos aparato panaudojimą, ir tai nepatenka į šios knygos taikymo sritį.
Determinantai
Determinanto samprata
Bet kuri n-osios eilės kvadratinė matrica gali būti susieta su vadinamu skaičiumi determinantas (determinantas)
matrica A ir žymima taip: 
, arba , arba det A.
Pirmosios eilės matricos determinantas, arba pirmosios eilės determinantas, yra elementas
Antros eilės determinantas(antros eilės matricos determinantas) apskaičiuojamas taip:
 |
Ryžiai. Antros eilės determinanto skaičiavimo schema
Taigi antros eilės determinantas yra suma 2=2! terminai, kurių kiekvienas yra 2 faktorių sandauga – matricos A elementų, po vieną iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio. Vienas iš terminų paimtas su „+“ ženklu, kitas – „-“.
Raskite determinantą
Trečiosios eilės determinantas (kvadratinės matricos trečios eilės determinantas) gaunamas taip:
Taigi, trečiosios eilės determinantas yra suma 6=3! terminai, kurių kiekvienas yra 3 faktorių sandauga – matricos A elementai, po vieną iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio. Pusė terminų paimama su „+“ ženklu, kita pusė su „-“ ženklu.
Pagrindinis trečios eilės determinanto skaičiavimo metodas yra vadinamasis trikampio taisyklė (Sarrus taisyklė): pirmasis iš trijų terminų, įtrauktų į sumą su „+“ ženklu, yra pagrindinės įstrižainės elementų sandauga, antrasis ir trečiasis yra elementų, esančių dviejų trikampių viršūnėse, sandauga. pagrindai lygiagrečiai pagrindinei įstrižai; trys terminai, įtraukti į sumą su „-“ ženklu, apibrėžiami panašiai, bet palyginti su antrąja (šonine) įstrižaine. Žemiau pateikiamos 2 trečiosios eilės determinantų skaičiavimo schemos
b)
Ryžiai. 3 eilės determinantų skaičiavimo schemos
Raskite determinantą:
N-osios eilės kvadratinės matricos determinantas (n 4) apskaičiuojamas naudojant determinantų savybes.
Pagrindinės determinantų savybės. Determinantų skaičiavimo metodai
Matricos determinantai turi šias pagrindines savybes:
1. Determinantas nesikeičia, kai matrica yra perkelta.
2. Jei determinante sukeistos dvi eilutės (arba stulpeliai), determinantas pakeis ženklą.
3. Determinantas su dviem proporcingomis (ypač lygiomis) eilutėmis (stulpeliais) yra lygus nuliui.
4. Jei determinanto eilutė (stulpelis) susideda iš nulių, tai determinantas yra lygus nuliui.
5. Bet kurios eilutės (ar stulpelio) elementų bendras koeficientas gali būti išimtas iš determinanto ženklo.
6. Determinantas nepasikeis, jei prie visų vienos eilutės (ar stulpelio) elementų pridėsime atitinkamus kitos eilutės (ar stulpelio) elementus, padaugintus iš to paties skaičiaus.
7. Įstrižainės ir trikampės (viršutinės ir apatinės) matricų determinantas yra lygus įstrižainių elementų sandaugai.
8. Kvadratinių matricų sandaugos determinantas yra lygus jų determinantų sandaugai.
Rekomendacijos 1 kurso studentams
Bazey Aleksandras Anatoljevičius
Odesa 2008 m
LITERATŪRA
1 Hemmingas R.V. Skaitiniai metodai mokslininkams ir inžinieriams. – M.: Nauka, 1968. – 400 p.
2 Blazhko S.N. Sferinės astronomijos kursas. – Maskva, Leningradas, OGIZ, 1948. – 416 p.
3 Shchigolev B.M. Matematinis stebėjimų apdorojimas. – M.: Nauka, 1969. – 344 p.
4 Krylovas V.I., Bobkovas V.V., Monastyrny P.I. Skaičiavimo metodai. – M.: Nauka, 1977. I tomas, II tomas – 400 p.
5 Hudson D. Statistika fizikai. – M.: Mir, 1967. – 244 p.
6.Bermanas G.N. Buhalterinės apskaitos technikos. – Maskva, 1953. – 88 p.
7.Rumshinsky L.Z. Matematinis eksperimentinių rezultatų apdorojimas. – Maskva, Nauka 1971. – 192 p.
8. Kalitkinas N.N. Skaitiniai metodai. – Maskva, Nauka 1978. – 512 p.
9. Filčakovas P.F. Skaitiniai ir grafiniai taikomosios matematikos metodai. – Kijevas, „Naukova Dumka“, 1970. – 800 p.
10. Fikhtengolts G.M. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas, t.1-3. – Maskva, Nauka 1966 m.
Apytiksliai skaičiavimai 2
Apie planavimą
Išlyginimas 10
Aproksimacija 12
Tiesinimas (tiesinimas) 13
Mažiausio kvadrato metodas 15
Interpoliacija 24
Lagranžo interpoliacijos polinomas 26
Lagranžo formulės 29 liekanos terminas
Niutono interpoliacijos polinomas lentelei su kintamu žingsniu 30
Interpoliacija iš lentelės su pastoviu žingsniu 34
Stirlingo, Beselio, Niutono interpoliacijos polinomai 37
Interpoliavimas iš dviejų argumentų funkcijų lentelės 42
Atskyrimas pagal lentelę 44
Skaitinis lygčių sprendimas 46
Dichotomija (padalijimo metodas) 46
Paprastas iteracijos metodas 47
Niutono metodas 50
Vieno kintamojo funkcijos minimumo radimas 51
Aukso pjūvio metodas 51
54 parabolės metodas
Apibrėžtinio integralo apskaičiavimas 56
Trapecijos formulė 59
Vidurkių formulė arba stačiakampių formulė 61
Simpsono formulė 62
Paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimas. Cauchy problema 64
Klasikinis Eulerio metodas 66
Rafinuotas Eilerio metodas 67
Prognozavimo ir korekcijos metodas 69
Runge-Kutta metodai 71
Harmoninė analizė 74
Stačiakampių funkcijų sistemos 78
12 metodas – 79 ordinatės
APytikriai SKAIČIAVIMAI
Išspręskime paprastą problemą. Tarkime, studentas gyvena 1247 m atstumu nuo stoties. Traukinys išvyksta 17:38. Kiek laiko iki traukinio išvykimo studentas turėtų išeiti iš namų, jei jo vidutinis greitis yra 6 km/h?
Iškart gauname sprendimą:
.
Tačiau mažai tikėtina, kad kas nors iš tikrųjų naudotų šį matematiškai tikslų sprendimą, ir štai kodėl. Skaičiavimai buvo atlikti visiškai tiksliai, bet ar tiksliai išmatuotas atstumas iki stoties? Ar įmanoma išmatuoti pėsčiojo kelią nepadarant jokių klaidų? Ar gali pėstysis eiti griežtai apibrėžta linija mieste, pilname žmonių ir įvairiausiomis kryptimis judančių automobilių? O greitis 6 km/h – ar jis nustatytas visiškai tiksliai? Ir taip toliau.
Visiškai aišku, kad visi šiuo atveju pirmenybę teiks ne „matematiškai tiksliam“, o „praktiniam“ šios problemos sprendimui, tai yra įvertins, kad pasivaikščiojimas užtruks 12-15 minučių ir pridės dar keletą. minučių, kad įsitikintumėte.
Kam tada skaičiuoti sekundes ir jų trupmenas ir siekti tokio tikslumo, kurio praktiškai neįmanoma panaudoti?
Matematika yra tikslus mokslas, tačiau pati „tikslumo“ sąvoka reikalauja paaiškinimo. Norėdami tai padaryti, turime pradėti nuo skaičiaus sąvokos, nes skaičiavimo rezultatų tikslumas labai priklauso nuo skaičių tikslumo ir pradinių duomenų patikimumo.
Skaičiams gauti yra trys šaltiniai: skaičiavimas, matavimas ir įvairių matematinių operacijų atlikimas.
Jei skaičiuojamų elementų skaičius yra mažas ir jei jis yra pastovus laikui bėgant, tada gausime visiškai tikslus rezultatus. Pavyzdžiui, ant rankos yra 5 pirštai, o dėžutėje yra 300 guolių. Kitokia situacija, kai sakoma: Odesoje 1979 metais buvo 1 000 000 gyventojų. Juk žmonės gimsta ir miršta, ateina ir išeina; jų skaičius kinta visą laiką, net ir tuo laikotarpiu, per kurį skaičiavimas baigiamas. Taigi iš tikrųjų turime omenyje tai, kad buvo apie 1 000 000 gyventojų, gal 999 125, arba 1 001 263, ar koks kitas skaičius, artimas 1 000 000. Šiuo atveju 1 000 000 duoda apytikslis miesto gyventojų skaičius.
Bet koks matavimas negali būti atliktas visiškai tiksliai. Kiekvienas įrenginys pateikia tam tikrą klaidą. Be to, du stebėtojai, matuojantys tą patį kiekį tuo pačiu prietaisu, paprastai gauna šiek tiek skirtingus rezultatus; visiškas rezultatų sutapimas yra reta išimtis.
Net toks paprastas matavimo prietaisas kaip liniuotė turi „prietaiso paklaidą“ - liniuotės kraštai ir plokštumos šiek tiek skiriasi nuo idealių tiesių ir plokštumų, liniuotės smūgiai negali būti taikomi visiškai vienodais atstumais, o patys smūgiai turėti tam tikrą storį; todėl matuodami negalime gauti tikslesnių rezultatų nei potėpių storis.
Jei išmatavote stalo ilgį ir gavote 1360,5 mm vertę, tai visiškai nereiškia, kad lentelės ilgis yra tiksliai 1360,5 mm - jei ši lentelė matuoja kitą arba kartosite matavimą, tada galite gauti tiek 1360,4 mm, tiek 1360,6 mm vertės. Skaičius 1360,5 mm išreiškia stalo ilgį maždaug.
Ne visus matematinius veiksmus galima atlikti be klaidų. Ne visada įmanoma išgauti šaknį, rasti sinusą ar logaritmą, net padalyti absoliučiu tikslumu.
Visi be išimties matavimai lemia apytiksles išmatuotų kiekių vertes. Kai kuriais atvejais matavimai atliekami apytiksliai, tada gaunamos didelės paklaidos, kruopščiai matuojant paklaidos mažesnės. Absoliutus matavimų tikslumas niekada nepasiekiamas.
Dabar panagrinėkime antrąją klausimo pusę. Ar praktikoje būtinas absoliutus tikslumas ir kokia vertė yra apytikslis rezultatas?
Skaičiuojant elektros liniją ar dujotiekį, niekas nenustatys atstumo tarp atramų milimetro tikslumu arba vamzdžio skersmens mikrono tikslumu. Technologijoje ir konstrukcijoje kiekviena dalis ar konstrukcija gali būti pagaminta tik tam tikru tikslumu, kurį lemia vadinamieji leistini nuokrypiai. Šie leistini nuokrypiai svyruoja nuo mikrono dalių iki milimetrų ir centimetrų, priklausomai nuo dalies ar konstrukcijos medžiagos, dydžio ir paskirties. Todėl, norint nustatyti dalies matmenis, nėra prasmės atlikti skaičiavimus didesniu nei būtina tikslumu.
1) Pradiniai skaičiavimų duomenys, kaip taisyklė, turi klaidų, tai yra, jie yra apytiksliai;
2) Šios klaidos, kurios dažnai padidėja, patenka į skaičiavimo rezultatus. Tačiau praktika nereikalauja tikslių duomenų, bet pasitenkina rezultatais su tam tikromis priimtinomis klaidomis, kurių dydis turi būti iš anksto nustatytas.
3) Užtikrinti reikiamą rezultato tikslumą galima tik tada, kai šaltinio duomenys yra pakankamai tikslūs ir kai atsižvelgiama į visas pačių skaičiavimų padarytas klaidas.
4) Skaičiavimai su apytiksliais skaičiais turi būti atliekami apytiksliai, stengiantis pasiekti minimalias darbo ir laiko sąnaudas sprendžiant problemą.
Paprastai techniniuose skaičiavimuose leistinos paklaidos svyruoja nuo 0,1 iki 5%, tačiau moksliniais klausimais jas galima sumažinti iki tūkstantųjų procentų. Pavyzdžiui, paleidžiant pirmąjį dirbtinį Mėnulio palydovą (1966 m. kovo 31 d.), reikėjo užtikrinti apie 11 200 m/sek paleidimo greitį kelių centimetrų per sekundę tikslumu, kad palydovas patektų į apskritą mėnulio formą. nei žiedinė orbita.
Be to, atkreipkite dėmesį, kad aritmetikos taisyklės yra išvestos darant prielaidą, kad visi skaičiai yra tikslūs. Todėl jei apytiksliais skaičiais skaičiavimai atliekami kaip su tiksliais, tai pavojingas ir žalingas tikslumo įspūdis susidaro ten, kur realiai jo nėra. Tikrasis mokslinis, o ypač matematinis, tikslumas yra būtent tai, kad nurodoma beveik visada neišvengiama klaida ir nustatoma jų riba.
Tiek pradinių problemos duomenų, tiek jos sprendimo pateikimas - kaip skaičius arba skaičių rinkinys
Tai svarbus komponentas techninių specialybių inžinierių rengimo sistemoje.
Skaičiavimo metodų pagrindas yra:
- tiesinių lygčių sistemų sprendimas
- interpoliacija ir apytikslis funkcijos skaičiavimas
- paprastųjų diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas
- dalinių diferencialinių lygčių (matematinės fizikos lygčių) skaitinis sprendimas
- optimizavimo problemų sprendimas
taip pat žr
Pastabos
Literatūra
- Kalitkin N. N. Skaitiniai metodai. M., Nauka, 1978 m
- Amosovas A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. V. „Inžinierių skaičiavimo metodai“, 1994 m.
- Fletcher K, Computational Methods in Fluid Dynamics, red. Pasaulis, 1991, 504 p.
- E. Aleksejevas „Skaičiavimo matematikos uždavinių sprendimas Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9“ paketuose, 2006, 496 psl.
- Tikhonovas A. N., Goncharsky A. V., Stepanovas V. V., Yagola A. G. „Skaitiniai neteisingai iškeltų problemų sprendimo metodai“ (1990)
- Bakushinsky A. B., Goncharsky A. V. Blogos problemos. Skaitmeniniai metodai ir taikymas, red. Maskvos universiteto leidykla, 1989 m
- N. N. Kalitkinas, A. B. Alšinas, E. A. Alšina, V. B. Rogovas. Skaičiavimai ant beveik vienodų tinklelių. Maskva, Nauka, Fizmatlit, 2005, 224 p.
- Yu. Ryzhikov „Skaičiavimo metodai“ red. BHV, 2007, 400 p., ISBN 978-5-9775-0137-8
- Skaičiavimo metodai taikomojoje matematikoje, Tarptautinis žurnalas, ISSN 1609-4840
Nuorodos
- Mokslinis žurnalas „Skaičiavimo metodai ir programavimas. Naujos skaičiavimo technologijos“
Wikimedia fondas. 2010 m.
- Skaičiavimo matematika ir matematinė fizika
- Skaičiavimo vamzdynas
Pažiūrėkite, kas yra „Skaičiavimo metodai“ kituose žodynuose:
Elektroanalitinės chemijos metodai- Turinys 1 Elektroanalitinės chemijos metodai 2 Įvadas 3 Teorinė dalis ... Vikipedija
Skaitmeninio signalo kodavimo metodai– Šiame straipsnyje trūksta nuorodų į informacijos šaltinius. Informacija turi būti patikrinama, priešingu atveju ji gali būti suabejota ir ištrinta. Galite... Vikipedija
DUJŲ DINAMIKA SKAITINIAI METODAI- dujų dinamikos uždavinių sprendimo metodai, pagrįsti skaičiavimo algoritmais. Panagrinėkime pagrindinius skaitinių metodų teorijos aspektus sprendžiant dujų dinamikos uždavinius, rašant dujų dinamikos lygtis tvermės dėsnių pavidalu inercinėje... ... Matematinė enciklopedija
DIFUZIJOS METODAI- kinetikos sprendimo metodai. neutronų (ar kitų dalelių) transportavimo lygtys, modifikuojančios difuzijos aproksimacijos lygtis. Kadangi difuzijos aproksimacija suteikia teisingą asimptotinės lygties formą. transporto lygties sprendimas (toli nuo šaltinių ir... ... Matematinė enciklopedija
GULIŠO FUNKCIJŲ MINIMIZAVIMO METODAI- skaitiniai daugelio kintamųjų funkcijų minimumų nustatymo metodai. Tegul funkcija, apribota iš apačios, du kartus nepertraukiamai diferencijuojama savo argumentų atžvilgiu, kuriai žinoma, kad tam tikram vektoriui (transponavimo ženklui) reikia... ... Matematinė enciklopedija
GOST R 53622-2009: Informacinės technologijos. Informacinės ir kompiuterinės sistemos. Gyvavimo ciklo etapai ir etapai, dokumentų rūšys ir išsamumas- Terminija GOST R 53622 2009: Informacinės technologijos. Informacinės ir kompiuterinės sistemos. Gyvavimo ciklo etapai ir etapai, dokumentų tipai ir išsamumas Originalus dokumentas: 3.1 aparatinės įrangos programinės įrangos platforma: Vieningas įrankių rinkinys... ...
Taikomosios skaičiavimo sistemos- Taikomosios skaičiavimo sistemos arba ABC apima objektų skaičiavimo sistemas, pagrįstas kombinatorine logika ir lambda skaičiavimais. Vienintelis dalykas, kuris šiose sistemose yra žymiai išplėtotas, yra objekto idėja. ... ... Vikipedijoje
GOST 24402-88: Nuotolinis apdorojimas ir kompiuterių tinklai. Terminai ir apibrėžimai- Terminija GOST 24402 88: Nuotolinis apdorojimas ir kompiuterių tinklai. Sąvokos ir apibrėžimai originalus dokumentas: SISTEMŲ IR TINKLŲ TIPAI 90. Abonento duomenų apdorojimo sistema Abonentų sistema Abonentų sistema Duomenų apdorojimo sistema,… … Norminės ir techninės dokumentacijos terminų žodynas-žinynas
ST SEV 4291-83: Skaičiavimo mašinos ir duomenų apdorojimo sistemos. 100 ir 200 MB talpos magnetinių diskų paketai. Techniniai reikalavimai ir bandymo metodai- Terminija ST SEV 4291 83: Skaičiavimo mašinos ir duomenų apdorojimo sistemos. 100 ir 200 MB talpos magnetinių diskų paketai. Techniniai reikalavimai ir bandymo metodai: 8. Signalo amplitudė iš VTAA informacinio paviršiaus Vidutiniškai per visą ... Norminės ir techninės dokumentacijos terminų žodynas-žinynas
Geofizinių tyrinėjimų metodai- žemės plutos sandaros tyrimas naudojant fizikinius metodus naudingųjų iškasenų paieškai ir žvalgymui; žvalgomoji geofizika yra neatskiriama geofizikos dalis (žr. Geofizika). G.m.r. remiantis fizikinių laukų tyrimais.... Didžioji sovietinė enciklopedija
Knygos
- Skaičiavimo metodai. Vadovėlis, Andrejus Avenirovičius Amosovas, Julijus Andrejevičius Dubininskis, Natalija Vasiljevna Kopčenova. Knygoje aptariami taikomųjų ir mokslinių-techninių skaičiavimų praktikoje dažniausiai naudojami skaičiavimo metodai: tiesinės algebros uždavinių sprendimo metodai, netiesinės lygtys,...
