Contoh penyelesaian masalah pada topik “Variabel acak”.
Tugas 1 . Ada 100 tiket yang dikeluarkan untuk lotere. Satu kemenangan sebesar 50 USD telah diundi. dan sepuluh kemenangan masing-masing 10 USD. Temukan hukum distribusi nilai X - biaya kemungkinan kemenangan.
Larutan. Nilai yang mungkin untuk X: x 1 = 0; X 2 = 10 dan x 3 = 50. Karena ada 89 tiket “kosong”, maka p 1 = 0,89, kemungkinan menang $10. (10 tiket) – hal 2 = 0,10 dan untuk memenangkan 50 USD -P 3 = 0,01. Dengan demikian:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Mudah dikendalikan: .
Tugas 2. Peluang pembeli telah membaca iklan produk terlebih dahulu adalah 0,6 (p = 0,6). Pengendalian selektif terhadap kualitas iklan dilakukan dengan mensurvei pembeli terlebih dahulu yang telah mempelajari iklan tersebut terlebih dahulu. Buatlah rangkaian distribusi untuk jumlah pembeli yang disurvei.
Larutan. Sesuai dengan kondisi soal, p = 0,6. Dari: q=1 -p = 0,4. Mengganti nilai-nilai ini, kita mendapatkan: dan buat rangkaian distribusi:
|
pi saya |
0,24 |
Tugas 3. Komputer terdiri dari tiga elemen yang bekerja secara independen: unit sistem, monitor, dan keyboard. Dengan satu peningkatan tegangan yang tajam, kemungkinan kegagalan setiap elemen adalah 0,1. Berdasarkan distribusi Bernoulli, buatlah hukum distribusi jumlah elemen yang gagal selama lonjakan listrik dalam jaringan.
Larutan. Mari kita pertimbangkan Distribusi Bernoulli(atau binomial): probabilitas bahwa N tes, event A akan muncul persis k sekali: 
, atau:
|
Q N |
P N |
DI DALAM Mari kita kembali ke tugas.
Nilai yang mungkin untuk X (jumlah kegagalan):
x 0 =0 – tidak ada elemen yang gagal;
x 1 =1 – kegagalan satu elemen;
x 2 =2 – kegagalan dua elemen;
x 3 =3 – kegagalan semua elemen.
Karena dengan syarat p = 0,1, maka q = 1 – p = 0,9. Dengan menggunakan rumus Bernoulli, kita peroleh
, ,
, .
Kontrol: .
Oleh karena itu, hukum distribusi yang diperlukan:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Masalah 4. 5000 putaran diproduksi. Kemungkinan satu kartrid rusak 
. Berapa peluang terdapat tepat 3 kartrid yang rusak dalam keseluruhan batch?
Larutan. Berlaku distribusi racun: Distribusi ini digunakan untuk menentukan probabilitas yang sangat besar
banyaknya pengujian (tes massal), yang masing-masing peluang terjadinya kejadian A sangat kecil, kejadian A akan terjadi sebanyak k kali: 
, Di mana .
Di sini n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Kita cari , maka probabilitas yang diinginkan: 
.
Masalah 5. Saat menembak hingga pukulan pertama dengan probabilitas pukulan p = 0,6 saat menembak, Anda perlu mencari kemungkinan terjadinya pukulan pada tembakan ketiga.
Larutan. Mari kita terapkan distribusi geometri: biarkan percobaan independen dilakukan, yang masing-masing kejadian A mempunyai peluang terjadinya p (dan tidak terjadinya q = 1 – p). Tes berakhir segera setelah peristiwa A terjadi.
Dalam keadaan demikian, peluang terjadinya kejadian A pada percobaan ke-k ditentukan dengan rumus: . Di sini p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Oleh karena itu, .
Masalah 6. Biarkan hukum distribusi variabel acak X diberikan:
Temukan ekspektasi matematisnya.
Larutan. .
Perhatikan bahwa arti probabilistik dari ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari variabel acak.
Masalah 7. Temukan varians dari variabel acak X dengan hukum distribusi berikut:
Larutan. Di Sini .
Hukum distribusi untuk nilai kuadrat X 2 :
|
X 2 |
|||
Varians yang diperlukan: .
Dispersi mencirikan ukuran deviasi (dispersi) suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya.
Masalah 8. Biarkan variabel acak diberikan oleh distribusi:
|
10m |
|||
Temukan karakteristik numeriknya.
Solusi: m, m 2 ,
M 2 , M.
Mengenai variabel acak X kita dapat mengatakan: ekspektasi matematisnya adalah 6,4 m dengan varians 13,04 m 2 , atau – ekspektasi matematisnya adalah 6,4 m dengan deviasi m. Rumusan kedua jelas lebih jelas.
Tugas 9.
Nilai acak X diberikan oleh fungsi distribusi: 
.
Tentukan peluang bahwa sebagai hasil pengujian nilai X akan mengambil nilai yang terdapat dalam interval tersebut 
.
Larutan. Probabilitas X akan mengambil nilai dari suatu interval tertentu sama dengan pertambahan fungsi integral dalam interval tersebut, yaitu. . Dalam kasus kami dan , oleh karena itu
.
Tugas 10. Variabel acak diskrit X diberikan oleh hukum distribusi:
Temukan fungsi distribusi F(x ) dan buat plotnya.
Larutan. Sejak fungsi distribusi,
Untuk 
, Itu
pada ;
pada ;
pada ;
pada ;
Bagan yang relevan:
Masalah 11. Variabel acak kontinu X diberikan oleh fungsi distribusi diferensial: 
.
Temukan probabilitas hit X per interval
Larutan. Perhatikan bahwa ini adalah kasus khusus dari hukum distribusi eksponensial.
Mari kita gunakan rumus: 
.
Tugas 12. Temukan karakteristik numerik dari variabel acak diskrit X yang ditentukan oleh hukum distribusi:
|
–5 |
|||||||||
|
X2:
|
– Fungsi Laplace.Definisi 1
Variabel acak $X$ disebut diskrit (diskontinu) jika himpunan nilainya tidak terhingga atau berhingga tetapi dapat dihitung.
Dengan kata lain suatu besaran disebut diskrit jika nilainya dapat diberi nomor.
Variabel acak dapat dijelaskan dengan menggunakan hukum distribusi.
Hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ dapat ditentukan dalam bentuk tabel, baris pertama menunjukkan semua kemungkinan nilai variabel acak dalam urutan menaik, dan baris kedua berisi probabilitas yang sesuai dari variabel acak tersebut. nilai:
Gambar 1.
dimana $р1+ р2+ ... + рn = 1$.
Tabel ini adalah dekat distribusi variabel acak diskrit.
Jika himpunan nilai yang mungkin dari suatu variabel acak tidak terhingga, maka deret $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ konvergen dan jumlahnya akan sama dengan $1$.
Hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ dapat direpresentasikan secara grafis, di mana garis putus-putus dibangun dalam sistem koordinat (persegi panjang), yang secara berurutan menghubungkan titik-titik dengan koordinat $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Jalur yang kami dapatkan disebut poligon distribusi.
Gambar 2.
Hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ juga dapat direpresentasikan secara analitis (menggunakan rumus):
$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.
Operasi pada probabilitas diskrit
Saat menyelesaikan banyak masalah dalam teori probabilitas, perlu dilakukan operasi mengalikan variabel acak diskrit dengan konstanta, menjumlahkan dua variabel acak, mengalikannya, dan mensubstitusikannya ke pangkat. Dalam kasus ini, aturan berikut untuk besaran diskrit acak harus dipatuhi:
Definisi 3
Perkalian dari variabel acak diskrit $X$ dengan konstanta $K$ adalah variabel acak diskrit $Y=KX,$ yang ditentukan oleh persamaan: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ kiri(x_i\kanan)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$
Definisi 4
Dua variabel acak $x$ dan $y$ dipanggil mandiri, jika hukum distribusi salah satunya tidak bergantung pada nilai yang mungkin diperoleh besaran kedua.
Definisi 5
Jumlah dua variabel acak diskrit independen $X$ dan $Y$ disebut variabel acak $Z=X+Y,$ ditentukan oleh persamaan: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\kanan)= P\kiri(x_i\kanan)P\kiri(y_j\kanan)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\kiri (x_i\kanan)=p_i$, $P\kiri(y_j\kanan)=p"_j$.
Definisi 6
Perkalian dua variabel acak diskrit independen $X$ dan $Y$ disebut variabel acak $Z=XY,$ ditentukan oleh persamaan: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\kiri( x_i\kanan)P\kiri(y_j\kanan)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ kiri(x_i\kanan )=p_i$, $P\kiri(y_j\kanan)=p"_j$.
Mari kita perhatikan bahwa beberapa produk $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ bisa sama satu sama lain. Dalam hal ini, probabilitas penjumlahan produk sama dengan jumlah probabilitas yang bersesuaian.
Misalnya, jika $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $maka probabilitas $x_2y_3$ (atau $x_5y_7$ yang sama) akan sama dengan $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$
Hal di atas juga berlaku untuk jumlahnya. Jika $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ maka peluang $x_1+\ y_2$ (atau $x_4+\ y_6$ yang sama) akan sama dengan $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $
Variabel acak $X$ dan $Y$ ditentukan oleh hukum distribusi:
Gambar 3.
Dimana $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Maka hukum distribusi jumlah $X+Y$ akan berbentuk
Gambar 4.
Dan hukum distribusi produk $XY$ akan berbentuk
Gambar 5.
Fungsi distribusi
Penjelasan lengkap tentang variabel acak juga diberikan oleh fungsi distribusi.
Secara geometris, fungsi distribusi dijelaskan sebagai probabilitas bahwa variabel acak $X$ mengambil nilai yang diwakili pada garis bilangan dengan titik yang terletak di sebelah kiri titik $x$.
Bab 1. Variabel acak diskrit
§ 1. Konsep variabel acak.
Hukum distribusi variabel acak diskrit.
Definisi : Acak adalah suatu besaran yang, sebagai hasil pengujian, hanya mengambil satu nilai dari sekumpulan kemungkinan nilainya, tidak diketahui sebelumnya dan bergantung pada alasan acak.
Ada dua jenis variabel acak: diskrit dan kontinu.
Definisi : Variabel acak X disebut terpisah (terputus-putus) jika himpunan nilainya berhingga atau tidak terhingga tetapi dapat dihitung.
Dengan kata lain, nilai yang mungkin dari suatu variabel acak diskrit dapat dinomori ulang.
Suatu variabel acak dapat dijelaskan dengan menggunakan hukum distribusinya.
Definisi : Hukum distribusi variabel acak diskrit sebut korespondensi antara nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitasnya.
Hukum distribusi variabel acak diskrit X dapat ditentukan dalam bentuk tabel, di baris pertama di mana semua nilai yang mungkin dari variabel acak ditunjukkan dalam urutan menaik, dan di baris kedua probabilitas yang sesuai dari variabel acak tersebut nilai-nilai, yaitu
dimana р1+ р2+…+ рn=1
Tabel seperti ini disebut deret distribusi variabel acak diskrit.
Jika himpunan nilai yang mungkin dari suatu variabel acak tidak terhingga, maka deret p1+ p2+…+ pn+… konvergen dan jumlahnya sama dengan 1.
Hukum distribusi variabel acak diskrit X dapat digambarkan secara grafis, di mana garis putus-putus dibangun dalam sistem koordinat persegi panjang, menghubungkan titik-titik berurutan dengan koordinat (xi; pi), i=1,2,…n. Garis yang dihasilkan disebut poligon distribusi (Gbr. 1).
Kimia organik" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">kimia organik masing-masing bernilai 0,7 dan 0,8. Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak X - banyaknya ujian yang akan dilalui siswa.
Larutan. Variabel acak X yang dianggap sebagai hasil ujian dapat mengambil salah satu nilai berikut: x1=0, x2=1, x3=2.
Mari kita cari probabilitas dari nilai-nilai ini. Mari kita nyatakan kejadiannya:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Jadi, hukum distribusi variabel acak X diberikan dalam tabel:
Kontrol: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Fungsi distribusi
Penjelasan lengkap tentang variabel acak juga diberikan oleh fungsi distribusi.
Definisi: Fungsi distribusi variabel acak diskrit X disebut fungsi F(x), yang menentukan untuk setiap nilai x probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari x:
F(x)=P(X<х)
Secara geometris, fungsi distribusi diartikan sebagai peluang suatu variabel acak X mengambil nilai yang diwakili pada garis bilangan dengan titik yang terletak di sebelah kiri titik x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) merupakan fungsi tak menurun pada (-∞;+∞);
3) F(x) - kontinu di sebelah kiri pada titik x= xi (i=1,2,...n) dan kontinu di semua titik lainnya;
4) F(-∞)=P(X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Jika hukum distribusi variabel acak diskrit X diberikan dalam bentuk tabel:
maka fungsi distribusi F(x) ditentukan dengan rumus:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 untuk x≤ x1,
р1 di x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 di x2< х≤ х3
1 untuk x>xn.
Grafiknya ditunjukkan pada Gambar 2:
§ 3. Karakteristik numerik dari variabel acak diskrit.
Salah satu karakteristik numerik yang penting adalah ekspektasi matematis.
Definisi: Ekspektasi matematis M(X) variabel acak diskrit X adalah jumlah produk dari semua nilainya dan probabilitas yang sesuai:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Ekspektasi matematis berfungsi sebagai karakteristik nilai rata-rata suatu variabel acak.
Sifat-sifat ekspektasi matematis:
1)M(C)=C, dimana C adalah nilai konstan;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), dimana X, Y adalah variabel acak bebas;
5)M(X±C)=M(X)±C, dimana C adalah nilai konstan;
Untuk mengkarakterisasi derajat dispersi nilai-nilai yang mungkin dari suatu variabel acak diskrit di sekitar nilai rata-ratanya, digunakan dispersi.
Definisi: Perbedaan D ( X ) variabel acak X adalah ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat variabel acak dari ekspektasi matematisnya:
Sifat dispersi:
1)D(C)=0, di mana C adalah nilai konstan;
2)D(X)>0, dimana X adalah variabel acak;
3)D(C X)=C2 D(X), dimana C adalah nilai konstan;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), dimana X, Y adalah variabel acak bebas;
Untuk menghitung varians, seringkali lebih mudah menggunakan rumus:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
dimana M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Varians D(X) memiliki dimensi variabel acak kuadrat, yang tidak selalu sesuai. Oleh karena itu, nilai √D(X) juga digunakan sebagai indikator sebaran nilai kemungkinan suatu variabel acak.
Definisi: Deviasi standar σ(X) variabel acak X disebut akar kuadrat dari varians:
Tugas No.2. Variabel acak diskrit X ditentukan oleh hukum distribusi:
Temukan P2, fungsi distribusi F(x) dan buat grafiknya, serta M(X), D(X), σ(X).
Larutan: Karena jumlah probabilitas nilai yang mungkin dari variabel acak X sama dengan 1, maka
P2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Mari kita cari fungsi distribusi F(x)=P(X Secara geometris persamaan ini dapat diartikan sebagai berikut: F(x) adalah peluang suatu variabel acak mengambil nilai yang dinyatakan pada sumbu bilangan dengan titik yang terletak di sebelah kiri titik x. Jika x≤-1, maka F(x)=0, karena tidak ada satu pun nilai variabel acak ini pada (-∞;x); Jika -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Jika 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) ada dua nilai x1=-1 dan x2=0; Jika 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Jika 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Jika x>3, maka F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0.3+0.2+0.3=1, karena empat nilai x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 termasuk dalam interval (-∞;x) dan x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 pada x≤-1, 0,1 pada -1<х≤0, 0,2 pada 0<х≤1, F(x)= 0,5 pada 1<х≤2, 0,7 pada 2<х≤3, 1 di x>3 Mari kita nyatakan fungsinya F(x) secara grafis (Gbr. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Hukum distribusi binomial variabel acak diskrit, hukum Poisson. Definisi: Binomium
disebut hukum distribusi variabel acak diskrit X - banyaknya kemunculan kejadian A dalam n percobaan berulang yang independen, yang masing-masing kejadian A dapat terjadi dengan probabilitas p atau tidak terjadi dengan probabilitas q = 1-p. Maka P(X=m) - peluang terjadinya kejadian A tepat m kali dalam n percobaan dihitung menggunakan rumus Bernoulli: (Х=m)=Сmnpmqn-m Ekspektasi matematis, dispersi, dan simpangan baku dari variabel acak X yang terdistribusi menurut hukum biner masing-masing dicari menggunakan rumus: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Peluang kejadian A - “meluncurkan lima” di setiap percobaan adalah sama dan sama dengan 1/6 , yaitu - “keluar dari lima.” Variabel acak X dapat mengambil nilai berikut: 0;1;2;3. Kami mencari probabilitas setiap kemungkinan nilai X menggunakan rumus Bernoulli: (Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; (Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; (Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; (Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Itu. hukum distribusi variabel acak X berbentuk: Kontrol: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Mari kita cari karakteristik numerik dari variabel acak X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Tugas No.4. Mesin otomatis mencap bagian-bagiannya. Peluang suatu suku cadang yang diproduksi akan rusak adalah 0,002. Tentukan peluang bahwa di antara 1000 bagian yang dipilih akan terdapat: a) 5 cacat; b) setidaknya satu rusak. Larutan:
Angka n=1000 besar, kemungkinan menghasilkan bagian yang cacat p=0,002 kecil, dan kejadian-kejadian yang dipertimbangkan (bagian tersebut ternyata cacat) adalah independen, oleh karena itu rumus Poisson berlaku: n(m)= e-
λ
λm Mari kita cari λ=np=1000 0,002=2. a) Tentukan peluang terdapat 5 bagian yang rusak (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Tentukan peluang paling sedikit ada satu bagian yang rusak. Peristiwa A - “setidaknya satu dari bagian yang dipilih rusak” adalah kebalikan dari kejadian - “semua bagian yang dipilih tidak cacat.” Oleh karena itu, P(A) = 1-P(). Oleh karena itu probabilitas yang diinginkan sama dengan: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Tugas untuk pekerjaan mandiri.
1.1
1.2.
Variabel acak terdispersi X ditentukan oleh hukum distribusi: Temukan p4, fungsi distribusi F(X) dan buat grafiknya, serta M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Ada 9 spidol di dalam kotak, 2 diantaranya sudah tidak ada tulisannya lagi. Ambil 3 spidol secara acak. Variabel acak X adalah banyaknya penanda tulisan di antara yang diambil. Buatlah hukum distribusi variabel acak. 1.4.
Terdapat 6 buku pelajaran yang disusun secara acak pada rak perpustakaan, 4 diantaranya dijilid. Pustakawan mengambil 4 buku pelajaran secara acak. Variabel acak X adalah banyaknya buku teks yang dijilid di antara yang diambil. Buatlah hukum distribusi variabel acak. 1.5.
Ada dua tugas di tiket. Peluang menyelesaikan soal pertama dengan benar adalah 0,9, soal kedua 0,7. Variabel acak X adalah jumlah soal yang diselesaikan dengan benar di tiket. Buatlah hukum distribusi, hitung ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak ini, serta temukan fungsi distribusi F(x) dan buat grafiknya. 1.6.
Tiga penembak menembak sasaran. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,5 untuk penembak pertama, 0,8 untuk penembak kedua, dan 0,7 untuk penembak ketiga. Variabel acak X adalah jumlah pukulan pada sasaran jika penembak melepaskan satu tembakan dalam satu waktu. Temukan hukum distribusi, M(X),D(X). 1.7.
Seorang pemain bola basket melemparkan bola ke dalam keranjang dengan peluang mengenai setiap tembakan sebesar 0,8. Untuk setiap pukulan, dia menerima 10 poin, dan jika dia gagal, dia tidak diberikan poin. Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak X - jumlah poin yang diterima seorang pemain bola basket dalam 3 tembakan. Tentukan M(X),D(X), serta peluang dia mendapat lebih dari 10 poin. 1.8.
Huruf tertulis di kartu, total 5 vokal dan 3 konsonan. 3 kartu dipilih secara acak, dan setiap kali kartu yang diambil dikembalikan. Variabel acak X adalah banyaknya vokal di antara yang diambil. Buatlah hukum distribusi dan temukan M(X),D(X),σ(X). 1.9.
Rata-rata, berdasarkan 60% kontrak, perusahaan asuransi membayar jumlah asuransi sehubungan dengan terjadinya peristiwa yang diasuransikan. Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak X - jumlah kontrak yang jumlah asuransinya dibayarkan di antara empat kontrak yang dipilih secara acak. Temukan karakteristik numerik dari kuantitas ini. 1.10.
Stasiun radio mengirimkan tanda panggil (tidak lebih dari empat) pada interval tertentu sampai komunikasi dua arah terjalin. Peluang menerima respons terhadap tanda panggil adalah 0,3. Variabel acak X adalah banyaknya tanda panggil yang dikirimkan. Buatlah hukum distribusi dan temukan F(x). 1.11.
Ada 3 kunci, hanya satu yang cocok untuk gemboknya. Buatlah hukum untuk distribusi variabel acak X-jumlah upaya membuka kunci, jika kunci yang dicoba tidak ikut serta dalam upaya berikutnya. Temukan M(X),D(X). 1.12.
Pengujian independen berturut-turut terhadap tiga perangkat dilakukan untuk keandalan. Setiap perangkat berikutnya diuji hanya jika perangkat sebelumnya dapat diandalkan. Probabilitas lulus tes untuk setiap perangkat adalah 0,9. Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak X-jumlah perangkat yang diuji. 1.13
.Variabel acak diskrit X memiliki tiga kemungkinan nilai: x1=1, x2, x3, dan x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Blok perangkat elektronik berisi 100 elemen identik. Peluang kegagalan setiap elemen selama waktu T adalah 0,002. Elemen-elemennya bekerja secara independen. Temukan probabilitas bahwa tidak lebih dari dua elemen akan gagal selama waktu T. 1.15.
Buku teks tersebut diterbitkan dalam sirkulasi 50.000 eksemplar. Peluang buku teks dijilid salah adalah 0,0002. Tentukan peluang bahwa sirkulasi tersebut berisi: a) empat buku cacat, b) kurang dari dua buku cacat. 1
.16.
Banyaknya panggilan yang masuk ke PBX setiap menitnya didistribusikan sesuai hukum Poisson dengan parameter λ=1.5. Temukan probabilitas bahwa dalam satu menit hal berikut akan tiba: a) dua panggilan; b) setidaknya satu panggilan. 1.17.
Carilah M(Z),D(Z) jika Z=3X+Y. 1.18.
Hukum distribusi dua variabel acak independen diberikan: Carilah M(Z),D(Z) jika Z=X+2Y. Jawaban:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 pada x≤-2, 0,3 pada -2<х≤0, F(x)= 0,5 pada 0<х≤2, 0,9 pada 2<х≤5, 1 pada x>5 0,3 pada -1<х≤0, 0,4 pada 0<х≤1, F(x)= 0,6 pada 1<х≤2, 0,7 pada 2<х≤3, 1 di x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 pada x≤0, 0,03 pada 0<х≤1, F(x)= 0,37 pada 1<х≤2, 1 untuk x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Bab 2. Variabel acak kontinu
Definisi: Kontinu
Mereka menyebut suatu besaran semua nilai yang mungkin yang sepenuhnya mengisi rentang garis bilangan yang berhingga atau tak terhingga. Jelasnya, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas. Variabel acak kontinu dapat ditentukan menggunakan fungsi distribusi. Definisi: F fungsi distribusi
variabel acak kontinu X disebut fungsi F(x), yang menentukan untuk setiap nilai xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Fungsi distribusi terkadang disebut fungsi distribusi kumulatif. Sifat-sifat fungsi distribusi:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Untuk variabel acak kontinu, fungsi distribusinya kontinu di titik mana pun dan terdiferensiasi di mana pun, kecuali, mungkin, di titik-titik individual. 3) Peluang suatu variabel acak X masuk ke salah satu interval (a;b), [a;b], [a;b], sama dengan selisih antara nilai fungsi F(x) di titik a dan b, yaitu. R(a)<Х 4) Peluang suatu variabel acak kontinu X mengambil satu nilai terpisah adalah 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Menentukan variabel acak kontinu menggunakan fungsi distribusi bukanlah satu-satunya cara. Mari kita perkenalkan konsep kepadatan distribusi probabilitas (distribution kepadatan). Definisi
:
Kepadatan distribusi probabilitas
F
(
X
)
dari variabel acak kontinu X merupakan turunan dari fungsi distribusinya, yaitu: Fungsi kepadatan probabilitas kadang-kadang disebut fungsi distribusi diferensial atau hukum distribusi diferensial. Grafik distribusi kepadatan probabilitas f(x) disebut kurva distribusi probabilitas
.
Sifat distribusi kepadatan probabilitas:
1) f(x) ≥0, di xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8 detik; b) Diketahui F(x)= ∫ f(x)dx Oleh karena itu, x jika x≤2, maka F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 jika x>6, maka F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Dengan demikian, 0 di x≤2, F(x)= (x-2)2/16 pada 2<х≤6, 1 untuk x>6. Grafik fungsi F(x) ditunjukkan pada Gambar 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 di x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π pada 0<х≤√3, 1 untuk x>√3. Temukan fungsi distribusi diferensial f(x) Larutan:
Karena f(x)= F’(x), maka DIV_ADBLOCK93"> · Ekspektasi matematis M (X)
variabel acak kontinu X ditentukan oleh persamaan: M(X)= ∫ xf(x)dx, asalkan integral ini konvergen mutlak. · Penyebaran
D
(
X
)
variabel acak kontinu X ditentukan oleh persamaan: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, atau D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Simpangan baku σ(Х)
variabel acak kontinu ditentukan oleh persamaan: Semua sifat ekspektasi dan dispersi matematis, yang dibahas sebelumnya untuk variabel acak tersebar, juga valid untuk variabel kontinu. Tugas No.3. Variabel acak X ditentukan oleh fungsi diferensial f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Masalah untuk solusi mandiri.
2.1.
Variabel acak kontinu X ditentukan oleh fungsi distribusi: 0 pada x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 untuk x≤ π/6, F(x)= - cos 3x pada π/6<х≤ π/3, 1 untuk x> π/3. Temukan fungsi distribusi diferensial f(x), dan juga (2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 di x≤2, f(x)= cx pada 2<х≤4, 0 untuk x>4. 2.4.
Variabel acak kontinu X ditentukan oleh kepadatan distribusi: 0 pada x≤0, f(x)= c √x pada 0<х≤1, 0 untuk x>1. Temukan: a) nomor c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> di x, 0 di x. Temukan: a) F(x) dan buat grafiknya; b) M(X),D(X), σ(X); c) peluang bahwa dalam empat percobaan bebas nilai X akan tepat 2 kali nilai pada interval (1;4). 2.6.
Kepadatan distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu X diberikan: f(x)= 2(x-2) di x, 0 di x. Temukan: a) F(x) dan buat grafiknya; b) M(X),D(X), σ (X); c) probabilitas bahwa dalam tiga percobaan independen nilai X akan mengambil tepat 2 kali nilai segmen tersebut. 2.7.
Fungsi f(x) diberikan sebagai: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Fungsi f(x) diberikan sebagai: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Temukan: a) nilai konstanta c di mana fungsi tersebut akan menjadi kepadatan probabilitas beberapa variabel acak X; b) fungsi distribusi F(x). 2.9.
Variabel acak X, terkonsentrasi pada interval (3;7), ditentukan oleh fungsi distribusi F(x)= . Temukan kemungkinan itu variabel acak X akan mengambil nilai: a) kurang dari 5, b) tidak kurang dari 7. 2.10.
Variabel acak X, terkonsentrasi pada interval (-1;4), diberikan oleh fungsi distribusi F(x)= . Temukan kemungkinan itu variabel acak X akan mengambil nilai: a) kurang dari 2, b) tidak kurang dari 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Temukan: a) nomor c; b) M(X); c) probabilitas P(X> M(X)). 2.12.
Variabel acak ditentukan oleh fungsi distribusi diferensial: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Temukan: a) M(X); b) probabilitas P(X≤M(X)) 2.13.
Distribusi Rem diberikan oleh kepadatan probabilitas: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> untuk x ≥0. Buktikan bahwa f(x) memang merupakan fungsi kepadatan probabilitas. 2.14.
Kepadatan distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu X diberikan: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(Gbr. 5) 2.16.
Variabel acak X terdistribusi menurut hukum “segitiga siku-siku” pada interval (0;4) (Gbr. 5). Temukan ekspresi analitis untuk kepadatan probabilitas f(x) pada seluruh garis bilangan. Jawaban
0 pada x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 untuk x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x pada π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 untuk x≤a, f(x)= untuk a<х 0 untuk x≥b. Grafik fungsi f(x) ditunjukkan pada Gambar. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Tugas No.1. Variabel acak X terdistribusi secara merata pada segmen tersebut. Menemukan: a) kepadatan distribusi probabilitas f(x) dan plot; b) fungsi distribusi F(x) dan plot; c) M(X),D(X), σ(X). Larutan:
Dengan menggunakan rumus yang dibahas di atas, dengan a=3, b=7, kita mendapatkan: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> pada 3≤х≤7, 0 untuk x>7 Mari kita buat grafiknya (Gbr. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 di x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Gbr. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 pada x<0, f(x)= λе-λх untuk x≥0. Fungsi distribusi variabel acak X, yang terdistribusi menurut hukum eksponensial, diberikan dengan rumus: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> Gambar 6 Ekspektasi matematis, varians dan deviasi standar dari distribusi eksponensial masing-masing sama dengan: M(X)= , D(X)=, σ (Х)= Jadi, ekspektasi matematis dan deviasi standar dari distribusi eksponensial adalah sama satu sama lain. Peluang jatuhnya X pada interval (a;b) dihitung dengan rumus: P(sebuah<Х Tugas No.2. Rata-rata waktu pengoperasian bebas kegagalan perangkat adalah 100 jam. Dengan asumsi waktu pengoperasian bebas kegagalan perangkat memiliki hukum distribusi eksponensial, tentukan: a) kepadatan distribusi probabilitas; b) fungsi distribusi; c) kemungkinan waktu pengoperasian bebas kegagalan perangkat akan melebihi 120 jam. Larutan:
Sesuai dengan kondisi, distribusi matematika M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 di x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x untuk x≥0. b) F(x)= 0 di x<0, 1-e -0,01x pada x≥0. c) Kami menemukan probabilitas yang diinginkan menggunakan fungsi distribusi: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3.Hukum distribusi normal Definisi:
Variabel acak kontinu yang dimiliki X hukum distribusi normal (hukum Gauss),
jika kepadatan distribusinya berbentuk: dimana m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Kurva distribusi normal disebut kurva normal atau Gaussian
(Gbr.7) Fungsi distribusi variabel acak X yang terdistribusi menurut hukum normal dinyatakan melalui fungsi Laplace (x) dengan rumus: di mana fungsi Laplace. Komentar:
Fungsi Ф(x) ganjil (Ф(-х)=-Ф(х)), selain itu, untuk x>5 kita asumsikan Ф(х) ≈1/2. Grafik fungsi distribusi F(x) ditunjukkan pada Gambar. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Probabilitas nilai absolut simpangan lebih kecil dari bilangan positif dihitung dengan rumus: Khususnya, untuk m=0 persamaan berikut berlaku: "Aturan Tiga Sigma"
Jika suatu variabel acak X mempunyai hukum distribusi normal dengan parameter m dan σ, maka hampir dapat dipastikan nilainya terletak pada interval (a-3σ; a+3σ), karena https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Mari kita gunakan rumus: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Dari tabel nilai fungsi Ф(х) kita menemukan Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Jadi, probabilitas yang diinginkan: hal(28 Tugas untuk pekerjaan mandiri
3.1.
Variabel acak X terdistribusi merata pada interval (-3;5). Menemukan: b) fungsi distribusi F(x); c) karakteristik numerik; d) probabilitas P(4<х<6). 3.2.
Variabel acak X terdistribusi secara merata pada segmen tersebut. Menemukan: a) kepadatan distribusi f(x); b) fungsi distribusi F(x); c) karakteristik numerik; d) probabilitas P(3≤х≤6). 3.3.
Lampu lalu lintas otomatis dipasang di jalan raya, yang lampu hijau menyala selama 2 menit, kuning selama 3 detik, merah selama 30 detik, dan seterusnya. Tentukan peluang sebuah mobil melewati lampu lalu lintas tanpa berhenti. 3.4.
Kereta bawah tanah beroperasi secara teratur dengan interval 2 menit. Seorang penumpang memasuki peron secara acak. Berapa peluang seorang penumpang harus menunggu lebih dari 50 detik untuk naik kereta? Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak X - waktu tunggu kereta. 3.5.
Temukan varians dan deviasi standar dari distribusi eksponensial yang diberikan oleh fungsi distribusi: F(x)= 0 pada x<0, 1-8x untuk x≥0. 3.6.
Variabel acak kontinu X ditentukan oleh kepadatan distribusi probabilitas: f(x)= 0 di x<0, 0,7 e-0,7x pada x≥0. a) Sebutkan hukum distribusi variabel acak yang ditinjau. b) Temukan fungsi distribusi F(X) dan karakteristik numerik dari variabel acak X. 3.7.
Variabel acak X terdistribusi menurut hukum eksponensial yang ditentukan oleh kepadatan distribusi probabilitas: f(x)= 0 di x<0, 0,4 e-0,4 x pada x≥0. Tentukan peluang bahwa sebagai hasil pengujian X akan mengambil nilai dari interval (2,5;5). 3.8.
Variabel acak kontinu X terdistribusi menurut hukum eksponensial yang ditentukan oleh fungsi distribusi: F(x)= 0 pada x<0, 1-0,6x pada x≥0 Temukan probabilitas bahwa, sebagai hasil pengujian, X akan mengambil nilai dari segmen tersebut. 3.9.
Nilai yang diharapkan dan deviasi standar dari variabel acak yang terdistribusi normal masing-masing adalah 8 dan 2. Tentukan: a) kepadatan distribusi f(x); b) peluang bahwa sebagai hasil pengujian X akan mengambil nilai dari interval (10;14). 3.10.
Variabel acak X berdistribusi normal dengan ekspektasi matematis 3,5 dan varians 0,04. Menemukan: a) kepadatan distribusi f(x); b) probabilitas bahwa sebagai hasil pengujian X akan mengambil nilai dari segmen tersebut . 3.11.
Variabel acak X berdistribusi normal dengan M(X)=0 dan D(X)=1. Manakah kejadian berikut: |X|≤0.6 atau |X|≥0.6 yang lebih mungkin terjadi? 3.12.
Variabel acak X berdistribusi normal dengan M(X)=0 dan D(X)=1. Dari interval mana (-0,5;-0,1) atau (1;2) lebih mungkin untuk mengambil nilai selama satu pengujian? 3.13.
Harga per saham saat ini dapat dimodelkan menggunakan hukum distribusi normal dengan M(X)=10 den. unit dan σ (X)=0,3 ruang kerja. unit Menemukan: a) probabilitas bahwa harga saham saat ini akan berasal dari 9,8 den. unit hingga 10,4 hari unit; b) dengan menggunakan “aturan tiga sigma”, temukan batas di mana harga saham saat ini akan ditempatkan. 3.14.
Zat tersebut ditimbang tanpa kesalahan sistematik. Kesalahan penimbangan acak tunduk pada hukum normal dengan rasio kuadrat rata-rata σ=5g. Temukan probabilitas bahwa dalam empat percobaan independen kesalahan dalam tiga penimbangan tidak akan terjadi pada nilai absolut 3r. 3.15.
Variabel acak X berdistribusi normal dengan M(X)=12,6. Peluang suatu variabel acak masuk ke dalam interval (11,4;13,8) adalah 0,6826. Temukan simpangan baku σ. 3.16.
Variabel acak X berdistribusi normal dengan M(X)=12 dan D(X)=36. Tentukan interval di mana variabel acak X akan masuk sebagai hasil pengujian dengan probabilitas 0,9973. 3.17.
Suatu bagian yang diproduksi oleh mesin otomatis dianggap cacat jika deviasi X parameter yang dikontrol dari nilai nominal melebihi modulo 2 satuan pengukuran. Diasumsikan bahwa variabel acak X berdistribusi normal dengan M(X)=0 dan σ(X)=0,7. Berapa persentase suku cadang cacat yang diproduksi mesin tersebut? 3.18.
Parameter X bagian tersebut berdistribusi normal dengan ekspektasi matematis 2 sama dengan nilai nominal dan simpangan baku 0,014. Tentukan peluang penyimpangan X dari nilai nominal tidak melebihi 1% dari nilai nominal. Jawaban
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 untuk x≤-3, F(x)= kiri"> 3.10.
a)f(x)= , b) P(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Seperti diketahui, variabel acak
disebut besaran variabel yang dapat mengambil nilai tertentu tergantung pada kasusnya. Variabel acak dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin (X, Y, Z), dan nilainya dilambangkan dengan huruf kecil yang sesuai (x, y, z). Variabel acak dibagi menjadi diskontinyu (diskrit) dan kontinu. Variabel acak diskrit
adalah variabel acak yang hanya mengambil himpunan nilai berhingga atau tak terhingga (dapat dihitung) dengan probabilitas tertentu yang bukan nol. Hukum distribusi variabel acak diskrit
adalah fungsi yang menghubungkan nilai-nilai variabel acak dengan probabilitasnya yang bersesuaian. Hukum distribusi dapat ditentukan dengan salah satu cara berikut. 1
. Hukum distribusi dapat diberikan dalam tabel:
dimana λ>0, k = 0, 1, 2, … . V) dengan menggunakan fungsi distribusi F(x)
, yang menentukan untuk setiap nilai x probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari x, yaitu. F(x) = P(X< x). Sifat-sifat fungsi F(x) 3
. Hukum distribusi dapat ditentukan secara grafis
– poligon distribusi (poligon) (lihat soal 3). Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan beberapa masalah tidak perlu mengetahui hukum distribusi. Dalam beberapa kasus, cukup mengetahui satu atau beberapa angka yang mencerminkan ciri terpenting hukum distribusi. Ini bisa berupa angka yang memiliki arti “nilai rata-rata” dari suatu variabel acak, atau angka yang menunjukkan besarnya rata-rata deviasi suatu variabel acak dari nilai rata-ratanya. Bilangan semacam ini disebut ciri numerik suatu variabel acak. Karakteristik numerik dasar dari variabel acak diskrit
: 1000 tiket lotre diterbitkan: 5 di antaranya akan memenangkan 500 rubel, 10 akan memenangkan 100 rubel, 20 akan memenangkan 50 rubel, 50 akan memenangkan 10 rubel. Tentukan hukum distribusi probabilitas dari variabel acak X - kemenangan per tiket. Larutan.
Menurut kondisi soal, nilai variabel acak X berikut ini mungkin: 0, 10, 50, 100, dan 500. Banyaknya tiket tanpa kemenangan adalah 1000 – (5+10+20+50) = 915, maka P(X=0) = 915/1000 = 0,915. Demikian pula, kita menemukan semua probabilitas lainnya: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Mari kita sajikan hukum yang dihasilkan dalam bentuk tabel: Mari kita cari ekspektasi matematis dari nilai X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 Perangkat ini terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen. Peluang kegagalan setiap elemen dalam satu percobaan adalah 0,1. Buatlah hukum distribusi jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan, buatlah poligon distribusi. Temukan fungsi distribusi F(x) dan plotlah. Temukan ekspektasi matematis, varians, dan deviasi standar dari variabel acak diskrit. Larutan.
1.
Variabel acak diskrit X = (jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan) memiliki kemungkinan nilai berikut: x 1 = 0 (tidak ada elemen perangkat yang gagal), x 2 = 1 (satu elemen gagal), x 3 = 2 ( dua elemen gagal ) dan x 4 =3 (tiga elemen gagal). Kegagalan elemen tidak bergantung satu sama lain, kemungkinan kegagalan setiap elemen adalah sama, oleh karena itu dapat diterapkan rumus Bernoulli
. Mengingat, berdasarkan kondisi, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, kita menentukan probabilitas nilai: Jadi, hukum distribusi binomial X yang diinginkan berbentuk: Kami memplot kemungkinan nilai x i sepanjang sumbu absis, dan probabilitas p i yang sesuai sepanjang sumbu ordinat. Mari kita buat poin M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Dengan menghubungkan titik-titik tersebut dengan ruas garis lurus, diperoleh poligon distribusi yang diinginkan. 3.
Mari kita cari fungsi distribusi F(x) = Р(Х Grafik fungsi F(x) 4.
Untuk distribusi binomial X:
1.2.
p4=0,1; 0 pada x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 untuk x≤a,
,
Kurva normal simetris terhadap garis lurus x=m, maksimum di x=a sama dengan .
,
Untuk distribusi binomial M(X)=np, untuk distribusi Poisson M(X)=λ
Untuk distribusi binomial D(X)=npq, untuk distribusi Poisson D(X)=λContoh penyelesaian masalah pada topik “Hukum distribusi variabel acak diskrit”
Tugas 1.
Tugas 3.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Periksa: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
untuk 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
untuk 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
untuk 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
untuk x > 3 maka F(x) = 1, karena acara tersebut dapat diandalkan. 
- ekspektasi matematis M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varians D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- simpangan baku σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
