Problem 1. Date su koordinate vrhova trougla ABC: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Naći: 1) dužinu stranice AB; 2) jednačine stranica AB i BC i njihovi ugaoni koeficijenti; 3) ugao B u radijanima sa tačnošću od dve cifre; 4) jednačina visine CD i njene dužine; 5) jednačina medijane AE i koordinate tačke K preseka ove medijane sa visinom CD; 6) jednačina prave koja prolazi kroz tačku K paralelno sa stranicom AB; 7) koordinate tačke M, koja se nalazi simetrično u odnosu na tačku A u odnosu na pravu liniju CD.

Rješenje:

1. Udaljenost d između tačaka A(x 1 ,y 1) i B(x 2 ,y 2) određena je formulom

Primjenom (1) nalazimo dužinu stranice AB:

2. Jednačina prave koja prolazi kroz tačke A(x 1 ,y 1) i B(x 2 ,y 2) ima oblik

(2)

Zamjenom koordinata tačaka A i B u (2) dobijamo jednačinu stranice AB:

Nakon što smo riješili posljednju jednačinu za y, nalazimo jednadžbu stranice AB u obliku pravolinijske jednadžbe sa ugaonim koeficijentom:

gdje

Zamjenom koordinata tačaka B i C u (2) dobijamo jednačinu prave BC:

3. Poznato je da se tangenta ugla između dve prave, čiji su ugaoni koeficijenti jednaki, izračunava po formuli

Željeni ugao B formiraju prave AB i BC, čiji se ugaoni koeficijenti nalaze: Primenom (3) dobijamo

Ili drago.

4. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu ima oblik

(4)

Visina CD je okomita na stranu AB. Da bismo pronašli nagib visine CD, koristimo uslov okomitosti pravih. Od tada Zamjenom u (4) koordinate tačke C i pronađeni ugaoni koeficijent visine dobijamo

Da bismo pronašli dužinu visine CD, prvo odredimo koordinate tačke D - tačke preseka pravih AB i CD. Zajedno rješavanje sistema:

nalazimo tj. D(8;0).

Koristeći formulu (1) nalazimo dužinu visine CD:

5. Da bismo pronašli jednadžbu medijane AE, prvo odredimo koordinate tačke E, koja je sredina stranice BC, koristeći formule za podjelu segmenta na dva jednaka dijela:

dakle,

Zamjenom koordinata tačaka A i E u (2) nalazimo jednačinu za medijanu:

Da bismo pronašli koordinate tačke preseka visine CD i medijane AE, zajedno rešavamo sistem jednačina

Mi nalazimo.

6. Pošto je željena prava paralelna sa stranicom AB, njen ugaoni koeficijent će biti jednak ugaonom koeficijentu prave AB. Zamjenom u (4) koordinate pronađene tačke K i ugaoni koeficijent dobijamo

3x + 4g – 49 = 0 (KF)

7. Pošto je prava AB okomita na pravu CD, željena tačka M, koja se nalazi simetrično u odnosu na tačku A u odnosu na pravu CD, leži na pravoj AB. Dodatno, tačka D je središte segmenta AM. Koristeći formule (5), nalazimo koordinate željene tačke M:

Trougao ABC, visina CD, medijana AE, prava KF i tačka M konstruisani su u xOy koordinatnom sistemu na sl. 1.

Zadatak 2. Napravite jednačinu za lokus tačaka čije su udaljenosti do date tačke A(4; 0) i do date prave linije x=1 jednake 2.

Rješenje:

U xOy koordinatnom sistemu konstruišemo tačku A(4;0) i pravu liniju x = 1. Neka je M(x;y) proizvoljna tačka željene geometrijske lokacije tačaka. Spustimo okomicu MB na datu pravu x = 1 i odredimo koordinate tačke B. Kako tačka B leži na datoj pravoj, njena apscisa je jednaka 1. Ordinata tačke B jednaka je ordinati tačke M Dakle, B(1;y) (slika 2).

Prema uslovima zadatka |MA|: |MV| = 2. Udaljenosti |MA| i |MB| iz formule (1) problema 1 nalazimo:

Dobijamo kvadriranje lijeve i desne strane

Rezultirajuća jednačina je hiperbola u kojoj je realna polu-osa a = 2, a imaginarna polu-osa je

Definirajmo fokuse hiperbole. Za hiperbolu vrijedi sljedeća jednakost: Prema tome, i su fokusi hiperbole. Kao što vidite, data tačka A(4;0) je desni fokus hiperbole.

Odredimo ekscentricitet rezultirajuće hiperbole:

Jednačine asimptota hiperbole imaju oblik i . Prema tome, ili i su asimptote hiperbole. Prije konstruiranja hiperbole, konstruiramo njene asimptote.

Problem 3. Napravite jednačinu za geometrijsko mjesto tačaka jednako udaljenih od tačke A(4; 3) i prave linije y = 1. Rezultirajuću jednačinu svesti na njen najjednostavniji oblik.

Rješenje: Neka je M(x; y) jedna od tačaka željenog geometrijskog lokusa tačaka. Ispustimo okomicu MB iz tačke M na ovu pravu liniju y = 1 (slika 3). Odredimo koordinate tačke B. Očigledno je da je apscisa tačke B jednaka apscisi tačke M, a ordinata tačke B jednaka je 1, tj. B(x; 1). Prema uslovima zadatka |MA|=|MV|. Prema tome, za bilo koju tačku M(x;y) koja pripada željenom geometrijskom lokusu tačaka, vrijedi sljedeća jednakost:

Rezultirajuća jednačina definira parabolu sa svojim vrhom u tački Da bismo parabolu doveli u njen najjednostavniji oblik, postavimo i y + 2 = Y, tada jednačina parabole poprima oblik:

Primjer rješavanja nekih zadataka iz standardnog rada "Analitička geometrija na ravni"

Dati su vrhovi,
,
trougao ABC. Pronađite:

Jednačine svih strana trougla;

Sistem linearnih nejednačina koje definiraju trokut ABC;

Jednačine visine, medijane i simetrale trougla povučene iz vrha A;

Točka preseka visina trougla;

Točka presjeka medijana trougla;

Dužina visine spuštena na stranu AB;

Ugao A;

Napravite crtež.

Neka vrhovi trougla imaju koordinate: A (1; 4), IN (5; 3), WITH(3; 6). Nacrtajmo odmah crtež:

1. Da zapišemo jednadžbe svih strana trokuta, koristimo jednačinu prave koja prolazi kroz dvije date tačke s koordinatama ( x 0 , y 0 ) I ( x 1 , y 1 ):

=

Dakle, zamjena umjesto ( x 0 , y 0 ) koordinate tačke A, i umjesto ( x 1 , y 1 ) koordinate tačke IN, dobijamo jednačinu prave AB:

Rezultirajuća jednačina će biti jednačina prave linije AB, napisano u opštem obliku. Slično, nalazimo jednačinu prave AC:

A takođe i jednačina prave linije Ned:

2. Imajte na umu da je skup tačaka trougla ABC predstavlja presjek tri poluravnine, a svaka poluravnina se može definirati pomoću linearne nejednakosti. Ako uzmemo jednačinu bilo koje strane ∆ ABC, Na primjer AB, zatim nejednakosti

I

definirati tačke koje leže na suprotnim stranama prave AB. Moramo izabrati poluravninu u kojoj leži tačka C. Zamenimo njene koordinate u obe nejednakosti:

Druga nejednakost će biti tačna, što znači da su tražene tačke određene nejednakosti

.

Isto radimo sa pravom linijom BC, njenom jednadžbom
. Koristimo tačku A (1, 1) kao test tačku:

To znači da tražena nejednakost ima oblik:

.

Ako provjerimo pravu liniju AC (testna tačka B), dobijamo:

To znači da će tražena nejednakost imati oblik

Konačno dobijamo sistem nejednakosti:

Znakovi “≤”, “≥” znače da su tačke koje leže na stranama trokuta takođe uključene u skup tačaka koje čine trokut ABC.

3. a) Da bi se pronašla jednačina visine spuštene iz vrha A na stranu Ned, razmotrite jednadžbu stranice Ned:
. Vektor sa koordinatama
okomito na stranu Ned i samim tim paralelno sa visinom. Zapišimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A paralelno sa vektorom
:

Ovo je jednadžba za visinu izostavljenu iz t. A na stranu Ned.

b) Pronađite koordinate sredine stranice Ned prema formulama:

Evo
– ovo su koordinate t. IN, A
– koordinate t. WITH. Zamenimo i dobijemo:

Prava linija koja prolazi kroz ovu tačku i tačku A je tražena medijana:

c) Jednačinu simetrale ćemo tražiti na osnovu činjenice da su u jednakokračnom trouglu visina, medijana i simetrala spuštene od jednog vrha do osnove trougla jednake. Nađimo dva vektora
I
i njihove dužine:

Zatim vektor
ima isti smjer kao vektor
, i njegovu dužinu
Isto tako, jedinični vektor
poklapa se u pravcu sa vektorom
Zbir vektora

je vektor koji se u pravcu poklapa sa simetralom ugla A. Dakle, jednačina željene simetrale može se napisati kao:

4) Već smo konstruisali jednačinu za jednu od visina. Konstruirajmo jednačinu za drugu visinu, na primjer, iz vrha IN. Side AC dato jednačinom
Dakle, vektor
okomito AC, a time i paralelno sa željenom visinom. Zatim jednačina prave koja prolazi kroz vrh IN u pravcu vektora
(tj. okomito AC), ima oblik:

Poznato je da se visine trougla seku u jednoj tački. Konkretno, ova tačka je sjecište pronađenih visina, tj. rješavanje sistema jednačina:

- koordinate ove tačke.

5. Srednji AB ima koordinate
. Zapišimo jednadžbu medijane na stranu AB. Ova prava prolazi kroz tačke sa koordinatama (3, 2) i (3, 6), što znači da njena jednadžba ima oblik:

Imajte na umu da nula u nazivniku razlomka u jednačini prave znači da ova prava ide paralelno sa ordinatnom osom.

Da bi se pronašla tačka preseka medijana, dovoljno je rešiti sistem jednačina:

Točka presjeka medijana trougla ima koordinate
.

6. Dužina visine spuštena na stranu AB, jednaka udaljenosti od tačke WITH na pravu liniju AB sa jednacinom
i nalazi se po formuli:

7. Kosinus ugla A može se naći pomoću formule za kosinus ugla između vektora I , što je jednako omjeru skalarnog proizvoda ovih vektora i proizvoda njihovih dužina:

.

U zadacima 1 - 20 dati su vrhovi trougla ABC.
Naći: 1) dužinu stranice AB; 2) jednačine stranica AB i AC i njihovi ugaoni koeficijenti; 3) Unutrašnji ugao A u radijanima sa tačnošću od 0,01; 4) jednačina za visinu CD-a i njegovu dužinu; 5) jednačina kružnice kojoj je visina CD prečnik; 6) sistem linearnih nejednačina koje definišu trougao ABC.

Dužina stranice trougla:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|BC| = 14.14
Udaljenost d od tačke M: d = 10
Date su koordinate vrhova trougla: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Dužina stranica trougla
Udaljenost d između tačaka M 1 (x 1 ; y 1) i M 2 (x 2 ; y 2) određena je formulom:

8) Jednačina prave
Prava linija koja prolazi kroz tačke A 1 (x 1 ; y 1) i A 2 (x 2 ; y 2) predstavljena je jednadžbama:

Jednadžba prave AB


ili

ili
y = -3 / 4 x -7 / 4 ili 4y + 3x +7 = 0
Jednadžba linije AC
Kanonska jednadžba linije:

ili

ili
y = 1 / 2 x + 9 / 2 ili 2y -x - 9 = 0
Jednadžba prave BC
Kanonska jednadžba linije:

ili

ili
y = -7x + 42 ili y + 7x - 42 = 0
3) Ugao između pravih linija
Jednačina prave AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Jednačina linije AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Ugao φ između dvije prave, dat jednadžbama sa ugaonim koeficijentima y = k 1 x + b 1 i y 2 = k 2 x + b 2, izračunava se po formuli:

Nagibi ovih linija su -3/4 i 1/2. Koristimo formulu i uzmimo njenu desnu stranu po modulu:

tg φ = 2
φ = arktan(2) = 63,44 0 ili 1,107 rad.
9) Jednačina visine kroz vrh C
Prava koja prolazi kroz tačku N 0 (x 0 ;y 0) i okomita na pravu Ax + By + C = 0 ima vektor pravca (A;B) i stoga je predstavljena jednadžbama:



Ova jednačina se može naći i na drugi način. Da bismo to uradili, pronađimo nagib k 1 prave AB.
AB jednadžba: y = -3 / 4 x -7 / 4, tj. k 1 = -3 / 4
Nađimo ugaoni koeficijent k okomice iz uslova okomitosti dvije prave: k 1 *k = -1.
Zamjenom nagiba ove prave umjesto k 1, dobijamo:
-3 / 4 k = -1, odakle je k = 4 / 3
Kako okomica prolazi kroz tačku C(5,7) i ima k = 4 / 3, tražićemo njenu jednačinu u obliku: y-y 0 = k(x-x 0).
Zamjenom x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 dobijamo:
y-7 = 4 / 3 (x-5)
ili
y = 4 / 3 x + 1 / 3 ili 3y -4x - 1 = 0
Nađimo tačku preseka sa pravom AB:
Imamo sistem od dve jednačine:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Iz prve jednačine izražavamo y i zamjenjujemo ga u drugu jednačinu.
Dobijamo:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) Dužina visine trougla povučena iz temena C
Udaljenost d od tačke M 1 (x 1 ;y 1) do prave Ax + By + C = 0 jednaka je apsolutnoj vrijednosti veličine:

Pronađite udaljenost između tačke C(5;7) i prave AB (4y + 3x +7 = 0)


Dužina visine se može izračunati pomoću druge formule, kao rastojanje između tačke C(5;7) i tačke D(-1;-1).
Udaljenost između dvije tačke izražava se u koordinatama po formuli:

5) jednačina kružnice kojoj je visina CD prečnik;
Jednadžba kružnice poluprečnika R sa centrom u tački E(a;b) ima oblik:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Pošto je CD prečnik željene kružnice, njeno središte E je središte segmenta CD. Koristeći formule za dijeljenje segmenta na pola, dobijamo:


Dakle, E(2;3) i R = CD / 2 = 5. Koristeći formulu, dobijamo jednačinu željenog kruga: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) sistem linearnih nejednačina koje definišu trougao ABC.
Jednadžba linije AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Jednadžba linije AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Jednadžba linije BC: y = -7x + 42

Instrukcije

Daju vam se tri boda. Označimo ih kao (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Pretpostavlja se da su ove tačke vrhovi nekih trougao. Zadatak je stvoriti jednadžbe njegovih strana - tačnije jednadžbe onih linija na kojima te strane leže. Ove jednačine bi trebale izgledati ovako:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3 Dakle, morate pronaći ugaone vrijednosti k1, k2, k3 i pomake b1, b2, b3.

Naći pravu koja prolazi kroz tačke (x1, y1), (x2, y2). Ako je x1 = x2, onda je željena linija okomita i njena jednadžba je x = x1. Ako je y1 = y2, tada je linija horizontalna i njena jednadžba je y = y1. Općenito, ove koordinate neće odgovarati jedna drugoj.

Zamjenom koordinata (x1, y1), (x2, y2) u opštu jednačinu prave, dobija se sistem od dvije linearne jednačine: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2 Oduzmite jednu jednačinu od druge i riješite rezultirajuću jednačinu za k1: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, dakle k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Zamjenjujući ono što ste pronašli u bilo koju od originalnih jednačina, pronađite izraz za b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 Pošto već znamo da je x2 ≠ x1, možemo pojednostaviti izraz množenjem y1 sa (x2 - x1)/(x2 - x1). Tada ćete za b1 dobiti sljedeći izraz: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Provjerite je li treća od datih tačaka na pronađenoj liniji. Da biste to učinili, zamijenite (x3, y3) u rezultirajuću jednadžbu i pogledajte da li jednakost vrijedi. Ako se to posmatra, dakle, sve tri tačke leže na istoj pravoj, a trougao se degeneriše u segment.

Na isti način kao što je gore opisano, izvedite jednačine za prave koje prolaze kroz tačke (x2, y2), (x3, y3) i (x1, y1), (x3, y3).

Konačni oblik jednadžbi za stranice trokuta date koordinatama vrhova je: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Naći jednačine stranke trougao, prije svega, moramo pokušati riješiti pitanje kako pronaći jednačinu prave na ravni ako su poznati njen vektor smjera s(m, n) i neka tačka M0(x0, y0) koja pripada pravoj.

Instrukcije

Uzmite proizvoljnu (varijabilnu, plutajuću) tačku M(x, y) i konstruirajte vektor M0M =(x-x0, y-y0) (napišite i M0M(x-x0, y-y0)), koji će očigledno biti kolinearan (paralelno ) po k s. Tada možemo zaključiti da su koordinate ovih vektora proporcionalne, pa možemo napraviti kanonsku pravu liniju: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Upravo taj omjer će se koristiti u rješavanju problema.

Sve dalje radnje određuju se na osnovu metode .1. metoda. Trokut je dan koordinatama njegova tri vrha, koji je u školskoj geometriji dat dužinama njegova tri vrha stranke(vidi sliku 1). Odnosno, uslov sadrži tačke M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Oni odgovaraju njihovim vektorima radijusa) OM1, 0M2 i OM3 sa istim koordinatama kao i tačke. Za dobijanje jednačine stranke s M1M2 zahtijeva svoj vektor smjera M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) i bilo koju od tačaka M1 ili M2 (ovdje se uzima tačka sa donjim indeksom).

Dakle za stranke y M1M2 kanonska jednadžba prave (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Ponašajući se čisto induktivno, možemo pisati jednačine ostalo stranke.Za stranke s M2M3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Za stranke s M1M3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2. metoda. Trokut je definiran sa dvije tačke (iste kao prije M1(x1, y1) i M2(x2, y2)), kao i jediničnim vektorima pravaca druge dvije stranke. Za stranke s M2M3: p^0(m1, n1). Za M1M3: q^0(m2, n2). Stoga za stranke s M1M2 će biti isti kao u prvoj metodi: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

Za stranke s M2M3 kao tačka (x0, y0) kanonskog jednačine(x1, y1), a vektor smjera je p^0(m1, n1). Za stranke s M1M3, (x2, y2) se uzima kao tačka (x0, y0), vektor pravca je q^0(m2, n2). Dakle, za M2M3: jednačina (x-x1)/m1=(y-y1)/n1: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Video na temu

Savjet 3: Kako pronaći visinu trougla ako su date koordinate tačaka

Visina je segment prave linije koji povezuje vrh figure sa suprotnom stranom. Ovaj segment mora biti okomit na stranu, tako da se iz svakog vrha može povući samo jedan visina. Pošto na ovoj slici postoje tri vrha, postoji isti broj visina. Ako je trokut zadan koordinatama njegovih vrhova, dužina svake od visina može se izračunati, na primjer, korištenjem formule za pronalaženje površine i izračunavanje dužina stranica.

Instrukcije

Počnite s izračunavanjem dužina stranica trougao. Odrediti koordinate figure poput ove: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y₃,Z₃). Tada možete izračunati dužinu stranice AB koristeći formulu AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Za druge dvije strane ovo će izgledati ovako: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) i AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁ -Y₃ )² + (Z₁-Z₃)²). Na primjer, za trougao sa koordinatama A(3,5,7), B(16,14,19) i C(1,2,13) ​​dužina stranice AB će biti √((3-16)² + (5-14) )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Dužine stranica BC i AC, izračunate na isti način, bit će √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 i √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Poznavanje dužina tri strane dobijene u prethodnom koraku dovoljno je za izračunavanje površine trougao(S) prema Heronovoj formuli: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Na primjer, zamjena u ovu formulu vrijednosti ​​dobivenih iz koordinata trougao-uzorak iz prethodnog koraka, ovo će dati vrijednost: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12 ) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

Na osnovu površine trougao, izračunate u prethodnom koraku, i dužine stranica dobijene u drugom koraku, izračunajte visine za svaku od stranica. Pošto je površina jednaka polovini proizvoda visine i dužine stranice na koju je povučena, da biste pronašli visinu, udvostručenu površinu podijelite dužinom željene stranice: H = 2*S/a. Za gornji primjer, visina spuštena na stranu AB će biti 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, visina do strane BC će imati dužinu od 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, a za stranu AC ova vrijednost će biti jednaka 2 *68.815/7 ≈ 19.66.

Izvori:

• date tačke pronađite površinu trougla

Savjet 4: Kako koristiti koordinate vrhova trokuta da pronađete jednadžbe njegovih stranica

U analitičkoj geometriji, trougao na ravni može se definisati u Dekartovom koordinatnom sistemu. Poznavajući koordinate vrhova, možete kreirati jednadžbe za stranice trokuta. To će biti jednadžbe tri prave, koje, seku, formiraju figuru.