Na osnovu koncepta determinanti drugog i trećeg reda, možemo na sličan način uvesti koncept determinante reda n. Determinante reda većeg od trećine izračunavaju se po pravilu korišćenjem svojstava determinanti formulisanih u paragrafu 1.3., koje važe za determinante bilo kog reda.
Koristeći svojstvo determinanti broj 9 0, uvodimo definiciju determinante 4. reda:
Primjer 2. Izračunajte koristeći odgovarajuću ekspanziju.
Slično, uvodi se koncept determinante 5., 6. itd. red. Dakle, determinanta reda n:
.
Sva svojstva determinanti 2. i 3. reda, o kojima smo ranije govorili, važe i za determinante n-tog reda.
Razmotrimo glavne metode za izračunavanje determinanti n-th red.
komentar: Prije primjene ove metode, korisno je, koristeći osnovna svojstva determinanti, okrenuti na nulu sve osim jednog elementa određenog reda ili stupca. (efikasna metoda smanjenja narudžbe)
Metoda redukcije na trokutasti oblik sastoji se u takvoj transformaciji determinante kada svi njeni elementi koji leže na jednoj strani glavne dijagonale postanu jednaki nuli. U ovom slučaju, determinanta je jednaka umnošku elemenata njegove glavne dijagonale.
Primjer 3. Izračunajte redukcijom na trouglasti oblik.
Primjer 4. Izračunajte koristeći efektivnu metodu smanjenja naloga
.
Rješenje: prema svojstvu 4 0 determinanti iz prvog reda ćemo izvaditi faktor 10, a zatim ćemo drugi red uzastopno pomnožiti sa 2, sa 2, sa 1 i dodati ga sa prvim, trećim i četvrtim redova, redom (svojstvo 8 0).
.
Rezultirajuća determinanta se može proširiti na elemente prvog stupca. Bit će svedena na determinantu trećeg reda, koja se izračunava korištenjem Sarrusovog (trougla) pravila.
Primjer 5. Izračunajte determinantu tako da je svedete na trouglasti oblik.
.
Primjer 3. Izračunajte koristeći rekurentne relacije.
.
.
Predavanje 4. Inverzna matrica. Matrix rang.
1. Koncept inverzne matrice
Definicija 1. Square poziva se matrica A reda n nedegenerisan, ako je njegova determinanta | A| ≠ 0. U slučaju kada | A| = 0, poziva se matrica A degenerisati.
Samo za kvadratne nesingularne matrice A uvodi se koncept inverzne matrice A -1.
Definicija 2 . Matrica A -1 se zove obrnuto za kvadratnu nesingularnu matricu A, ako je A -1 A = AA -1 = E, gdje je E jedinična matrica reda n.
Definicija 3
.
Matrix 
pozvao pripojen njegovi elementi su algebarski komplementi 
transponovana matrica 
.
Algoritam za izračunavanje inverzne matrice korištenjem metode adjoint matrice.
, Gdje 
.
Provjeravamo ispravnost izračuna A -1 A = AA -1 = E. (E je matrica identiteta)
Matrice A i A -1 recipročan. Ako | A| = 0, onda inverzna matrica ne postoji.
Primjer 1. Matrica A je data. Uvjerite se da nije singularna i pronađite inverznu matricu 
.
Rješenje: 
. Stoga je matrica nesingularna.
Nađimo inverznu matricu. Sastavimo algebarske komplemente elemenata matrice A.
Dobijamo 
.
Pošto smo razmotrili neke važne karakteristike računarskih problema, obratimo pažnju na one metode koje se koriste u računarskoj matematici za pretvaranje problema u oblik pogodan za implementaciju na računaru i omogućavanje konstrukcije računskih algoritama. Ove metode ćemo nazvati računskim. Uz određeni stepen konvencije, računske metode se mogu podijeliti u sljedeće klase: 1) metode ekvivalentnih transformacija; 2)
metode aproksimacije; 3) direktne (egzaktne) metode; 4) iterativne metode; 5) statističke metode ispitivanja (Monte Carlo metode). Metoda koja izračunava rješenje određenog problema može imati prilično složenu strukturu, ali njeni elementarni koraci su, po pravilu, implementacija navedenih metoda. Hajde da damo opštu ideju o njima.
1. Metode ekvivalentnih transformacija.
Ove metode vam omogućavaju da zamijenite originalni problem drugim koji ima isto rješenje. Izvođenje ekvivalentnih transformacija pokazuje se korisnim ako je novi problem jednostavniji od originalnog ili ima bolja svojstva, ili postoji poznata metoda rješenja za njega, a možda čak i gotov program.
Primjer 3.13. Ekvivalentna transformacija kvadratne jednadžbe u formu (odabir potpunog kvadrata) svodi problem na problem izračunavanja kvadratnog korijena i dovodi do formule (3.2) poznate po svojim korijenima.
Ekvivalentne transformacije ponekad omogućavaju da se rješenje izvornog računskog problema svede na rješenje računskog problema potpuno drugačijeg tipa.
Primjer 3.14. Problem nalaženja korijena nelinearne jednačine može se svesti na ekvivalentan problem pronalaženja globalne minimalne točke funkcije. Zaista, funkcija je nenegativna i dostiže minimalnu vrijednost jednaku nuli za one i samo one x za koje
2. Metode aproksimacije.
Ove metode omogućavaju aproksimaciju (aproksimaciju) originalnog problema s drugim, čije je rješenje u određenom smislu blisko rješenju izvornog problema. Greška koja proizlazi iz takve zamjene naziva se greška aproksimacije. Po pravilu, problem aproksimacije sadrži neke parametre koji vam omogućavaju da prilagodite veličinu greške aproksimacije ili utičete na druga svojstva problema. Uobičajeno je reći da metoda aproksimacije konvergira ako greška aproksimacije teži nuli dok parametri metode teže određenoj graničnoj vrijednosti.
Primjer 3.15. Jedan od najjednostavnijih načina za izračunavanje integrala je aproksimacija integrala na osnovu formule za pravokutnike veličine
Korak je ovdje parametar metode. Budući da se radi o posebno konstruiranoj integralnoj sumi, iz definicije određenog integrala slijedi da kada se metoda pravokutnika konvergira,
Primjer 3.16. Uzimajući u obzir definiciju derivacije funkcije, za njeno približno izračunavanje možete koristiti formulu Približna greška ove formule numeričke diferencijacije teži nuli kada
Jedna od uobičajenih metoda aproksimacije je diskretizacija – približna zamjena originalnog problema konačnodimenzionalnim problemom, tj. problem čiji se ulazni podaci i željeno rješenje mogu jednoznačno specificirati konačnim skupom brojeva. Za probleme koji nisu konačno-dimenzionalni, ovaj korak je neophodan za naknadnu implementaciju na računaru, pošto računar može da radi samo sa konačnim brojem brojeva. U gornjim primjerima 3.15 i 3.16 korišteno je uzorkovanje. Iako precizno izračunavanje integrala uključuje korištenje beskonačnog broja vrijednosti (za sve, njegova približna vrijednost može se izračunati korištenjem konačnog broja vrijednosti u tačkama a). čije točno rješenje uključuje operaciju prelaska na granicu na (i stoga se korištenje beskonačnog broja vrijednosti funkcije svodi na približno izračunavanje derivacije u odnosu na dvije vrijednosti funkcije.
Prilikom rješavanja nelinearnih problema široko se koriste različite metode linearizacije koje se sastoje u približnoj zamjeni originalnog problema jednostavnijim linearnim problemima. Primjer 3.17. Neka je potrebno približno izračunati vrijednost za na računaru sposobnom da izvodi jednostavne aritmetičke operacije. Imajte na umu da je, po definiciji, x pozitivan korijen nelinearne jednadžbe Neka postoji neka poznata aproksimacija da parabolu zamijenimo pravom linijom koja je na nju povučena tangenta.
tačka sa apscisom Tačka preseka ove tangente sa osom daje bolju aproksimaciju i nalazi se iz linearne jednačine
Na primjer, ako uzmete za, dobijate rafiniranu vrijednost
Prilikom rješavanja različitih klasa računskih problema mogu se koristiti različite metode aproksimacije; To uključuje metode za regulisanje rješavanja loše postavljenih problema. Imajte na umu da se metode regularizacije široko koriste za rješavanje loše uvjetovanih problema.
3. Direktne metode.
Metoda za rješavanje problema naziva se direktna ako omogućava da se dobije rješenje nakon izvođenja konačnog broja elementarnih operacija.
Primjer 3.18. Metoda izračunavanja korijena kvadratne jednadžbe pomoću formula je direktna metoda. Četiri aritmetičke operacije i operacija kvadratnog korijena ovdje se smatraju elementarnim.
Imajte na umu da elementarna operacija direktne metode može biti prilično složena (izračunavanje vrijednosti elementarne ili specijalne funkcije, rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi, izračunavanje određenog integrala, itd.). Činjenica da je prihvaćena kao elementarna implicira, u svakom slučaju, da je njegova implementacija znatno jednostavnija od izračunavanja rješenja cijelog problema.
Prilikom konstruisanja direktnih metoda, značajna pažnja se poklanja minimiziranju broja elementarnih operacija.
Primjer 3.19 (Hornerov dijagram). Neka je problem izračunati vrijednost polinoma
prema datim koeficijentima i vrijednosti argumenta x. Ako polinom izračunate direktno koristeći formulu (3.12) i pronađete ga sekvencijalnim množenjem sa x, tada ćete morati izvršiti operacije množenja i sabiranja.
Mnogo ekonomičnija metoda proračuna naziva se Hornerova šema. Zasnovan je na pisanju polinoma u sljedećem ekvivalentnom obliku:
Postavljanje zagrada diktira sljedeći redoslijed izračunavanja: Ovdje je za izračunavanje vrijednosti potrebno izvođenje samo operacija množenja i sabiranja.
Hornerova shema je zanimljiva jer daje primjer metode koja je optimalna u smislu broja elementarnih operacija. Općenito, vrijednost se ne može dobiti nijednom metodom kao rezultat izvođenja manjeg broja operacija množenja i sabiranja.
Ponekad se direktne metode nazivaju egzaktnim, što znači da ako nema grešaka u ulaznim podacima i ako se elementarne operacije izvode tačno, rezultat će također biti tačan. Međutim, prilikom implementacije metode na računaru, neizbježna je pojava računske greške, čija veličina ovisi o osjetljivosti metode na greške zaokruživanja. Mnoge direktne (egzaktne) metode razvijene u predmašinskom periodu pokazale su se neprikladnim za strojne proračune upravo zbog prevelike osjetljivosti na greške zaokruživanja. Nisu sve egzaktne metode takve, ali vrijedi napomenuti da ne sasvim uspješan izraz „tačan“ karakterizira svojstva idealne implementacije metode, ali ne i kvalitet rezultata dobivenog iz stvarnih proračuna.
4. Iterativne metode.
Ovo su posebne metode za konstruisanje uzastopnih aproksimacija rešavanja problema. Primjena metode počinje odabirom jedne ili više početnih aproksimacija. Da bi se dobila svaka od narednih aproksimacija, izvodi se sličan skup akcija koristeći prethodno pronađene aproksimacije - iteraciju. Neograničeni nastavak ovog iterativnog procesa teoretski nam omogućava da konstruiramo beskonačan niz aproksimacija rješenja
sekvenca iteracije. Ako ovaj niz konvergira rješenju problema, onda se kaže da iterativni metod konvergira. Skup početnih aproksimacija za koje metoda konvergira naziva se područje konvergencije metode.
Imajte na umu da se iterativne metode široko koriste u rješavanju širokog spektra problema korištenjem računara.
Primjer 3.20. Razmotrimo dobro poznatu iterativnu metodu dizajniranu za izračunavanje (gdje je Newtonova metoda. Postavimo proizvoljnu početnu aproksimaciju. Izračunavamo sljedeću aproksimaciju koristeći formulu izvedenu korištenjem metode linearizacije u primjeru 3.17 (vidi formulu (3.11)). Nastavljamo ovaj proces dalje, dobijamo iterativni niz u kojem se sljedeća aproksimacija izračunava korištenjem rekurentne formule
Poznato je da ova metoda konvergira u bilo kojoj početnoj aproksimaciji, pa je njeno područje konvergencije skup svih pozitivnih brojeva.
Upotrijebimo ga za izračunavanje vrijednosti na decimalnom računaru -bit. Postavimo (kao u primjeru 3.17). Tada su daljnji proračuni besmisleni, jer će zbog ograničene prirode mreže bitova, sva naknadna preciziranja dati isti rezultat. Međutim, poređenje sa tačnom vrednošću pokazuje da je već na trećoj iteraciji dobijeno 6 tačnih značajnih cifara.
Koristeći Newtonovu metodu kao primjer, raspravljat ćemo o nekim tipičnim problemima za iterativne metode (i ne samo za njih). Iterativne metode su inherentno približne; nijedna od rezultirajućih aproksimacija nije tačna vrijednost rješenja. Međutim, metoda konvergentne iteracije u principu omogućava pronalaženje rješenja sa bilo kojom točnošću. Stoga, kada se koristi iterativni metod, uvijek se specificira tražena tačnost i iterativni proces se prekida čim se postigne.
Iako je činjenica da metoda konvergira svakako važna, nije dovoljno preporučiti metodu za primjenu u praksi. Ako metoda konvergira vrlo sporo (na primjer, da biste dobili rješenje s točnošću od 1% potrebno je ponoviti), tada je neprikladna za računalne proračune. Brzo konvergentne metode, koje uključuju Newtonovu metodu, imaju praktičnu vrijednost (podsjetimo da je tačnost proračuna postignuta u samo tri iteracije). Za teorijsko proučavanje stope konvergencije i uslova primjenjivosti iterativnih metoda izvedene su takozvane apriorne procjene greške, koje omogućavaju da se donese zaključak o kvaliteti metode i prije proračuna.
Predstavimo dvije takve a priori procjene za Newtonov metod. Neka se zna da su tada za sve i greške dvije uzastopne aproksimacije povezane sljedećom nejednakošću:
Ovdje je vrijednost koja karakterizira relativnu grešku aproksimacije. Ova nejednakost ukazuje na vrlo visoku kvadratnu stopu konvergencije metode: na svakoj iteraciji, „greška“ se kvadrira. Ako to izrazimo kroz grešku početne aproksimacije, dobijamo nejednakost
od čega je uloga dobrog izbora početne aproksimacije. Što je manja vrijednost, to će metoda brže konvergirati.
Praktična implementacija iterativnih metoda uvijek je povezana s potrebom odabira kriterija za završetak iterativnog procesa. Proračuni se ne mogu nastaviti beskonačno i moraju se prekinuti u skladu s nekim kriterijem koji se odnosi na, na primjer, postizanje date tačnosti. Upotreba apriornih procjena u tu svrhu najčešće se pokaže nemogućom ili neefikasnom. Iako kvalitativno ispravno opisuju ponašanje metode, takve procjene su precijenjene i daju vrlo nepouzdane kvantitativne informacije. Često apriorne procjene sadrže nepoznanice
veličine (na primjer, procjene (3.14), (3.15) sadrže količinu a), ili impliciraju prisustvo i ozbiljnu upotrebu nekih dodatnih informacija o rješenju. Najčešće takve informacije nisu dostupne, a njihovo stjecanje povezano je s potrebom rješavanja dodatnih problema, često složenijih od prvobitnog.
Za formiranje kriterijuma završetka pri postizanju zadate tačnosti, u pravilu se koriste tzv. posteriori procjene greške - nejednakosti u kojima se veličina greške procjenjuje preko poznatih vrijednosti ili vrijednosti dobijenih tokom procesa proračuna. Iako se takve procjene ne mogu koristiti prije početka proračuna, one daju konkretnu kvantifikaciju nesigurnosti tokom procesa izračunavanja.
Na primjer, za Newtonovu metodu (3.13) vrijedi sljedeća aposteriori procjena:
S. Ulam je koristio slučajne brojeve za kompjutersku simulaciju ponašanja neutrona u nuklearnom reaktoru. Ove metode mogu biti nezamjenjive pri modeliranju velikih sistema, ali njihovo detaljno predstavljanje uključuje značajnu upotrebu aparata teorije vjerovatnoće i matematičke statistike i izvan je okvira ove knjige.
Odrednice
Koncept determinante
Bilo koja kvadratna matrica n-tog reda može biti povezana s brojem koji se zove odrednica (determinanta)
matrica A i označava se kako slijedi: 
, ili , ili det A.
Determinanta matrice prvog reda, ili determinanta prvog reda, je element
Odrednica drugog reda(determinanta matrice drugog reda) se izračunava na sljedeći način:
 |
Rice. Šema za izračunavanje determinante drugog reda
Dakle, determinanta drugog reda je zbir 2=2! pojmove, od kojih je svaki proizvod 2 faktora - elemenata matrice A, po jedan iz svakog reda i svake kolone. Jedan od pojmova uzima se sa znakom “+”, a drugi sa znakom “-”.
Pronađite determinantu
Determinanta trećeg reda (determinanta trećeg reda kvadratne matrice) je data sa:
Dakle, determinanta trećeg reda je zbir 6=3! pojmove, od kojih je svaki proizvod 3 faktora - elementa matrice A, po jedan iz svakog reda i svake kolone. Jedna polovina pojmova uzima se sa znakom “+”, a druga polovina sa znakom “-”.
Glavna metoda za izračunavanje determinante trećeg reda je tzv pravilo trougla (Sarrusovo pravilo): prvi od tri člana uključena u zbir sa znakom “+” je proizvod elemenata glavne dijagonale, drugi i treći su proizvodi elemenata koji se nalaze na vrhovima dva trokuta sa baze paralelne sa glavnom dijagonalom; tri člana uključena u zbir sa znakom “-” definisana su slično, ali u odnosu na drugu (bočnu) dijagonalu. Ispod su 2 šeme za izračunavanje determinanti trećeg reda
b)
Rice. Šeme za izračunavanje determinanti 3. reda
Pronađite odrednicu:
Determinanta kvadratne matrice n-tog reda (n 4) izračunava se korištenjem svojstava determinanti.
Osnovna svojstva determinanti. Metode za izračunavanje determinanti
Matrične determinante imaju sljedeća osnovna svojstva:
1. Odrednica se ne mijenja kada se matrica transponira.
2. Ako su dva reda (ili stupca) zamijenjena u determinanti, determinanta će promijeniti predznak.
3. Determinanta sa dva proporcionalna (posebno jednaka) reda (kolona) jednaka je nuli.
4. Ako se red (kolona) u determinanti sastoji od nula, onda je determinanta jednaka nuli.
5. Zajednički faktor elemenata bilo kog reda (ili kolone) može se izvaditi iz predznaka determinante.
6. Odrednica se neće promijeniti ako svim elementima jednog reda (ili kolone) dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (ili kolone), pomnožene istim brojem.
7. Determinanta dijagonalne i trouglaste (gornje i donje) matrice jednaka je proizvodu dijagonalnih elemenata.
8. Determinanta proizvoda kvadratnih matrica jednaka je proizvodu njihovih determinanti.
Smjernice za studente 1. godine
Bazej Aleksandar Anatolijevič
Odesa 2008
LITERATURA
1 Hemming R.V. Numeričke metode za naučnike i inženjere. – M.: Nauka, 1968. – 400 str.
2 Blazhko S.N. Kurs sferne astronomije. – Moskva, Lenjingrad, OGIZ, 1948. – 416 str.
3 Shchigolev B.M. Matematička obrada zapažanja. – M.: Nauka, 1969. – 344 str.
4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. Računske metode. – M.: Nauka, 1977. tom I, tom II – 400 str.
5 Hudson D. Statistika za fizičare. – M.: Mir, 1967. – 244 str.
6.Berman G.N. Računovodstvene tehnike. – Moskva, 1953. – 88 str.
7.Rumshinsky L.Z. Matematička obrada eksperimentalnih rezultata. – Moskva, Nauka 1971. – 192 str.
8. Kalitkin N.N. Numeričke metode. – Moskva, Nauka 1978. – 512 str.
9. Filchakov P.F. Numeričke i grafičke metode primijenjene matematike. – Kijev, “Naukova dumka”, 1970. – 800 str.
10. Fikhtengolts G.M. Kurs diferencijalnog i integralnog računa, vol.1-3. – Moskva, Nauka 1966.
Približne kalkulacije 2
O planiranju
Smoothing 10
Aproksimacija 12
Ispravljanje (linearizacija) 13
Metoda najmanjeg kvadrata 15
Interpolacija 24
Lagrangeov interpolacijski polinom 26
Termin ostatka Lagrangeove formule 29
Njutnov interpolacioni polinom za tabelu sa promenljivim korakom od 30
Interpolacija iz tabele sa konstantnim korakom od 34
Interpolacijski polinomi Stirlinga, Bessela, Newtona 37
Interpolacija iz tablice funkcija od dva argumenta 42
Diferencijacija po tabeli 44
Numeričko rješenje jednačina 46
Dihotomija (metoda bisekcije) 46
Jednostavna metoda iteracije 47
Njutnova metoda 50
Pronalaženje minimuma funkcije jedne varijable 51
Metoda zlatnog preseka 51
Metoda parabole 54
Izračunavanje određenog integrala 56
Trapezna formula 59
Formula prosjeka ili formula pravokutnika 61
Simpsonova formula 62
Rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi. Cauchy problem 64
Klasična Eulerova metoda 66
Rafinirana Eulerova metoda 67
Metoda prognoze i korekcije 69
Runge-Kutta metode 71
Harmonska analiza 74
Sistemi ortogonalnih funkcija 78
Metoda 12 ordinate 79
PRIBLIŽNI PRORAČUNI
Hajde da riješimo jednostavan problem. Recimo da student živi na udaljenosti od 1247 m od stanice. Voz polazi u 17:38. Koliko dugo prije polaska vlaka učenik treba napustiti kuću ako je njegova prosječna brzina 6 km/h?
Odmah dobijamo rešenje:
.
Međutim, malo je vjerovatno da bi neko zaista koristio ovo matematički tačno rješenje, a evo zašto. Proračuni su obavljeni apsolutno tačno, ali je li udaljenost do stanice izmjerena tačno? Da li je uopće moguće izmjeriti putanju pješaka bez ikakvih grešaka? Može li pješak hodati po strogo određenoj liniji u gradu punom ljudi i automobila koji se kreću u svim smjerovima? A brzina od 6 km/h - da li je apsolutno precizno određena? I tako dalje.
Sasvim je jasno da će svi u ovom slučaju dati prednost ne „matematički preciznom“, već „praktičnom“ rješenju ovog problema, odnosno procijenit će da će šetnja trajati 12-15 minuta i dodati još nekoliko minuta da budem siguran.
Zašto onda računati sekunde i njihove razlomke i težiti takvom stepenu tačnosti koji se ne može koristiti u praksi?
Matematika je egzaktna nauka, ali sam koncept „preciznosti“ zahteva pojašnjenje. Da bismo to učinili, moramo početi s konceptom broja, jer tačnost rezultata proračuna uvelike ovisi o točnosti brojeva i pouzdanosti početnih podataka.
Postoje tri izvora za dobivanje brojeva: brojanje, mjerenje i izvođenje različitih matematičkih operacija
Ako je broj stavki koje treba prebrojati mali i ako je konstantan tokom vremena, onda ćemo dobiti apsolutno tacno rezultate. Na primjer, na ruci je 5 prstiju, a u kutiji je 300 ležajeva. Drugačija je situacija kada kažu: u Odesi je 1979. godine bilo 1.000.000 stanovnika. Na kraju krajeva, ljudi se rađaju i umiru, dolaze i odlaze; njihov broj se mijenja cijelo vrijeme, čak i tokom perioda tokom kojeg je brojanje završeno. Dakle, ono što zapravo mislimo je da je bilo oko 1.000.000 stanovnika, možda 999.125, ili 1.001.263, ili neki drugi broj blizu 1.000.000 U ovom slučaju, 1.000.000 daje približno broj stanovnika grada.
Nijedno mjerenje se ne može izvršiti apsolutno tačno. Svaki uređaj daje neku vrstu greške. Osim toga, dva posmatrača koji mjere istu količinu istim instrumentom obično postižu neznatno različite rezultate, rijedak je izuzetak.
Čak i tako jednostavan mjerni uređaj kao što je ravnalo ima "grešku uređaja" - rubovi i ravnine ravnala nešto se razlikuju od idealnih ravnih linija i ravnina, potezi na ravnalu se ne mogu primijeniti na apsolutno jednakim udaljenostima, a sami potezi imaju određenu debljinu; tako da prilikom mjerenja ne možemo dobiti rezultate preciznije od debljine poteza.
Ako ste izmjerili dužinu stola i dobili vrijednost od 1360,5 mm, to uopće ne znači da je dužina stola tačno 1360,5 mm - ako ova tabela mjeri drugu ili ponovite mjerenje, onda možete dobiti vrijednost i 1360,4 mm i 1360,6 mm. Broj 1360,5 mm izražava dužinu stola otprilike.
Ne mogu se sve matematičke operacije izvesti bez grešaka. Nije uvijek moguće izdvojiti korijen, pronaći sinus ili logaritam, ili čak podijeliti s apsolutnom preciznošću.
Bez izuzetka, sva mjerenja dovode do približnih vrijednosti izmjerenih veličina.. U nekim slučajevima se mjerenja izvode grubo, tada se pažljivim mjerenjima dobijaju velike greške, greške su manje; Apsolutna tačnost merenja se nikada ne postiže.
Razmotrimo sada drugu stranu pitanja. Da li je apsolutna tačnost neophodna u praksi i koja je vrijednost približan rezultat?
Prilikom izračunavanja dalekovoda ili plinovoda, nitko neće odrediti udaljenost između nosača s točnošću od milimetra ili promjer cijevi s točnošću od mikrona. U tehnologiji i konstrukciji svaki dio ili konstrukcija može se izraditi samo u određenoj preciznosti, koja je određena tzv. tolerancijama. Ove tolerancije se kreću od dijelova mikrona do milimetara i centimetara, ovisno o materijalu, veličini i namjeni dijela ili strukture. Stoga, za određivanje dimenzija dijela, nema smisla provoditi proračune s točnošću većom od one koja je potrebna.
1) Početni podaci za proračune, po pravilu, imaju greške, odnosno približni su;
2) Ove greške, često povećane, ulaze u rezultate proračuna. Ali praksa ne zahtijeva tačne podatke, već se zadovoljava rezultatima s nekim prihvatljivim greškama, čija veličina mora biti unaprijed određena.
3) Neophodnu tačnost rezultata moguće je osigurati samo kada su izvorni podaci dovoljno tačni i kada se uzmu u obzir sve greške unesene samim proračunima.
4) Proračuni sa približnim brojevima moraju se izvršiti približno, nastojeći postići minimalni utrošak rada i vremena pri rješavanju problema.
Obično se u tehničkim proračunima dozvoljene greške kreću od 0,1 do 5%, ali u naučnim pitanjima mogu se smanjiti na hiljaditi dio procenta. Na primjer, prilikom lansiranja prvog vještačkog satelita Mjeseca (31. marta 1966.), moralo se osigurati brzina lansiranja od oko 11.200 m/sec s točnošću od nekoliko centimetara u sekundi da bi satelit ušao u cirkumlunarnu a nego cirkumsolarna orbita.
Osim toga, imajte na umu da su pravila aritmetike izvedena pod pretpostavkom da su svi brojevi tačni. Stoga, ako se proračuni s približnim brojevima izvode kao s egzaktnim, onda se stvara opasan i štetan utisak tačnosti tamo gdje je u stvarnosti nema. Prava naučna, a posebno matematička tačnost sastoji se upravo u ukazivanje na prisustvo gotovo uvek neizbežnih grešaka i određivanju njihovih granica.
Predstavljanje početnih podataka u problemu i njegovog rješenja - kao broj ili skup brojeva
Važna je komponenta u sistemu obuke inženjera tehničkih specijalnosti.
Osnove za računske metode su:
- rješavanje sistema linearnih jednačina
- interpolacija i proračun približne funkcije
- numeričko rješenje običnih diferencijalnih jednadžbi
- numeričko rješenje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (jednadžbe matematičke fizike)
- rješavanje problema optimizacije
vidi takođe
Bilješke
Književnost
- Kalitkin N. N. Numeričke metode. M., Nauka, 1978
- Amosov A. A., Dubinsky Yu A., Kopchenova N. V. “Računarske metode za inženjere”, 1994
- Fletcher K, Računske metode u dinamici fluida, ur. Svijet, 1991, 504 str.
- E. Alekseev “Rešavanje računarskih matematičkih zadataka u paketima Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9”, 2006, 496 strana.
- Tikhonov A. N., Goncharsky A. V., Stepanov V. V., Yagola A. G. “Numeričke metode za rješavanje pogrešno postavljenih problema” (1990)
- Bakushinsky A. B., Goncharsky A. V. Loše postavljeni problemi. Numeričke metode i primjene, ur. Izdavačka kuća Moskovskog univerziteta, 1989
- N. N. Kalitkin, A. B. Alshin, E. A. Alshina, V. B. Rogov. Proračuni na kvaziuniformnim mrežama. Moskva, Nauka, Fizmatlit, 2005, 224 str.
- Yu Ryzhikov “Computational Methods” ed. BHV, 2007, 400 str., ISBN 978-5-9775-0137-8
- Računske metode u primijenjenoj matematici, Međunarodni časopis, ISSN 1609-4840
Linkovi
- Naučni časopis „Računarske metode i programiranje. Nove računarske tehnologije"
Wikimedia Foundation. 2010.
- Računarska matematika i matematička fizika
- Računalni cevovod
Pogledajte šta su "računarske metode" u drugim rječnicima:
Metode elektroanalitičke hemije- Sadržaj 1 Metode elektroanalitičke hemije 2 Uvod 3 Teorijski dio ... Wikipedia
Metode kodiranja digitalnog signala- U ovom članku nedostaju linkovi na izvore informacija. Informacije moraju biti provjerljive, inače mogu biti dovedene u pitanje i izbrisane. Možete... Wikipedia
NUMERIČKE METODE GAS DINAMIKA- metode za rješavanje problema plinske dinamike zasnovane na računskim algoritmima. Razmotrimo glavne aspekte teorije numeričkih metoda za rješavanje problema plinske dinamike, pisanje jednadžbi plinske dinamike u obliku zakona održanja u inercijalnom ... ... Mathematical Encyclopedia
METODE DIFUZIJE- metode za rješavanje kinetike. jednačine transporta neutrona (ili drugih čestica) koje modifikuju jednačine aproksimacije difuzije. Pošto aproksimacija difuzije daje ispravan oblik asimptotske jednadžbe. rješavanje jednadžbe transporta (daleko od izvora i ... ... Mathematical Encyclopedia
METODE MINIMIZACIJE GULIŠEVIH FUNKCIJA- numeričke metode za pronalaženje minimuma funkcija mnogih varijabli. Neka je data funkcija, ograničena odozdo, dva puta kontinuirano diferencibilna s obzirom na svoje argumente za koju je poznato da je za određeni vektor (znak transponiranja) potrebno... ... Mathematical Encyclopedia
GOST R 53622-2009: Informacione tehnologije. Informacioni i računarski sistemi. Faze i faze životnog ciklusa, vrste i kompletnost dokumenata- Terminologija GOST R 53622 2009: Informacione tehnologije. Informacioni i računarski sistemi. Faze i faze životnog ciklusa, vrste i kompletnost dokumenata originalni dokument: 3.1 hardverska softverska platforma: Jedinstveni skup alata... ...
Aplikativni računarski sistemi- Aplikativni računarski sistemi, ili ABC, uključuju sisteme objektnog računa zasnovanog na kombinatornoj logici i lambda računu. Jedina stvar koja je značajno razvijena u ovim sistemima je ideja objekta. U... ... Wikipediji
GOST 24402-88: Teleprocesiranje i računarske mreže. Termini i definicije- Terminologija GOST 24402 88: Teleprocesiranje i računarske mreže. Termini i definicije originalni dokument: VRSTE SISTEMA I MREŽA 90. Sistem obrade podataka pretplatnika Pretplatnički sistem Pretplatnički sistem Sistem obrade podataka,… … Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije
ST SEV 4291-83: Računalne mašine i sistemi za obradu podataka. Paketi magnetnih diskova kapaciteta 100 i 200 MB. Tehnički zahtjevi i metode ispitivanja- Terminologija ST SEV 4291 83: Računalne mašine i sistemi za obradu podataka. Paketi magnetnih diskova kapaciteta 100 i 200 MB. Tehnički zahtjevi i metode ispitivanja: 8. Amplituda signala sa VTAA informacijske površine Usrednjena na cijelom ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije
Geofizičke metode istraživanja- proučavanje strukture zemljine kore fizičkim metodama u svrhu traženja i istraživanja minerala; geofizika istraživanja je sastavni dio geofizike (vidi Geofizika). G.m.r. na osnovu proučavanja fizičkih polja ... ... Velika sovjetska enciklopedija
Knjige
- Računske metode. Udžbenik, Andrej Avenirovič Amosov, Julij Andrejevič Dubininski, Natalija Vasiljevna Kopčenova. U knjizi se razmatraju računske metode koje se najčešće koriste u praksi primenjenih i naučno-tehničkih proračuna: metode za rešavanje zadataka linearne algebre, nelinearne jednačine,...
