Готовые работы
ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ
Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге
КУРСОВЫЕ РАБОТЫ
Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге
МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге
ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ
После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Тригонометрическими уравнениями именуются все уравнения, в состав которых входит переменная, находящаяся под знаком тригонометрической функции. Например: \[\sin x= a, \cos x = b\]. Решение тригонометрических уравнений сводится к таким подзадачам:
* решение уравнения;
* отбор корней.
Ответ в таких уравнениях записывается в:
Градусах;
Радианах.
Чтобы решить данного рода уравнения необходимо преобразовать уравнение в одно/несколько основных тригонометрических уравнений: \[\sin x = a; \cos x = a: \tan x = a; \cot x = a.\] А решение уже основных таких уравнений заключается в использовании таблицы преобразования или поиске положений \[х\] на единичной окружности.
Например, дано тригонометрические уравнения, решаемые с помощью таблицы преобразования, следующего вида:
\[\tan (x - \pi/4) = 0\]
Ответ: \
\[\cot2x = 1,732\]
Ответ: x = \[\pi /12 + \pi n\]
\[\sin x = 0,866\]
Ответ: \[ x = \pi/3 \]
Где можно решить систему тригонометрических уравнений онлайн бесплатно?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Методы решения тригонометрических уравнений
Введение 2
Методы решения тригонометрических уравнений 5
Алгебраический 5
Решение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций 7
Разложение на множители 8
Приведение к однородному уравнению 10
Введение вспомогательного угла 11
Преобразование произведения в сумму 14
Универсальная подстановка 14
Заключение 17
Введение
До десятого класса порядок действий многих упражнений, ведущий к цели, как правило, однозначно определен. Например, линейные и квадратные уравнения и неравенства, дробные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, и т.п. Не разбирая подробно принцип решения каждого из упомянутых примеров, отметим то общее, что необходимо для их успешного решения.
В большинстве случаев надо установить, к какому типу относится задача, вспомнить последовательность действий, ведущих к цели, и выполнить эти действия. Очевидно, что успех или неуспех ученика в овладении приемами решения уравнений зависит главным образом от того, насколько он сумеет правильно определить тип уравнения и вспомнить последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом предполагается, что ученик владеет навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.
Совершенно иная ситуация получается, когда школьник встречается с тригонометрическими уравнениями. При этом установить факт, что уравнение является тригонометрическим, нетрудно. Сложности возникают при нахождении порядка действий, которые бы привели к положительному результату. И здесь перед учеником встают две проблемы. По внешнему виду уравнения трудно определить тип. А не зная типа, почти невозможно выбрать нужную формулу из нескольких десятков, имеющихся в распоряжении.
Чтобы помочь ученикам найти верную дорогу в сложном лабиринте тригонометрических уравнений, их сначала знакомят с уравнениями, которые после введения новой переменной приводятся к квадратным. Затем решают однородные уравнения и приводимые к ним. Все заканчивается, как правило, уравнениями, для решения которых надо разложить на множители левую часть, приравняв затем каждый из множителей к нулю.
Понимая, что разобранных на уроках полутора десятков уравнений явно недостаточно, чтобы пустить ученика в самостоятельное плавание по тригонометрическому "морю", учитель добавляет от себя еще несколько рекомендаций.
Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:
Привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;
Привести уравнение к "одинаковым функциям";
Разложить левую часть уравнения на множители и т.п.
Но, несмотря на знание основных типов тригонометрических уравнений и нескольких принципов поиска их решения, многие ученики по-прежнему оказываются в тупике перед каждым уравнением, незначительно отличающимся от тех, что решались раньше. Остается неясным, к чему следует стремиться, имея то или иное уравнение, почему в одном случае надо применять формулы двойного угла, в другом - половинного, а в третьем - формулы сложения и т.д.
Определение 1. Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком тригонометрических функций.
Определение 2. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все тригонометрические функции, входящие в него, имеют равные аргументы. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые функции, если оно содержит только одну из тригонометрических функций.
Определение 3. Степенью одночлена, содержащего тригонометрические функции, называется сумма показателей степеней тригонометрических функций, входящих в него.
Определение 4. Уравнение называется однородным, если все одночлены, входящие в него, имеют одну и ту же степень. Эта степень называется порядком уравнения.
Определение 5. Тригонометрическое уравнение, содержащее только функции sin и cos , называется однородным, если все одночлены относительно тригонометрических функций имеют одинаковую степень, а сами тригонометрические функции имеют равные углы и число одночленов на 1 больше порядка уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
I . Алгебраический метод. Этот метод хорошо известен из алгебры. (Метод замены переменный и подстановки).
Решить уравнения.
1)
Введём обозначение x =2 sin 3 t , получим
Решая это уравнение, получаем:
или
т.е. можно записать
При записи полученного решения из-за наличия знаков степень
записывать не имеет смысла.
Ответ:
Обозначим
Получаем квадратное уравнение
. Его корнями являются числа
и
. Поэтому данное уравнение сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям
и
. Решая их, находим, что
или
.
Ответ:
;
.
Обозначим
не удовлетворяет условию
Значит
Ответ:
Преобразуем левую часть уравнения:
Таким образом, данное исходное уравнение можно записать в виде:
, т.е.
Обозначив
, получим
Решив данное квадратное уравнение имеем:
не удовлетворяет условию
Записываем решение исходного уравнения:
Ответ:
Подстановка
сводит данное уравнение к квадратному уравнению
. Его корнями являются числа
и
. Так как
, то заданное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
II . Решение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций.
а)
, если
б)
, если
в)
, если
Используя данные условия, рассмотрим решение следующих уравнений:
6)
Пользуясь сказанным в п. а) получаем, что уравнение имеет решение в том и только в том случае, когда
.
Решая это уравнение, находим
.
Имеем две группы решений:
.
7) Решить уравнение:
.
Пользуясь условием п. б) выводим, что
.
Решая эти квадратные уравнения, получаем:
.
8) Решить уравнение
.
Из данного уравнения выводим, что . Решая это квадратное уравнение, находим, что
.
III . Разложение на множители.
Этот метод рассматриваем на примерах.
9) Решить уравнение
.
Решение. Перенесём все члены уравнения влево: .
Преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
.
.
.
1)
2)
Т.к.
и
не принимают значение нуль
одновременно, то разделим обе части
уравнения на
,
Ответ:
10) Решить уравнение:
Решение.
или
Ответ:
11) Решить уравнение
Решение:
1)
2)
3)
,
Ответ:
IV . Приведение к однородному уравнению.
Чтобы решить однородное уравнение надо:
Перенести все его члены в левую часть;
Вынести все общие множители за скобки;
Приравнять все множители и скобки к нулю;
Скобки, приравненные к нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
(или
) в старшей степени;
Решить полученное алгебраическое уравнение относительно
.
Рассмотрим примеры:
12) Решить уравнение:
Решение.
Разделим обе части уравнения на
,
Вводя обозначения
, именем
корни этого уравнения:
отсюда 1)
2)
Ответ:
13) Решить уравнение:
Решение. Используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, приводим данное уравнение к половинному аргументу:
После приведения подобных слагаемых имеем:
Разделив однородное последнее уравнение на
, получим
Обозначу
, получим квадратное уравнение
, корнями которого являются числа
Таким образом
Выражение
обращается в нуль при
, т.е. при
,
.
Полученное нами решение уравнения не включает в себя данные числа.
Ответ:
, .
V . Введение вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение вида
Где a, b, c - коэффициенты, x - неизвестное.
Разделим обе части этого уравнения на
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль каждого из них не превосходит единицы, а сумма их квадратов равна 1.
Тогда можно обозначить их соответственно
(здесь - вспомогательный угол) и наше уравнение принимает вид: .
Тогда
И его решение
Заметим, что введенные обозначения взаимно заменяемы.
14) Решить уравнение:
Решение. Здесь
, поэтому делим обе части уравнения на
Ответ:
15) Решить уравнение
Решение. Так как
, то данное уравнение равносильно уравнению
Так как
, то существует такой угол , что
,
(т.е.
).
Имеем
Так как
, то окончательно получаем:
.
Заметим, что уравнение вида имеют решение тогда и только тогда, когда
16) Решить уравнение:
Для решения данного уравнения сгруппируем тригонометрические функции с одинаковыми аргументами
Разделим обе части уравнения на два
Преобразуем сумму тригонометрических функций в произведение:
Ответ:
VI . Преобразование произведения в сумму.
Здесь используются соответствующие формулы.
17) Решить уравнение:
Решение. Преобразуем левую часть в сумму:
VII. Универсальная подстановка.
,
эти формулы верны для всех
Подстановка
называется универсальной.
18) Решить уравнение:
Решение: Заменим и
на их выражение через
и обозначим
.
Получаем рациональное уравнение
, которое преобразуется в квадратное
.
Корнями этого уравнения являются числа
.
Поэтому задача свелась к решению двух уравнений
.
Находим, что
.
Значение вида
исходному уравнению не удовлетворяет, что проверяется проверкой - подстановкой данного значения t
в исходное уравнение.
Ответ:
.
Замечание. Уравнение 18 можно было решить иным способом.
Разделим обе части этого уравнения на 5 (т.е. на
):
.
Так как
, то существует такое число
, что
и
. Поэтому уравнение принимает вид:
или
. Отсюда находим, что
где
.
19) Решить уравнение
.
Решение. Так как функции
и
имеют наибольшее значение, равное 1, то их сумма равна 2, если
и
, одновременно, то есть
.
Ответ:
.
При решении этого уравнения применялась ограниченность функций и .
Заключение.
Работая над темой « Решения тригонометрических уравнений » каждому учителю полезно выполнять следующие рекомендации:
Систематизировать методы решения тригонометрических уравнений.
Выбрать для себя шаги по выполнению анализа уравнения и признаки целесообразности использования того или иного метод решения.
Продумать способы самоконтроля своей деятельности по реализации метода.
Научиться составлять « свои » уравнения на каждый из изучаемых методов.
Приложение №1
Решите однородные или приводящиеся к однородным уравнения.
1. | Отв. |
Отв. |
|
Отв. |
|
5. | Отв. |
Отв. |
|
7. | Отв. |
Отв. |
|
Уроки 54-55. Системы тригонометрических уравнений (факультативное занятие)
09.07.2015 9099 895Цель: рассмотреть наиболее типичные системы тригонометрических уравнений и способы их решения.
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
Вариант 1
Решите неравенство:
Вариант 2
Решите неравенство:
III. Изучение нового материала
На экзаменах системы тригонометрических уравнений встречаются гораздо реже тригонометрических уравнений и неравенств. Четкой классификации систем тригонометрических уравнений не существует. Поэтому условно разобьем их на группы и рассмотрим способы решения этих задач.
1. Простейшие системы уравнений
К ним отнесем системы, в которых или одно из уравнений является линейным, или уравнения системы могут быть решены независимо друг от друга.
Пример 1
Решим систему уравнений
Так как первое уравнение является линейным, то выразим из него переменную и подставим во второе уравнение: Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество. Получим уравнение или Введем новую переменную t = sin у. Имеем квадратное уравнение 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, корни которого t 1 = 1/3 и t 2 = 2 (не подходит, так как sin у ≤ 1). Вернемся к старой неизвестной и получим уравнение sin y = 1/3, решение которого Теперь легко найти неизвестную: Итак, система уравнений имеет решения где n ∈ Z .
Пример 2
Решим систему уравнений
Уравнения системы независимы. Поэтому можно записать решения каждого уравнения. Получим: Почленно сложим и вычтем уравнения этой системы линейных уравнений и найдем: откуда
Обратим внимание на то, что в силу независимости уравнений при нахождении х - у и х + у должны быть указаны разные целые числа n и k . Если бы вместо k было также поставлено n , то решения имели бы вид: При этом было бы потеряно бесконечное множество решений и, кроме того, возникла бы связь между переменными x и у: х = 3у (чего нет на самом деле). Например, легко проверить, что данная система имеет решение х = 5π и у = п (в соответствии с полученными формулами), которое при k = n найти невозможно. Поэтому будьте внимательнее.
2. Системы вида
Такие системы приводятся к простейшим при сложении и вычитании уравнений. При этом получим системы или Отметим очевидное ограничение: и Само же решение подобных систем сложностей не представляет.
Пример 3
Решим систему уравнений
Преобразуем сначала второе уравнение системы, используя равенство Получим: Подставим в числитель этой дроби первое уравнение: и выразим Теперь имеем систему уравнений Сложим и вычтем эти уравнения. Имеем: или Запишем решения этой простейшей системы: Складывая и вычитая эти линейные уравнения, находим:
3. Системы вида
Такие системы можно рассматривать как простейшие и решать их соответствующим образом. Однако есть и другой способ решения: преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение и использовать оставшееся уравнение.
Пример 4
Решим систему уравнений
Сначала преобразуем первое уравнение, используя формулу для суммы синусов углов. Получим: Используя второе уравнение, имеем: откуда Выпишем решения этого уравнения: С учетом второго уравнения данной системы получаем систему линейных уравнений Из этой системы находим Такие решения удобно записать в более рациональном виде. Для верхних знаков имеем: для нижних знаков -
4. Системы вида
Прежде всего необходимо получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Для этого, например, выразим из одного уравнения sin у, из другого - cos у. Возведем в квадрат эти соотношения и сложим. Тогда получается тригонометрическое уравнение, содержащее неизвестную х. Решаем такое уравнение. Затем, используя любое уравнение данной системы, получаем уравнение для нахождения неизвестной у.
Пример 5
Решим систему уравнений
Запишем систему в виде Возведем в квадрат каждое уравнение системы и получим: Сложим уравнения этой системы: или Используя основное тригонометрическое тождество, запишем уравнение в виде или Решения этого уравнения cos x = 1/2 (тогда ) и cos x = 1/4 (откуда ), где n , k ∈ Z . Учитывая связь между неизвестными cos y = 1 – 3 cos x , получим: для cos x = 1/2 cos y = -1/2; для cos x = 1/4 cos y = 1/4. Необходимо помнить, что при решении системы уравнений проводилось возведение в квадрат и эта операция могла привести к появлению посторонних корней. Поэтому надо учесть первое уравнение данной системы, из которого следует, что величины sin x и sin у должны быть одного знака.
С учетом этого получим решения данной системы уравнений и где n , m , k , l ∈ Z . При этом для неизвестных х и у одновременно выбирают или верхние, или нижние знаки.
В частном случае система может быть решена преобразованием суммы (или разности) тригонометрических функций в произведение и последующим почленным делением уравнений друг на друга.
Пример 6
Решим систему уравнений
В каждом уравнении преобразуем сумму и разность функций в произведение и разделим каждое уравнение на 2. Получим: Так как ни один множитель в левых частях уравнений не равен нулю, то почленно разделим уравнения друг на друга (например, второе на первое). Получим: откуда Подставим найденное значение например, в первое уравнение: Учтем, что Тогда откуда
Получили систему линейных уравнений Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем и где n , k ∈ Z .
5. Системы, решаемые с помощью замены неизвестных
Если система содержит только две тригонометрические функции или приводится к такому виду, то удобно использовать замену неизвестных.
Пример 7
Решим систему уравнений
Так как в данную систему входят только две тригонометрические функции, то введем новые переменные а = tg х и b = sin у. Получим систему алгебраических уравнений Из первого уравнения выразим а = b + 3 и подставим во второе: или Корни этого квадратного уравнения b 1 = 1 и b 2 = -4. Соответствующие значения а1 = 4 и а2 = -1. Вернемся к старым неизвестным. Получим две системы простейших тригонометрических уравнений:
а) ее решение где n , k ∈ Z .
б) решений не имеет, так как sin у ≥ -1.
Пример 8
Решим систему уравнений
Преобразуем второе уравнение системы так, чтобы оно содержало только функции sin х и cos у. Для этого используем формулы понижения степени. Получим: (откуда ) и (тогда ). Второе уравнение системы имеет вид: или Получили систему тригонометрических уравнений Введем новые переменные a = sin х и b = cos у. Имеем симметричную систему уравнений единственное решение которой a = b = 1/2. Вернемся к старым неизвестным и получим простейшую систему тригонометрических уравнений решение которой где n , k ∈ Z .
6. Системы, для которых важны особенности уравнений
Практически при решении любой системы уравнений используются те или иные ее особенности. В частности, один из наиболее общих приемов решения системы - тождественные преобразования, позволяющие получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Выбор преобразований, конечно, определяется спецификой уравнений системы.
Пример 9
Решим систему
Обратим внимание на левые части уравнений, например на Используя формулы приведения, сделаем из нее функцию с аргументом π/4 + х. Получим: Тогда система уравнений имеет вид: Чтобы исключить переменную х, почленно умножим уравнения и получим: или 1 = sin 3 2у, откуда sin 2у = 1. Находим и Удобно отдельно рассмотреть случаи четных и нечетных значений n . Для четных n (n = 2 k , где k ∈ Z ) Тогда из первого уравнения данной системы получим: где m ∈ Z . Для нечетных Тогда из первого уравнения имеем: Итак, данная система имеет решения
Как и в случае уравнений, достаточно часто встречаются системы уравнений, в которых существенную роль играет ограниченность функций синуса и косинуса.
Пример 10
Решим систему уравнений
Прежде всего преобразуем первое уравнение системы: или или или или Учитывая ограниченность функции синуса, видим, что левая часть уравнения не меньше 2, а правая часть не больше 2. Поэтому такое уравнение равносильно условиям sin 2 2х = 1 и sin 2 у = 1.
Второе уравнение системы запишем в виде sin 2 у = 1 - cos 2 z или sin 2 у = sin 2 z , и тогда sin 2 z = 1. Получили систему простейших тригонометрических уравнений Используя формулу понижения степени, запишем систему в виде или тогда
Разумеется, при решении других систем тригонометрических уравнений также необходимо обращать внимание на особенности этих уравнений.
Скачать материал
Полный текст материала смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен только фрагмент материала.
Здравствуйте, Дорогие друзья! Сегодня мы рассмотрим задание из части С. Это система из двух уравнений. Уравнения довольно своеобразны. Здесь и синус, и косинус, да ещё и корни имеются. Необходимо умение решать квадратные и , простейшие . В представленном задании их подробные решения не представлены, это вы уже должны уметь делать. По указанным ссылкам можете посмотреть соответствующую теорию и практические задания.
Основная трудность в подобных примерах заключается в том, что необходимо полученные решения сопоставлять с найденной областью определения, здесь легко можно допустить ошибку из-за невнимательности.
Решением системы всегда является пара(ры) чисел х и у, записывается как (х;у). Обязательно после того как получили ответ делайте проверку. Для вас представлено три способа, нет, не способа, а три пути рассуждения, которыми можно пойти. Лично мне наиболее близок третий. Приступим:
Решите систему уравнений:
ПЕРВЫЙ ПУТЬ!
Найдём область определения уравнения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:
Рассмотрим первое уравнение:
1. Оно равно нулю при х = 2 или при х = 4, но 4 радиана не принадлежит определения выражения (3).
*Угол в 4 радиана (229,188 0) лежит в третьей четверти, в ней значение синуса отрицательно. Поэтому
остаётся только корень х = 2.
Рассмотрим второе уравнении при х = 2.
При этом значении х выражение 2 – y – у 2 должно быть равно нулю, так как
Решим 2 – y – у 2 = 0, получим y = – 2 или y = 1.
Отметим, что при y = – 2 корень из cos y не имеет решения.
*Угол в –2 радиана (– 114,549 0) лежит в третьей четверти, а в ней значение косинуса отрицательно.
Поэтому остаётся только y = 1.
Таким образом, решением системы будет пара (2;1).
2. Первое уравнение так же равно нулю при cos y = 0, то есть при
Но учитывая найденную область определения (2), получим:
Рассмотрим второе уравнение при этом у.
Выражение 2 – y – у 2 при у = – Пи/2 не равно нулю, значит для того, чтобы оно имело решение должно выполнятся условие:
Решаем:
Учитывая найденную область определения (1) получаем, что
Таким образом, решением системы является ещё одна пара:
ВТОРОЙ ПУТЬ!
Найдём область определения для выражения:
Известно, что выражение под корнем имеет неотрицательное значение.
Решая неравенство 6х – х 2 + 8 ≥ 0, получим 2 ≤ х ≤ 4 (2 и 4 это радианы).
Рассмотрим Случай 1:
Пусть х = 2 или х = 4.
Если х = 4, то sin x < 0. Если х = 2, то sin x > 0.
Учитывая то, что sin x ≠ 0, получается, что в этом случае во втором уравнении системы 2 – y – у 2 = 0.
Решая уравнение получим, что y = – 2 или y = 1.
Анализируя полученные значения можем сказать, что х = 4 и y = – 2 не является корнями, так как получим sin x < 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).
Видно, что х = 2 и y = 1 входят область определения.
Таким образом, решением является пара (2;1).
Рассмотрим Случай 2:
Пусть теперь 2 < х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Исходя из этого можем сделать вывод, что в первом уравнении cos y должен быть равен нулю.
Решаем уравнение, получим:
Во втором уравнении при нахождении области определения выражения:
Получим:
2 – y – у 2 ≥ 0
– 2 ≤ у ≤ 1
Из всех решений уравнения cos y = 0 этому условию удовлетворяет только:
При данном значении у, выражение 2 – y – у 2 ≠ 0. Следовательно, во втором уравнении sin x будет равен нулю, получим:
Из всех решений этого уравнения интервалу 2 < х < 4 принадлежит только
Значит решением системы будет ущё пара:
*Область определения сразу для всех выражений в системе находить не стали, рассмотрели выражение из первого уравнения (2 случая) и далее уже по ходу определяли соответствие найденных решений с установленной областью определения. На мой взгляд не очень удобно, как-то путано получается.
ТРЕТИЙ ПУТЬ!
Он схож с первым, но есть отличия. Также сначала находится область определения для выражений. Затем отдельно решается первое и второе уравнение, далее находится решение системы.
Найдём область определения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:
Решая неравенство 6х – х 2 + 8 ≥ 0 получим 2 ≤ х ≤ 4 (1).
Величины 2 и 4 это радианы, 1 радиан как мы знаем ≈ 57,297 0
В градусах приближённо можем записать 114,549 0 ≤ х ≤ 229,188 0 .
Решая неравенство 2 – y – у 2 ≥ 0 получим – 2 ≤ у ≤ 1 (2).
В градусах можем записать – 114,549 0 ≤ у ≤ 57,297 0 .
Решая неравенство sin x ≥ 0 получим, что
Решая неравенство cos y ≥ 0 получим, что
Известно, что произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю (и другие при этом не теряют смысла).
Рассмотрим первое уравнение:
Значит
Решением cos y = 0 является:
Решением 6х – х 2 + 8 = 0 являются х = 2 и х = 4.
Рассмотрим второе уравнение:
Значит
Решением sin x = 0 является:
Решением уравнения 2 – y – у 2 = 0 будут y = – 2 или y = 1.
Теперь учитывая область определения проанализируем
полученные значения:
Так как 114,549 0 ≤ х ≤ 229,188 0 , то данному отрезку принадлежит только одно решение уравнения sin x = 0, это x = Пи.
Так как – 114,549 0 ≤ у ≤ 57,297 0 , то данному отрезку принадлежит только одно решение уравнения cos y = 0, это
Рассмотрим корни х = 2 и х = 4.
Верно!
Таким образом, решением системы будут две пары чисел:
*Здесь учитывая найденную область определения мы исключили все полученные значения, не принадлежащие ей и далее перебрали все варианты возможных пар. Далее проверили, какие из них являются решением системы.
Рекомендую сразу в самом начале решения уравнений, неравенств, их систем, если имеются корни, логарифмы, тригонометрические функции, обязательно находить область определения. Есть, конечно, такие примеры, где проще бывает сразу решить, а потом просто проверить решение, но таких относительное меньшинство.
Вот и всё. Успеха Вам!