Класична формула обчислення імовірності. Прості завдання з теорії ймовірності. Основна формула За якою формулою обчислюється ймовірність випадання чисел

Отже, поговоримо на тему, яка цікавить багатьох. У цій статті я відповім на питання про те, як розрахувати ймовірність події. Наведу формули для такого розрахунку та кілька прикладів, щоб було зрозуміліше, як це робиться.

Що таке ймовірність

Почнемо з того, що ймовірність того, що та чи інша подія відбудеться – певна частка впевненості у кінцевому настанні якогось результату. Для цього розрахунку розроблена формула повної ймовірності, що дозволяє визначити, настане цікава для вас подія чи ні, через, так звані, умовні ймовірності. Ця формула має такий вигляд: Р = n/m, літери можуть змінюватися, але на саму суть це ніяк не впливає.

Приклади ймовірності

На найпростішому прикладі розберемо цю формулу та застосуємо її. Допустимо, у вас є якась подія (Р), нехай це буде кидок гральної кістки, тобто рівносторонній кубик. І нам потрібно підрахувати, якою є ймовірність випадання на ньому 2 очок. Для цього потрібна кількість позитивних подій (n), у нашому випадку – випадання 2 очок, на загальну кількість подій (m). Випадання 2 очок може бути тільки в одному випадку, якщо на кубику буде по 2 очки, тому що по іншому, сума буде більшою, з цього випливає, що n = 1. Далі підраховуємо число випадання будь-яких інших цифр на кістки, на 1 кістки – це 1, 2, 3, 4, 5 і 6, отже, сприятливих випадків 6, тобто m = 6. Тепер за формулою робимо нехитре обчислення Р = 1/6 і отримуємо, що випадання на кістки 2 очок дорівнює 1/6, тобто ймовірність події дуже мала.

Ще розглянемо приклад на кольорових кулях, що лежать у коробці: 50 білих, 40 чорних та 30 зелених. Потрібно визначити, яка ймовірність витягнути кулю зеленого кольору. І так, так як куль цього кольору 30, тобто позитивних подій може бути тільки 30 (n = 30), число всіх подій 120, m = 120 (за загальною кількістю всіх куль), за формулою розраховуємо, що витягнути зелену кулю ймовірність дорівнює Р = 30/120 = 0,25, тобто 25% зі 100. Таким же чином, можна обчислити і ймовірність витягнути кулю іншого кольору (чорного вона буде 33%, білого 42%).

Бажаєте дізнатися, які математичні шанси на успіх вашої ставки? Тоді для вас є дві добрі новини. Перша: щоб порахувати прохідність, не потрібно проводити складні розрахунки та витрачати багато часу. Достатньо скористатися простими формулами, робота з якими займе кілька хвилин. Друга: після прочитання цієї статті ви з легкістю зможете розраховувати можливість проходу будь-якої вашої угоди.

Щоб правильно визначити прохідність, необхідно зробити три кроки:

Розрахувати процент ймовірності результату події на думку букмекерської контори;
Обчислити ймовірність за статистичними даними самостійно;
Дізнатися цінність ставки з огляду на обидві ймовірності.

Розглянемо докладно кожен із кроків, застосовуючи як формули, а й приклади.

Перший крок - необхідно дізнатися, з якою ймовірністю оцінює шанси на той чи інший результат сам букмекер. Адже зрозуміло, що кефи букмекерські контори не ставлять так просто. Для цього користуємося такою формулою:

PБ=(1/K)*100%,

де P Б - ймовірність результату на думку букмекерської контори;

K - коефіцієнт БК на результат.

Припустимо, на перемогу лондонського Арсеналу у поєдинку проти Баварії коефіцієнт 4. Це означає, що ймовірність його вікторії БК розцінюють як (1/4) * 100% = 25%. Чи Джокович грає проти Південного. На перемогу Новака множник 1.2, його шанси дорівнюють (1/1.2)*100%=83%.

Так оцінює шанси на успіх кожного гравця та команди сама БК. Здійснивши перший крок, переходимо до другого.

Розрахунок ймовірності події гравцем

Другий пункт нашого плану – власна оцінка ймовірності події. Так як ми не можемо врахувати математично такі параметри як мотивація, ігровий тонус, то скористаємося спрощеною моделлю і користуватимемося лише статистикою попередніх зустрічей. Для розрахунку статистичної ймовірності результату застосовуємо формулу:

PІ=(розум/М)*100%,

деPІ- Імовірність події на думку гравця;

РОЗУМ – кількість успішних матчів, у яких така подія відбувалася;

М – загальна кількість матчів.

Щоб було зрозуміліше, наведемо приклади. Енді Маррей та Рафаель Надаль зіграли між собою 14 матчів. У 6 з них був зафіксований тотал менше 21 за геймами, у 8 – тотал більше. Необхідно дізнатися ймовірність того, що наступний поєдинок зіграє на тотал більше: (8/14)*100=57%. Валенсія зіграла на Местальї проти Атлетіко 74 матчі, у яких здобула 29 перемог. Імовірність перемоги Валенсії: (29/74) * 100% = 39%.

І це всі ми дізнаємось лише завдяки статистиці попередніх ігор! Природно, що на якусь нову команду чи гравця таку можливість прорахувати не вийде, тому така стратегія ставок підійде лише для матчів, у яких суперники зустрічаються не вперше. Тепер ми вміємо визначати букмекерську та власну ймовірність наслідків, і у нас є всі знання, щоб перейти до останнього кроку.

Визначення цінності ставки

Цінність (валуйність) парі та прохідність мають безпосередній зв'язок: чим вища валуйність, тим вищий шанс на прохід. Розраховується цінність так:

V=PІ*K-100%,

де V – цінність;

P І - ймовірність результату на думку беттера;

K - коефіцієнт БК на результат.

Припустимо, ми хочемо поставити на перемогу Мілана у матчі проти Роми та підрахували, що ймовірність перемоги «червоно-чорних» 45%. Букмекер пропонує нам це результат коефіцієнт 2.5. Чи буде таке парі цінним? Проводимо розрахунки: V = 45% * 2.5-100% = 12.5%. Добре, перед нами цінна ставка з добрими шансами на прохід.

Візьмемо інший випадок. Марія Шарапова грає проти Петри Квітової. Ми хочемо укласти угоду на перемогу Марії, ймовірність якої, за нашими розрахунками, 60%. Контори пропонують цей результат множник 1.5. Визначаємо валуйність: V = 60% * 1.5-100 = -10%. Як бачимо, цінності ця ставка не становить і слід утриматися від неї.

Імовірність проходу ставки: висновок

При розрахунку прохідності ставки ми використали просту модель, яка базується лише на статистиці. При підрахунку ймовірності бажано враховувати багато різних факторів, які у кожному виді спорту є індивідуальними. Буває, що саме не статистичні чинники мають більший вплив. Без цього було б усе просто і передбачувано. Вибравши свою нішу, ви з часом навчитеся брати до уваги всі ці нюанси і давати більш точну оцінку власної ймовірності подій, включаючи безліч інших впливів. Головне, любити те, чим ви займаєтеся, поступово рухатися вперед і крок за кроком підвищувати свою майстерність. Успіхів вам і успіхів у захоплюючому світі беттінга!

Вибір правильної ставки залежить лише від інтуїції, спортивних знань, букмекерських коефіцієнтів, а й від коефіцієнта ймовірності події. Можливість розрахувати подібний показник у беттинг є запорукою успіху в прогнозуванні майбутньої події, на який передбачається здійснення ставки.
У букмекерських конторах існує три види коефіцієнтів (докладніше у статті), від різновиду яких залежить, як розрахувати ймовірність події гравцю.

Десятні коефіцієнти

Розрахунок ймовірності події у разі відбувається за такою формулою: 1/коэф.соб. = в.і, де коеф.соб. - Коефіцієнт події, а в.і - ймовірність результату. Наприклад, беремо коефіцієнт події 1,80 при ставці в один долар, здійснюючи математичну дію за формулою, гравець отримує, що ймовірність результату події за версією букмекера 0,55 відсотка.

Дробові коефіцієнти

З використанням дробових коефіцієнтів формула розрахунку ймовірності буде інша. Так при коефіцієнті 7/2, де перша цифра означає можливий розмір чистого прибутку, а друга розмір необхідної ставки, для отримання цього прибутку, рівняння виглядатиме таким чином: зн.коеф/ на суму зн.коеф і чс.коеф = в. . Тут зн.коеф - знаменник коефіцієнта, чс.коеф - чисельник коефіцієнта, в.і - ймовірність результату. Таким чином, для дробового коефіцієнта 7/2 рівняння виглядає як 2/(7+2) = 2/9 = 0.22, отже, 0,22 відсотка ймовірність результату події за версією букмекерської контори.

Американські коефіцієнти

Американські коефіцієнти мало популярні у гравців і, як правило, використовуються виключно в США, володіючи складною та заплутаною структурою. Для відповіді питання: «Як порахувати ймовірність події у такий спосіб?», треба зазначити, що такі коефіцієнти може бути негативними і позитивними.

Коефіцієнт зі знаком "-", наприклад -150, показує, що гравцю для отримання чистого прибутку в 100 доларів необхідно зробити ставку в 150 доларів. Імовірність події розраховується виходячи з формули, де потрібно розділити негативний коефіцієнт на суму негативного коефіцієнта і 100. Виглядає це на прикладі ставки -150, так (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150/250 = 0.6, де 0,6 множиться на 100 і результат ймовірності події становить 60 відсотків. Ця формула підходить і для позитивних американських коефіцієнтів.

ТЕМА 1 . Класична формула обчислення імовірності.

Основні визначення та формули:

Експеримент, результат якого неможливо передбачити, називають випадковим експериментом(СЕ).

Подія, яка в цьому СЕ може статися, а може і не відбутися, називають випадковою подією.

Елементарними наслідкаминазивають події, що задовольняють вимогам:

1.при будь-якій реалізації СЕ відбувається один і лише один елементарний результат;

2.будь-яка подія є деяка комбінація, деякий набір елементарних результатів.

Безліч всіх можливих елементарних наслідків повністю описує СЕ. Таку множину прийнято називати простором елементарних наслідків(ПЕІ). Вибір ПЕІ для опису даного СЕ неоднозначний і залежить від задачі, що вирішується.

Р(А) = n (A) / n,

де n - загальна кількість рівноможливих результатів,

n (A ) – число наслідків, що становлять подію А, як ще кажуть, сприятливих події А.

Слова "наудачу", "навгад", "випадковим чином" якраз і гарантують рівноможливість елементарних результатів.

Рішення типових прикладів

приклад 1. З урни, що містить 5 червоних, 3 чорних і 2 білих кулі, навмання витягують 3 кулі. Знайти ймовірність подій:

А- "Всі витягнуті кулі червоні";

У- "Всі витягнуті кулі - одного кольору";

З- "Серед витягнутих рівно 2 чорних".

Рішення:

Елементарним результатом цього СЕ є трійка (невпорядкована!) куль. Тому загальна кількість результатів є число поєднань: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Подія Аскладається лише з тих трійок, які витягувалися з п'яти червоних кульок, тобто. n (A) == 10.

Події УКрім 10 червоних трійок сприяють ще й чорні трійки, число яких дорівнює = 1. Тому: n (B) = 10 +1 = 11.

Події Зсприяють ті трійки куль, які містять 2 чорні і одна не чорна. Кожен спосіб вибору двох чорних куль може комбінуватися з вибором однієї не чорної (з семи). Тому: n (C) = = 3 * 7 = 21.

Отже: Р(А) = 10/120; Р(В) = 11/120; Р(С) = 21/120.

приклад 2. В умовах попереднього завдання будемо вважати, що кулі кожного кольору мають свою нумерацію, починаючи з 1. Знайти ймовірність подій:

D- "максимальний витягнутий номер дорівнює 4";

Е– “максимальний витягнутий номер дорівнює 3”.

Рішення:

Для обчислення n (D ) можна вважати, що в урні є одна куля з номером 4, одна куля з великим номером та 8 куль (3к+3ч+2б) з меншими номерами. Події Dсприяють ті трійки куль, які обов'язково містять кулю з номером 4 та 2 кулі з меншими номерами. Тому: n (D) =

P(D) = 28/120.

Для обчислення n (Е) вважаємо: в урні дві кулі з номером 3, дві з великими номерами та шість куль із меншими номерами (2к+2ч+2б). Подія Ескладається з трійок двох типів:

1.одна куля з номером 3 і два з меншими номерами;

2. дві кулі з номером 3 і один із меншим номером.

Тому: n (E) =

Р(Е) = 36/120.

приклад 3. Кожна з М різних частинок кидається навмання в одну з N осередків. Знайти ймовірність подій:

А– всі частки потрапили до другого осередку;

У– усі частинки потрапили в один осередок;

З– кожен осередок містить не більше однієї частинки (M £ N );

D- Усі осередки зайняті (M = N +1);

Е– другий осередок містить рівно до частинок.

Рішення:

Для кожної частинки є N способів потрапити в ту чи іншу комірку. За основним принципом комбінаторики для М частинок маємо N * N * N * ... * N (М-раз). Отже, загальна кількість наслідків у даному СЕ n = N M .

Для кожної частинки маємо одну можливість потрапити до другого осередку, тому n(A) = 1*1*…*1= 1 М = 1, і Р(А) = 1/ N M .

Потрапити в одну комірку (усім частинкам) означає потрапити всім в першу, або всім в другу, або й т.д. всім у N-ю. Але кожен із цих N варіантів може здійснитися одним способом. Тому n (B) = 1 +1 + ... + 1 (N-раз) = N і Р (В) = N / N M .

Подія означає, що у кожної частинки число способів розміщення на одиницю менше, ніж у попередньої частинки, а перша може потрапити в будь-яку з N осередків. Тому:

n (C) = N * (N -1) * ... * (N + M -1) і Р (С) =

У окремому випадку при M = N : Р(С)=

Подія D означає, що одна з осередків містить дві частинки, а кожна (N -1) осередків містить по одній частинці. Щоб знайти n (D) міркуємо так: виберемо комірку в якій буде дві частинки, це можна зробити = N способами; потім виберемо дві частинки для цього осередку, для цього існує способів. Після цього частинки, що залишилися (N -1) розподілимо по одній в залишилися (N -1) осередків, для цього є (N -1)! методів.

Отже, n(D) =

Число n (E) можна підрахувати так: до частинок для другого осередку можна способами, що залишилися (М - К) частинок розподіляються довільним чином (N -1) осередку (N -1) М-К способами. Тому:

Об'єднанням (логічною сумою) N подій називають подію , яке спостерігається щоразу, коли настає хоча б одне зподій . Зокрема, об'єднанням подій A та B називають подію A+ B(у деяких авторів
), яке спостерігається, коли настаєабо A,або Bабо обидві ці події одночасно(Мал. 7). Ознакою перетину в текстових формулюваннях подій є спілка.

"або"

Мал. 7. Об'єднання подій A+B
Необхідно враховувати, що ймовірність події P(A) відповідає як ліва частина заштрихованої Рис. 7 фігури, і її центральна частина, позначена як
. І наслідки, що відповідають події B, розташовуються як у правій частині заштрихованої фігури, так і в поміченій центральної частини. Таким чином, при складанні і
майданчик
.

реально увійде в цю суму двічі, а точне вираження для площі заштрихованої фігури має вигляд Отже,ймовірність об'єднання

Для більшої кількості подій загальний розрахунковий вираз стає вкрай громіздким через необхідність урахування численних варіантів взаємного накладання областей. Однак, якщо події, що об'єднуються, є несумісними (див. с. 33), то взаємне накладання областей виявляється неможливим, а сприятлива зона визначається безпосередньо сумою областей, що відповідають окремим подіям.

Ймовірність об'єднаннядовільного числа несуміснихподій визначається виразом

Наслідок 1: Повна група подій складається з подій несумісних, одна з яких у досвіді обов'язково реалізується В результаті, якщо події …
,утворюють повну групу, то для них

Таким чином,

Зліддя 3Врахуємо, що протилежним твердженням «відбудеться хоча б одна з подій …
» є твердження « жодна з подій …
не реалізується». Тобто, інакше кажучи, «в досвіді спостерігатимуться події , і , і …, і », що є вже перетин подій, протилежних вихідному набору. Звідси, з урахуванням (2.0), для об'єднання довільної кількості подій отримуємо

Наслідки 2, 3 показують, що у тих випадках, коли безпосередній розрахунок ймовірності якоїсь події є проблематичним, корисно оцінити трудомісткість дослідження події протилежної. Адже, знаючи значення
отримати з (2 .0) потрібну величину
ніякої праці вже не уявляє.

Приклади розрахунків ймовірностей складних подій

Приклад 1 : Двоє студентів (Іванов та Петров) разом явилися на захист лабораторної роботи, вивчивши перші 8 кін.трольних питань до цієї роботи з 10 наявних. Перевіряючи підготовленість, пвикладач задає кожному лише одін випадково обирається питання. Визначити ймовірність наступних подій:

A= "Іванов захистить лабораторну роботу";

B= "Петров захистить лабораторну роботу";

C= "обидва захистять лабораторну роботу";

D= "хоча один із студентів захистить роботу";

E= "тільки один із студентів захистить роботу";

F= "хто з них не захистить роботу".

Рішення. Зазначимо, що здатність захистити роботу як Іванова, т.ак і Петрова окремо визначається лише кількістю освоєних питань, поетому. (Примітка: у цьому прикладі значення одержуваних дробів свідомо не скорочувалися для спрощення зіставлення результатів розрахунків.)

ПодіяCможна сформулювати інакше як «роботу захистить і Іванов і Петров», тобто. відбудутьсяі подіяA, і подіяB. Таким чином, подіяCє перетином подійAіB, та відповідно до (2 .0)

де співмножник “7/9” з'являється через те, що настання подіїAозначає, що Іванову дісталося «вдале» питання, отже частку Петрова з 9 питань, що залишилися, припадає тепер лише 7 «хороших» питань.

ПодіяDмає на увазі, що «роботу захиститьабо Іванов,або Петров,або вони обидва разом», тобто. відбудеться хоча б одна з подійAіB. Отже, подіяDє об'єднанням подійAіB, та відповідно до (2 .0)

що відповідає очікуванням, т.к. навіть для кожного зі студентів окремо шанси успіху досить великі.

Зобуття Е означає, що «чи роботу захистить Іванов, а Петров «пкерується»,або Іванову трапиться невдалий упрос, а Петров із захистом впорається». Два альтернативні варіанти є взаємовиключними (несумісними), тому

Зрештою, затвердженняFвиявиться справедливим лише якщоі Іванов,і Петров із захистомне впораються». Отже,

На цьому розв'язання завдання завершено, проте корисно відзначити такі моменти:

1. Кожна з отриманих ймовірностей задовольняє умові (1.0), нпро якщо для
центральної частини. Таким чином, при складанні
отримати конфліктвуючі з(1 .0) в принципі неможливо, то для
спроба тавикористання (2 .0) замість (2 .0) призвела б до явно некор.ектного значення
. Важливо пам'ятати, що подібне значення ймовірності принципово неможливе, і при отриманні такого парадоксального результату негайно розпочинати пошук помилки.

2. Знайдені ймовірності задовольняють співвідношенням

Ето цілком очікувано, т.к. подіїC, EіFутворюють повнону групу, а подіїDіFпротилежні один одному. Облік цихспіввідношень з одного боку може бути використаневан для повторної перевірки розрахунків, а в іншій ситуації може послужити основою альтернативного способу вирішення завдання.

П римання : Не нехтуйте письмовою фіксацієюточного формулювання події, інакше в процесі вирішення завдання Ви можете мимоволі перейти до іншого трактування сенсу цієї події, що спричинить помилки в міркуваннях.

Приклад 2 : У великій партії мікросхем, що не пройшли вихідний контроль якості, 30% виробів є бракованими.Якщо з цієї партії навмання вибрати якісь дві мікросхеми, то якаймовірність, що серед них:

A= "обидві придатні";

B= "рівно 1 придатна мікросхема";

C= "обидві браковані".

Проаналізуємо наступний варіант міркувань (обережно містить помилку):

Оскільки йдеться про велику партію виробів, то вилучення з неї кількох мікросхем практично не впливає на співвідношення числа придатних та бракованих виробів, а значить, обираючи кілька разів поспіль якісь мікросхеми з цієї партії, можна вважати, що в кожному випадку залишаються незмінними імовірності

= P(Вибрано бракований виріб) = 0,3 і

= P(Вибрано придатний виріб) = 0,7.

Для настання подіїAнеобхідно, щобі в перший,і вдруге було обрано придатний виріб, а тому (враховуючи незалежність один від одного успішності вибору першої та другої мікросхеми) для перетину подій маємо

Аналогічно, для настання події С потрібно, щоб обидва вироби виявилися бракованими, а для отримання B потрібно один раз вибрати придатний, а один - виріб, що бракує.

Ознака помилки. Хотя всі отримані вище ймовірностіі виглядають правдоподібними, при їх спільному аналізі легкоаметити, що .Однак випадкиA, BіCутворюють повнугрупу подій, для якої має виконуватися .Це протиріччя свідчить про наявність якоїсь помилки у міркуваннях.

З ть помилки. Введемо на розгляд два допоміжнільних події:

= "перша мікросхема - придатна, друга - бракована";

= "перша мікросхема - бракована, друга - придатна".

Очевидно, що саме такий варіант розрахунку був вище використаний для отримання ймовірності подіїB, хоча подіїBі не є еквівалентними. Насправді,
, т.к. формулюванняподіїBвимагає, щоб серед мікросхем рівноодна , але зовсімне обов'язково перша була придатною (а інша – бракованою). Тому, хоча подія не є дублем події , а має вчититися незалежно. Враховуючи несумісність подій центральної частини. Таким чином, при складанні , ймовірність їх логічної суми дорівнюватиме

Після вказаного виправлення розрахунків маємо

що опосередковано підтверджує коректність знайдених ймовірностей.

Примітка : Звертайте особливу увагу на відмінність у формулюванні подій типу “тількиперший з перелічених елементів повинен…” та “тількиодин з перерахованих елементів повинен…”. Остання подія явно ширша і включаєтдо свого складу перше як одне з (можливо численніх) варіантів. Ці альтернативні варіанти (навіть за збігу їх ймовірностей) слід враховувати незалежно друг від друга.

П римання : Слово “відсоток” походить від “per cent”, тобто."на сотню". Подання частот і ймовірностей у відсотках дозволяє оперувати більшими значеннями, що іноді спрощує сприйняття значень “на слух”. Однак використовувати в розрахунках для правильного нормування множення або поділ на "100%" громіздко та неефективно. У зв'язку з цим, не зобивайте при використанні значень, згадуючинутих у відсотках, підставляти їх у розрахункові вирази уж у вигляді часток від одиниці (наприклад, 35% у розрахунку записуєтьсяя як “0,35”), щоб мінімізувати ризик помилкового нормування результатів.

Приклад 3 : Набір резисторів містить один резистороміналом 4 ком, три резистора по 8 ком і шість резисторів із опором 15 кОм. Вибрані навмання три резистори з'єднуються один з одним паралельно. Визначити можливість отримання підсумкового опору, що не перевищує 4 кОм.

Виріш ня. Опір паралельного з'єднання резісторів може бути розраховано за формулою

Це дозволяє ввести до розгляду події, такі як

A= “вибрано три резистори по 15 кОм” = “
”;

B= “взяті два резистори по 15 ком та один з опірм 8 ком” =“
”…

Повна група подій, що відповідають умові завдання, включає ще цілу низку варіантів, причому саме таких,інші відповідають висунутій вимогі про одержання опору не більше ніж 4 кОм. Однак, хоча "прямий" шлях рішення, що передбачає розрахунок (і наступне сумирування) ймовірностей, що характеризують всі ці події, і є правильним, діяти таким чином недоцільно.

Зазначимо, що для отримання підсумкового опору менше 4 комзалишково, щоб у набір, що використовується, увійшов хоча б один резистор з опоруїм менше 15 ком. Таким чином, лише у випадкуAвимога завдання виконується, тобто. подіяAєпротилежним досліджуваному. Разом з тим,

Таким чином, .

П рі мітка : Розраховуючи ймовірність деякої подіїA, не забувайте проаналізувати трудомісткість визначенняя ймовірність події йому протилежної. Якщо розрахуватичитати
легко, то саме з цього треба починати вирішеноні завданнязавершуючи його застосуванням співвідношення (2 .0).

П ример 4 : У коробці єnбілих,mчорних таkчервоні кулі. Кулі по одному навмання витягуються з коробкита повертаються назад після кожного вилучення. Визначити ймовірністьподіїA= “біла кулябуде витягнуто раніше, ніж чорний” .