Úlohy na klasické určovanie pravdepodobnosti Príklady riešení. Základy teórie pravdepodobnosti pre poistných matematikov

TÉMA 1 . Klasický vzorec na výpočet pravdepodobnosti.

Základné definície a vzorce:

Experiment, ktorého výsledok nemožno predpovedať, sa nazýva náhodný experiment(SE).

Udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať v danom SE sa nazýva náhodná udalosť.

Elementárne výsledky udalosti, ktoré spĺňajú požiadavky, sa nazývajú:

1.pri každej implementácii SE dochádza k jedinému základnému výsledku;

2. každá udalosť je určitá kombinácia, určitý súbor elementárnych výsledkov.

Súbor všetkých možných elementárnych výsledkov úplne opisuje SE. Takáto zostava je zvyčajne tzv priestor elementárnych výsledkov(PEI). Výber PEI na popis daného SE je nejednoznačný a závisí od riešeného problému.

P(A) = n(A)/n,

kde n- celkový počet rovnako možné výsledky,

n (A) – počet výsledkov, ktoré tvoria udalosť A, ako sa tiež hovorí, priaznivé pre udalosť A.

Slová „náhodne“, „náhodne“, „náhodne“ zaručujú rovnakú možnosť základných výsledkov.

Riešenie typických príkladov

Príklad 1 Z urny obsahujúcej 5 červených, 3 čierne a 2 biele loptičky sa náhodne vyžrebujú 3 loptičky. Nájdite pravdepodobnosti udalostí:

A– „všetky vytiahnuté loptičky sú červené“;

IN– „všetky vytiahnuté loptičky sú rovnakej farby“;

S– „medzi vyťaženými sú presne 2 čierne.“

Riešenie:

Základným výsledkom tohto SE je trojitý (neusporiadaný!) guľôčok. Celkový počet výsledkov je teda počet kombinácií: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Udalosť A pozostáva len z tých trojíc, ktoré boli vyžrebované z piatich červených guličiek, t.j. n(A)==10.

Udalosť IN Okrem 10 červených trojok sú priaznivé aj čierne trojky, ktorých počet je = 1. Preto: n (B)=10+1=11.

Udalosť S Uprednostňujú sa tie tri loptičky, ktoré obsahujú 2 čierne a jednu nečiernu. Každý spôsob výberu dvoch čiernych guľôčok je možné kombinovať s výberom jednej nečiernej gule (zo siedmich). Preto: n (C) = = 3 * 7 = 21.

Takže: P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.

Príklad 2 V podmienkach predchádzajúcej úlohy budeme predpokladať, že gule každej farby majú svoje vlastné číslovanie, počnúc od 1. Nájdite pravdepodobnosti udalostí:

D– „maximálny extrahovaný počet je 4“;

E– „Maximálny extrahovaný počet je 3.“

Riešenie:

Pre výpočet n(D) môžeme predpokladať, že urna má jednu guľu s číslom 4, jednu guľu s vyšším číslom a 8 guľôčok (3k+3h+2b) s nižšími číslami. Udalosť D Uprednostňujú sa tie trojky loptičiek, ktoré nevyhnutne obsahujú loptičku s číslom 4 a 2 loptičky s nižšími číslami. Preto: n(D) =

P(D) = 28/120.

Na výpočet n (E) uvažujeme: v urne sú dve gule s číslom 3, dve s veľké čísla a šesť loptičiek s nižšími číslami (2k+2h+2b). Udalosť E pozostáva z trojíc dvoch typov:

1. jedna loptička s číslom 3 a dve s nižšími číslami;

2.dve loptičky s číslom 3 a jedna s nižším číslom.

Preto: n(E)=

P(E) = 36/120.

Príklad 3 Každá z M rôznych častíc je náhodne hodená do jednej z N buniek. Nájdite pravdepodobnosti udalostí:

A– všetky častice spadli do druhej bunky;

IN– všetky častice spadli do jednej bunky;

S– každá bunka neobsahuje viac ako jednu časticu (M £ N);

D– všetky bunky sú obsadené (M =N +1);

E– druhá bunka obsahuje presne Komu častice.

Riešenie:

Pre každú časticu existuje N spôsobov, ako sa dostať do konkrétnej bunky. Podľa základného princípu kombinatoriky pre M častice máme N *N *N *…*N (M-krát). Takže celkový počet výsledkov v tomto SE n = N M .

Pre každú časticu máme jednu príležitosť dostať sa do druhej bunky, preto n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1 a P(A) = 1/ N M.

Dostať sa do jednej bunky (pre všetky častice) znamená dostať každého do prvej, alebo každého do druhej, alebo atď. všetci v N. Ale každá z týchto N možností môže byť implementovaná jedným spôsobom. Preto n (B)=1+1+…+1(N-krát)=N a Р(В)=N/N M.

Udalosť C znamená, že každá častica má o jeden menší počet možností umiestnenia ako predchádzajúca častica a prvá môže spadať do ktorejkoľvek z N buniek. Preto:

n (C) = N *(N-1)*...*(N +M-1) a Р(С) =

V špeciálnom prípade s M =N: Р(С)=

Udalosť D znamená, že jedna z buniek obsahuje dve častice a každá z (N-1) zostávajúcich buniek obsahuje jednu časticu. Na nájdenie n (D) uvažujeme takto: vyberte bunku, v ktorej budú dve častice, dá sa to urobiť =N spôsobmi; potom vyberieme dve častice pre túto bunku, existujú spôsoby, ako to urobiť. Potom rozdeľujeme zvyšné (N -1) častice jednu po druhej do zostávajúcich (N -1) buniek, na to existuje (N -1)! spôsoby.

Takže n(D) =

.

Číslo n(E) možno vypočítať takto: Komu častice pre druhú bunku je možné uskutočniť spôsobmi, zvyšné (M – K) častice sú rozdelené náhodne po (N -1) bunke (N -1) M-K spôsobmi. Preto:

Mnohí, keď čelia konceptu „teórie pravdepodobnosti“, dostanú strach, mysliac si, že je to niečo ohromujúce, veľmi zložité. Ale v skutočnosti nie je všetko také tragické. Dnes sa pozrieme na základný koncept a naučíme sa riešiť problémy na konkrétnych príkladoch.

Veda

Čo študuje taký odbor matematiky ako „teória pravdepodobnosti“? Zaznamenáva vzory a množstvá. Vedci sa o túto problematiku prvýkrát začali zaujímať už v osemnástom storočí, keď študovali hazardných hier. Základným pojmom teórie pravdepodobnosti je udalosť. Je to akákoľvek skutočnosť, ktorá je stanovená skúsenosťou alebo pozorovaním. Ale čo je skúsenosť? Ďalší základný koncept teórie pravdepodobnosti. Znamená to, že tento súbor okolností nebol vytvorený náhodou, ale za konkrétnym účelom. Čo sa týka pozorovania, tu sa samotný výskumník nezúčastňuje experimentu, ale je jednoducho svedkom týchto udalostí a nijako neovplyvňuje, čo sa deje.

Diania

Dozvedeli sme sa, že základným pojmom teórie pravdepodobnosti je udalosť, ale nebrali sme do úvahy klasifikáciu. Všetky sú rozdelené do nasledujúcich kategórií:

• Spoľahlivý.
• nemožné.
• Náhodný.

Bez ohľadu na to, o aký druh udalostí ide, či sú pozorované alebo vytvorené počas zážitku, všetky podliehajú tejto klasifikácii. Pozývame vás, aby ste sa zoznámili s každým typom samostatne.

Spoľahlivé podujatie

Toto je okolnosť, pre ktorú bol prijatý potrebný súbor opatrení. Aby sme lepšie pochopili podstatu, je lepšie uviesť niekoľko príkladov. Fyzika, chémia, ekonómia a vyššia matematika podliehajú tomuto zákonu. Teória pravdepodobnosti zahŕňa taký dôležitý pojem, akým je spoľahlivá udalosť. Tu je niekoľko príkladov:

• Pracujeme a dostávame kompenzáciu vo forme mzdy.
• Dobre sme zvládli skúšky, zvládli súťaž, za to dostávame odmenu v podobe prijatia na vzdelávacia inštitúcia.
• Peniaze sme investovali do banky a v prípade potreby ich vrátime.

Takéto udalosti sú spoľahlivé. Ak sme všetko dokončili potrebné podmienky, potom sa určite dočkáme očakávaného výsledku.

Nemožné udalosti

Teraz uvažujeme o prvkoch teórie pravdepodobnosti. Navrhujeme prejsť k vysvetleniu ďalšieho typu udalosti, konkrétne nemožné. Na začiatok si stanovme najviac dôležité pravidlo- pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

Od tejto formulácie sa pri riešení problémov nemožno odchýliť. Pre objasnenie uvádzame príklady takýchto udalostí:

• Voda zamrzla pri teplote plus desať (to je nemožné).
• Nedostatok elektriny nijako neovplyvňuje výrobu (rovnako nemožné ako v predchádzajúcom príklade).

Nemá cenu uvádzať viac príkladov, pretože vyššie opísané veľmi jasne odrážajú podstatu tejto kategórie. Počas experimentu za žiadnych okolností nikdy nenastane nemožná udalosť.

Náhodné udalosti

Štúdium prvkov teórie pravdepodobnosti, Osobitná pozornosť stojí za to venovať pozornosť tento druh diania. Toto študuje veda. V dôsledku zážitku sa niečo môže, ale aj nemusí stať. Okrem toho môže byť test vykonaný neobmedzený počet krát. Živé príklady môže slúžiť:

• Hod mincou je zážitok alebo skúška, pristávanie hláv je udalosť.
• Vytiahnuť loptičku naslepo z tašky je skúška, dostať červenú loptičku je udalosť atď.

Takýchto príkladov môže byť neobmedzený počet, ale vo všeobecnosti by mala byť podstata jasná. Na zhrnutie a systematizáciu vedomostí získaných o udalostiach je uvedená tabuľka. Teória pravdepodobnosti študuje len posledný typ zo všetkých prezentovaných.

zákonov

Teória pravdepodobnosti je veda, ktorá skúma možnosť výskytu udalosti. Rovnako ako ostatné, má určité pravidlá. Existujú nasledujúce zákony teórie pravdepodobnosti:

• Konvergencia postupností náhodných premenných.
• Zákon veľkých čísel.

Pri výpočte možnosti niečoho zložitého môžete použiť súbor jednoduchých udalostí na dosiahnutie výsledku jednoduchším a rýchlejším spôsobom. Všimnite si, že zákony teórie pravdepodobnosti sa dajú ľahko dokázať pomocou určitých teorémov. Odporúčame vám, aby ste sa najskôr oboznámili s prvým zákonom.

Konvergencia postupností náhodných premenných

Všimnite si, že existuje niekoľko typov konvergencie:

• Postupnosť náhodných premenných konverguje v pravdepodobnosti.
• Takmer nemožné.
• Priemerná štvorcová konvergencia.
• Konvergencia distribúcie.

Takže hneď na začiatku je veľmi ťažké pochopiť podstatu. Tu sú definície, ktoré vám pomôžu pochopiť túto tému. Začnime prvým pohľadom. Sekvencia sa nazýva konvergentné v pravdepodobnosti, ak je splnená nasledujúca podmienka: n smeruje k nekonečnu, číslo, ku ktorému postupnosť smeruje, je väčšie ako nula a blíži sa k jednej.

Prejdime k ďalšiemu pohľadu, takmer určite. Hovorí sa, že postupnosť konverguje takmer určite k náhodnej premennej, kde n smeruje k nekonečnu a P smeruje k hodnote blízkej jednotke.

Ďalší typ je priemerná štvorcová konvergencia. Pri použití SC konvergencie sa štúdium vektorových náhodných procesov redukuje na štúdium ich súradnicových náhodných procesov.

Ostáva posledný typ, pozrime sa naň v krátkosti, aby sme mohli prejsť priamo k riešeniu problémov. Konvergencia v distribúcii má iné meno - „slabá“ a neskôr vysvetlíme prečo. Slabá konvergencia je konvergencia distribučných funkcií vo všetkých bodoch kontinuity limitnej distribučnej funkcie.

Určite dodržíme svoj sľub: slabá konvergencia sa od všetkých vyššie uvedených líši v tom náhodná hodnota nie je definovaná v priestore pravdepodobnosti. Je to možné, pretože podmienka sa vytvára výlučne pomocou distribučných funkcií.

Zákon veľkých čísel

Teorémy teórie pravdepodobnosti, ako napríklad:

• Čebyševova nerovnosť.
• Čebyševova veta.
• Zovšeobecnená Čebyševova veta.
• Markovova veta.

Ak vezmeme do úvahy všetky tieto vety, potom táto otázka môže vydržať niekoľko desiatok listov. Našou hlavnou úlohou je aplikovať teóriu pravdepodobnosti v praxi. Odporúčame vám to urobiť hneď teraz. Predtým sa však pozrime na axiómy teórie pravdepodobnosti, ktoré budú hlavnými pomocníkmi pri riešení problémov.

Axiómy

S prvým sme sa už stretli, keď sme hovorili o nemožnej udalosti. Pamätajme: pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová. Uviedli sme veľmi názorný a nezabudnuteľný príklad: sneh padal pri teplote vzduchu tridsať stupňov Celzia.

Druhá je nasledovná: spoľahlivá udalosť nastane s pravdepodobnosťou rovnajúcou sa jednej. Teraz si ukážeme, ako to napísať pomocou matematického jazyka: P(B)=1.

Po tretie: Náhodná udalosť sa môže alebo nemusí stať, ale možnosť sa vždy pohybuje od nuly do jednej. Čím je hodnota bližšia k jednej, tým väčšia je šanca; ak sa hodnota blíži nule, pravdepodobnosť je veľmi nízka. Napíšme to v matematickom jazyku: 0<Р(С)<1.

Zoberme si poslednú, štvrtú axiómu, ktorá znie takto: pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí sa rovná súčtu ich pravdepodobností. Píšeme to v matematickom jazyku: P(A+B)=P(A)+P(B).

Axiómy teórie pravdepodobnosti sú najjednoduchšie pravidlá, ktoré nie je ťažké si zapamätať. Pokúsme sa vyriešiť niektoré problémy na základe už získaných vedomostí.

Lístok do lotérie

Najprv sa pozrime na najjednoduchší príklad – lotériu. Predstavte si, že ste si kúpili jeden žreb pre šťastie. Aká je pravdepodobnosť, že vyhráte aspoň dvadsať rubľov? Celkovo sa v obehu zúčastňuje tisíc lístkov, z ktorých jeden má cenu päťsto rubľov, desať z nich má po sto rubľov, päťdesiat má cenu dvadsať rubľov a sto má cenu päť. Problémy pravdepodobnosti sú založené na hľadaní možnosti šťastia. Teraz spoločne analyzujeme riešenie vyššie uvedenej úlohy.

Ak použijeme písmeno A na označenie výhry päťsto rubľov, pravdepodobnosť získania A sa bude rovnať 0,001. Ako sme sa k tomu dostali? Stačí vydeliť počet „šťastných“ tiketov ich celkovým počtom (v tomto prípade: 1/1000).

B je výhra sto rubľov, pravdepodobnosť bude 0,01. Teraz sme konali na rovnakom princípe ako v predchádzajúcej akcii (10/1000)

C - výhry sú dvadsať rubľov. Nájdeme pravdepodobnosť, rovná sa 0,05.

O zvyšné vstupenky nemáme záujem, pretože ich výherný fond je nižší ako je uvedený v podmienke. Aplikujme štvrtú axiómu: Pravdepodobnosť výhry aspoň dvadsiatich rubľov je P(A)+P(B)+P(C). Písmeno P označuje pravdepodobnosť výskytu danej udalosti, našli sme ich už v predchádzajúcich akciách. Zostáva len sčítať potrebné údaje a dostaneme odpoveď 0,061. Toto číslo bude odpoveďou na otázku úlohy.

Balíček kariet

Problémy v teórii pravdepodobnosti môžu byť zložitejšie, zoberme si napríklad nasledujúcu úlohu. Pred vami je balíček tridsiatich šiestich kariet. Vašou úlohou je ťahať dve karty za sebou bez zamiešania kôpky, prvá a druhá karta musia byť esá, na farbe nezáleží.

Najprv nájdime pravdepodobnosť, že prvou kartou bude eso, preto vydelíme štyri tridsiatimi šiestimi. Odložili to bokom. Vyťahujeme druhú kartu, bude to eso s pravdepodobnosťou tri tridsiate pätiny. Pravdepodobnosť druhej udalosti závisí od toho, ktorú kartu sme si vytiahli ako prvú, zaujíma nás, či to bolo eso alebo nie. Z toho vyplýva, že udalosť B závisí od udalosti A.

Ďalším krokom je zistenie pravdepodobnosti súčasného výskytu, to znamená, že vynásobíme A a B. Ich súčin nájdeme nasledovne: pravdepodobnosť jednej udalosti vynásobíme podmienenou pravdepodobnosťou druhej, ktorú vypočítame za predpokladu, že prvá došlo k udalosti, to znamená, že sme vytiahli eso s prvou kartou.

Aby bolo všetko jasné, dajme označenie takému prvku ako udalosti. Vypočítava sa za predpokladu, že udalosť A nastala. Vypočíta sa takto: P(B/A).

Pokračujme v riešení nášho problému: P(A * B) = P(A) * P(B/A) alebo P(A * B) = P(B) * P(A/B). Pravdepodobnosť sa rovná (4/36) * ((3/35)/(4/36). Počítame zaokrúhlením na najbližšiu stotinu. Máme: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Pravdepodobnosť, že vytiahneme dve esá za sebou, je deväť stotín Hodnota je veľmi malá, čo znamená, že pravdepodobnosť výskytu udalosti je extrémne malá.

Zabudnuté číslo

Navrhujeme analyzovať niekoľko ďalších variantov úloh, ktoré študuje teória pravdepodobnosti. Príklady riešenia niektorých z nich ste už videli v tomto článku Skúsme vyriešiť nasledujúci problém: chlapec zabudol poslednú číslicu telefónneho čísla svojho priateľa, ale keďže bol hovor veľmi dôležitý, začal postupne všetko vytáčať. . Musíme vypočítať pravdepodobnosť, že nezavolá viac ako trikrát. Riešenie problému je najjednoduchšie, ak sú známe pravidlá, zákony a axiómy teórie pravdepodobnosti.

Skôr ako sa pozriete na riešenie, skúste ho vyriešiť sami. Vieme, že posledná číslica môže byť od nuly do deviatich, teda celkovo desať hodnôt. Pravdepodobnosť získania toho pravého je 1/10.

Ďalej musíme zvážiť možnosti pôvodu udalosti, predpokladajme, že chlapec uhádol správne a okamžite napísal správnu, pravdepodobnosť takejto udalosti je 1/10. Druhá možnosť: prvý hovor zmešká a druhý je na cieli. Vypočítajme pravdepodobnosť takejto udalosti: vynásobte 9/10 1/9 a výsledkom je tiež 1/10. Tretia možnosť: prvý a druhý hovor sa ukázal ako na nesprávnej adrese, až pri treťom sa chlapec dostal tam, kam chcel. Vypočítame pravdepodobnosť takejto udalosti: 9/10 vynásobené 8/9 a 1/8, výsledkom čoho je 1/10. Iné možnosti nás podľa podmienok úlohy nezaujímajú, takže musíme len sčítať získané výsledky, nakoniec máme 3/10. Odpoveď: pravdepodobnosť, že chlapec nezavolá viac ako trikrát, je 0,3.

Kartičky s číslami

Pred vami je deväť kariet, na každej je napísané číslo od jedna do deväť, čísla sa neopakujú. Boli vložené do krabice a dôkladne premiešané. Musíte vypočítať pravdepodobnosť, že

• objaví sa párne číslo;
• dvojciferný.

Predtým, ako prejdeme k riešeniu, stanovme, že m je počet úspešných prípadov a n je celkový počet možností. Nájdite pravdepodobnosť, že číslo bude párne. Nebude ťažké vypočítať, že existujú štyri párne čísla, toto bude naše m, celkovo je deväť možných možností, teda m=9. Potom je pravdepodobnosť 0,44 alebo 4/9.

Uvažujme o druhom prípade: počet možností je deväť a nemôžu existovať žiadne úspešné výsledky, to znamená, že m sa rovná nule. Pravdepodobnosť, že vytiahnutá karta bude obsahovať dvojciferné číslo, je tiež nulová.

Pravdepodobnosť udalosti. V životnej praxi sa pre náhodné udalosti alebo javy používajú tieto výrazy: nemožné, nepravdepodobné, rovnako pravdepodobné, spoľahlivé a iné, ktoré ukazujú, nakoľko sme si istí výskytom tejto udalosti. Keď hovoríme, že náhodná udalosť je nepravdepodobná, myslíme tým, že keď sa rovnaké podmienky opakujú mnohokrát, táto udalosť sa vyskytuje oveľa menej často, ako sa nevyskytuje. Naopak, vysoko pravdepodobná udalosť sa vyskytuje častejšie. Ak sa za určitých podmienok vyskytujú dve rôzne náhodné udalosti rovnako často, potom sa považujú za rovnako pravdepodobné. Ak sme si istí, že za určitých podmienok daná udalosť určite nastane, potom hovoríme, že je to isté. Ak sme si naopak istí, že k udalosti za určitých podmienok nedôjde, potom hovoríme, že táto udalosť je nemožná.

Tým, že týmto spôsobom určíme možnosť výskytu náhodnej udalosti, nemôžeme zaviesť prísne štatistické zákony, pretože to často súvisí s naším subjektívnym hodnotením tejto udalosti, limitovaným nedostatočnými znalosťami.

Na zavedenie prísnych štatistických zákonitostí je potrebná aj striktná matematická definícia pravdepodobnosti ako miery objektívnej možnosti náhodnej udalosti.

Aby sme dali matematickú definíciu pravdepodobnosti, je potrebné zvážiť jednoduchý príklad výskytu hromadných udalostí. Za najjednoduchšie príklady takýchto udalostí sa zvyčajne považuje strata jednej alebo druhej strany mince pri hode, alebo nejakého čísla pri hode kockou. Tu sa za samostatnú udalosť považuje strata jednej alebo druhej tváre (čísla).

Z praxe je známe, že nie je možné vopred presne určiť, aké číslo (koľko bodov) sa objaví v jednom hode kockou (jedinej udalosti). Preto získanie určitého počtu bodov bude náhodná udalosť.

Ak však vezmeme do úvahy celú sériu podobných udalostí - opakované hádzanie kockou, potom sa každá strana objaví veľakrát a náhodné udalosti už budú masívne. Platia pre nich určité zákony.

Z praxe je známe, že pri hode kockou bude možné získať rovnaké číslo napríklad dvakrát za sebou, trikrát za sebou - už nepravdepodobné, štyrikrát za sebou - ešte menej pravdepodobné, a napr. desaťkrát za sebou - takmer nemožné.

Ďalej, ak urobíte iba šesť hodov kockou, niektoré čísla sa môžu objaviť dvakrát a niektoré - žiadne. Tu je ťažké si všimnúť akýkoľvek vzor vo vzhľade určitého čísla. Ak sa však počet hodov zvýši na 60, potom sa ukáže, že každé číslo sa objaví približne desaťkrát. Tu vzniká určitý vzorec. Avšak kvôli náhodnosti pri hádzaní kockou (jej počiatočná poloha, rýchlosť, dráha letu) bude počet rôznych čísel v rôznych sériách experimentov rôzny. Je to spôsobené nedostatočným počtom samotných experimentov.

Ak zvýšime počet hodov na šesť tisíc, potom sa ukáže, že asi jedna šestina všetkých hodov povedie k objaveniu sa každého čísla. A čím väčší je počet hodov, tým viac sa bude približovať počet kvapiek daného čísla

Pomer počtu výskytov daného čísla pri opakovanom hádzaní kockou k celkovému počtu hodov sa nazýva frekvencia opakovania tejto udalosti v sérii homogénnych pokusov. S nárastom celkového počtu testov bude mať frekvencia opakovania tendenciu k určitej konštantnej hranici určenej danou sériou experimentov.

Táto hranica sa nazýva pravdepodobnosť danej udalosti. Tendencia k obmedzeniu frekvencie opakovania sa však prejaví len pri neobmedzenom zvyšovaní počtu testov.

Vo všeobecnosti, ak sa nejaká udalosť vyskytne Hz krát z celkového počtu pokusov, potom je pravdepodobnosť matematicky definovaná ako hranica pomeru počtu priaznivých udalostí k celkovému počtu udalostí (niektorej homogénnej skupiny pokusov), za predpokladu, že počet pokusov v tejto skupine má tendenciu k nekonečnu. Inými slovami, pravdepodobnosť udalosti v našom prípade bude napísaná takto:

Vo fyzike sa náhodná premenná často mení v priebehu času. Potom sa dá vzorcom určiť napríklad pravdepodobnosť určitého stavu systému

kde je čas, počas ktorého systém zostáva v tomto stave, celkový čas pozorovania.

Z toho vyplýva, že na experimentálne určenie pravdepodobnosti nejakej udalosti je potrebné vykonať ak nie nekonečný, tak veľmi veľký počet testov, zistiť počet priaznivých udalostí a na základe ich pomeru zistiť pravdepodobnosť tejto udalosti.

V mnohých praktických prípadoch je to presne to, čo sa robí na určenie pravdepodobnosti. V tomto prípade pravdepodobnosť

sa určí tým presnejšie, čím väčší je počet vykonaných testov, alebo čím dlhšie je časové obdobie, počas ktorého sa udalosti zvažujú.

Pravdepodobnosť konkrétnej udalosti (najmä fyzickej) sa však v mnohých prípadoch dá zistiť aj bez vykonania testov. Toto je takzvaná predchádzajúca pravdepodobnosť. Dá sa to overiť, samozrejme, experimentálne.

Aby sme ho našli v prípade hodu kockou, budeme uvažovať takto. Keďže kocka je jednotná a hádže sa odlišne, každá zo šiestich strán dopadne rovnako pravdepodobne (žiadna strana nebude mať výhodu nad ostatnými). Preto, keďže existuje iba šesť tvárí, môžeme povedať, že pravdepodobnosť získania jednej z nich sa rovná . V tomto prípade na určenie pravdepodobnosti nemôžete vykonať testy vôbec, ale nájdite pravdepodobnosť na základe všeobecných úvah.

Distribučná funkcia. V uvedených príkladoch môže náhodná premenná nadobúdať len niekoľko (veľmi špecifický počet) rôznych hodnôt. Nazvali sme udalosti, keď náhodná premenná nadobudla jednu z týchto hodnôt, a týmto udalostiam sme priradili určitú pravdepodobnosť.

Ale spolu s takýmito veličinami (hádzanie kociek, mincí atď.) existujú náhodné veličiny, ktoré môžu nadobudnúť nespočetné množstvo rôznych nekonečne blízkych hodnôt (spojité spektrum). V tomto prípade je charakteristický nasledujúci znak: pravdepodobnosť jedinej udalosti, ktorá spočíva v tom, že náhodná premenná nadobudne nejakú presne definovanú hodnotu, sa rovná nule. Preto má zmysel hovoriť iba o pravdepodobnosti, že náhodná premenná nadobúda hodnoty nachádzajúce sa v určitom rozsahu hodnôt od do

Pravdepodobnosť nájdenia hodnoty v intervale je označená ako Pri prechode do nekonečne malého intervalu hodnôt pravdepodobnosť už bude a ikony označujú, že náhodná premenná môže nadobúdať hodnoty v intervaloch alebo t.j. od do alebo

• Pravdepodobnosť je miera (relatívna miera, kvantitatívne hodnotenie) možnosti výskytu nejakej udalosti. Keď dôvody pre nejakú možnú udalosť skutočne nastanú prevažujú nad opačnými dôvodmi, potom sa táto udalosť nazýva pravdepodobná, inak - nepravdepodobná alebo nepravdepodobná. Prevaha pozitívnych dôvodov nad negatívnymi a naopak môže byť v rôznej miere, v dôsledku čoho môže byť pravdepodobnosť (a nepravdepodobnosť) väčšia alebo menšia. Pravdepodobnosť sa preto často hodnotí na kvalitatívnej úrovni, najmä v prípadoch, keď je viac či menej presné kvantitatívne posúdenie nemožné alebo mimoriadne ťažké. Možné sú rôzne stupne „úrovní“ pravdepodobnosti.

  Štúdium pravdepodobnosti z matematického hľadiska predstavuje špeciálnu disciplínu - teóriu pravdepodobnosti. V teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike je pojem pravdepodobnosti formalizovaný ako číselná charakteristika udalosti - miera pravdepodobnosti (alebo jej hodnota) - miera na množine udalostí (podmnožiny množiny elementárnych udalostí), ktoré nadobúdajú hodnoty ​od

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Význam

  (\displaystyle 1)

  Zodpovedá spoľahlivej udalosti. Nemožná udalosť má pravdepodobnosť 0 (opak vo všeobecnosti nie vždy platí). Ak je pravdepodobnosť výskytu udalosti

  (\displaystyle p)

  Potom sa pravdepodobnost jej nevyskytu rovna

  (\displaystyle 1-p)

  Najmä pravdepodobnosť

  (\displaystyle 1/2)

  Znamená rovnakú pravdepodobnosť výskytu a neexistencie udalosti.

  Klasická definícia pravdepodobnosti je založená na koncepte rovnakej pravdepodobnosti výsledkov. Pravdepodobnosť je pomer počtu výsledkov priaznivých pre danú udalosť k celkovému počtu rovnako možných výsledkov. Napríklad pravdepodobnosť získania hláv alebo chvostov pri náhodnom hode mincou je 1/2, ak sa predpokladá, že nastanú iba tieto dve možnosti a že sú rovnako možné. Túto klasickú „definíciu“ pravdepodobnosti možno zovšeobecniť na prípad nekonečného počtu možných hodnôt – napríklad, ak sa nejaká udalosť môže vyskytnúť s rovnakou pravdepodobnosťou v ktoromkoľvek bode (počet bodov je nekonečný) určitej obmedzenej oblasti priestoru (roviny), potom sa pravdepodobnosť, že sa to stane v niektorej časti tejto realizovateľnej oblasti, rovná pomeru objemu (plochy) tejto časti k objemu (ploche) oblasti všetkých možných bodov.

  Empirická „definícia“ pravdepodobnosti súvisí s frekvenciou udalosti, vychádzajúc zo skutočnosti, že pri dostatočne veľkom počte pokusov by frekvencia mala smerovať k objektívnej miere možnosti tejto udalosti. V modernej prezentácii teórie pravdepodobnosti je pravdepodobnosť definovaná axiomaticky, ako špeciálny prípad abstraktnej teórie miery množín. Spojovacím článkom medzi abstraktnou mierou a pravdepodobnosťou, ktorá vyjadruje mieru možnosti výskytu udalosti, je však práve frekvencia jej pozorovania.

  Pravdepodobnostný popis určitých javov sa rozšíril v modernej vede, najmä v ekonometrii, štatistickej fyzike makroskopických (termodynamických) systémov, kde aj v prípade klasického deterministického popisu pohybu častíc, deterministického popisu celého systému častíc sa nezdá byť prakticky možné alebo vhodné. V kvantovej fyzike majú opísané procesy samy pravdepodobnostný charakter.

Pôvodne bola teória pravdepodobnosti len zbierkou informácií a empirických pozorovaní o hre v kocky a stala sa dôkladnou vedou. Prví, ktorí tomu dali matematický rámec, boli Fermat a Pascal.

Od uvažovania o večnom k ​​teórii pravdepodobnosti

Dvaja jednotlivci, ktorým teória pravdepodobnosti vďačí za mnohé zo svojich základných vzorcov, Blaise Pascal a Thomas Bayes, sú známi ako hlboko veriaci ľudia, pričom druhý je presbyteriánskym kazateľom. Túžba týchto dvoch vedcov dokázať mylnú predstavu o tom, že istá Fortune dáva šťastie svojim obľúbencom, dala zrejme podnet na výskum v tejto oblasti. Koniec koncov, v skutočnosti je každá hazardná hra so svojimi výhrami a prehrami len symfóniou matematických princípov.

Vďaka vášni rytiera de Mere, ktorý bol rovnako hazardným hráčom a mužom, ktorému veda nebola ľahostajná, bol Pascal nútený nájsť spôsob, ako vypočítať pravdepodobnosť. De Mere sa zaujímal o nasledujúcu otázku: „Koľkokrát je potrebné hodiť dve kocky v pároch, aby pravdepodobnosť získania 12 bodov presiahla 50 %?“ Druhá otázka, ktorá pána veľmi zaujala: „Ako rozdeliť stávku medzi účastníkov nedokončenej hry? Pascal samozrejme úspešne odpovedal na obe otázky de Mereho, ktorý sa stal nevedomým iniciátorom rozvoja teórie pravdepodobnosti. Je zaujímavé, že osoba de Mere zostala známa v tejto oblasti, a nie v literatúre.

Predtým sa žiadny matematik nikdy nepokúsil vypočítať pravdepodobnosti udalostí, pretože sa verilo, že ide len o hádanie. Blaise Pascal dal prvú definíciu pravdepodobnosti udalosti a ukázal, že ide o špecifický údaj, ktorý možno matematicky zdôvodniť. Teória pravdepodobnosti sa stala základom štatistiky a je široko používaná v modernej vede.

Čo je náhodnosť

Ak vezmeme do úvahy test, ktorý sa môže opakovať nekonečne veľakrát, potom môžeme definovať náhodnú udalosť. Toto je jeden z pravdepodobných výsledkov experimentu.

Skúsenosť je realizácia konkrétnych akcií za stálych podmienok.

Aby bolo možné s výsledkami experimentu pracovať, udalosti sa zvyčajne označujú písmenami A, B, C, D, E...

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti

Aby sme mohli začať s matematickou časťou pravdepodobnosti, je potrebné definovať všetky jej zložky.

Pravdepodobnosť udalosti je numerická miera možnosti, že nejaká udalosť (A alebo B) nastane v dôsledku zážitku. Pravdepodobnosť sa označuje ako P(A) alebo P(B).

V teórii pravdepodobnosti rozlišujú:

• spoľahlivý udalosť sa zaručene vyskytne ako výsledok skúsenosti P(Ω) = 1;
• nemožné udalosť sa nikdy nemôže stať P(Ø) = 0;
• náhodný udalosť leží medzi spoľahlivou a nemožnou, to znamená, že pravdepodobnosť jej výskytu je možná, ale nie je zaručená (pravdepodobnosť náhodnej udalosti je vždy v rozsahu 0≤Р(А)≤ 1).

Vzťahy medzi udalosťami

Jedna aj súčet udalostí A+B sa berú do úvahy, keď sa udalosť počíta, keď je splnená aspoň jedna zo zložiek A alebo B alebo obe zložky A a B.

Vo vzájomnom vzťahu môžu byť udalosti:

• Rovnako možné.
• Kompatibilné.
• Nekompatibilné.
• Opačný (vzájomne sa vylučujúci).
• Závislý.

Ak sa dve udalosti môžu stať s rovnakou pravdepodobnosťou, tak potom rovnako možné.

Ak výskyt udalosti A nezníži na nulu pravdepodobnosť výskytu udalosti B, potom oni kompatibilné.

Ak udalosti A a B nikdy nenastanú súčasne v tej istej skúsenosti, potom sa nazývajú nezlučiteľné. Dobrým príkladom je hod mincou: vzhľad hláv je automaticky tým, že sa hlavy neobjavia.

Pravdepodobnosť súčtu takýchto nezlučiteľných udalostí pozostáva zo súčtu pravdepodobností každej z týchto udalostí:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ak výskyt jednej udalosti znemožňuje výskyt inej udalosti, potom sa nazývajú opačné. Potom je jeden z nich označený ako A a druhý - Ā (čítaj ako „nie A“). Výskyt udalosti A znamená, že Ā nenastala. Tieto dve udalosti tvoria kompletnú skupinu so súčtom pravdepodobností rovným 1.

Závislé udalosti majú vzájomný vplyv, znižujú alebo zvyšujú pravdepodobnosť toho druhého.

Vzťahy medzi udalosťami. Príklady

Pomocou príkladov je oveľa jednoduchšie pochopiť princípy teórie pravdepodobnosti a kombinácií udalostí.

Experiment, ktorý sa uskutoční, pozostáva z vyberania loptičiek z krabice a výsledkom každého experimentu je elementárny výsledok.

Udalosť je jedným z možných výsledkov experimentu – červená guľa, modrá guľa, guľa s číslom šesť atď.

Test č.1. Ide o 6 guľôčok, z ktorých tri sú modré s nepárnymi číslami a ďalšie tri sú červené s párnymi číslami.

Test č.2. K dispozícii je 6 modrých guličiek s číslami od jedna do šesť.

Na základe tohto príkladu môžeme pomenovať kombinácie:

• Spoľahlivé podujatie. V španielčine Udalosť č. 2 „získaj modrú loptičku“ je spoľahlivá, pretože pravdepodobnosť jej výskytu je rovná 1, pretože všetky loptičky sú modré a nemôže chýbať. Zatiaľ čo udalosť „získaj loptu s číslom 1“ je náhodná.
• Nemožná udalosť. V španielčine 1 s modrými a červenými loptičkami je udalosť „získanie fialovej gule“ nemožná, pretože pravdepodobnosť jej výskytu je 0.
• Rovnako možné udalosti. V španielčine č. 1, udalosti „získaj loptu s číslom 2“ a „získaj loptu s číslom 3“ sú rovnako možné a udalosti „získaj loptu s párnym číslom“ a „získaj loptu s číslom 2“ “ majú rôzne pravdepodobnosti.
• Kompatibilné udalosti. Dostať šestku dvakrát za sebou pri hode kockou je kompatibilná udalosť.
• Nekompatibilné udalosti. V tej istej španielčine Č. 1, udalosti „získaj červenú loptičku“ a „získaj loptičku s nepárnym číslom“ nemožno kombinovať v rovnakom zážitku.
• Opačné udalosti. Najvýraznejším príkladom je hádzanie mincí, kde sa kresliť hlavy rovná nenakresleniu chvostov a súčet ich pravdepodobností je vždy 1 (celá skupina).
• Závislé udalosti. Takže po španielsky Č. 1, môžete si nastaviť cieľ ťahať červenú guľu dvakrát za sebou. To, či je alebo nie je načítané prvýkrát, ovplyvňuje pravdepodobnosť získania druhýkrát.

Je vidieť, že prvá udalosť výrazne ovplyvňuje pravdepodobnosť druhej (40 % a 60 %).

Vzorec pravdepodobnosti udalosti

Prechod od veštenia k presným údajom nastáva prekladom témy do matematickej roviny. To znamená, že úsudky o náhodnej udalosti, ako je „vysoká pravdepodobnosť“ alebo „minimálna pravdepodobnosť“, možno previesť do konkrétnych číselných údajov. Takýto materiál je už prípustné vyhodnocovať, porovnávať a zadávať do zložitejších výpočtov.

Z hľadiska výpočtu je určenie pravdepodobnosti udalosti pomerom počtu elementárnych pozitívnych výsledkov k počtu všetkých možných výsledkov skúseností týkajúcich sa konkrétnej udalosti. Pravdepodobnosť sa označuje ako P(A), kde P znamená slovo „pravdepodobnosť“, čo sa z francúzštiny prekladá ako „pravdepodobnosť“.

Takže vzorec pre pravdepodobnosť udalosti je:

Kde m je počet priaznivých výsledkov pre udalosť A, n je súčet všetkých možných výsledkov pre túto skúsenosť. V tomto prípade je pravdepodobnosť udalosti vždy medzi 0 a 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Výpočet pravdepodobnosti udalosti. Príklad

Vezmime si španielčinu. č. 1 s loptičkami, ktorý bol popísaný vyššie: 3 modré gule s číslami 1/3/5 a 3 červené gule s číslami 2/4/6.

Na základe tohto testu možno zvážiť niekoľko rôznych problémov:

• A - vypadávajúca červená guľa. Existujú 3 červené guľôčky a celkovo 6 možností Toto je najjednoduchší príklad, v ktorom je pravdepodobnosť udalosti P(A)=3/6=0,5.
• B - hádzanie párneho čísla. Existujú 3 párne čísla (2,4,6) a celkový počet možných číselných možností je 6. Pravdepodobnosť tejto udalosti je P(B)=3/6=0,5.
• C - výskyt čísla väčšieho ako 2. Existujú 4 takéto možnosti (3,4,5,6) z celkového počtu možných výsledkov 6. Pravdepodobnosť udalosti C sa rovná P(C)=4 /6 = 0,67.

Ako je možné vidieť z výpočtov, udalosť C má vyššiu pravdepodobnosť, pretože počet pravdepodobných pozitívnych výsledkov je vyšší ako v prípade A a B.

Nekompatibilné udalosti

Takéto udalosti sa nemôžu objaviť súčasne v tej istej skúsenosti. Ako v španielčine č. 1 nie je možné získať modrú a červenú loptičku súčasne. To znamená, že môžete získať modrú alebo červenú guľu. Rovnako tak sa na kocke nemôže objaviť súčasne párne a nepárne číslo.

Pravdepodobnosť dvoch udalostí sa považuje za pravdepodobnosť ich súčtu alebo súčinu. Súčet takýchto udalostí A+B sa považuje za udalosť, ktorá pozostáva z výskytu udalosti A alebo B a ich súčin AB je výskyt oboch. Napríklad vzhľad dvoch šestiek naraz na tvárach dvoch kociek v jednom hode.

Súčet viacerých udalostí je udalosť, ktorá predpokladá výskyt aspoň jednej z nich. Výroba niekoľkých podujatí je spoločným výskytom všetkých.

V teórii pravdepodobnosti spravidla použitie spojky „a“ ​​označuje súčet a spojka „alebo“ - násobenie. Vzorce s príkladmi vám pomôžu pochopiť logiku sčítania a násobenia v teórii pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľných udalostí

Ak sa berie do úvahy pravdepodobnosť nekompatibilných udalostí, potom sa pravdepodobnosť súčtu udalostí rovná súčtu ich pravdepodobností:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Napríklad: vypočítajme pravdepodobnosť, že v španielčine. 1 s modrými a červenými guľôčkami sa objaví číslo medzi 1 a 4. Počítame nie v jednej akcii, ale súčtom pravdepodobností elementárnych zložiek. Takže v takomto experimente je len 6 loptičiek alebo 6 zo všetkých možných výsledkov. Čísla, ktoré spĺňajú podmienku, sú 2 a 3. Pravdepodobnosť získania čísla 2 je 1/6, pravdepodobnosť získania čísla 3 je tiež 1/6. Pravdepodobnosť získania čísla medzi 1 a 4 je:

Pravdepodobnosť súčtu nekompatibilných udalostí celej skupiny je 1.

Ak teda pri pokuse s kockou spočítame pravdepodobnosti všetkých vyskytnutých čísel, výsledok bude jedna.

To platí aj pre opačné udalosti, napríklad pri pokuse s mincou, kde jedna strana je udalosť A a druhá opačná udalosť Ā, ako je známe,

P(A) + P(Ā) = 1

Pravdepodobnosť výskytu nezlučiteľných udalostí

Násobenie pravdepodobnosti sa používa pri zvažovaní výskytu dvoch alebo viacerých nezlučiteľných udalostí v jednom pozorovaní. Pravdepodobnosť, že sa v ňom udalosti A a B objavia súčasne, sa rovná súčinu ich pravdepodobností, alebo:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Napríklad pravdepodobnosť, že v španielčine č. 1, v dôsledku dvoch pokusov sa dvakrát objaví modrá guľa, ktorá sa rovná

To znamená, že pravdepodobnosť udalosti, ktorá nastane, keď sa v dôsledku dvoch pokusov o extrakciu loptičiek vytiahnu iba modré loptičky, je 25 %. Je veľmi jednoduché urobiť praktické experimenty s týmto problémom a zistiť, či je to skutočne tak.

Spoločné akcie

Udalosti sa považujú za spoločné, ak sa výskyt jednej z nich môže zhodovať s výskytom inej. Napriek tomu, že sú spoločné, zvažuje sa pravdepodobnosť nezávislých udalostí. Napríklad hod dvoma kockami môže dať výsledok, keď sa na oboch objaví číslo 6. Hoci sa udalosti zhodovali a objavili sa v rovnakom čase, sú na sebe nezávislé – vypadnúť mohla len jedna šestka, druhá kocka nemá žiadnu. vplyv na to.

Pravdepodobnosť spoločných udalostí sa považuje za pravdepodobnosť ich súčtu.

Pravdepodobnosť súčtu spoločných udalostí. Príklad

Pravdepodobnosť súčtu udalostí A a B, ktoré sú vo vzájomnom vzťahu spoločné, sa rovná súčtu pravdepodobností udalosti mínus pravdepodobnosť ich výskytu (teda ich spoločného výskytu):

R kĺb (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Predpokladajme, že pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,4. Potom udalosť A je zasiahnutie cieľa v prvom pokuse, B - v druhom. Tieto udalosti sú spoločné, pretože je možné, že zasiahnete cieľ prvým aj druhým výstrelom. Ale udalosti nie sú závislé. Aká je pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa dvoma ranami (aspoň jednou)? Podľa vzorca:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odpoveď na otázku znie: „Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa dvoma ranami je 64 %.

Tento vzorec pravdepodobnosti udalosti možno aplikovať aj na nezlučiteľné udalosti, kde pravdepodobnosť spoločného výskytu udalosti P(AB) = 0. To znamená, že pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľných udalostí možno považovať za špeciálny prípad. navrhovaného vzorca.

Geometria pravdepodobnosti pre prehľadnosť

Zaujímavé je, že pravdepodobnosť súčtu spoločných udalostí možno znázorniť ako dve oblasti A a B, ktoré sa navzájom prelínajú. Ako je zrejmé z obrázku, plocha ich spojenia sa rovná celkovej ploche mínus plocha ich priesečníka. Toto geometrické vysvetlenie robí zdanlivo nelogický vzorec zrozumiteľnejším. Všimnite si, že geometrické riešenia nie sú v teórii pravdepodobnosti nezvyčajné.

Určiť pravdepodobnosť súčtu mnohých (viac ako dvoch) spoločných udalostí je dosť ťažkopádne. Na jej výpočet je potrebné použiť vzorce, ktoré sú pre tieto prípady poskytnuté.

Závislé udalosti

Udalosti sa nazývajú závislé, ak výskyt jednej (A) z nich ovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu inej (B). Okrem toho sa berie do úvahy vplyv tak výskytu udalosti A, ako aj jej neprítomnosti. Hoci udalosti sa podľa definície nazývajú závislé, iba jedna z nich je závislá (B). Obyčajná pravdepodobnosť bola označená ako P(B) alebo pravdepodobnosť nezávislých udalostí. V prípade závislých udalostí sa zavádza nový pojem - podmienená pravdepodobnosť P A (B), čo je pravdepodobnosť závislej udalosti B, za predpokladu výskytu udalosti A (hypotéza), od ktorej závisí.

Udalosť A je však tiež náhodná, takže má tiež pravdepodobnosť, ktorú je potrebné a môže sa vziať do úvahy pri vykonávaných výpočtoch. Nasledujúci príklad ukáže, ako pracovať so závislými udalosťami a hypotézou.

Príklad výpočtu pravdepodobnosti závislých udalostí

Dobrým príkladom na výpočet závislých udalostí by bol štandardný balíček kariet.

Pomocou balíčka 36 kariet ako príkladu sa pozrime na závislé udalosti. Musíme určiť pravdepodobnosť, že druhá vytiahnutá karta z balíčka bude diamantová, ak prvá vytiahnutá karta je:

1. Bubnovaja.
2. Iná farba.

Je zrejmé, že pravdepodobnosť druhej udalosti B závisí od prvej udalosti A. Ak teda platí prvá možnosť, že v balíčku je o 1 kartu (35) a 1 diamant (8) menej, pravdepodobnosť udalosti B:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Ak platí druhá možnosť, potom má balíček 35 kariet a stále zostáva zachovaný plný počet diamantov (9), potom pravdepodobnosť nasledujúcej udalosti B:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Je vidieť, že ak je udalosť A podmienená tým, že prvou kartou je diamant, tak pravdepodobnosť udalosti B klesá a naopak.

Násobenie závislých udalostí

Riadiac sa predchádzajúcou kapitolou, prijímame prvú udalosť (A) ako fakt, ale v podstate je náhodného charakteru. Pravdepodobnosť tejto udalosti, konkrétne vytiahnutia diamantu z balíčka kariet, sa rovná:

P(A) = 9/36 = 1/4

Keďže teória neexistuje sama o sebe, ale má slúžiť praktickým účelom, je spravodlivé poznamenať, že najčastejšie je potrebná pravdepodobnosť vzniku závislých udalostí.

Podľa vety o súčine pravdepodobností závislých udalostí sa pravdepodobnosť výskytu spoločne závislých udalostí A a B rovná pravdepodobnosti jednej udalosti A, vynásobenej podmienenou pravdepodobnosťou udalosti B (závislej od A):

P(AB) = P(A) *PA(B)

Potom v príklade balíčka je pravdepodobnosť ťahania dvoch kariet s diamantovou farbou:

9/36 * 8/35 = 0,0571 alebo 5,7 %

A pravdepodobnosť, že sa najskôr vyťažia nie diamanty a potom diamanty, sa rovná:

27/36 * 9/35 = 0,19 alebo 19 %

Je zrejmé, že pravdepodobnosť výskytu udalosti B je väčšia za predpokladu, že prvá vytiahnutá karta je inej farby ako diamanty. Tento výsledok je celkom logický a pochopiteľný.

Celková pravdepodobnosť udalosti

Keď sa problém s podmienenými pravdepodobnosťami stane mnohostranným, nemožno ho vypočítať pomocou konvenčných metód. Ak existujú viac ako dve hypotézy, menovite A1, A2,…, A n, ..tvoria kompletnú skupinu udalostí za predpokladu, že:

• P(Ai)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Takže vzorec pre celkovú pravdepodobnosť pre udalosť B s úplnou skupinou náhodných udalostí A1, A2,..., A n sa rovná:

Pohľad do budúcnosti

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je mimoriadne potrebná v mnohých oblastiach vedy: ekonometria, štatistika, fyzika atď. Keďže niektoré procesy nemožno opísať deterministicky, keďže samy majú pravdepodobnostný charakter, sú potrebné špeciálne pracovné metódy. Teória pravdepodobnosti udalosti môže byť použitá v akejkoľvek technologickej oblasti ako spôsob určenia možnosti chyby alebo poruchy.

Dá sa povedať, že rozpoznaním pravdepodobnosti nejakým spôsobom urobíme teoretický krok do budúcnosti, keď sa na ňu pozrieme cez prizmu vzorcov.