Klasický vzorec na výpočet pravdepodobnosti. Jednoduché problémy v teórii pravdepodobnosti. Základný vzorec Aký vzorec sa používa na výpočet pravdepodobnosti vypadávania čísel?

Poďme sa teda porozprávať o téme, ktorá zaujíma veľa ľudí. V tomto článku odpoviem na otázku, ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti. Uvediem vzorce na takýto výpočet a niekoľko príkladov, aby bolo jasnejšie, ako sa to robí.

Čo je pravdepodobnosť

Začnime tým, že pravdepodobnosť, že dôjde k tej či onej udalosti, je istá miera dôvery v prípadný výskyt nejakého výsledku. Pre tento výpočet bol vyvinutý vzorec celkovej pravdepodobnosti, ktorý vám umožňuje určiť, či udalosť, ktorá vás zaujíma, nastane alebo nie, prostredníctvom takzvaných podmienených pravdepodobností. Tento vzorec vyzerá takto: P = n/m, písmená sa môžu meniť, ale to neovplyvňuje samotnú podstatu.

Príklady pravdepodobnosti

Pomocou jednoduchého príkladu analyzujme tento vzorec a aplikujme ho. Povedzme, že máte určitú udalosť (P), nech je to hod kockou, teda rovnostranná kocka. A musíme vypočítať, aká je pravdepodobnosť získania 2 bodov. Aby ste to dosiahli, potrebujete počet kladných udalostí (n), v našom prípade - stratu 2 bodov za celkový počet udalostí (m). K hodu 2 bodmi môže dôjsť iba v jednom prípade, ak sú na kocke 2 body, pretože inak bude súčet väčší, z toho vyplýva, že n = 1. Ďalej spočítame počet hodov ľubovoľných iných čísel na kocke. kocky, na 1 kocku - to sú 1, 2, 3, 4, 5 a 6, preto existuje 6 priaznivých prípadov, teda m = 6. Teraz pomocou vzorca urobíme jednoduchý výpočet P = 1/ 6 a zistíme, že hod 2 bodmi na kocke je 1/6, čiže pravdepodobnosť udalosti je veľmi nízka.

Pozrime sa tiež na príklad s použitím farebných guličiek, ktoré sú v krabici: 50 bielych, 40 čiernych a 30 zelených. Musíte určiť, aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej gule. A tak, keďže existuje 30 loptičiek tejto farby, to znamená, že môže byť iba 30 pozitívnych udalostí (n = 30), počet všetkých udalostí je 120, m = 120 (na základe celkového počtu všetkých loptičiek), pomocou vzorca vypočítame, že pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej gule sa bude rovnať P = 30/120 = 0,25, teda 25 % zo 100. Rovnakým spôsobom môžete vypočítať pravdepodobnosť vytiahnutia gule iná farba (čierna to bude 33 %, biela 42 %).

Chcete poznať matematické šance na úspech vašej stávky? Potom sú tu pre vás dve dobré správy. Po prvé: na výpočet schopnosti prechádzať cez krajinu nemusíte vykonávať zložité výpočty a tráviť veľa času. Stačí použiť jednoduché vzorce, s ktorými práca zaberie pár minút. Po druhé: po prečítaní tohto článku si môžete ľahko vypočítať pravdepodobnosť, že niektorá z vašich transakcií prejde.

Aby ste správne určili schopnosť prejsť cez krajinu, musíte urobiť tri kroky:

Vypočítajte percento pravdepodobnosti výsledku udalosti podľa kancelárie stávkovej kancelárie;
Vypočítajte pravdepodobnosť pomocou štatistických údajov sami;
Zistite hodnotu stávky s prihliadnutím na obe pravdepodobnosti.

Pozrime sa podrobne na každý z krokov pomocou nielen vzorcov, ale aj príkladov.

Prvým krokom je zistiť, s akou pravdepodobnosťou sám bookmaker odhaduje šance na konkrétny výsledok. Je jasné, že stávkové kancelárie nestanovujú kurzy len tak. Na tento účel použijeme nasledujúci vzorec:

PB=(1/K)*100 %,

kde P B je pravdepodobnosť výsledku podľa kancelárie stávkovej kancelárie;

K – kurz stávkovej kancelárie na výsledok.

Povedzme, že kurz na víťazstvo londýnskeho Arsenalu v zápase proti Bayernu Mníchov je 4. To znamená, že pravdepodobnosť jeho víťazstva je stávkovou kanceláriou hodnotená ako (1/4)*100%=25%. Alebo hrá Djokovič proti Južnému. Násobiteľ víťazstva Novaka je 1,2, jeho šance sú (1/1,2)*100%=83%.

Takto vyhodnocuje samotná stávková kancelária šance na úspech každého hráča a tímu. Po dokončení prvého kroku prejdeme k druhému.

Výpočet pravdepodobnosti udalosti hráčom

Druhým bodom nášho plánu je vlastné posúdenie pravdepodobnosti udalosti. Keďže nemôžeme matematicky brať do úvahy také parametre ako motivácia a herný tón, použijeme zjednodušený model a použijeme len štatistiky z predchádzajúcich stretnutí. Na výpočet štatistickej pravdepodobnosti výsledku používame vzorec:

PA=(UM/M)*100 %,

KdePA– pravdepodobnosť udalosti podľa hráča;

UM – počet úspešných zápasov, v ktorých k takejto udalosti došlo;

M – celkový počet zápasov.

Aby to bolo jasnejšie, uvedieme príklady. Andy Murray a Rafael Nadal medzi sebou odohrali 14 zápasov. V 6 z nich to bolo menej ako 21 hier, v 8 bolo celkovo viac. Potrebujete zistiť pravdepodobnosť, že ďalší zápas sa odohrá s vyšším súčtom: (8/14)*100=57%. Valencia odohrala proti Atléticu na Mestalle 74 zápasov, v ktorých získala 29 víťazstiev. Pravdepodobnosť víťazstva vo Valencii: (29/74)*100%=39%.

A to všetko sa dozvedáme len vďaka štatistikám predchádzajúcich hier! Prirodzene, pre nový tím alebo hráča nebude možné takúto pravdepodobnosť vypočítať, preto je táto stávková stratégia vhodná len pre zápasy, v ktorých sa súperi stretnú viackrát. Teraz vieme, ako určiť stávkovú kanceláriu a naše vlastné pravdepodobnosti výsledkov, a máme všetky znalosti, aby sme mohli prejsť k poslednému kroku.

Určenie hodnoty stávky

Hodnota (hodnota) stávky a priechodnosť majú priamu súvislosť: čím vyššia hodnota, tým väčšia šanca na prehratie. Hodnota sa vypočíta takto:

V=PA*K-100 %,

kde V je hodnota;

P I – pravdepodobnosť výsledku podľa tipujúceho;

K – kurz stávkovej kancelárie na výsledok.

Povedzme, že chceme staviť na víťazstvo Milána v zápase proti Rímu a vypočítame, že pravdepodobnosť výhry „červeno-čiernych“ je 45%. Stávková kancelária nám na tento výsledok ponúka kurz 2,5. Bola by takáto stávka hodnotná? Vykonávame výpočty: V=45%*2,5-100%=12,5%. Skvelé, máme cennú stávku s dobrými šancami na prihrávku.

Zoberme si ďalší prípad. Maria Šarapovová hrá proti Petre Kvitovej. Chceme uzavrieť dohodu, aby Mária vyhrala, ktorej pravdepodobnosť je podľa našich výpočtov 60 %. Stávkové kancelárie ponúkajú pre tento výsledok násobiteľ 1,5. Určíme hodnotu: V=60%*1,5-100=-10%. Ako vidíte, táto stávka nemá žiadnu hodnotu a treba sa jej vyhnúť.

Pravdepodobnosť prijatia stávky: záver

Pri výpočte priechodnosti stávky sme vychádzali z jednoduchého modelu, ktorý je založený len na štatistikách. Pri výpočte pravdepodobnosti je vhodné brať do úvahy veľa rôznych faktorov, ktoré sú v každom športe individuálne. Stáva sa, že väčší vplyv majú neštatistické faktory. Bez toho by bolo všetko jednoduché a predvídateľné. Keď si vyberiete svoje miesto, nakoniec sa naučíte brať všetky tieto nuansy do úvahy a presnejšie posúdiť svoju vlastnú pravdepodobnosť udalostí vrátane mnohých ďalších vplyvov. Hlavná vec je milovať to, čo robíte, postupne sa posúvať vpred a zlepšovať svoje zručnosti krok za krokom. Veľa šťastia a úspechov vo vzrušujúcom svete stávkovania!

Výber správnej stávky závisí nielen od intuície, športových znalostí, kurzov bookmakera, ale aj od koeficientu pravdepodobnosti udalosti. Schopnosť vypočítať takýto ukazovateľ pri stávkovaní je kľúčom k úspechu pri predpovedaní nadchádzajúcej udalosti, na ktorú sa má staviť.
V stávkových kanceláriách existujú tri typy kurzov (podrobnejšie v článku), ktorých typ určuje spôsob výpočtu pravdepodobnosti udalosti pre hráča.

Desatinný kurz

V tomto prípade sa pravdepodobnosť udalosti vypočíta pomocou vzorca: 1/koeficient. = v.i, kde koeficient. je koeficient udalosti a v.i je pravdepodobnosť výsledku. Napríklad, vezmeme si udalosť s kurzom 1,80 so stávkou jeden dolár, keď vykonáme matematickú operáciu podľa vzorca, hráč dostane, že pravdepodobnosť výsledku udalosti podľa bookmakera je 0,55 percenta.

Zlomkové šance

Pri použití zlomkových kurzov bude vzorec na výpočet pravdepodobnosti odlišný. Takže pri koeficiente 7/2, kde prvé číslo znamená možnú výšku čistého zisku a druhé veľkosť potrebnej stávky na získanie tohto zisku, bude rovnica vyzerať takto: zn.od/ pre súčet zo zn.od a chs.od = v.i . Tu je zn.coef menovateľom koeficientu, chs.coef je čitateľom koeficientu, v.i je pravdepodobnosť výsledku. Pre zlomkový kurz 7/2 teda rovnica vyzerá ako 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, teda pravdepodobnosť výsledku udalosti je podľa bookmakera 0,22 percenta.

americké kurzy

Americké kurzy nie sú medzi hráčmi veľmi obľúbené a spravidla sa používajú výlučne v USA, pričom majú zložitú a neprehľadnú štruktúru. Aby ste odpovedali na otázku: "Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti týmto spôsobom?", musíte vedieť, že takéto koeficienty môžu byť negatívne a pozitívne.

Koeficient so znamienkom „-“, napríklad -150, ukazuje, že hráč musí vsadiť 150 USD, aby získal čistý zisk 100 USD. Pravdepodobnosť udalosti sa vypočíta na základe vzorca, v ktorom musíte vydeliť záporný koeficient súčtom záporného koeficientu a 100. Vyzerá to na príklad stávky -150, takže (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, kde 0,6 sa vynásobí 100 a pravdepodobnosť výsledku udalosti je 60 percent. Rovnaký vzorec je vhodný aj pre kladné americké kurzy.

TÉMA 1 . Klasický vzorec na výpočet pravdepodobnosti.

Základné definície a vzorce:

Experiment, ktorého výsledok nemožno predpovedať, sa nazýva náhodný experiment(SE).

Udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať v danom SE sa nazýva náhodná udalosť.

Elementárne výsledky udalosti, ktoré spĺňajú požiadavky, sa nazývajú:

1.pri každej implementácii SE dochádza k jedinému základnému výsledku;

2. každá udalosť je určitá kombinácia, určitý súbor elementárnych výsledkov.

Súbor všetkých možných elementárnych výsledkov úplne opisuje SE. Takáto zostava je zvyčajne tzv priestor elementárnych výsledkov(PEI). Výber PEI na popis daného SE je nejednoznačný a závisí od riešeného problému.

P(A) = n(A)/n,

kde n je celkový počet rovnako možných výsledkov,

n (A) – počet výsledkov, ktoré tvoria udalosť A, ako sa tiež hovorí, priaznivé pre udalosť A.

Slová „náhodne“, „náhodne“, „náhodne“ zaručujú rovnakú možnosť základných výsledkov.

Riešenie typických príkladov

Príklad 1 Z urny obsahujúcej 5 červených, 3 čierne a 2 biele loptičky sa náhodne vyžrebujú 3 loptičky. Nájdite pravdepodobnosti udalostí:

A– „všetky vytiahnuté gule sú červené“;

IN– „všetky vytiahnuté loptičky sú rovnakej farby“;

S– „medzi vyťaženými sú presne 2 čierne.“

Riešenie:

Základným výsledkom tohto SE je trojitý (neusporiadaný!) guľôčok. Celkový počet výsledkov je teda počet kombinácií: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Udalosť A pozostáva len z tých trojíc, ktoré boli vyžrebované z piatich červených guličiek, t.j. n(A)==10.

Udalosť IN Okrem 10 červených trojok sú priaznivé aj čierne trojky, ktorých počet je = 1. Preto: n (B)=10+1=11.

Udalosť S Uprednostňujú sa tie tri loptičky, ktoré obsahujú 2 čierne a jednu nečiernu. Každý spôsob výberu dvoch čiernych guľôčok je možné kombinovať s výberom jednej nečiernej gule (zo siedmich). Preto: n (C) = = 3 * 7 = 21.

Takže: P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.

Príklad 2 V podmienkach predchádzajúcej úlohy budeme predpokladať, že gule každej farby majú svoje vlastné číslovanie, začínajúce od 1. Nájdite pravdepodobnosti udalostí:

D– „maximálny extrahovaný počet je 4“;

E– „Maximálny extrahovaný počet je 3.“

Riešenie:

Pre výpočet n(D) môžeme predpokladať, že urna má jednu guľu s číslom 4, jednu guľu s vyšším číslom a 8 guľôčok (3k+3h+2b) s nižšími číslami. Udalosť D Uprednostňujú sa tie trojky loptičiek, ktoré nevyhnutne obsahujú loptičku s číslom 4 a 2 loptičky s nižšími číslami. Preto: n(D) =

P(D) = 28/120.

Na výpočet n (E) uvažujeme: v urne sú dve loptičky s číslom 3, dve s vyššími číslami a šesť loptičiek s nižšími číslami (2k+2h+2b). Udalosť E pozostáva z trojíc dvoch typov:

1. jedna loptička s číslom 3 a dve s nižšími číslami;

2.dve loptičky s číslom 3 a jedna s nižším číslom.

Preto: n(E)=

P(E) = 36/120.

Príklad 3 Každá z M rôznych častíc je náhodne hodená do jednej z N buniek. Nájdite pravdepodobnosti udalostí:

A– všetky častice spadli do druhej bunky;

IN– všetky častice spadli do jednej bunky;

S– každá bunka neobsahuje viac ako jednu časticu (M £ N);

D– všetky bunky sú obsadené (M =N +1);

E– druhá bunka obsahuje presne Komu častice.

Riešenie:

Pre každú časticu existuje N spôsobov, ako sa dostať do konkrétnej bunky. Podľa základného princípu kombinatoriky pre M častice máme N *N *N *…*N (M-krát). Takže celkový počet výsledkov v tomto SE n = N M .

Pre každú časticu máme jednu príležitosť dostať sa do druhej bunky, preto n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1 a P(A) = 1/ N M.

Dostať sa do jednej bunky (pre všetky častice) znamená dostať každého do prvej, alebo každého do druhej, alebo atď. všetci v N. Ale každá z týchto N možností môže byť implementovaná jedným spôsobom. Preto n (B)=1+1+…+1(N-krát)=N a Р(В)=N/N M.

Udalosť C znamená, že každá častica má o jeden menší počet možností umiestnenia ako predchádzajúca častica a prvá môže spadnúť do ktorejkoľvek z N buniek. Preto:

n (C) = N *(N-1)*...*(N +M-1) a Р(С) =

V špeciálnom prípade s M =N: Р(С)=

Udalosť D znamená, že jedna z buniek obsahuje dve častice a každá z (N-1) zostávajúcich buniek obsahuje jednu časticu. Na nájdenie n (D) uvažujeme takto: vyberte bunku, v ktorej budú dve častice, dá sa to urobiť =N spôsobmi; potom vyberieme dve častice pre túto bunku, existujú spôsoby, ako to urobiť. Potom rozdeľujeme zvyšné (N -1) častice jednu po druhej do zostávajúcich (N -1) buniek, na to existuje (N -1)! spôsoby.

Takže n(D) =

Číslo n(E) možno vypočítať takto: Komu častice pre druhú bunku je možné uskutočniť spôsobmi, zvyšné (M – K) častice sú rozdelené náhodne po (N -1) bunke (N -1) M-K spôsobmi. Preto:

Spojenie (logický súčet) N udalostí sa nazýva udalosť , ktorý sa pozoruje vždy, keď k nemu dôjde aspoň jeden z diania . Najmä spojenie udalostí A a B sa nazýva udalosť A+ B(niektorí autori
), ktorý sa dodržiava, keď prichádzaalebo A,alebo Balebo obe tieto udalosti súčasne(obr. 7). Znakom prieniku v textových formuláciách udalostí je spojka "alebo".

Ryža. 7. Kombinovanie udalostí A+B

Je potrebné vziať do úvahy, že pravdepodobnosť udalosti P(A) zodpovedá ľavej strane vytieňovanej na obr. 7 obrázku a jeho stredná časť, označená ako
. A výsledky zodpovedajúce udalosti B sú umiestnené na pravej strane tieňovaného obrázku a na označení
centrálna časť. Teda pri pridávaní A oblasť
bude v skutočnosti započítaný do tohto súčtu dvakrát a presný výraz pre oblasť tieňovaného obrázku má tvar
.

takže, pravdepodobnosť zjednotenia dve udalosti A a B sú rovnaké

Pri väčšom počte podujatí sa všeobecné výpočtové vyjadrenie stáva mimoriadne ťažkopádnym z dôvodu potreby zohľadniť početné možnosti vzájomného prekrývania plôch. Ak sú však kombinované udalosti nezlučiteľné (pozri s. 33), potom je vzájomné prekrývanie oblastí nemožné a priaznivá zóna je určená priamo súčtom oblastí zodpovedajúcich jednotlivým udalostiam.

Pravdepodobnosť združeniaľubovoľné číslo nezlučiteľné diania je určený výrazom

Dôsledok 1: Kompletná skupina udalostí pozostáva z nekompatibilných udalostí, z ktorých jedna sa nevyhnutne realizuje v skúsenosti. Ako výsledok, ak udalosti …
,vytvoriť kompletnú skupinu, potom pre nich

teda

Snásledok 3 Berme do úvahy, že opak tvrdenia „nastane aspoň jedna z udalostí …
“ je tvrdenie „žiadna z udalostí …
sa nerealizuje“. To znamená, že „udalosti budú pozorované v skúsenostiach , A , a..., a “, ktorý už predstavuje priesečník udalostí oproti pôvodnej množine. Odtiaľ, berúc do úvahy (2.0), skombinovať ľubovoľný počet udalostí, ktoré získame

Dôsledky 2 a 3 ukazujú, že v prípadoch, keď je priamy výpočet pravdepodobnosti udalosti problematický, je užitočné odhadnúť zložitosť štúdia opačnej udalosti. Predsa poznať význam
, získajte požadovanú hodnotu z (2 .0)
už nepredstavuje žiadne ťažkosti.

Príklady výpočtov pravdepodobnosti zložitých udalostí

Príklad 1 : Dvaja študenti (Ivanov a Petrov) spolu Isa zapojili do obhajoby laboratórnych prác, keď sa naučili prvých 8 otázoktrollingové otázky pre túto prácu z 10 dostupných. Kontrola pripravenosti, pUčiteľ sa každého pýta len na jednon náhodne vybraná otázka. Určite pravdepodobnosť nasledujúcich udalostí:

A= „Ivanov bude obhajovať svoju laboratórnu prácu“;

B= „Petrov bude obhajovať svoju laboratórnu prácu“;

C= „obaja budú brániť laboratórnu prácu“;

D= „aspoň jeden zo študentov bude prácu obhajovať“;

E= „len jeden zo študentov bude obhajovať prácu“;

F= "žiadny z nich nebude chrániť prácu."

Riešenie. Všimnite si, že schopnosť brániť prácu ako Ivanov, tako aj Petrova samostatne je určená len počtom zvládnutých otázok, pretopri. (Poznámka: v tomto príklade neboli hodnoty výsledných zlomkov zámerne znížené, aby sa zjednodušilo porovnanie výsledkov výpočtu.)

UdalosťCmožno formulovať rôzne ako „Ivanov aj Petrov budú chrániť dielo“, t.j. stane saA udalosťA, A udalosťB. Takže udalosťCje priesečníkom udalostíAABa v súlade s (2.0)

kde sa faktor „7/9“ objavuje v dôsledku skutočnosti, že výskyt udalostiAznamená, že Ivanov dostal „úspešnú“ otázku, čo znamená, že Petrov má teraz len 7 „dobrých“ otázok zo zostávajúcich 9 otázok.

UdalosťDznamená, že „úloha bude chrániťalebo Ivanov,alebo Petrov,alebo obaja sú spolu,“ t.j. aspoň jedna z udalostí sa staneAAB. Takže udalosťDje spojením udalostíAABa v súlade s (2.0)

ktorý spĺňa očakávania, pretože Dokonca aj u každého študenta individuálne je šanca na úspech pomerne vysoká.

Sudalosť E znamená, že „buď Ivano ochráni prácuv, a Petrov „spadá"alebo Ivanov bude mať zlé časyprofíci a Petrov si poradí s obranou.“ Obe alternatívy sa navzájom vylučujú (nekompatibilné), tzv

Nakoniec vyhlásenieFbude spravodlivé, iba ak "A Ivanov,A Petrov s ochranounie zvládne." takže,

Týmto je riešenie problému dokončené, ale je užitočné vziať do úvahy nasledujúce body:

1. Každá zo získaných pravdepodobností spĺňa podmienku (1 ,0), noh ak pre
A
dostať konfliktútulný s(1 .0) je v zásade nemožné, potom pre
skúste apoužitie (2 .0) namiesto (2 .0) by viedlo k zjavnej nesprávnostivýznam projektu
. Je dôležité si uvedomiť, že takáto hodnota pravdepodobnosti je v zásade nemožná, a ak dostanete takýto paradoxný výsledok, okamžite začnite hľadať chybu.

2. Zistené pravdepodobnosti vyhovujú vzťahomm

Eto je celkom očakávané, pretože dianiaC, EAFtvoria úplnýy skupiny a udalostiDAFoproti sebe. Účtovanie týchtomožno použiť pomery na jednej stranedodávke na dvojitú kontrolu výpočtov av inej situácii môže slúžiť ako základ pre alternatívny spôsob riešenia problému.

P Poznámka : Nezanedbávajte písaniepresná formulácia udalosti, inak v priebehu riešenia problému môžete nedobrovoľne prejsť na inú interpretáciu významu tejto udalosti, čo povedie k chybám v uvažovaní.

Príklad 2 : Vo veľkej sérii mikroobvodov, ktoré neprešli finálnou kontrolou kvality, je 30 % výrobkov chybných.Ak z tejto šarže náhodne vyberiete ľubovoľné dva mikroobvody, čo to jepravdepodobnosť, že medzi nimi:

A= „obe platné“;

B= „presne 1 použiteľný mikroobvod“;

C= „obaja chybné“.

Analyzujme nasledujúcu verziu úvahy (pozor, obsahuje chybu):

Keďže hovoríme o veľkej šarži produktov, odstránenie niekoľkých mikroobvodov z nej prakticky neovplyvňuje pomer počtu použiteľných a chybných produktov, čo znamená, že výberom niektorých mikroobvodov z tejto šarže niekoľkokrát za sebou možno predpokladať, že v každom prípade zostanú nezmenené pravdepodobnosti

= P(vybraný chybný výrobok) = 0,3 a

= P(vybratý vhodný produkt) = 0,7.

Aby došlo k udalostiAje to potrebnéA najprv,A už druhýkrát bol vybraný vhodný produkt, a preto (s prihliadnutím na vzájomnú nezávislosť úspešnosti výberu prvého a druhého mikroobvodu) pre priesečník udalostí máme

Podobne, aby nastala udalosť C, oba produkty musia byť chybné a na získanie B si musíte vybrať jeden dobrý produkt a jedenkrát chybný produkt.

Znak chyby. Xhoci všetky dostali nad pravdepodobnosťoua vyzerať vierohodne, keď sa analyzujú spolu, je ľahkéVezmite prosím na vedomie, že .Avšak prípadyA, BACtvoria úplnýskupina udalostí, pre ktoré sa majú vykonať .Tento rozpor naznačuje, že v odôvodnení je určitá chyba.

S sú tam chyby. Predstavme si dve pomocnéšpeciálne udalosti:

= „prvý mikroobvod je dobrý, druhý je chybný“;

= "prvý mikroobvod je chybný, druhý je dobrý."

Je zrejmé, že práve táto možnosť výpočtu bola použitá vyššie na získanie pravdepodobnosti udalostiB, hoci udalostiBA nie sú uhekvivalent. V skutočnosti,
, pretože zneniedianiaBvyžaduje, aby medzi mikroobvodmi boli presnejeden , ale vôbec nienie nevyhnutne prvý bola vhodná (a druhá bola chybná). Preto, hoci udalosť nie je duplicitná udalosť , ale treba sa naučiťkonať nezávisle. Vzhľadom na nezlučiteľnosť udalostí A , pravdepodobnosť ich logického súčtu sa bude rovnať

Po naznačenej korekcii výpočtov máme

čo nepriamo potvrdzuje správnosť zistených pravdepodobností.

Poznámka : Venujte zvláštnu pozornosť rozdielu vo formulácii udalostí ako „ibanajprv z uvedených prvkov musí…“ a „ibajeden z uvedených prvkoventov by mal...“ Najnovšia udalosť je jednoznačne širšia a zahŕňaTdo svojho zloženia prvý ako jeden z (možno početnýchx) možnosti. Tieto alternatívy (aj keď sa ich pravdepodobnosti zhodujú) by sa mali brať do úvahy nezávisle od seba.

P Poznámka : Slovo „percento“ pochádza z „za cent“, t.j."na sto." Prezentácia frekvencií a pravdepodobností v percentách vám umožňuje pracovať s väčšími hodnotami, čo niekedy uľahčuje vnímanie hodnôt „do ucha“. Použitie násobenia alebo delenia „100 %“ vo výpočtoch na správnu normalizáciu je však ťažkopádne a neefektívne. V tomto smere niePri uvádzaní hodnôt buďte opatrnívyjadrené v percentách, dosaďte ich do vypočítaných výrazovvo forme zlomkov jednotky (napríklad 35% je zapísaných vo výpočtePáči sa mi „0,35“), aby sa minimalizovalo riziko chybnej normalizácie výsledkov.

Príklad 3 : Sada odporov obsahuje jeden odpor nNominálny 4 kOhm, tri 8 kOhm odpory a šesť odporovalebo s odporom 15 kOhm. Tri náhodne vybrané odpory sú navzájom paralelne zapojené. Určte pravdepodobnosť získania konečného odporu nepresahujúceho 4 kOhm.

Resh cie. Odpor paralelného pripojeniahistóriu možno vypočítať pomocou vzorca

To umožňuje predstaviť udalosti ako napr

A= „sú zvolené tri odpory 15 kOhm“ = „
”;

B= „vdva 15 kOhm odpory a jeden s odporomm 8 kOhm” =”
”…

Kompletná skupina udalostí zodpovedajúcich podmienkam problému zahŕňa celý rad možností a práve tiektoré spĺňajú uvedenú požiadavku na získanie odporu maximálne 4 kOhm. Avšak aj keď „priama“ cesta riešenia zahŕňajúca výpočet (a následné sumyAj keď je správne určiť pravdepodobnosti, ktoré charakterizujú všetky tieto udalosti, neodporúča sa konať týmto spôsobom.

Všimnite si, že na získanie konečného odporu menej ako 4 kOhm dPostačuje, aby použitá zostava obsahovala aspoň jeden odpor s odporomJem menej ako 15 kOhm. Teda len v pripadeAnie je splnená požiadavka úlohy, t.j. udalosťAjeopak skúmanej osobe. V rovnakom čase,

Teda, .

P RI značkovanie : Výpočet pravdepodobnosti nejakej udalostiA, nezabudnite analyzovať zložitosť určovaniaSom pravdepodobnosť udalosti, ktorá je opačná. Ak diss.čítať
jednoduché, potom je to presne miesto, kde musíte začať.tj úlohy, dokončite ho použitím vzťahu (2 .0).

P príklad 4 : V krabici súnbiely,mčierna akčervené gule. Loptičky sa vyberajú náhodne z krabice jedna po druhej.a po každej extrakcii sa vráťte späť. Určiť pravdepodobnosťdianiaA= „biela guľabude vytiahnutý pred čiernym” .

Resh cie. Zvážte nasledujúci súbor udalostí

= „biela guľa bola získaná na prvý pokus“;

= „najprv bola vytiahnutá červená guľa a potom biela“;

= „dvakrát bola vytiahnutá červená guľa a tretíkrát biela”…

Takže doKeď sa loptičky vrátia, potom postupnosťyty možno formálne predĺžiť donekonečna.

Tieto udalosti sú nezlučiteľné a spolu tvoria súbor situácií, v ktorých sa udalosť vyskytujeA. teda

Je ľahké vidieť, že výrazy zahrnuté vo forme súčtugeometrická progresia s počiatočným prvkom
a menovateľ
. Ale tie sumya prvkov nekonečnej geometrickej progresie sa rovná