Očakávanie a rozptyl sú najčastejšie používané číselné charakteristiky náhodnej premennej. Charakterizujú najdôležitejšie znaky distribúcie: jej polohu a stupeň rozptylu. V mnohých praktických problémoch sa úplná, vyčerpávajúca charakteristika náhodnej premennej – zákon rozdelenia – buď nedá získať vôbec, alebo nie je vôbec potrebná. V týchto prípadoch sa obmedzujeme na približný popis náhodnej premennej pomocou číselných charakteristík.
Očakávaná hodnota sa často nazýva jednoducho priemerná hodnota náhodnej premennej. Disperzia náhodnej premennej je charakteristikou disperzie, šírenia náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania.
Očakávanie diskrétnej náhodnej premennej
Pristúpme ku konceptu matematického očakávania, najprv založeného na mechanickej interpretácii rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej. Nech je jednotková hmotnosť rozdelená medzi body osi x X1 , X 2 , ..., X n a každý hmotný bod má zodpovedajúcu hmotnosť p1 , p 2 , ..., p n. Je potrebné vybrať jeden bod na osi x, charakterizujúci polohu celého systému hmotných bodov, berúc do úvahy ich hmotnosti. Je prirodzené brať ako taký bod ťažisko sústavy hmotných bodov. Toto je vážený priemer náhodnej premennej X, ku ktorej úsečka každého bodu Xi vstupuje s „váhou“ rovnajúcou sa zodpovedajúcej pravdepodobnosti. Takto získaná priemerná hodnota náhodnej premennej X sa nazýva jeho matematické očakávanie.
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom súčinov všetkých jej možných hodnôt a pravdepodobností týchto hodnôt:
Príklad 1 Bola zorganizovaná lotéria win-win. Existuje 1000 výhier, z ktorých 400 je 10 rubľov. 300 - 20 rubľov každý. 200 - 100 rubľov každý. a 100 - 200 rubľov každý. Aká je priemerná výhra pre niekoho, kto si kúpi jeden tiket?
Riešenie. Priemernú výhru zistíme, ak celkovú sumu výhier, ktorá je 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rubľov, vydelíme 1000 (celková suma výhier). Potom dostaneme 50 000/1 000 = 50 rubľov. Ale výraz na výpočet priemerných výhier môže byť uvedený v nasledujúcej forme:
Na druhej strane, v týchto podmienkach je výherná suma náhodná premenná, ktorá môže nadobúdať hodnoty 10, 20, 100 a 200 rubľov. s pravdepodobnosťou rovnou 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Preto sa očakávaná priemerná výhra rovná súčtu súčinov veľkosti výhier a pravdepodobnosti ich získania.
Príklad 2 Vydavateľstvo sa rozhodlo vydať novú knihu. Knihu plánuje predať za 280 rubľov, z čoho on sám dostane 200, 50 - kníhkupectvo a 30 - autor. Tabuľka poskytuje informácie o nákladoch na vydanie knihy a pravdepodobnosti predaja určitého počtu výtlačkov knihy.
Nájdite očakávaný zisk vydavateľa.
Riešenie. Náhodná premenná „zisk“ sa rovná rozdielu medzi príjmami z predaja a nákladmi na výdavky. Napríklad, ak sa predá 500 kópií knihy, príjem z predaja je 200 * 500 = 100 000 a náklady na vydanie sú 225 000 rubľov. Vydavateľovi tak hrozí strata 125 000 rubľov. Nasledujúca tabuľka sumarizuje očakávané hodnoty náhodnej premennej - zisku:
| číslo | Zisk Xi | Pravdepodobnosť pi | Xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Celkom: | 1,00 | 25000 |
Takto získame matematické očakávanie zisku vydavateľa:
.
Príklad 3 Pravdepodobnosť zásahu jednou ranou p= 0,2. Určte spotrebu projektilov, ktoré poskytujú matematický predpoklad počtu zásahov rovný 5.
Riešenie. Vyjadrujeme z rovnakého matematického vzorca očakávania, ktorý sme používali doteraz X- spotreba škrupiny:
.
Príklad 4. Určte matematické očakávanie náhodnej premennej X počet zásahov pri troch výstreloch, ak je pravdepodobnosť zásahu pri každom výstrele p = 0,4 .
Tip: nájdite pravdepodobnosť náhodných hodnôt premenných podľa Bernoulliho vzorec .
Vlastnosti matematického očakávania
Uvažujme o vlastnostiach matematického očakávania.
Nehnuteľnosť 1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštante:
Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať z matematického znaku očakávania:
Nehnuteľnosť 3. Matematické očakávanie súčtu (rozdielu) náhodných premenných sa rovná súčtu (rozdielu) ich matematických očakávaní:
Nehnuteľnosť 4. Matematické očakávanie súčinu náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:
Nehnuteľnosť 5. Ak sú všetky hodnoty náhodnej premennej X znížiť (zvýšiť) o rovnaké číslo S, potom sa jeho matematické očakávanie zníži (zvýši) o rovnaké číslo:
Keď sa nemôžete obmedziť len na matematické očakávania
Vo väčšine prípadov len matematické očakávanie nedokáže dostatočne charakterizovať náhodnú premennú.
Nechajte náhodné premenné X A Y sú dané nasledujúcimi distribučnými zákonmi:
| Význam X | Pravdepodobnosť |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Význam Y | Pravdepodobnosť |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Matematické očakávania týchto veličín sú rovnaké - rovné nule:
Ich distribučné vzorce sú však odlišné. Náhodná hodnota X môže nadobudnúť iba hodnoty, ktoré sa málo líšia od matematického očakávania a náhodnej premennej Y môže nadobudnúť hodnoty, ktoré sa výrazne odchyľujú od matematického očakávania. Podobný príklad: priemerná mzda neumožňuje posúdiť podiel vysoko a nízko platených pracovníkov. Inými slovami, z matematického očakávania nemožno posúdiť, aké odchýlky od neho, aspoň v priemere, sú možné. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť rozptyl náhodnej premennej.
Rozptyl diskrétnej náhodnej premennej
Rozptyl diskrétna náhodná premenná X sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny jej odchýlky od matematického očakávania:
Smerodajná odchýlka náhodnej premennej X aritmetická hodnota druhej odmocniny jej rozptylu sa nazýva:
.
Príklad 5. Vypočítajte rozptyly a smerodajné odchýlky náhodných premenných X A Y, ktorého distribučné zákony sú uvedené v tabuľkách vyššie.
Riešenie. Matematické očakávania náhodných premenných X A Y, ako je uvedené vyššie, sa rovnajú nule. Podľa disperzného vzorca at E(X)=E(r)=0 dostaneme:
Potom smerodajné odchýlky náhodných premenných X A Y makeup
.
Teda pri rovnakých matematických očakávaniach rozptyl náhodnej premennej X veľmi malá, ale náhodná premenná Y- významný. Je to dôsledok rozdielov v ich distribúcii.
Príklad 6. Investor má 4 alternatívne investičné projekty. Tabuľka sumarizuje očakávaný zisk v týchto projektoch so zodpovedajúcou pravdepodobnosťou.
| Projekt 1 | Projekt 2 | Projekt 3 | Projekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Nájdite matematické očakávania, rozptyl a smerodajnú odchýlku pre každú alternatívu.
Riešenie. Ukážme, ako sa tieto hodnoty vypočítavajú pre 3. alternatívu:
Tabuľka sumarizuje zistené hodnoty pre všetky alternatívy.
Všetky alternatívy majú rovnaké matematické očakávania. To znamená, že z dlhodobého hľadiska majú všetci rovnaký príjem. Smerodajnú odchýlku možno interpretovať ako mieru rizika – čím je vyššia, tým väčšie je riziko investície. Investor, ktorý nechce veľké riziko, si vyberie projekt 1, pretože má najmenšiu smerodajnú odchýlku (0). Ak investor uprednostňuje riziko a vysoké výnosy v krátkom období, vyberie si projekt s najväčšou smerodajnou odchýlkou – projekt 4.
Disperzné vlastnosti
Uveďme si vlastnosti disperzie.
Nehnuteľnosť 1. Rozptyl konštantnej hodnoty je nula:
Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno zo znamienka disperzie odstrániť jeho umocnením:
.
Nehnuteľnosť 3. Rozptyl náhodnej premennej sa rovná matematickému očakávaniu druhej mocniny tejto hodnoty, od ktorej sa odpočíta druhá mocnina matematického očakávania samotnej hodnoty:
,
Kde 
.
Nehnuteľnosť 4. Rozptyl súčtu (rozdielu) náhodných premenných sa rovná súčtu (rozdielu) ich rozptylov:
Príklad 7. Je známe, že diskrétna náhodná premenná X má iba dve hodnoty: −3 a 7. Okrem toho je známe matematické očakávanie: E(X) = 4. Nájdite rozptyl diskrétnej náhodnej premennej.
Riešenie. Označme podľa p pravdepodobnosť, s ktorou náhodná premenná nadobúda hodnotu X1 = −3 . Potom pravdepodobnosť hodnoty X2 = 7 bude 1 - p. Odvoďme rovnicu pre matematické očakávanie:
E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
kde dostaneme pravdepodobnosti: p= 0,3 a 1 - p = 0,7 .
Zákon rozdelenia náhodnej premennej:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Rozptyl tejto náhodnej premennej vypočítame pomocou vzorca z vlastnosti 3 disperzie:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej sami a potom sa pozrite na riešenie
Príklad 8. Diskrétna náhodná premenná X má iba dve hodnoty. Akceptuje väčšiu z hodnôt 3 s pravdepodobnosťou 0,4. Okrem toho je známy rozptyl náhodnej premennej D(X) = 6. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej.
Príklad 9. V urne je 6 bielych a 4 čierne gule. Z urny sa vytiahnu 3 loptičky. Počet bielych guľôčok medzi vyžrebovanými guľami je diskrétna náhodná premenná X. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl tejto náhodnej premennej.
Riešenie. Náhodná hodnota X môže nadobúdať hodnoty 0, 1, 2, 3. Zodpovedajúce pravdepodobnosti je možné vypočítať z pravidlo násobenia pravdepodobnosti. Zákon rozdelenia náhodnej premennej:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Z toho vyplýva matematické očakávanie tejto náhodnej premennej:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Rozptyl danej náhodnej premennej je:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Očakávanie a rozptyl spojitej náhodnej premennej
Pre spojitú náhodnú premennú si mechanická interpretácia matematického očakávania zachová rovnaký význam: ťažisko pre jednotkovú hmotnosť rozloženú súvisle na osi x s hustotou f(X). Na rozdiel od diskrétnej náhodnej premennej, ktorej argument funkcie Xi mení sa náhle pre spojitú náhodnú premennú sa argument mení plynule; Ale matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej súvisí aj s jej priemernou hodnotou.
Ak chcete nájsť matematické očakávanie a rozptyl spojitej náhodnej premennej, musíte nájsť určité integrály . Ak je daná funkcia hustoty spojitej náhodnej premennej, potom priamo vstupuje do integrandu. Ak je daná funkcia rozdelenia pravdepodobnosti, potom jej diferencovaním musíte nájsť funkciu hustoty.
Aritmetický priemer všetkých možných hodnôt spojitej náhodnej premennej sa nazýva jeho matematické očakávanie, označené alebo .
Matematické očakávanie je priemerná hodnota náhodnej premennej.Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom produktov všetkých jej možných hodnôt a ich pravdepodobností:
Príklad.
X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5
Riešenie: Matematické očakávanie sa rovná súčtu súčinov všetkých možných hodnôt X a ich pravdepodobností:
M (X) = 4 x 0,2 + 6 x 0,3 + 10 x 0,5 = 6.
Na výpočet matematického očakávania je vhodné vykonať výpočty v programe Excel (najmä ak existuje veľa údajov), odporúčame použiť hotovú šablónu ().
Príklad, ako to vyriešiť sami (môžete použiť kalkulačku).
Nájdite matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej X špecifikovanej distribučným zákonom:
X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4
Matematické očakávanie má nasledujúce vlastnosti.
Vlastnosť 1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná samotnej konštante: M(C)=C.
Vlastnosť 2. Konštantný faktor možno považovať za znak matematického očakávania: M(CX)=CM(X).
Vlastnosť 3. Matematické očakávanie súčinu vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu matematických očakávaní faktorov: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)
Vlastnosť 4. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní členov: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).
Úloha 189. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej Z, ak sú známe matematické očakávania X a Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Riešenie: Pomocou vlastností matematického očakávania (matematické očakávanie súčtu sa rovná súčtu matematických očakávaní členov; konštantný faktor možno vyňať zo znamienka matematického očakávania) dostaneme M(Z). )=M(X+2Y)=M(X)+M(2Y)=M(X)+2M(Y)=5+2*3 = 11.
190. Pomocou vlastností matematického očakávania dokážte, že: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) matematické očakávanie odchýlky X-M(X) sa rovná nule.
191. Diskrétna náhodná premenná X nadobúda tri možné hodnoty: x1= 4 S pravdepodobnosťou p1 = 0,5; xЗ = 6 s pravdepodobnosťou P2 = 0,3 a x3 s pravdepodobnosťou p3. Nájdite: x3 a p3 s vedomím, že M(X)=8.
192. Je uvedený zoznam možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej X: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1 sú známe aj matematické očakávania tejto hodnoty a jej druhá mocnina: M(X) = 0,1 M(X^2) = 0,9. Nájdite pravdepodobnosti p1, p2, p3 zodpovedajúce možným hodnotám xi
194. Dávka 10 dielov obsahuje tri neštandardné diely. Náhodne boli vybrané dve časti. Nájdite matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej X - počet neštandardných častí spomedzi dvoch vybraných.
196. Nájdite matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej X počtu takýchto hodov piatimi kockami, v každom z nich bude na dvoch kockách jeden bod, ak je celkový počet hodov dvadsať.
Matematické očakávanie binomického rozdelenia sa rovná počtu pokusov vynásobenom pravdepodobnosťou udalosti, ktorá nastane v jednom pokuse:
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom produktov všetkých jej možných hodnôt a ich pravdepodobností.
Nech náhodná premenná nadobúda iba hodnoty pravdepodobnosti, ktoré sú v tomto poradí rovnaké, potom je matematické očakávanie náhodnej premennej určené rovnosťou
Ak má diskrétna náhodná premenná spočítateľný súbor možných hodnôt, potom
Navyše, matematické očakávanie existuje, ak rad na pravej strane rovnosti absolútne konverguje.
Komentujte. Z definície vyplýva, že matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je nenáhodná (konštantná) veličina.
Definícia matematického očakávania vo všeobecnom prípade
Stanovme matematické očakávanie náhodnej premennej, ktorej rozdelenie nemusí byť nevyhnutne diskrétne. Začnime prípadom nezáporných náhodných premenných. Myšlienkou bude aproximovať takéto náhodné premenné pomocou diskrétnych premenných, pre ktoré už bolo určené matematické očakávanie, a nastaviť matematické očakávanie rovné limitu matematických očakávaní diskrétnych náhodných premenných, ktoré ho aproximujú. Mimochodom, toto je veľmi užitočná všeobecná myšlienka, ktorá spočíva v tom, že najprv sa určí nejaká charakteristika pre jednoduché objekty a potom sa pre zložitejšie objekty určí ich aproximáciou jednoduchšími.
Lema 1. Nech existuje ľubovoľná nezáporná náhodná premenná. Potom existuje postupnosť diskrétnych náhodných premenných tak, že
Dôkaz. Rozdeľme poloos na rovnako dlhé segmenty a určme
Potom vlastnosti 1 a 2 ľahko vyplývajú z definície náhodnej premennej a
Lema 2. Nech je nezáporná náhodná premenná a dve postupnosti diskrétnych náhodných premenných s vlastnosťami 1-3 z Lemy 1. Potom
Dôkaz. Všimnite si, že pre nezáporné náhodné premenné to povoľujeme
Na základe vlastnosti 3 je ľahké vidieť, že existuje postupnosť kladných čísel taká, že
Z toho vyplýva
Pomocou vlastností matematických očakávaní pre diskrétne náhodné premenné získame
Prejdením na limit v získame výrok Lemy 2.
Definícia 1. Nech je nezáporná náhodná premenná, - postupnosť diskrétnych náhodných premenných, ktoré majú vlastnosti 1-3 z Lemy 1. Matematické očakávanie náhodnej premennej je číslo
Lema 2 zaručuje, že nezávisí od výberu aproximačnej postupnosti.
Nech je teraz ľubovoľná náhodná premenná. Poďme definovať
Z definície a ľahko to vyplýva
Definícia 2. Matematické očakávanie ľubovoľnej náhodnej premennej je číslo
Ak je aspoň jedno z čísel na pravej strane tejto rovnosti konečné.
Vlastnosti matematického očakávania
Vlastnosť 1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná samotnej konštante:
Dôkaz. Konštantu budeme považovať za diskrétnu náhodnú premennú, ktorá má jednu možnú hodnotu a naberá ju s pravdepodobnosťou, preto,
Poznámka 1. Definujme súčin konštantnej premennej diskrétnou náhodnou premennou ako diskrétnu náhodnú, ktorej možné hodnoty sa rovnajú súčinom konštanty možnými hodnotami; pravdepodobnosti možných hodnôt sa rovnajú pravdepodobnosti zodpovedajúcich možných hodnôt, ak je napríklad pravdepodobnosť možnej hodnoty rovnaká, potom sa rovná aj pravdepodobnosť, že hodnota nadobudne hodnotu
Vlastnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka matematického očakávania:
Dôkaz. Nech je náhodná premenná daná zákonom o rozdelení pravdepodobnosti:
Berúc do úvahy poznámku 1, píšeme distribučný zákon náhodnej premennej
Poznámka 2. Skôr než prejdeme k ďalšej vlastnosti, poukážeme na to, že dve náhodné premenné sa nazývajú nezávislé, ak distribučný zákon jednej z nich nezávisí od možných hodnôt, ktoré nadobudla druhá premenná. V opačnom prípade sú náhodné premenné závislé. Niekoľko náhodných premenných sa nazýva vzájomne nezávislých, ak zákony distribúcie ľubovoľného počtu z nich nezávisia od možných hodnôt, ktoré zostávajúce premenné nadobudli.
Poznámka 3. Definujme súčin nezávislých náhodných premenných a ako náhodnú premennú, ktorej možné hodnoty sa rovnajú súčinom každej možnej hodnoty každou možnou hodnotou, sa pravdepodobnosti možných hodnôt súčinu rovnajú produkty pravdepodobností možných hodnôt faktorov. Napríklad, ak je pravdepodobnosť možnej hodnoty, pravdepodobnosť možnej hodnoty je potom pravdepodobnosť možnej hodnoty
Vlastnosť 3. Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:
Dôkaz. Nech sú nezávislé náhodné premenné špecifikované ich vlastnými zákonmi rozdelenia pravdepodobnosti:
Zostavme všetky hodnoty, ktoré môže mať náhodná premenná, vynásobme všetky možné hodnoty každou možnou hodnotou. V dôsledku toho získame a s prihliadnutím na poznámku 3 napíšeme distribučný zákon, pričom pre jednoduchosť predpokladáme, že všetky možné hodnoty produktu sú odlišné (ak to tak nie je, potom sa dôkaz vykoná v podobným spôsobom):
Matematické očakávanie sa rovná súčtu súčinov všetkých možných hodnôt a ich pravdepodobností:
Dôsledok. Matematické očakávanie súčinu niekoľkých vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.
Vlastnosť 4. Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní pojmov:
Dôkaz. Nech náhodné premenné a sú špecifikované nasledujúcimi distribučnými zákonmi:
Zostavme všetky možné hodnoty množstva, aby sme to urobili, pripočítame každú možnú hodnotu ku každej možnej hodnote. získame pre jednoduchosť, že tieto možné hodnoty sú odlišné (ak to tak nie je, potom sa dôkaz vykoná podobným spôsobom) a ich pravdepodobnosti označíme a.
Matematické očakávanie hodnoty sa rovná súčtu súčinov možných hodnôt a ich pravdepodobností:
Dokážme, že Udalosť, ktorá nadobudne hodnotu (pravdepodobnosť tejto udalosti je rovnaká) má za následok udalosť, ktorá nadobudne hodnotu alebo (pravdepodobnosť tejto udalosti podľa vety o sčítaní je rovnaká) a naopak. Z toho vyplýva, že rovnosti sú dokázané podobne
Dosadením pravých strán týchto rovníc do vzťahu (*) dostaneme
alebo nakoniec
Rozptyl a štandardná odchýlka
V praxi je často potrebné odhadnúť rozptyl možných hodnôt náhodnej premennej okolo jej strednej hodnoty. Napríklad v delostrelectve je dôležité vedieť, ako blízko budú strely dopadať blízko cieľa, ktorý má byť zasiahnutý.
Na prvý pohľad sa môže zdať, že najjednoduchší spôsob odhadu rozptylu je vypočítať všetky možné odchýlky náhodnej veličiny a následne nájsť ich priemernú hodnotu. Táto cesta však nič nedá, keďže priemerná hodnota odchýlky, t.j. pretože každá náhodná premenná sa rovná nule. Táto vlastnosť sa vysvetľuje skutočnosťou, že niektoré možné odchýlky sú pozitívne, zatiaľ čo iné sú negatívne; v dôsledku ich vzájomného zrušenia je priemerná hodnota odchýlky nulová. Tieto úvahy naznačujú, že je vhodné nahradiť možné odchýlky ich absolútnymi hodnotami alebo ich druhými mocničkami. Toto robia v praxi. Je pravda, že v prípade, keď sú možné odchýlky nahradené absolútnymi hodnotami, treba pracovať s absolútnymi hodnotami, čo niekedy vedie k vážnym ťažkostiam. Preto sa najčastejšie vydávajú inou cestou, t.j. vypočítajte priemernú hodnotu štvorcovej odchýlky, ktorá sa nazýva disperzia.
Očakávaná hodnota
Disperzia spojitá náhodná premenná X, ktorej možné hodnoty patria do celej osi Ox, je určená rovnosťou: 
Účel služby. Online kalkulačka je určená na riešenie problémov, v ktorých buď hustota distribúcie f(x) alebo distribučná funkcia F(x) (pozri príklad). Zvyčajne v takýchto úlohách musíte nájsť matematické očakávanie, smerodajná odchýlka, grafy funkcií f(x) a F(x).
Inštrukcie. Vyberte typ zdrojových údajov: hustota rozdelenia f(x) alebo distribučná funkcia F(x).
Distribučná hustota f(x) je daná: 
Distribučná funkcia F(x) je daná: 
Spojitá náhodná premenná je špecifikovaná hustotou pravdepodobnosti 
(Rayleighov distribučný zákon – používaný v rádiotechnike). Nájdite M(x) , D(x) .
Volá sa náhodná premenná X nepretržitý
, ak jej distribučná funkcia F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej sa používa na výpočet pravdepodobnosti náhodnej premennej spadajúcej do daného intervalu:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Navyše pre spojitú náhodnú premennú nezáleží na tom, či sú jej hranice zahrnuté v tomto intervale alebo nie:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Hustota distribúcie
spojitá náhodná premenná sa nazýva funkcia
f(x)=F’(x) , derivácia distribučnej funkcie.
Vlastnosti distribučnej hustoty
1. Hustota distribúcie náhodnej premennej je nezáporná (f(x) ≥ 0) pre všetky hodnoty x.2. Normalizačná podmienka:
Geometrický význam podmienky normalizácie: plocha pod krivkou hustoty distribúcie sa rovná jednotke.
3. Pravdepodobnosť náhodnej premennej X spadajúcej do intervalu od α do β možno vypočítať pomocou vzorca
Geometricky sa pravdepodobnosť spojitej náhodnej premennej X spadajúcej do intervalu (α, β) rovná ploche krivočiareho lichobežníka pod krivkou hustoty distribúcie založenej na tomto intervale.
4. Distribučná funkcia je vyjadrená z hľadiska hustoty takto:
Hodnota hustoty rozdelenia v bode x sa nerovná pravdepodobnosti prijatia tejto hodnoty pre spojitú náhodnú veličinu môžeme hovoriť len o pravdepodobnosti pádu do daného intervalu. nech)
