hypotéza: veríme, že dokonalosť tvaru pyramídy je spôsobená matematickými zákonmi, ktoré sú vlastné jej tvaru.
Cieľ: po štúdiu pyramídy ako geometrické teleso, vysvetliť dokonalosť jeho formy.
Úlohy:
1. Uveďte matematickú definíciu pyramídy.
2. Študujte pyramídu ako geometrické teleso.
3. Pochopte, aké matematické poznatky Egypťania začlenili do svojich pyramíd.
Súkromné otázky:
1. Čo je pyramída ako geometrické teleso?
2. Ako možno z matematického hľadiska vysvetliť jedinečný tvar pyramídy?
3. Čo vysvetľuje geometrické zázraky pyramídy?
4. Čo vysvetľuje dokonalosť tvaru pyramídy?
Definícia pyramídy.
PYRAMÍDA (z gréčtiny pyramis, gen. pyramidos) - mnohosten, ktorého základňou je mnohouholník a zvyšné strany sú trojuholníky so spoločným vrcholom (kresba). Na základe počtu rohov základne sú pyramídy klasifikované ako trojuholníkové, štvoruholníkové atď.
PYRAMÍDA - monumentálna stavba s geometrický tvar pyramídy (niekedy aj stupňovité alebo vežovité). Pyramídy sú pomenovanie pre obrovské hrobky staroegyptských faraónov z 3. – 2. tisícročia pred Kristom. e., ako aj staroveké americké chrámové podstavce (v Mexiku, Guatemale, Hondurase, Peru), spojené s kozmologickými kultmi.
Je to možné Grécke slovo„Pyramída“ pochádza z egyptského výrazu per-em-us, t.j. z výrazu, ktorý znamená výšku pyramídy. Vynikajúci ruský egyptológ V. Struve veril, že grécke „puram...j“ pochádza zo staroegyptského „p“-mr.
Z histórie. Po preštudovaní materiálu v učebnici „Geometria“ od autorov Atanasyan. Butuzova a ďalších sme sa dozvedeli, že: Mnohosten zložený z n-uholníka A1A2A3 ... An a n trojuholníkov PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 sa nazýva pyramída. Polygón A1A2A3...An je základňa pyramídy a trojuholníky PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 sú bočné steny pyramídy, P je vrchol pyramídy, segmenty PA1, PA2,..., PAn sú bočné okraje.
Táto definícia pyramídy však vždy neexistovala. Napríklad starogrécky matematik, autor teoretických pojednaní o matematike, ktoré sa k nám dostali, Euclid, definuje pyramídu ako pevnú postavu ohraničenú rovinami, ktoré sa zbiehajú z jednej roviny do jedného bodu.
Ale táto definícia bola kritizovaná už v staroveku. Heron teda navrhol nasledujúcu definíciu pyramídy: „Je to postava ohraničená trojuholníkmi zbiehajúcimi sa v jednom bode a ktorej základňou je mnohouholník.
Naša skupina po porovnaní týchto definícií dospela k záveru, že nemajú jasnú formuláciu pojmu „základ“.
Preskúmali sme tieto definície a našli sme definíciu Adriena Marie Legendre, ktorý v roku 1794 vo svojom diele „Elements of Geometry“ definuje pyramídu takto: „Pyramída je pevná postava tvorená trojuholníkmi zbiehajúcimi sa v jednom bode a končiacimi na rôznych stranách. plochá základňa."
Zdá sa nám, že posledná definícia dáva jasnú predstavu o pyramíde, pretože hovoríme ože základňa je plochá. Ďalšia definícia pyramídy sa objavila v učebnici z 19. storočia: „pyramída je pevný uhol, ktorý pretína rovina“.
Pyramída ako geometrické teleso.
To. Pyramída je mnohosten, ktorého jedna plocha (základňa) je mnohouholník, ostatné plochy (strany) sú trojuholníky, ktoré majú jeden spoločný vrchol (vrchol pyramídy).
Kolmica vedená z vrcholu pyramídy na rovinu základne sa nazýva výškah pyramídy.
Okrem ľubovoľnej pyramídy existujú správna pyramída na základni ktorého je pravidelný mnohouholník a zrezaná pyramída.
Na obrázku je pyramída PABCD, ABCD je jej základňa, PO je jej výška.
Oblasť celoplošný pyramída je súčet plôch všetkých jej plôch.
Sfull = Sside + Smain, Kde Side– súčet plôch bočných plôch.
Objem pyramídy sa nachádza podľa vzorca:
V=1/3Sbas. h, kde Sbas. - základná plocha, h- výška.
 |
|
Apotéma ST je výška bočnej steny pravidelnej pyramídy.
Plocha bočnej steny pravidelnej pyramídy je vyjadrená takto: Sstrana. = 1/2P h, kde P je obvod základne, h- výška bočného čela (apotém pravidelnej pyramídy). Ak pyramídu pretína rovina A'B'C'D' rovnobežná so základňou, potom:
1) bočné rebrá a výška sú rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;
2) v priereze sa získa mnohouholník A’B’C’D’, podobný základni;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Základy zrezanej pyramídy– podobné polygóny ABCD a A`B`C`D`, bočné strany sú lichobežníky.
Výška zrezaná pyramída - vzdialenosť medzi základňami.
Skrátený objem pyramídu nájdeme podľa vzorca:
V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočný povrch pravidelnej zrezanej pyramídy je vyjadrená takto: Sstrana = ½(P+P') h, kde P a P' sú obvody základní, h- výška bočnej plochy (apotém pravidelného skráteného piri
Časti pyramídy.
Rezy pyramídy rovinami prechádzajúcimi jej vrcholom sú trojuholníky.
Úsek prechádzajúci dvoma nesusediacimi bočnými okrajmi pyramídy sa nazýva diagonálny rez.
Ak rez prechádza bodom na bočnom okraji a na strane základne, potom jeho stopa k rovine základne pyramídy bude táto strana.
Úsek prechádzajúci bodom ležiacim na čele pyramídy a daný úsek rezu na základnej rovine, potom by sa mala konštrukcia vykonať takto:
· nájsť priesečník roviny danej steny a stopy rezu pyramídy a označiť ho;
zostrojiť prechádzajúcu priamku daný bod a výsledný priesečník;
· zopakujte tieto kroky pre ďalšie tváre.
, čo zodpovedá pomeru ramien pravouhlého trojuholníka 4:3. Tento pomer nôh zodpovedá známemu pravouhlému trojuholníku so stranami 3:4:5, ktorý sa nazýva „dokonalý“, „posvätný“ alebo „egyptský“ trojuholník. Podľa historikov dostal „egyptský“ trojuholník magický význam. Plutarchos napísal, že Egypťania prirovnávali povahu vesmíru k „posvätnému“ trojuholníku; zvislú nohu symbolicky prirovnali k manželovi, základňu k manželke a preponu k tej, ktorá sa rodí z oboch.
Pre trojuholník 3:4:5 platí rovnosť: 32 + 42 = 52, čo vyjadruje Pytagorovu vetu. Nebola to táto veta, ktorú chceli egyptskí kňazi zvečniť postavením pyramídy založenej na trojuholníku 3:4:5? Ťažko nájsť viac dobrý príklad na ilustráciu Pytagorovej vety, ktorú poznali Egypťania dávno pred jej objavením Pytagorom.
teda brilantní tvorcovia egyptské pyramídy sa snažili ohromiť vzdialených potomkov hĺbkou svojich vedomostí a dosiahli to výberom „zlatého“ pravouhlého trojuholníka ako „hlavnej geometrickej myšlienky“ pre Cheopsovu pyramídu a „posvätného“ alebo „egyptského“ trojuholníka pre Khafreho pyramídu. .
Vedci pri svojom výskume veľmi často využívajú vlastnosti pyramíd s proporciami Zlatého rezu.
V matematike encyklopedický slovník Uvádza sa nasledujúca definícia zlatého rezu - ide o harmonické delenie, delenie v extrémnom a priemernom pomere - rozdelenie segmentu AB na dve časti tak, že jeho väčšia časť AC je priemerná úmerná medzi celým segmentom AB a jeho menšia časť SV.
Algebraické určenie zlatého rezu segmentu AB = a redukuje na riešenie rovnice a: x = x: (a – x), z ktorej x sa približne rovná 0,62a. Pomer x môžeme vyjadriť ako zlomky 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, kde 2, 3, 5, 8, 13, 21 sú Fibonacciho čísla.
Geometrická konštrukcia zlatého rezu segmentu AB sa vykonáva nasledovne: v bode B sa obnoví kolmica na AB, položí sa naň segment BE = 1/2 AB, spoja sa A a E, DE = BE je prepustený a nakoniec AC = AD, potom je splnená rovnosť AB: CB = 2:3.
Zlatý pomerčasto sa používa v umeleckých dielach, architektúre a nachádza sa v prírode. Živé príklady sú socha Apolla Belvedere, Parthenon. Pri stavbe Parthenonu bol použitý pomer výšky budovy k jej dĺžke a tento pomer je 0,618. Predmety okolo nás tiež poskytujú príklady zlatého rezu, napríklad väzby mnohých kníh majú pomer šírky k dĺžke blízky 0,618. Vzhľadom na usporiadanie listov na spoločnej stonke rastlín si môžete všimnúť, že medzi každými dvoma pármi listov sa tretí nachádza v zlatom reze (sklíčka). Každý z nás „nesie“ zlatý pomer so sebou „vo svojich rukách“ - to je pomer falangov prstov.
Vďaka objavu niekoľkých matematických papyrusov sa egyptológovia dozvedeli niečo o staroegyptských systémoch výpočtu a merania. Úlohy v nich obsiahnuté riešili pisári. Jedným z najznámejších je Rhindov matematický papyrus. Štúdiom týchto problémov sa egyptológovia dozvedeli, ako starí Egypťania narábali s rôznymi veličinami, ktoré vznikli pri výpočte mier hmotnosti, dĺžky a objemu, ktoré často zahŕňali zlomky, ako aj to, ako narábali s uhlami.
Starovekí Egypťania používali metódu výpočtu uhlov na základe pomeru výšky k základni pravouhlého trojuholníka. Vyjadrili akýkoľvek uhol v jazyku gradientu. Gradient sklonu bol vyjadrený ako pomer celých čísel nazývaný "seced". Richard Pillins v knihe Mathematics in the Age of the Pharaohs vysvetľuje: „Seked pravidelnej pyramídy je sklon ktorejkoľvek zo štyroch trojuholníkových stien k rovine základne, meraný n-tým počtom horizontálnych jednotiek na vertikálnu jednotku vzostupu. . Táto jednotka merania je teda ekvivalentná nášmu modernému kotangensu uhla sklonu. Preto egyptské slovo „seced“ súvisí s naším moderné slovo"gradient"".
Číselný kľúč pyramíd spočíva v pomere ich výšky k základni. Z praktického hľadiska je to najjednoduchší spôsob, ako vyrobiť šablóny potrebné na neustálu kontrolu správneho uhla sklonu počas celej stavby pyramídy.
Egyptológovia by nás radi presvedčili, že každý faraón túžil vyjadriť svoju individualitu, a preto sú rozdiely v uhloch sklonu pre každú pyramídu. Ale môže to byť aj iný dôvod. Možno všetci chceli stelesniť rôzne symbolické asociácie, skryté v rôznych pomeroch. Avšak uhol Khafrovej pyramídy (založený na trojuholníku (3:4:5) sa objavuje v troch problémoch prezentovaných pyramídami v Rhindovom matematickom papyruse). Takže tento postoj bol dobre známy starým Egypťanom.
Aby sme boli spravodliví voči egyptológom, ktorí tvrdia, že starí Egypťania nevedeli o trojuholníku 3:4:5, dĺžka prepony 5 sa nikdy nespomínala. Ale matematické problémy týkajúce sa pyramíd sa vždy riešia na základe uhla seceda - pomeru výšky k základni. Keďže dĺžka prepony nebola nikdy spomenutá, dospelo sa k záveru, že Egypťania nikdy nevypočítali dĺžku tretej strany.
Pomery výšky a základne používané v pyramídach v Gíze boli nepochybne známym starým Egypťanom. Je možné, že tieto vzťahy pre každú pyramídu boli zvolené ľubovoľne. To je však v rozpore s dôležitosťou, ktorá sa pripisuje číselnej symbolike vo všetkých typoch egyptčiny výtvarné umenie. Je veľmi pravdepodobné, že takéto vzťahy boli významné, pretože vyjadrovali špecifické náboženské predstavy. Inými slovami, celý komplex v Gíze bol podriadený ucelenému dizajnu navrhnutému tak, aby odrážal určitú božskú tému. To by vysvetľovalo, prečo dizajnéri zvolili rôzne uhly pre tri pyramídy.
V knihe The Mystery of Orion predložili Bauval a Gilbert presvedčivé dôkazy spájajúce pyramídy v Gíze so súhvezdím Orion, najmä s hviezdami Orionovho pásu. Rovnaké súhvezdie je prítomné aj v mýte o Isis a Osiris a existuje dôvod na to každá pyramída ako reprezentácia jedného z troch hlavných božstiev - Osiris, Isis a Horus.
„GEOMETRICKÉ“ ZÁZRAKY.
Medzi grandióznymi pyramídami Egypta zaujíma osobitné miesto Veľká pyramída faraóna Cheopsa (Khufu). Skôr ako začneme analyzovať tvar a veľkosť Cheopsovej pyramídy, mali by sme si spomenúť, aký systém mier Egypťania používali. Egypťania mali tri jednotky dĺžky: „loket“ (466 mm), ktorý sa rovnal siedmim „dlaniam“ (66,5 mm), čo sa zase rovnalo štyrom „prstom“ (16,6 mm).
Analyzujme rozmery Cheopsovej pyramídy (obr. 2) na základe argumentov uvedených v nádhernej knihe ukrajinského vedca Nikolaja Vasyutinského. Zlatý pomer“ (1990).
Väčšina výskumníkov súhlasí s tým, že dĺžka strany základne pyramídy, napr. GF rovná L= 233,16 m Táto hodnota takmer presne zodpovedá 500 „lakťom“. Úplná zhoda s 500 „lakťami“ nastane, ak sa dĺžka „lakťa“ považuje za rovnú 0,4663 m.
Výška pyramídy ( H) odhadujú výskumníci rôzne od 146,6 do 148,2 m a v závislosti od akceptovanej výšky pyramídy sa menia všetky vzťahy jej geometrických prvkov. Aký je dôvod rozdielov v odhadoch výšky pyramídy? Faktom je, že presne povedané, Cheopsova pyramída je skrátená. Jej horná plošina dnes meria približne 10´ 10 m, no pred storočím mala 6´ 6 m. Vrch pyramídy bol zjavne rozobratý a nezodpovedá pôvodnému.
Pri posudzovaní výšky pyramídy je potrebné s tým počítať fyzikálny faktor, ako „návrh“ štruktúry. vzadu dlho vplyvom kolosálneho tlaku (dosahujúceho 500 ton na 1 m2 spodnej plochy) sa výška pyramídy oproti pôvodnej výške znížila.
Aká bola pôvodná výška pyramídy? Táto výška môže byť znovu vytvorená nájdením základnej "geometrickej myšlienky" pyramídy.
Obrázok 2
V roku 1837 anglický plukovník G. Wise zmeral uhol sklonu stien pyramídy: ukázalo sa, že je rovnaký a= 51°51". Túto hodnotu uznáva väčšina výskumníkov aj dnes. Uvedená hodnota uhla zodpovedá dotyčnici (tg a), rovná 1,27306. Táto hodnota zodpovedá pomeru výšky pyramídy AC na polovicu svojej základne C.B.(obr.2), tj A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.
A tu čakalo výskumníkov veľké prekvapenie!.png" width="25" height="24">= 1,272. Porovnanie tejto hodnoty s hodnotou tg a= 1,27306, vidíme, že tieto hodnoty sú si navzájom veľmi blízke. Ak vezmeme uhol a= 51°50", to znamená, že ho znížte len o jednu oblúkovú minútu, potom hodnotu a sa bude rovnať 1,272, to znamená, že sa bude zhodovať s hodnotou. Treba poznamenať, že v roku 1840 G. Wise zopakoval svoje merania a objasnil, že hodnota uhla a= 51°50".
Tieto merania viedli výskumníkov k veľmi nasledujúcemu zaujímavá hypotéza: trojuholník ACB Cheopsovej pyramídy vychádzal zo vzťahu AC / C.B. = = 1,272!
Zvážte teraz pravý trojuholník ABC, v ktorom pomer nôh A.C. / C.B.= (obr. 2). Ak teraz dĺžky strán obdĺžnika ABC určiť podľa X, r, z, a tiež vziať do úvahy, že pomer r/X= , potom v súlade s Pytagorovou vetou dĺžka z možno vypočítať pomocou vzorca:
Ak prijmeme X = 1, r= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
Obrázok 3."Zlatý" pravouhlý trojuholník.
Pravouhlý trojuholník, v ktorom sú strany spojené ako t:zlatý" pravouhlý trojuholník.
Potom, ak vezmeme za základ hypotézu, že hlavnou „geometrickou myšlienkou“ Cheopsovej pyramídy je „zlatý“ pravouhlý trojuholník, potom môžeme ľahko vypočítať „návrhovú“ výšku Cheopsovej pyramídy. Rovná sa:
H = (L/2)' = 148,28 m.
Odvoďme teraz niektoré ďalšie vzťahy pre Cheopsovu pyramídu, ktoré vyplývajú zo „zlatej“ hypotézy. Konkrétne nájdeme pomer vonkajšej plochy pyramídy k ploche jej základne. Aby sme to urobili, vezmeme dĺžku nohy C.B. na jednotku, teda: C.B.= 1. Ale potom dĺžka strany základne pyramídy GF= 2 a plocha základne EFGH budú rovné SEFGH = 4.
Vypočítajme teraz plochu bočnej steny Cheopsovej pyramídy SD. Pretože výška AB trojuholník AEF rovná t, potom sa plocha bočnej plochy bude rovnať SD = t. Potom sa celková plocha všetkých štyroch bočných stien pyramídy bude rovnať 4 t a pomer celkovej vonkajšej plochy pyramídy k ploche základne sa bude rovnať zlatému pomeru! To je to, čo to je - hlavná geometrická záhada Cheopsovej pyramídy!
Do skupiny" geometrické zázraky„Cheopsovej pyramíde možno pripísať skutočné a fiktívne vlastnosti vzťahov medzi rôznymi dimenziami v pyramíde.
Spravidla sa získavajú pri hľadaní určitých „konštantín“, najmä čísla „pi“ (Ludolfovo číslo), ktoré sa rovná 3,14159...; základ prirodzených logaritmov "e" (neperovské číslo), rovný 2,71828...; číslo "F", číslo "zlatého rezu", rovné napríklad 0,618... atď.
Môžete pomenovať napr.: 1) Vlastnosť Herodota: (Výška)2 = 0,5 čl. základné x Apothem; 2) Majetok V. Cena: Výška: 0,5 čl. základ = Druhá odmocnina z "F"; 3) Vlastnosť M. Eista: Obvod základne: 2 Výška = "Pi"; v inej interpretácii - 2 polievkové lyžice. základné : Výška = "Pi"; 4) Vlastnosť G. Hrany: Polomer vpísanej kružnice: 0,5 čl. základné = "F"; 5) Majetok K. Kleppischa: (čl. main.)2: 2(čl. hlavný. x apotém) = (čl. hlavný. W. Apothema) = 2 (čl. hlavný. x apotém) : ((2 čl. . hlavný X Apotém) + (v. hlavný)2). Atď. Takýchto vlastností môžete vymyslieť veľa, najmä ak spojíte dve susediace pyramídy. Napríklad ako „Vlastnosti A. Arefyeva“ možno uviesť, že rozdiel v objemoch Cheopsovej pyramídy a Rachefovej pyramídy sa rovná dvojnásobku objemu Mikerinovej pyramídy...
veľa zaujímavé ustanovenia Najmä stavba pyramíd podľa „zlatého rezu“ je opísaná v knihách D. Hambidgea „Dynamická symetria v architektúre“ a M. Gicka „Estetika proporcie v prírode a umení“. Pripomeňme si, že „zlatý pomer“ je rozdelenie segmentu v takom pomere, že časť A je toľkokrát väčšia ako časť B, koľkokrát A je menšia ako celý segment A + B. Pomer A/B sa rovná číslu „F“ == 1,618 .. Použitie „zlatého rezu“ je uvedené nielen v jednotlivých pyramídach, ale aj v celom komplexe pyramíd v Gíze.
Najzaujímavejšie však je, že jedna a tá istá Cheopsova pyramída jednoducho „nemôže“ obsahovať toľko úžasných vlastností. Ak vezmeme určitú vlastnosť jednu po druhej, možno ju „vybaviť“, ale všetky sa nezmestia naraz - nezhodujú sa, protirečia si. Ak teda napríklad pri kontrole všetkých vlastností zoberieme na začiatku rovnakú stranu základne pyramídy (233 m), potom sa budú líšiť aj výšky pyramíd s rôznymi vlastnosťami. Inými slovami, existuje určitá „rodina“ pyramíd, ktoré sú zvonka podobné Cheopsovi, ale majú odlišné vlastnosti. Všimnite si, že v „geometrických“ vlastnostiach nie je nič mimoriadne zázračné - veľa vyplýva čisto automaticky z vlastností samotnej postavy. Za „zázrak“ treba považovať len niečo, čo bolo pre starých Egypťanov zjavne nemožné. Patria sem najmä „kozmické“ zázraky, v ktorých sa merania Cheopsovej pyramídy alebo pyramídového komplexu v Gíze porovnávajú s niektorými astronomickými meraniami a uvádzajú sa „párne“ čísla: miliónkrát menej, miliardakrát menej a tak ďalej. Uvažujme o niektorých „kozmických“ vzťahoch.
Jedno z tvrdení znie: „ak vydelíte stranu základne pyramídy presnou dĺžkou roka, dostanete presne 10 milióntin roka. zemská os". Vypočítajte: vydeľte 233 číslom 365, dostaneme 0,638. Polomer Zeme je 6378 km.
Ďalšie tvrdenie je vlastne opakom predchádzajúceho. F. Noetling poukázal na to, že ak použijete „egyptský lakeť“, ktorý sám vymyslel, strana pyramídy bude zodpovedať „najpresnejšej dobe trvania slnečný rok, vyjadrené na najbližšiu miliardtinu dňa“ - 365 540 903 777.
Výrok P. Smitha: "Výška pyramídy je presne jedna miliardtina vzdialenosti od Zeme k Slnku." Aj keď je výška zvyčajne 146,6 m, Smith ju považoval za 148,2 m. Podľa moderných radarových meraní je hlavná poloos zemskej dráhy 149 597 870 + 1,6 km. Toto je priemerná vzdialenosť od Zeme k Slnku, ale v perihéliu je to o 5 000 000 kilometrov menej ako v aféliu.
Posledné zaujímavé tvrdenie:
"Ako môžeme vysvetliť, že hmotnosti pyramíd Cheops, Khafre a Mykerinus navzájom súvisia, ako sú hmotnosti planét Zem, Venuša, Mars?" Poďme počítať. Hmotnosti troch pyramíd sú: Khafre - 0,835; Cheops - 1 000; Mikerin - 0,0915. Pomery hmotností troch planét: Venuša - 0,815; Zem - 1 000; Mars - 0,108.
Takže napriek skepticizmu si všimneme dobre známu harmóniu konštrukcie výrokov: 1) výška pyramídy, ako čiara „ide do vesmíru“, zodpovedá vzdialenosti od Zeme k Slnku; 2) strana základne pyramídy, ktorá je najbližšie „k substrátu“, teda k Zemi, je zodpovedná za zemský polomer a zemský obeh; 3) objemy pyramídy (čítaj - hmotnosti) zodpovedajú pomeru hmotností planét najbližších k Zemi. Podobnú „šifru“ možno vysledovať napríklad vo včelej reči, ktorú analyzoval Karl von Frisch. Zatiaľ sa však k tejto záležitosti nebudeme vyjadrovať.
TVAR PYRAMÍDY
Slávny štvorstenný tvar pyramíd nevznikol okamžite. Skýti robili pohrebiská vo forme hlinených kopcov - mohýl. Egypťania stavali „kopce“ z kameňa – pyramídy. Prvýkrát sa tak stalo po zjednotení Horného a Dolného Egypta, v 28. storočí pred Kristom, keď zakladateľ tretej dynastie faraón Džoser (Zoser) stál pred úlohou posilniť jednotu krajiny.
A tu, podľa historikov, " nový koncept„zbožštenie“ kráľa Hoci sa kráľovské pohrebiská vyznačovali väčšou nádherou, v zásade sa nelíšili od hrobiek dvorných šľachticov, išlo o rovnaké stavby – mastaby Nad komorou so sarkofágom, v ktorom bola múmia kopec malých kameňov, kde bola potom umiestnená malá budova z veľkých kamenných blokov - „mastaba“ (v arabčine - „lavička“) Na mieste mastaby svojho predchodcu Sanakhta postavil faraón Džoser prvú pyramída bola stupňovitá a bola viditeľným prechodným štádiom od jednej architektonickej formy k druhej.
Takto faraóna „vychoval“ mudrc a architekt Imhotep, ktorého neskôr považovali za čarodejníka a Gréci ho stotožňovali s bohom Asclepiusom. Akoby sa postavilo šesť mastáb za sebou. Prvá pyramída navyše zaberala plochu 1125 x 115 metrov s odhadovanou výškou 66 metrov (podľa egyptských štandardov - 1000 „paliem“). Architekt najskôr plánoval postaviť mastabu, nie však podlhovastého, ale štvorcového pôdorysu. Neskôr bola rozšírená, ale keďže bola prístavba robená nižšie, zdalo sa, že sú tam dva schodíky.
Táto situácia architekta neuspokojila a na hornú plošinu obrovskej plochej mastaby umiestnil Imhotep ďalšie tri, ktoré sa smerom k vrcholu postupne znižovali. Hrobka sa nachádzala pod pyramídou.
Je známych niekoľko ďalších stupňovitých pyramíd, ale neskôr stavitelia prešli na stavbu štvorstenných pyramíd, ktoré sú nám známejšie. Prečo však nie trojuholníkový alebo povedzme osemuholníkový? Nepriama odpoveď je daná skutočnosťou, že takmer všetky pyramídy sú dokonale orientované pozdĺž štyroch svetových strán, a preto majú štyri strany. Okrem toho bola pyramída „domom“, plášťom štvorhrannej pohrebnej komory.
Čo však určilo uhol sklonu tvárí? V knihe „Princíp proporcií“ je tomu venovaná celá kapitola: „Čo mohlo určiť uhly sklonu pyramíd. Predovšetkým sa uvádza, že „obraz, ku ktorému sa priťahujú veľké pyramídy Starej ríše, je trojuholník s pravým uhlom na vrchole.
Vo vesmíre je to poloktaedrón: pyramída, v ktorej sú okraje a strany základne rovnaké, okraje sú rovnostranné trojuholníky." Určité úvahy o tejto téme sú uvedené v knihách Hambidge, Gick a ďalších.
Aká je výhoda poloktaedrónového uhla? Podľa opisov archeológov a historikov sa niektoré pyramídy zrútili vlastnou váhou. Potrebný bol „uhol trvanlivosti“, uhol, ktorý bol energeticky najspoľahlivejší. Čisto empiricky možno tento uhol zobrať z vrcholového uhla v hromade rozpadajúceho sa suchého piesku. Ak však chcete získať presné údaje, musíte použiť model. Keď vezmete štyri pevne pripevnené gule, musíte na ne umiestniť piatu a zmerať uhly sklonu. Tu sa však môžete pomýliť, preto pomáha teoretický výpočet: stredy loptičiek by ste mali spájať čiarami (mentálne). Základňa bude štvorec so stranou rovnajúcou sa dvojnásobku polomeru. Štvorec bude len základňou pyramídy, ktorej dĺžka hrán bude tiež rovná dvojnásobku polomeru.
Tesné balenie loptičiek ako 1:4 nám teda poskytne pravidelný poloktaedrón.
Prečo si ho však mnohé pyramídy, tiahnuce sa k podobnému tvaru, nezachovajú? Pyramídy pravdepodobne starnú. Na rozdiel od známeho výroku:
„Všetko na svete sa bojí času a čas sa bojí pyramíd,“ budovy pyramíd musia starnúť, môžu a mali by v nich prebiehať nielen procesy vonkajšieho zvetrávania, ale aj procesy vnútorného „zmršťovania“, ktoré môže spôsobiť, že pyramídy budú nižšie. Zmrašťovanie je možné aj preto, že, ako odhalila práca D. Davidovitsa, starí Egypťania používali technológiu výroby blokov z vápenných triesok, inými slovami, z „betónu“. Práve podobné procesy by mohli vysvetliť dôvod zničenia Medumskej pyramídy, ktorá sa nachádza 50 km južne od Káhiry. Má 4600 rokov, rozmery základne 146 x 146 m, výška 118 m. „Prečo je taký znetvorený?“ pýta sa V. Zamarovský „Zvyčajné odkazy na ničivé pôsobenie času a „použitie kameňa na iné stavby“ tu nie sú vhodné.
Veď väčšina jej blokov a obkladových dosiek zostala dodnes na svojom mieste, v troskách na jej úpätí.“ Ako uvidíme, množstvo ustanovení nás dokonca núti myslieť si, že sa „scvrkla“ aj slávna Cheopsova pyramída. v každom prípade, na všetkých starovekých obrazoch sú pyramídy špicaté ...
Tvar pyramíd mohol vzniknúť aj napodobňovaním: niektoré prírodné vzorky, „zázračná dokonalosť“, povedzme nejaké kryštály vo forme osemstenu.
Podobné kryštály by mohli byť diamantové a zlaté kryštály. Charakteristický veľké množstvo„prekrývajúce sa“ znaky pre také pojmy ako faraón, slnko, zlato, diamant. Všade - ušľachtilý, brilantný (brilantný), skvelý, dokonalý a tak ďalej. Podobnosti nie sú náhodné.
Slnečný kult, ako je známe, tvoril dôležitú súčasť náboženstva Staroveký Egypt. „Bez ohľadu na to, ako preložíme názov najväčšej z pyramíd,“ poznamenáva jedna z moderných príručiek „Chufuova obloha“ alebo „Khufuová obloha“, znamenalo to, že kráľom je slnko. Ak si Chufu v lesku svojej sily predstavoval, že je druhým slnkom, potom sa jeho syn Djedef-Ra stal prvým z egyptských kráľov, ktorý sa nazýval „synom Ra“, teda synom Slnka. Takmer vo všetkých národoch bolo slnko symbolizované „slnečným kovom“, zlatom. „Veľký kotúč jasného zlata“ - tak Egypťania nazývali naše denné svetlo. Egypťania dokonale poznali zlato, poznali jeho pôvodné formy, kde sa zlaté kryštály môžu objaviť v podobe osemstenov.
„Slnečný kameň“ – diamant – je tu tiež zaujímavý ako „vzorka foriem“. Názov diamantu pochádza presne od arabskom svete, "almas" - najtvrdší, najtvrdší, nezničiteľný. Starovekí Egypťania poznali diamant a jeho vlastnosti celkom dobre. Podľa niektorých autorov dokonca na vŕtanie používali bronzové rúrky s diamantovými frézami.
V súčasnosti je hlavným dodávateľom diamantov južná Afrika, no na diamanty je bohatá aj západná Afrika. Územie Republiky Mali sa dokonca nazýva „Diamantová krajina“. Medzitým na území Mali žijú Dogoni, s ktorými priaznivci hypotézy paleo-návštev vkladajú veľa nádejí (pozri nižšie). Diamanty nemohli byť dôvodom kontaktov starých Egypťanov s týmto regiónom. Tak či onak je však možné, že práve kopírovaním osemstenov diamantu a zlatých kryštálov tak starí Egypťania zbožštili faraónov, „nezničiteľných“ ako diamant a „brilantných“ ako zlato, synov Slnka, porovnateľných len k najúžasnejším výtvorom prírody.
Záver:
Po štúdiu pyramídy ako geometrického telesa, oboznámení sa s jej prvkami a vlastnosťami sme sa presvedčili o opodstatnenosti názoru o kráse tvaru pyramídy.
Ako výsledok nášho výskumu sme dospeli k záveru, že Egypťania, ktorí zhromaždili najcennejšie matematické poznatky, ich stelesnili do pyramídy. Preto je pyramída skutočne najdokonalejším výtvorom prírody a človeka.
BIBLIOGRAFIA
„Geometria: učebnica. pre 7-9 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie\ atď. - 9. vyd. - M.: Školstvo, 1999
História matematiky v škole, M: „Prosveshchenie“, 1982.
Geometria 10-11 ročníkov, M: "Osvietenie", 2000
Peter Tompkins „Tajomstvá Veľkej Cheopsovej pyramídy“, M: „Tsentropoligraf“, 2005.
Internetové zdroje
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Trojrozmerná postava, ktorá sa často objavuje v geometrických úlohách, je pyramída. Najjednoduchšia zo všetkých figúrok v tejto triede je trojuholníková. V tomto článku budeme podrobne analyzovať základné vzorce a vlastnosti správneho
Geometrické predstavy o postave
Predtým, ako prejdeme k zváženiu vlastností pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, pozrime sa bližšie na to, o akom druhu postavy hovoríme.
Predpokladajme, že v trojrozmernom priestore existuje ľubovoľný trojuholník. Vyberme v tomto priestore ľubovoľný bod, ktorý neleží v rovine trojuholníka a spojíme ho s tromi vrcholmi trojuholníka. Máme trojuholníkovú pyramídu.
Skladá sa zo 4 strán, z ktorých všetky sú trojuholníky. Body, v ktorých sa stretávajú tri steny, sa nazývajú vrcholy. Figúrka ich má tiež štyri. Priesečníky dvoch plôch sú hrany. Daná pyramída má 6 hrán Obrázok nižšie ukazuje príklad tohto obrázku.
Keďže obrazec je tvorený štyrmi stranami, nazýva sa aj štvorsten.
Správna pyramída
Vyššie sme uvažovali o ľubovoľnej postave s trojuholníkovou základňou. Teraz predpokladajme, že nakreslíme kolmý segment od vrcholu pyramídy k jej základni. Tento segment sa nazýva výška. Je zrejmé, že pre postavu môžete nakresliť 4 rôzne výšky. Ak výška pretína trojuholníkovú základňu v geometrickom strede, potom sa takáto pyramída nazýva priama.
Rovná pyramída, ktorej základňou je rovnostranný trojuholník, sa nazýva pravidelná. Pre ňu tvoria všetky tri trojuholníky bočný povrch postavy sú rovnoramenné a navzájom si rovné. Špeciálnym prípadom pravidelnej pyramídy je situácia, keď všetky štyri strany sú rovnostranné zhodné trojuholníky.
Uvažujme o vlastnostiach pravidelnej trojuholníkovej pyramídy a uveďme zodpovedajúce vzorce na výpočet jej parametrov.
Základná strana, výška, bočný okraj a apotém
Akékoľvek dva z uvedených parametrov jednoznačne určujú ďalšie dve charakteristiky. Uveďme vzorce, ktoré spájajú tieto množstvá.
Predpokladajme, že strana podstavy pravidelnej trojuholníkovej pyramídy je a. Dĺžka jeho bočného okraja je b. Akú výšku bude mať pravidelná trojuholníková pyramída a jej apotém?
Pre výšku h dostaneme výraz:
Tento vzorec vyplýva z Pytagorovej vety, pre ktorú je bočná hrana, výška a 2/3 výšky základne.
Apotém pyramídy je výška ľubovoľného bočného trojuholníka. Dĺžka apotému ab sa rovná:
a b = √(b 2 - a 2 /4)
Z týchto vzorcov je zrejmé, že bez ohľadu na stranu podstavy trojuholníkového pravidelného ihlana a dĺžku jeho bočnej hrany bude apotém vždy väčší ako výška pyramídy.
Dva uvedené vzorce obsahujú všetky štyri lineárne charakteristiky príslušného obrázku. Preto vzhľadom na známe dva z nich môžete zvyšok nájsť riešením systému písomných rovnosti.
Objem obrázku
Pre absolútne akúkoľvek pyramídu (vrátane naklonenej) možno hodnotu objemu priestoru, ktorý je ňou obmedzený, určiť na základe znalosti výšky postavy a plochy jej základne. Zodpovedajúci vzorec je:
Aplikovaním tohto výrazu na príslušný obrázok dostaneme nasledujúci vzorec:
Kde výška pravidelného trojuholníkového ihlanu je h a jeho základná strana je a.
Nie je ťažké získať vzorec pre objem štvorstenu, v ktorom sú všetky strany rovnaké a predstavujú rovnostranné trojuholníky. V tomto prípade je objem obrázku určený vzorcom:
To znamená, že je určená jednoznačne dĺžkou strany a.
Plocha povrchu
Pokračujme v úvahách o vlastnostiach pravidelnej trojuholníkovej pyramídy. Celková plocha všetkých tvárí postavy sa nazýva jej povrch. Posledne menované možno pohodlne študovať zvážením zodpovedajúceho vývoja. Obrázok nižšie ukazuje, ako vyzerá vývoj pravidelnej trojuholníkovej pyramídy.
Predpokladajme, že poznáme výšku h a stranu podstavy a obrázku. Potom sa plocha jeho základne bude rovnať:
Každý školák môže získať tento výraz, ak si pamätá, ako nájsť oblasť trojuholníka, a tiež berie do úvahy, že nadmorská výška rovnostranného trojuholníka je tiež osou a stredom.
Bočný povrch tvorený tromi rovnakými rovnoramennými trojuholníkmi je:
Sb = 3/2*√(a2/12+h2)*a
Táto rovnosť vyplýva z vyjadrenia apotému pyramídy z hľadiska výšky a dĺžky základne.
Celková plocha obrázku je:
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Všimnite si, že pre štvorsten, v ktorom sú všetky štyri strany identické rovnostranné trojuholníky, bude plocha S rovná:
Vlastnosti pravidelného zrezaného trojuholníkového ihlana
Ak je vrchol uvažovanej trojuholníkovej pyramídy odrezaný rovinou rovnobežnou so základňou, potom sa zostávajúca spodná časť bude nazývať zrezaná pyramída.
V prípade trojuholníkovej základne je výsledkom opísaného spôsobu delenia nový trojuholník, ktorý je tiež rovnostranný, ale má kratšiu dĺžku strany ako strana základne. Nižšie je znázornená zrezaná trojuholníková pyramída.
Vidíme, že toto číslo je už obmedzené na dva trojuholníkové základne a tri rovnoramenné lichobežníky.
Predpokladajme, že výška výsledného útvaru sa rovná h, dĺžky strán spodnej a hornej základne sú a 1 a a 2 a apotéma (výška lichobežníka) sa rovná a b. Potom sa povrch skrátenej pyramídy môže vypočítať pomocou vzorca:
S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)
Tu je prvým pojmom plocha bočného povrchu, druhým pojmom plocha trojuholníkových základní.
Objem figúry sa vypočíta takto:
V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)
Na jednoznačné určenie vlastností zrezanej pyramídy je potrebné poznať jej tri parametre, ako to demonštrujú uvedené vzorce.
Naďalej zvažujeme úlohy zahrnuté v Jednotnej štátnej skúške z matematiky. Už sme študovali problémy, kde je daná podmienka a je potrebné nájsť vzdialenosť medzi dvoma danými bodmi alebo uhol.
Pyramída je mnohosten, ktorého základňa je mnohouholník, ostatné steny sú trojuholníky a majú spoločný vrchol.
Pravidelná pyramída je pyramída, na základni ktorej leží pravidelný mnohouholník a jej vrchol sa premieta do stredu základne.
Pravidelný štvoruholníkový ihlan - podstavou je štvorec Vrch ihlana sa premieta do priesečníka uhlopriečok podstavy (štvorca).
ML - apotém
∠MLO - dihedrálny uhol na základni pyramídy
∠MCO - uhol medzi bočným okrajom a rovinou základne pyramídy
V tomto článku sa pozrieme na problémy na vyriešenie pravidelnej pyramídy. Musíte nájsť nejaký prvok, bočnú plochu, objem, výšku. Samozrejme, musíte poznať Pytagorovu vetu, vzorec pre plochu bočného povrchu pyramídy a vzorec na nájdenie objemu pyramídy.
V článku "" predstavuje vzorce, ktoré sú potrebné na riešenie problémov v stereometrii. Takže úlohy:
SABCD bodka O- stred základne,S vrchol, SO = 51, A.C.= 136. Nájdite bočnú hranuS.C..
V tomto prípade je základom štvorec. To znamená, že uhlopriečky AC a BD sú rovnaké, pretínajú sa a sú rozpoltené priesečníkom. Všimnite si, že v pravidelnej pyramíde výška spadnutá z jej vrcholu prechádza stredom základne pyramídy. Takže SO je výška a trojuholníkSOCpravouhlý. Potom podľa Pytagorovej vety:
Ako extrahovať koreň z veľké číslo.
odpoveď: 85
Rozhodnite sa sami:
V pravo štvorhranná pyramída SABCD bodka O- stred základne, S vrchol, SO = 4, A.C.= 6. Nájdite bočnú hranu S.C..
V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- stred základne, S vrchol, S.C. = 5, A.C.= 6. Nájdite dĺžku segmentu SO.
V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- stred základne, S vrchol, SO = 4, S.C.= 5. Nájdite dĺžku segmentu A.C..
SABC R- stred rebra B.C., S- vrchol. To je známe AB= 7, a S.R.= 16. Nájdite plochu bočného povrchu.
Plocha bočného povrchu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému (apotém je výška bočnej steny pravidelnej pyramídy vytiahnutej z jej vrcholu):
Alebo môžeme povedať toto: plocha bočného povrchu pyramídy sa rovná súčtu plôch troch bočných stien. Bočné okraje v správnom smere trojuholníková pyramída sú trojuholníky s rovnakou plochou. V tomto prípade:
odpoveď: 168
Rozhodnite sa sami:
V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC R- stred rebra B.C., S- vrchol. To je známe AB= 1, a S.R.= 2. Nájdite plochu bočného povrchu.
V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC R- stred rebra B.C., S- vrchol. To je známe AB= 1 a plocha bočného povrchu je 3. Nájdite dĺžku segmentu S.R..
V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC L- stred rebra B.C., S- vrchol. To je známe SL= 2 a plocha bočného povrchu je 3. Nájdite dĺžku segmentu AB.
V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC M. Oblasť trojuholníka ABC je 25, objem pyramídy je 100. Nájdite dĺžku segmentu PANI.
Základňa pyramídy je rovnostranný trojuholník. Preto Mje stred základne aPANI- výška pravidelnej pyramídySABC. Objem pyramídy SABC rovná sa: zobraziť riešenie
V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC stredy základne sa pretínajú v bode M. Oblasť trojuholníka ABC rovná sa 3, PANI= 1. Nájdite objem pyramídy.
V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC stredy základne sa pretínajú v bode M. Objem pyramídy je 1, PANI= 1. Nájdite obsah trojuholníka ABC.
Skončime tu. Ako vidíte, problémy sa riešia v jednom alebo dvoch krokoch. V budúcnosti zvážime ďalšie problémy z tejto časti, kde sú uvedené revolučné orgány, nenechajte si to ujsť!
Prajem ti úspech!
S pozdravom Alexander Krutitskikh.
P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.
Tu nájdete základné informácie o pyramídach a súvisiacich vzorcoch a pojmoch. Všetky sa študujú s učiteľom matematiky v rámci prípravy na jednotnú štátnu skúšku.
Uvažujme rovinu, mnohouholník 
, ležiaci v ňom a bod S, ktorý v ňom neleží. Spojme S so všetkými vrcholmi mnohouholníka. Výsledný mnohosten sa nazýva pyramída. Segmenty sa nazývajú bočné rebrá. 
Mnohouholník sa nazýva základňa a bod S je vrchol pyramídy. V závislosti od čísla n sa pyramída nazýva trojuholníková (n=3), štvoruholníková (n=4), päťuholníková (n=5) atď. Alternatívny názov pre trojuholníkovú pyramídu je štvorsten. Výška pyramídy je kolmica klesajúca z jej vrcholu k rovine základne. 
Pyramída sa nazýva pravidelné ak pravidelný mnohouholník a základňa nadmorskej výšky pyramídy (základňa kolmice) je jej stredom.
Komentár lektora:
Nezamieňajte si pojmy „pravidelná pyramída“ a „pravidelný štvorsten“. V pravidelnej pyramíde sa bočné hrany nemusia nevyhnutne rovnať hranám základne, ale v pravidelnom štvorstene je všetkých 6 hrán rovnakých. Toto je jeho definícia. Je ľahké dokázať, že rovnosť znamená, že stred P polygónu sa zhoduje s výškou základne, takže pravidelný štvorsten je pravidelná pyramída.
Čo je to apotém?
Apotémou pyramídy je výška jej bočnej steny. Ak je pyramída pravidelná, potom sú všetky jej apotémy rovnaké. Opak nie je pravdou. 
Doučovateľ matematiky o svojej terminológii: 80 % práce s pyramídami je postavených prostredníctvom dvoch typov trojuholníkov:
1) Obsahuje apotém SK a výšku SP
2) Obsahuje bočnú hranu SA a jej projekciu PA 
Na zjednodušenie odkazov na tieto trojuholníky je pre učiteľa matematiky vhodnejšie zavolať prvý z nich apotemálny a po druhé pobrežný. Žiaľ, túto terminológiu nenájdete v žiadnej z učebníc a učiteľ ju musí zaviesť jednostranne.
Vzorec pre objem pyramídy:
1) 
, kde je plocha základne pyramídy a výška pyramídy
2), kde je polomer zapísanej gule a je plocha celkového povrchu pyramídy.
3) 
, kde MN je vzdialenosť medzi akýmikoľvek dvoma krížiacimi sa hranami a je to plocha rovnobežníka tvoreného stredmi štyroch zostávajúcich hrán.
Vlastnosť základne výšky pyramídy:
Bod P (pozri obrázok) sa zhoduje so stredom vpísanej kružnice na základni pyramídy, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
1) Všetky apotémy sú si rovné
2) Všetky bočné plochy sú rovnako naklonené k základni
3) Všetky apotémy sú rovnako naklonené k výške pyramídy
4) Výška pyramídy je rovnako naklonená ku všetkým bočným stenám
Komentár učiteľa matematiky: Upozorňujeme, že všetky body majú jedno spoločné všeobecný majetok: tak či onak, bočné steny sú zahrnuté všade (ich prvky sú apotémy). Preto môže tútor ponúknuť menej presnú, ale pre učenie vhodnejšiu formuláciu: bod P sa zhoduje so stredom vpísanej kružnice, základňou pyramídy, ak existujú rovnaké informácie o jej bočných stranách. Aby sme to dokázali, stačí ukázať, že všetky apotémové trojuholníky sú rovnaké.
Bod P sa zhoduje so stredom kružnice opísanej blízko základne pyramídy, ak je splnená jedna z troch podmienok:
1) Všetky bočné okraje sú rovnaké
2) Všetky bočné rebrá sú rovnako naklonené k základni
3) Všetky bočné rebrá sú rovnako sklonené do výšky
Definícia. Bočný okraj- je to trojuholník, v ktorom jeden uhol leží na vrchole pyramídy a opačná strana sa zhoduje so stranou základne (mnohouholníka).
Definícia. Bočné rebrá- to sú spoločné strany bočných plôch. Pyramída má toľko hrán, koľko uhlov má mnohouholník.
Definícia. Výška pyramídy- toto je kolmica spustená zhora k základni pyramídy.
Definícia. Apothem- je to kolmica na bočnú plochu pyramídy, spustená z vrcholu pyramídy na stranu základne.
Definícia. Diagonálny rez- je to rez pyramídy rovinou prechádzajúcou vrcholom pyramídy a uhlopriečkou podstavy.
Definícia. Správna pyramída je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník a výška klesá do stredu základne.
Objem a povrch pyramídy
Vzorec. Objem pyramídy cez základnú plochu a výšku:
Vlastnosti pyramídy
Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom je možné okolo základne pyramídy nakresliť kruh a stred základne sa zhoduje so stredom kruhu. Taktiež kolmica spadnutá zhora prechádza stredom základne (kruhu).
Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom sú naklonené k rovine základne v rovnakých uhloch.
Bočné rebrá sú rovnaké, keď tvoria rovinu základne rovnaké uhly alebo ak je možné opísať kruh okolo základne pyramídy.
Ak sú bočné steny naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom, potom je možné do základne pyramídy vpísať kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu.
Ak sú bočné plochy naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom, potom sú apotémy bočných plôch rovnaké.
Vlastnosti pravidelnej pyramídy
1. Vrch pyramídy je rovnako vzdialený od všetkých rohov základne.
2. Všetky bočné okraje sú rovnaké.
3. Všetky bočné rebrá sú naklonené v rovnakých uhloch k základni.
4. Apotémy všetkých bočných stien sú rovnaké.
5. Plochy všetkých bočných plôch sú rovnaké.
6. Všetky plochy majú rovnaké dihedrálne (ploché) uhly.
7. Okolo pyramídy možno opísať guľu. Stred opísanej gule bude priesečníkom kolmic, ktoré prechádzajú stredom hrán.
8. Môžete umiestniť guľu do pyramídy. Stred vpísanej gule bude priesečníkom priesečníkov vychádzajúcich z uhla medzi okrajom a základňou.
9. Ak sa stred vpísanej gule zhoduje so stredom opísanej gule, potom sa súčet rovinných uhlov vo vrchole rovná π alebo naopak, jeden uhol sa rovná π/n, kde n je číslo uhlov na základni pyramídy.
Spojenie medzi pyramídou a guľou
Okolo pyramídy možno opísať guľu, keď na základni pyramídy je mnohosten, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín prechádzajúcich kolmo cez stredy bočných hrán pyramídy.
Vždy je možné opísať guľu okolo akejkoľvek trojuholníkovej alebo pravidelnej pyramídy.
Guľa môže byť vpísaná do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v jednom bode (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Tento bod bude stredom gule.
Spojenie pyramídy s kužeľom
Kužeľ sa hovorí, že je vpísaný do pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je vpísaná do základne pyramídy.
Kužeľ môže byť vpísaný do pyramídy, ak sú apotémy pyramídy navzájom rovnaké.
Kužeľ je opísaný okolo pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je opísaná okolo základne pyramídy.
Kužeľ môže byť opísaný okolo pyramídy, ak sú všetky bočné hrany pyramídy rovnaké.
Vzťah medzi pyramídou a valcom
Pyramída sa nazýva vpísaná do valca, ak vrchol pyramídy leží na jednej základni valca a základňa pyramídy je vpísaná do inej základne valca.
Valec môže byť opísaný okolo pyramídy, ak je možné opísať kruh okolo základne pyramídy.
Štvorsten má štyri steny a štyri vrcholy a šesť hrán, pričom žiadne dve hrany nemajú spoločné vrcholy, ale nedotýkajú sa.
Každý vrchol pozostáva z troch plôch a hrán, ktoré tvoria trojuholníkový uhol.
Segment spájajúci vrchol štvorstenu so stredom protiľahlej plochy sa nazýva medián štvorstenu(GM).
Bimedián nazývaný segment spájajúci stredy protiľahlých hrán, ktoré sa nedotýkajú (KL).
Všetky bimediány a mediány štvorstenu sa pretínajú v jednom bode (S). V tomto prípade sú bimediány rozdelené na polovicu a mediány sú rozdelené v pomere 3: 1, začínajúc zhora.
Definícia. Akútna uhlová pyramída- pyramída, v ktorej má apotéma viac ako polovicu dĺžky strany podstavy.
Definícia. Tupá pyramída- pyramída, v ktorej má apotém menej ako polovicu dĺžky strany podstavy.
Definícia. Pravidelný štvorsten- štvorsten, v ktorom sú všetky štyri steny rovnostranné trojuholníky. Je to jeden z piatich pravidelných mnohouholníkov. V pravidelnom štvorstene sú všetky dihedrálne uhly (medzi plochami) a trojstenné uhly (vo vrchole) rovnaké.
Definícia. Obdĺžnikový štvorsten sa nazýva štvorsten, v ktorom medzi tromi hranami na vrchole je pravý uhol (hrany sú kolmé). Vytvárajú sa tri tváre pravouhlý trojuholníkový uhol a plochy sú pravouhlé trojuholníky a základňa je ľubovoľný trojuholník. Apotém akejkoľvek tváre sa rovná polovici strany základne, na ktorú padá apotém.
Definícia. Izoedrický štvorsten sa nazýva štvorsten, ktorého bočné strany sú si navzájom rovné a základňa je pravidelný trojuholník. Takýto štvorsten má steny, ktoré sú rovnoramennými trojuholníkmi.
Definícia. Ortocentrický štvorsten sa nazýva štvorsten, v ktorom sa všetky výšky (kolmice), ktoré sú znížené zhora na opačnú stranu, pretínajú v jednom bode.
Definícia. Hviezdna pyramída Mnohosten, ktorého základom je hviezda, sa nazýva.
