okolo osi, ktorá ho pretína (okolo reálnej osi).
D 
Aby sme prešli od rovnice priamky (43) k rovnici rotačnej plochy, nahradíme X na 
dostaneme rovnicu dvojlistového rotačného hyperboloidu
.
V dôsledku stlačenia tohto povrchu sa získa povrch daný rovnicou
.
(44)
Plocha, ktorá má v niektorom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme rovnicu v tvare (44), sa nazýva dvojlistový hyperboloid. Dve vetvy hyperboly tu zodpovedajú dvom nespojeným častiam („dutinám“) plochy, pričom pri konštrukcii jednolistového rotačného hyperboloidu každá vetva hyperboly opisuje celú plochu (obr. 60).
Asymptotický kužeľ pre dvojlistový hyperboloid sa určuje rovnako ako pre jednolistový hyperboloid (obr. 61).
Uvažujme teraz priesečníky dvojvrstvového hyperboloidu (44) s rovinami rovnobežnými so súradnicovými.
Lietadlo z = h v | h| < c pretína povrch (44) pozdĺž pomyselných elips, s | h| > c podľa skutočných. Ak A = b, potom sú tieto elipsy kružnice a hyperboloid je rotačný hyperboloid. Keď | h| = c dostaneme
,
t. j. pár konjugovaných čiar s jedným reálnym bodom (0; 0; s) (alebo (0; 0; – s) resp.).
Lietadlá x= α a r= β pretínajú hyperboloid (44) pozdĺž hyperbol
A 
.
8. eliptický paraboloid
Pri otáčaní paraboly x 2 = 2pz okolo jeho osi symetrie dostaneme plochu s rovnicou
x 2 + r 2 = 2pz,
n 
volal paraboloid revolúcie. Kompresia do roviny pri= 0 transformuje paraboloid rotácie na plochu s rovnicou
.
(45)
Plocha, ktorá má takúto rovnicu v niektorom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme sa nazýva eliptický paraboloid.
Vzhľad eliptického paraboloidu je jasný zo spôsobu jeho konštrukcie. To všetko sa nachádza na jednej strane lietadla z= 0, v polovičnom priestore z > 0 (obr. 62). Úseky podľa lietadiel z = h, h> 0 má rovnicu:
a sú to elipsy.
Rezy eliptického paraboloidu (45) rovinami pri= 0 a X= 0 sú paraboly
x 2 = 2a 2 z, r = 0; (46)
r 2 = 2b 2 z, x = 0. (47)
Tieto paraboly sa nazývajú hlavné paraboly eliptický paraboloid a parabola (46) sa budú bežne nazývať nehybný, a parabola (47) – mobilné.
Nasledujúca veľmi jasná konštrukcia eliptického paraboloidu môže byť daná posúvaním jednej paraboly pozdĺž druhej (predpokladá sa, že súradnicový systém je pravouhlý).
Zoberme si rez paraboloidom (45) rovinou x= α, získame v tejto rovine obsahujúcej súradnicový systém O 0 e 2 e 3 kde O 0 = (α, 0, 0), krivka, ktorej rovnica bude
,
x
= α
r 2 = 2b 2 (z – γ), x= α, (48)
Kde 
.
Presuňme sa k lietadlu x= α zo súradnicového systému Oe 2 e 3 do súradnicového systému O′ e 2 e 3 kde O′ = (α, 0, γ) je priesečník roviny x= α s pevnou parabolou x 2 = 2a 2 z, r = 0.
Presunutím pôvodu systému O 0 e 2 e 3 k veci O“, vykonala nasledujúcu transformáciu súradníc:
r = r′, z = z′ + γ.
V dôsledku tejto transformácie má rovnica (48) tvar:
r'2 = 2 pz′, x = α.
Krivka (48) je tá istá „pohybujúca sa“ parabola, ale prenášaná rovnobežne so sebou do roviny x= α. Tento prenos je možné vykonať nasledovne. Vrchol pohybujúcej sa paraboly kĺže pozdĺž pevnej paraboly z bodu O k veci O“ a samotná parabola sa pohybuje ako pevný, pričom celý čas zostáva v rovine rovnobežnej s rovinou yOz.
Tento výsledok možno formulovať ako nasledujúce vyhlásenie.
Eliptický paraboloid je plocha opísaná pohybom jednej („pohybujúcej sa“) paraboly (47) pozdĺž inej, pevnej paraboly (46), takže vrchol pohybujúcej sa paraboly kĺže po pevnej a rovina a os pohybujúce sa paraboly zostávajú po celý čas rovnobežné so sebou a predpokladá sa, že obe paraboly (pohyblivá a stacionárna) sú konkávne nasmerované rovnakým smerom (konkrétne na kladnej strane osi). Oz).
Všimnite si, že eliptický paraboloid nemá žiadne priamočiare generátory. Naozaj, priamka rovnobežná s rovinou xOy, môže pretínať iba úsek paraboloidu s určitou rovinou z = h, a táto sekcia, ako už bolo uvedené, je elipsa. To znamená, že priamka nemá viac ako dve spoločné body s paraboloidom.
Ak čiara nie je rovnobežná s rovinou xOy, potom jeho polpriamka leží v polpriestore z < 0, где нет ни одной точки параболоида. Таким образом, нет прямой, которая всеми своими точками лежала бы на эллиптическом параболоиде.
9. hyperbolický paraboloid
Analogicky s rovnicou (45) môžeme rovnicu napísať
.
(49)
Zavoláme povrch, ktorý má v niektorom súradnicovom systéme rovnicu tvaru (49). hyperbolický paraboloid.
Skúmajme vzhľad hyperbolického paraboloidu pomocou rezov (obr. 63). Úsek roviny z
= h je hyperbola, ktorá má v tejto rovine rovnicu:
alebo 
.
Pre veľké hodnoty h poloos hyperboly 
A 
sú veľké a klesajú s klesaním h. V tomto prípade je os hyperboly, ktorá ju pretína, rovnobežná s vektorom e
1 .
O h= 0, hyperbola sa zvrhne na pár pretínajúcich sa čiar
=>
,
.
Ak h < 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору e 2. Nápravové hriadele rastú s rastúcim | h|. Pomer poloosí pre všetky hyperboly s rovnakým znamienkom h jedno a to isté. Preto, ak nakreslíme všetky sekcie hyperbolického paraboloidu v rovnakej rovine, dostaneme rodinu všetkých hyperbol, ktoré majú ako asymptoty pár pretínajúcich sa priamok s rovnicami
,
.
Rezy hyperbolického paraboloidu s rovinami pri= 0 a X= 0 sú dve „hlavné paraboly“:
x 2 = 2a 2 z, r = 0 (50)
je pevná parabola a
r 2 = –2b 2 z, x = 0 (51)
- pohyblivá parabola.
Tieto paraboly sú konkávne v opačných smeroch: stacionárna je „hore“ (t. j. v kladnom smere osi Oz), a pohyblivý je „dole“ (t. j. v zápornom smere osi Oz). Úsek roviny x= α má v súradnicovom systéme O 0 e 2 e 3 kde O 0 = (α, 0, 0), rovnica
,
x
= α
r 2 = –2b 2 (z – z 0), x= α, (52)
Kde 
.
Po posunutí počiatku súradníc do bodu O′ = (α, 0, z 0, rovnica (51) bude mať tvar:
r'2 = –2 b 2 z′, x = α,
Kde r = r′, z = z′ + z 0 Posledná rovnica ukazuje, že krivka (52) je rovnaká pohyblivá parabola (51), len posunutá rovnobežne so sebou, keď jej vrchol kĺže pozdĺž pevnej paraboly z bodu. O V O′.
Z toho vyplýva nasledovné tvrdenie. Hyperbolický paraboloid definovaný (v pravouhlom súradnicovom systéme) rovnicou (49) je plocha opísaná parabolou. r 2
= –2b 2 z,
X= 0, keď sa pohybuje pozdĺž stacionárnej paraboly (50) tak, že vrchol pohyblivej paraboly kĺže pozdĺž stacionárnej paraboly a rovina a os pohyblivej paraboly zostávajú po celý čas rovnobežné, pričom obe paraboly svojou konkávnosťou vždy tvár v opačných smeroch: stacionárna s ich konkávnosťou „hore“, t.j. v kladnom smere osi O 
z, a pohyblivý je „dole“.
Z tejto konštrukcie je zrejmé, že hyperbolický paraboloid má tvar sedla.
Hyperbolický paraboloid, podobne ako jednovrstvový hyperboloid, má dve rodiny priamočiarych generátorov (obr. 64). Cez každý bod hyperbolického paraboloidu prechádzajú dve priamky, ktoré všetky ležia v tejto rovine.
Poďme nájsť rovnice priamočiarych generátorov. Prepíšme rovnicu (49) do tvaru
.
Uvažujme priamku definovanú ako priesečník dvoch rovín
(53)
Je zrejmé, že každý bod spĺňajúci rovnice (53) spĺňa aj rovnicu (49), ktorá je súčinom rovníc (53)
.
To znamená, že každý bod priamky (53) patrí do hyperbolického paraboloidu (49).
Rovná čiara je spracovaná podobne
Priamka (54) tiež leží so všetkými svojimi bodmi na hyperbolickom paraboloide.
DODATOK 2
JEDNORÁZOVÝ HYPERBOLOID ROTÁCIE
(stručné informácie)
Ak je pohyb tvoriacej priamky rotácia okolo nejakej pevnej priamky (osi), potom sa v tomto prípade vytvorená plocha nazýva rotačná plocha. Generujúcou čiarou môže byť plochá alebo priestorová krivka, ako aj priamka.
Každý bod tvoriacej priamky pri otáčaní okolo osi opisuje kružnicu, ktorá je umiestnená v rovine kolmej na os otáčania. Tieto kruhy sa nazývajú rovnobežky. V dôsledku toho roviny kolmé na os pretínajú rotačný povrch pozdĺž rovnobežiek. Priamka priesečníka rotačnej plochy s rovinou prechádzajúcou osou sa nazýva poludník. Všetky meridiány rotačného povrchu sú zhodné.
Množina všetkých rovnobežiek alebo poludníkov predstavuje súvislý rámec rotačnej plochy. Každým bodom na povrchu prechádza jedna rovnobežka a jeden poludník. Priemetne bodu sú umiestnené na zodpovedajúcich priemetoch rovnobežky alebo poludníka. Môžete nastaviť bod na povrchu alebo vytvoriť druhú projekciu bodu, ak je daný, pomocou rovnobežky alebo poludníka, ktorý prechádza týmto bodom. Geometrická časť determinantu rotačnej plochy pozostáva z osi rotácie a tvoriacej priamky.
Plochy vytvorené rotáciou priamky:
1. - rotačný valec vzniká otáčaním priamky rovnobežnej s osou;
2. - kužeľ otáčania je tvorený otáčaním priamky pretínajúcej os;
3. - rotáciou priamky pretínajúcej os sa vytvorí jednolistový rotačný hyperboloid;
Rovnobežky plochy sú kruhy.
Meridián povrchu je hyperbola.
Všetky uvedené regulované rotačné plochy sú plochy druhého rádu.
Plochy tvorené rotáciou kriviek druhého rádu okolo ich osí
1. Guľa vzniká otáčaním kružnice okolo jej priemeru.
2. Rotačný elipsoid vzniká otáčaním elipsy okolo hlavnej alebo vedľajšej osi.
3. Rotačný paraboloid vzniká otáčaním paraboly okolo svojej osi.
4. Jednolistový rotačný hyperboloid vznikne rotáciou hyperboly okolo jej pomyselnej osi (táto plocha vzniká aj rotáciou priamky: krok a-1).
Jednovrstvový hyperboloid je plocha, ktorej kanonická rovnica má tvar:
kde a, b, c sú kladné čísla.
Má tri roviny symetrie, tri osi symetrie a stred symetrie. Sú to súradnicové roviny, súradnicové osi a počiatok súradníc. Na zostrojenie hyperboloidu nájdeme jeho rezy rôznymi rovinami. Nájdite priesečník s rovinou xOy. V tejto rovine z = 0, takže
Táto rovnica v rovine xOy definuje elipsu s poloosami a a b (obr. 1). Nájdite priesečník s rovinou yOz. V tejto rovine x = 0, teda
Toto je rovnica hyperboly v rovine yOz, kde skutočná poloos je b a imaginárna poloos je c. Skonštruujme túto hyperbolu.
Rez rovinou xOz je tiež hyperbola s rovnicou
Nakreslíme aj túto hyperbolu, ale aby sme kresbu nepreťažili ďalšími čiarami, nebudeme jej asymptoty zobrazovať a asymptoty odstránime v reze rovinou yOz.
Nájdite priesečníky plochy s rovinami z = ± h, h > 0.
Ryža. 1. Rez jednovrstvovým hyperboloidom
Rovnice týchto riadkov sú:
Transformujme prvú rovnicu do tvaru
Táto rovnica je rovnicou elipsy podobnej elipse v rovine xOy, s koeficientom podobnosti a poloosami a 1 a b 1 . Výsledné rezy nakreslíme (obr. 2).
Ryža. 2. Obrázok jednolistového hyperboloidu pomocou rezov
Jednovrstvový rotačný hyperboloid možno získať otáčaním priamky pretínajúcej pomyselnú os, okolo ktorej sa priamka otáča. V tomto prípade sa získa priestorový obrazec (obr. 3), ktorého povrch je zložený z po sebe nasledujúcich polôh priamky počas otáčania.
Ryža. 3. Jednovrstvový rotačný hyperboloid získaný rotáciou priamky pretínajúcej os rotácie
Poludníkom takéhoto povrchu je hyperbola. Priestor vo vnútri tejto rotácie bude skutočný a mimo neho bude imaginárny. Rovina kolmá na imaginárnu os a disekujúca jednovrstvový hyperboloid v jeho minimálnom reze sa nazýva ohnisková rovina.
Známy obraz jednovrstvového hyperboloidu pre oko je znázornený na obr. 6.4.
Ak v rovnici a=b, potom rezy hyperboloidu rovinami rovnobežnými s rovinou xOy sú kružnice. V tomto prípade sa povrch nazýva jednovrstvový rotačný hyperboloid a možno ho získať rotáciou hyperboly ležiacej v rovine yOz okolo osi Oz (obr. 4).
Ryža. 4. Jednovrstvový rotačný hyperboloid,
Vzniká rotáciou hyperboly okolo svojej osi.
Existujú jednolistové a dvojlistové hyperboloidy revolúcie.
Jednolist (obr. 2-89) vzniká rotáciou hyperboly okolo pomyselnej osi (obr. 2.90). Povrch jednovrstvového hyperboloidu možno vytvoriť aj otáčaním priamky okolo osi, ktorá ju pretína (obr. 2-91).
Determinant jednolistového hyperboloidu S (l,i^P 1)
Determinant jednolistového hyperboloidu (generátor je priamka). Tvoriaca čiara a os kríženia sú priame čiary. Tento povrch je tiež klasifikovaný ako riadený povrch.
S (l, i^P 1, l° i)(Obr. 2-91).
Dvojlistový rotačný hyperboloid sa vytvorí rotáciou hyperboly okolo jej skutočnej osi.
Jeden zo spôsobov (obr. 2-92) konštrukcie jednolistového hyperboloidu: pretože vodorovné priemety všetkých tvoriacich čiar sa musia dotýkať priemetu obvodu hrdla, potom môže byť každá nasledujúca poloha priamočiarej tvoriacej priamky vytvorená nakreslením dotyčníc k priemetu obvodu hrdla.
Vynikajúci ruský inžinier V.G. Shukhov (1921) navrhol použiť jednovrstvový hyperboloid na stavbu odolných a technologicky vyspelých štruktúr (rádiové stožiare, vodárenské veže, majáky).
Konštrukčný algoritmus, ak je plocha daná rovnobežkami a vzdialenosťou ( l) od rovníka po hrdlo (obr. 2-92):
1. Zlomiť si hrdlo ( A, B, C...) a nižšie ( 1,2,3 ,..) rovnobežky na 12 rovnakých častí;
2. Z bodu 4 1 nakreslite generátory tak, aby sa dotýkali hrdla rovnobežne (t.j B 1 A E 1), na vodorovnom priemete hornej rovnobežky získame bod P 1, ktorý určí polohu hornej rovnobežky na čelnej projekcii. Tieto generátory a P 2 prejde cez rovnaké body ( 4 2, B 2, E 2).
3. Pre zostávajúce body zopakujte konštrukciu.
Iba tri rotačné plochy druhého rádu majú priamku ako svoj generátor. V závislosti od polohy tejto priamky vzhľadom na os možno získať tri typy riadených plôch rotácie druhého rádu:
1. valec, ak je tvoriaca čiara rovnobežná s osou rotácie x 2 + y 2 = R 2 ;
2. kužeľ, ak tvoriaca čiara pretína os otáčania k 2 (x 2 + y 2) – z 2 = 0;
3. jednolistový rotačný hyperboloid, ak sa os a tvoriaca čiara pretínajú
(x 2 + y 2) / a 2 – z 2 / d2 = 0
A nejaká čiara, ktorá prechádza počiatkom. Ak sa hyperbola začne otáčať okolo tejto osi, objaví sa duté rotačné teleso, ktoré bude hyperboloidom. Existujú dva typy hyperboloidov: jednolistový a dvojlistový. Jednovrstvový hyperboloid je daný rovnicou v tvare: x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1Ak vezmeme do úvahy toto priestorový obrazec vzhľadom na roviny Oxz a Oyz si možno všimnúť, že jej rezy sú hyperboly. Avšak rez jednovrstvovým hyperboloidom rovinou Oxy je elipsa. Najmenšia elipsa hyperboloidu sa nazýva hrdlová elipsa. V tomto prípade z=0 a elipsa prechádza počiatkom. Rovnica hrdla pri z=0 je napísaná takto: x^2/a^2 +y^2/b^2=1 Zostávajúce elipsy majú nasledujúci tvar: x^2/a^2 +y^2/b ^2=1+ h^2/c^2, kde h je výška jednolistového hyperboloidu.
Ak chcete zostrojiť hyperboloid, začnite zobrazením hyperboly v rovine Xoz. Nakreslite skutočnú poloos, ktorá sa zhoduje s osou y, a imaginárnu poloos, ktorá sa zhoduje s osou z. Zostrojte hyperbolu a potom zadajte určitú výšku h hyperboloidu. Potom na úrovni danej výšky nakreslite priame čiary rovnobežné s Ox a pretínajúce graf hyperboly v dolnom a hornom bode. Potom rovnakým spôsobom zostrojte v rovine Oyz hyperbolu, kde b je skutočné poloos prechádzajúca osou y a c je pomyselná poloos, ktorá sa tiež zhoduje s c c. Zostrojte rovnobežník v rovine Oxy, ktorý získate spojením bodov grafov hyperbol. Nakreslite elipsu hrdla tak, aby bola vpísaná do tohto rovnobežníka. Rovnakým spôsobom zostrojte zostávajúce elipsy. Výsledkom bude rotačné teleso – jednolistový hyperboloid, znázornený na obr
Dvojlistový hyperboloid dostal svoju zásluhu na dvoch rôzne povrchy, ktoré sú tvorené osou Oz. Rovnica takéhoto hyperboloidu má nasledujúci tvar: x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2=-1 Zostrojením hyperboly v rovinách Oxz a Oyz sa získajú dve dutiny. . Dvojlistový hyperboloid má sekcie, ktoré sú elipsami: x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1 Rovnako ako v prípade jednolistového hyperboloidu zostrojte hyperboly v rovinách Oxz a Oyz, ktoré budú umiestnené tak, ako je znázornené na obrázku 2. Zostavte rovnobežníky v spodnej a hornej časti, aby ste vytvorili elipsy. Po zostrojení elipsy odstráňte všetky konštrukcie a potom nakreslite dvojlistový hyperboloid.
Jediný jazdný pruh hyperboloidný predstavuje rotačnú postavu. Na jej vybudovanie je potrebné dodržiavať určitú metodiku. Najprv sa nakreslia poloosi, potom hyperboly a elipsy. Kombinácia všetkých týchto prvkov pomôže vytvoriť samotný priestorový obrazec.
Budete potrebovať
- -ceruzka,
- - papier,
- - matematická referenčná kniha.
Pokyny
Nakreslite hyperbolu v Xoz. Za týmto účelom nakreslite dve poloosi zhodné s osou y (skutočná poloos) a osou z (imaginárna poloos). Na ich základe zostrojte hyperbolu. Potom nastavte určitú výšku h a. Nakoniec na úrovni tohto daného nakreslite rovné čiary, ktoré budú rovnobežné s Ox a pretínajú graf hyperboly dvoma spôsobmi: spodnou a hornou.
Pri konštrukcii zostávajúcich elipsy zopakujte vyššie uvedené kroky. Nakoniec sa vytvorí jednodutinový výkres hyperboloidný A.
Jednodutinové hyperboloidný popísané na obrázku
- (grécky, z hyperboly hyperbola a podobnosť eidos). Otvorená zakrivená plocha 2. rádu, ktorá je výsledkom rotácie hyperboly. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910. HYPERBOLOIDNÁ gréčtina, z hyperboly, ... ... Slovník cudzích slov ruského jazyka
hyperboloidný- a, m. mat. Otvorená plocha vytvorená rotáciou hyperboly okolo jednej z jej osí. BAS 2. Hyperboloid inžiniera Garina. Lex. Jan. 1803: hyperboloid; SAN 1847: hyperbolický/d: BAS 1954: hyperbolický/id... Historický slovník Galicizmy ruského jazyka
HYPERBOLOID, hyperboloid, male. (mat.). Plocha vytvorená rotáciou hyperboly (v 1 hodnote). Ushakovov vysvetľujúci slovník. D.N. Ušakov. 1935 1940 ... Ušakovov vysvetľujúci slovník
Podstatné meno, počet synoným: 2 konoid (4) povrch (32) ASIS Slovník synonym. V.N. Trishin. 2013… Slovník synoným
Hyperboloid- Jednolistový hyperboloid. HYPERBOLOID (z pohľadu hyperboly a gréckeho eidos), povrch, ktorý sa získa rotáciou hyperboly okolo jednej z osí symetrie. V jednom prípade sa vytvorí dvojlistový hyperboloid, v druhom jednolistový... ... Ilustrovaný encyklopedický slovník
hyperboloidný- hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperboloidný vok. Hyperboloid, m rus. hyperboloid, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas
- (mat.) Pod týmto názvom sú známe dva druhy povrchov druhého rádu. 1) Homosexuálne geometrie Tento povrch súvisiaci s osami symetrie má rovnicu x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Jednopohlavné geometrie sú riadkovaný povrch a sú na ňom dva systémy... ... Encyklopedický slovník F. Brockhaus a I.A. Efron
M. Otvorená plocha vytvorená rotáciou hyperboly [hyperbola II] okolo jednej z jej osí (v geometrii). Efraimov výkladový slovník. T. F. Efremová. 2000... Moderné výkladový slovník ruský jazyk Efremova
Hyperboloid, hyperboloidy, hyperboloidy, hyperboloidy, hyperboloidy, hyperboloidy, hyperboloidy, hyperboloidy, hyperboloidy, hyperboloidy, hyperboloidy, hyperboloidy (Zdroj: “Kompletná akcentovaná paradigma podľa A. A. Zaliznyaka”) ... Formy slov
Neuzavretá stredová plocha druhého rádu. Existujú dva druhy plynu: plyn s jedným plátom a plyn s dvojitým plátom V správnom súradnicovom systéme (pozri obr.) má rovnica plynu s jedným plátom tvar: a plyn s dvoma plátmi má tvar: Čísla a, b a c (a segmenty ako ... ... Matematická encyklopédia
knihy
- , Alexej Tolstoj. Kniha obsahuje sci-fi romány A. N. Tolstého, ktoré vznikli v 20. rokoch minulého storočia...
- Hyperboloid inžiniera Garina. Aelita, Alexej Tolstoj. Román „Hyperboloid inžiniera Garina“ a príbeh „Aelita“ znamenali začiatok sovietskej sci-fi literatúry. Líšia sa tým, že fantastické témy sú dané v kombinácii s...
