Com base nos conceitos de determinantes de segunda e terceira ordem, podemos introduzir de forma semelhante o conceito de determinante de ordem n. Os determinantes de ordem superior à terceira são calculados, em regra, utilizando as propriedades dos determinantes formuladas no ponto 1.3., que são válidas para determinantes de qualquer ordem.
Usando a propriedade dos determinantes número 9 0, introduzimos a definição de um determinante de 4ª ordem:
Exemplo 2. Calcule usando uma expansão adequada.
Da mesma forma, é introduzido o conceito de determinante do 5º, 6º, etc. ordem. Portanto, o determinante de ordem n:
.
Todas as propriedades dos determinantes de 2ª e 3ª ordens, discutidas anteriormente, também são válidas para determinantes de enésima ordem.
Consideremos os principais métodos de cálculo de determinantes n-ª ordem.
Comente: Antes de aplicar este método, é útil, usando as propriedades básicas dos determinantes, zerar todos os elementos de uma determinada linha ou coluna, exceto um. (Método eficiente de redução de pedidos)
Método de redução à forma triangular consiste em tal transformação do determinante quando todos os seus elementos situados em um lado da diagonal principal tornam-se iguais a zero. Neste caso, o determinante é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
Exemplo 3. Calcule por redução à forma triangular.
Exemplo 4. Calcule usando o método efetivo de redução de pedido
.
Solução: de acordo com a propriedade de 4 0 determinantes, retiraremos o fator 10 da primeira linha e depois multiplicaremos sequencialmente a segunda linha por 2, por 2, por 1 e somaremos com a primeira, terceira e quarta linhas, respectivamente (propriedade 8 0).
.
O determinante resultante pode ser expandido em elementos da primeira coluna. Será reduzido a um determinante de terceira ordem, que é calculado pela regra de Sarrus (triângulo).
Exemplo 5. Calcule o determinante reduzindo-o à forma triangular.
.
Exemplo 3. Calcule usando relações de recorrência.
.
.
Aula 4. Matriz inversa. Classificação da matriz.
1. O conceito de matriz inversa
Definição 1. Quadrado matriz A de ordem n é chamada não degenerado, se for determinante | A| ≠ 0. No caso em que | A| = 0, a matriz A é chamada degenerar.
Somente para matrizes quadradas não singulares A é introduzido o conceito de matriz inversa A -1.
Definição 2 . Matriz A -1 é chamada reverter para uma matriz quadrada não singular A, se A -1 A = AA -1 = E, onde E é a matriz unitária de ordem n.
Definição 3
.
Matriz 
chamado anexado seus elementos são complementos algébricos 
matriz transposta 
.
Algoritmo para cálculo da matriz inversa pelo método da matriz adjunta.
, Onde 
.
Verificamos a exatidão do cálculo A -1 A = AA -1 = E. (E é a matriz identidade)
Matrizes A e A -1 recíproca. Se | A| = 0, então a matriz inversa não existe.
Exemplo 1. Dada uma matriz A. Certifique-se de que ela não seja singular e encontre a matriz inversa 
.
Solução: 
. Portanto a matriz é não singular.
Vamos encontrar a matriz inversa. Vamos compor complementos algébricos dos elementos da matriz A.
Nós temos 
.
Tendo discutido algumas características importantes dos problemas computacionais, voltemos nossa atenção para os métodos que são usados na matemática computacional para transformar problemas em uma forma conveniente para implementação em um computador e permitir a construção de algoritmos computacionais. Chamaremos esses métodos de computacionais. Com algum grau de convenção, os métodos computacionais podem ser divididos nas seguintes classes: 1) métodos de transformações equivalentes; 2)
métodos de aproximação; 3) métodos diretos (exatos); 4) métodos iterativos; 5) métodos de testes estatísticos (métodos de Monte Carlo). Um método que calcula uma solução para um problema específico pode ter uma estrutura bastante complexa, mas suas etapas elementares são, via de regra, a implementação dos métodos especificados. Vamos dar uma ideia geral sobre eles.
1. Métodos de transformações equivalentes.
Esses métodos permitem substituir o problema original por outro que tenha a mesma solução. A realização de transformações equivalentes acaba sendo útil se o novo problema for mais simples que o original ou tiver melhores propriedades, ou se houver um método de solução conhecido para ele, ou talvez um programa pronto.
Exemplo 3.13. Uma transformação equivalente da equação quadrática em forma (selecionando um quadrado completo) reduz o problema ao problema de calcular a raiz quadrada e leva às fórmulas (3.2) conhecidas por suas raízes.
As transformações equivalentes às vezes permitem reduzir a solução do problema computacional original à solução de um problema computacional de um tipo completamente diferente.
Exemplo 3.14. O problema de encontrar a raiz de uma equação não linear pode ser reduzido ao problema equivalente de encontrar o ponto mínimo global da função. Na verdade, a função não é negativa e atinge um valor mínimo igual a zero para aqueles e somente aqueles x para os quais
2. Métodos de aproximação.
Estes métodos permitem aproximar (aproximar) o problema original de outro, cuja solução é, em certo sentido, próxima da solução do problema original. O erro resultante de tal substituição é denominado erro de aproximação. Via de regra, um problema de aproximação contém alguns parâmetros que permitem ajustar a magnitude do erro de aproximação ou influenciar outras propriedades do problema. Costuma-se dizer que um método de aproximação converge se o erro de aproximação tende a zero à medida que os parâmetros do método tendem a um determinado valor limite.
Exemplo 3.15. Uma das maneiras mais simples de calcular a integral é aproximar a integral com base na fórmula para retângulos de tamanho
A etapa é um parâmetro de método aqui. Visto que é uma soma integral especialmente construída, segue-se da definição de uma integral definida que quando o método do retângulo converge,
Exemplo 3.16. Levando em consideração a definição da derivada de uma função, para seu cálculo aproximado, pode-se utilizar a fórmula. O erro aproximado desta fórmula de diferenciação numérica tende a zero quando
Um dos métodos de aproximação comuns é a discretização - uma substituição aproximada do problema original por um problema de dimensão finita, ou seja, um problema cujos dados de entrada e solução desejada podem ser especificados exclusivamente por um conjunto finito de números. Para problemas que não são de dimensão finita, esta etapa é necessária para posterior implementação em um computador, uma vez que um computador é capaz de operar apenas com um número finito de números. Nos Exemplos 3.15 e 3.16 acima, foi utilizada amostragem. Embora o cálculo exato da integral envolva o uso de um número infinito de valores (para todos, seu valor aproximado pode ser calculado usando um número finito de valores nos pontos a) Da mesma forma, o problema de cálculo da derivada, cuja solução exata envolve a operação de passagem ao limite em (e, portanto, o uso de um número infinito de valores da função se reduz a um cálculo aproximado da derivada em relação a dois valores da função.
Na resolução de problemas não lineares, vários métodos de linearização são amplamente utilizados, que consistem na substituição aproximada do problema original por problemas lineares mais simples. Exemplo 3.17. Seja necessário calcular aproximadamente o valor de em um computador capaz de realizar operações aritméticas simples. Observe que, por definição, x é uma raiz positiva de uma equação não linear. Deixe que haja alguma aproximação conhecida para Vamos substituir a parábola por uma linha reta que seja uma tangente traçada a ela em
ponto com a abcissa. O ponto de intersecção desta tangente com o eixo dá uma melhor aproximação e é encontrado a partir de uma equação linear. Resolvendo-a, obtemos uma fórmula aproximada
Por exemplo, se você pegar for, você obtém um valor refinado
Ao resolver diferentes classes de problemas computacionais, diferentes métodos de aproximação podem ser utilizados; Estes incluem métodos para regularizar a solução de problemas mal colocados. Observe que os métodos de regularização são amplamente utilizados para resolver problemas mal condicionados.
3. Métodos diretos.
Um método para resolver um problema é denominado direto se permite obter uma solução após realizar um número finito de operações elementares.
Exemplo 3.18. O método de cálculo das raízes de uma equação quadrática usando fórmulas é um método direto. As quatro operações aritméticas e a operação de raiz quadrada são consideradas elementares aqui.
Observe que uma operação elementar do método direto pode ser bastante complexa (calcular os valores de uma função elementar ou especial, resolver um sistema de equações algébricas lineares, calcular uma integral definida, etc.). O facto de ser aceite como elementar implica, em qualquer caso, que a sua implementação seja significativamente mais simples do que calcular a solução para todo o problema.
Ao construir métodos diretos, é dada atenção significativa à minimização do número de operações elementares.
Exemplo 3.19 (diagrama de Horner). Seja o problema calcular o valor de um polinômio
de acordo com os coeficientes dados e o valor do argumento x. Se você calcular o polinômio diretamente usando a fórmula (3.12) e encontrá-lo por multiplicação sequencial por x, precisará realizar operações de multiplicação e adição.
Um método de cálculo muito mais econômico é chamado de esquema de Horner. Baseia-se na escrita de um polinômio na seguinte forma equivalente:
A colocação dos parênteses determina a seguinte ordem de cálculo: Aqui, o cálculo do valor exigia a realização apenas de operações de multiplicação e adição.
O esquema de Horner é interessante porque dá um exemplo de método ótimo em termos do número de operações elementares. Em geral, um valor não pode ser obtido por nenhum método como resultado da realização de menos operações de multiplicação e adição.
Às vezes, os métodos diretos são chamados de exatos, o que significa que se não houver erros nos dados de entrada e se as operações elementares forem executadas com precisão, o resultado resultante também será preciso. Porém, ao implementar o método em um computador, é inevitável o aparecimento de um erro computacional, cuja magnitude depende da sensibilidade do método a erros de arredondamento. Muitos métodos diretos (exatos) desenvolvidos no período pré-máquina revelaram-se inadequados para cálculos de máquina precisamente por causa da sensibilidade excessiva a erros de arredondamento. Nem todos os métodos exatos são assim, mas é importante notar que o termo “exato”, não totalmente bem-sucedido, caracteriza as propriedades da implementação ideal do método, mas não a qualidade do resultado obtido em cálculos reais.
4. Métodos iterativos.
Estes são métodos especiais para construir aproximações sucessivas para resolver um problema. A aplicação do método começa com a seleção de uma ou mais aproximações iniciais. Para obter cada uma das aproximações subsequentes, um conjunto semelhante de ações é executado usando as aproximações encontradas anteriormente - iteração. A continuação ilimitada deste processo iterativo permite-nos teoricamente construir uma sequência infinita de aproximações à solução
sequência de iteração. Se esta sequência converge para uma solução do problema, então diz-se que o método iterativo converge. O conjunto de aproximações iniciais para as quais o método converge é denominado região de convergência do método.
Observe que os métodos iterativos são amplamente utilizados na resolução de uma ampla variedade de problemas usando computadores.
Exemplo 3.20. Vamos considerar o conhecido método iterativo projetado para calcular (onde o método de Newton. Vamos definir uma aproximação inicial arbitrária. Calculamos a próxima aproximação usando a fórmula derivada usando o método de linearização no exemplo 3.17 (ver fórmula (3.11)). Continuando este processo além disso, obtemos uma sequência iterativa na qual a próxima aproximação é calculada usando a fórmula recorrente
Sabe-se que este método converge em qualquer aproximação inicial, portanto sua região de convergência é o conjunto de todos os números positivos.
Vamos usá-lo para calcular o valor em um computador decimal de bits. Vamos definir (como no exemplo 3.17). Então, cálculos adicionais não terão sentido, pois devido à natureza limitada da grade de bits, todos os refinamentos subsequentes darão o mesmo resultado. Porém, a comparação com o valor exato mostra que já na terceira iteração foram obtidos 6 algarismos significativos corretos.
Usando o método de Newton como exemplo, discutiremos alguns problemas típicos de métodos iterativos (e não apenas deles). Os métodos iterativos são inerentemente aproximados; nenhuma das aproximações resultantes é o valor exato da solução. Porém, o método de iteração convergente permite, em princípio, encontrar uma solução com qualquer precisão, portanto, ao utilizar o método iterativo, a precisão necessária é sempre especificada e o processo iterativo é interrompido assim que for alcançado.
Embora o facto de o método convergir seja certamente importante, não é suficiente recomendar o método para utilização na prática. Se o método convergir muito lentamente (por exemplo, para obter uma solução com precisão de 1% é necessário fazer iterações), então ele não é adequado para cálculos computacionais. Os métodos rapidamente convergentes, que incluem o método de Newton, são de valor prático (lembre-se que a precisão no cálculo foi alcançada em apenas três iterações). Para estudar teoricamente a taxa de convergência e as condições de aplicabilidade dos métodos iterativos, são derivadas as chamadas estimativas de erro a priori, que permitem tirar algumas conclusões sobre a qualidade do método antes mesmo dos cálculos.
Vamos apresentar duas estimativas a priori para o método de Newton. Saiba-se que então para todos e os erros de duas aproximações sucessivas estão relacionados pela seguinte desigualdade:
Aqui está um valor que caracteriza o erro relativo da aproximação. Esta desigualdade indica uma taxa quadrática de convergência do método muito elevada: a cada iteração, o “erro” é elevado ao quadrado. Se expressarmos através do erro da aproximação inicial, obtemos a desigualdade
daí o papel de uma boa escolha de aproximação inicial. Quanto menor o valor, mais rápido o método convergirá.
A implementação prática de métodos iterativos está sempre associada à necessidade de selecionar um critério para encerrar o processo iterativo. Os cálculos não podem continuar indefinidamente e devem ser interrompidos de acordo com algum critério relacionado, por exemplo, ao alcance de uma determinada precisão. A utilização de estimativas a priori para este fim revela-se muitas vezes impossível ou ineficaz. Embora descrevam qualitativamente corretamente o comportamento do método, tais estimativas são superestimadas e fornecem informações quantitativas pouco confiáveis. Freqüentemente, estimativas a priori contêm incógnitas
quantidades (por exemplo, estimativas (3.14), (3.15) contêm a quantidade a), ou implicam a presença e uso sério de algumas informações adicionais sobre a solução. Na maioria das vezes, tais informações não estão disponíveis e sua aquisição está associada à necessidade de resolução de problemas adicionais, muitas vezes mais complexos que o original.
Para formar um critério de terminação ao atingir uma determinada precisão, via de regra, são utilizadas as chamadas estimativas de erro a posteriori - desigualdades em que a magnitude do erro é estimada por meio de valores conhecidos ou obtidos durante o processo computacional. Embora tais estimativas não possam ser utilizadas antes do início dos cálculos, elas fornecem uma quantificação concreta da incerteza durante o processo de cálculo.
Por exemplo, para o método de Newton (3.13) é válida a seguinte estimativa a posteriori:
S. Ulam usou números aleatórios para simular por computador o comportamento dos nêutrons em um reator nuclear. Esses métodos podem ser indispensáveis na modelagem de grandes sistemas, mas sua apresentação detalhada envolve um uso significativo do aparato da teoria das probabilidades e da estatística matemática e está além do escopo deste livro.
Determinantes
O conceito de determinante
Qualquer matriz quadrada de enésima ordem pode ser associada a um número chamado determinante (determinante)
matriz A e é denotado da seguinte forma: 
, ou , ou det A.
Determinante de uma matriz de primeira ordem, ou determinante de primeira ordem, é o elemento
Determinante de segunda ordem(o determinante de uma matriz de segunda ordem) é calculado da seguinte forma:
 |
Arroz. Esquema de cálculo do determinante de segunda ordem
Assim, o determinante de segunda ordem é a soma 2=2! termos, cada um dos quais é o produto de 2 fatores - elementos da matriz A, um de cada linha e de cada coluna. Um dos termos é tomado com sinal “+”, o outro com sinal “-”.
Encontre o determinante
O determinante de terceira ordem (determinante de terceira ordem de uma matriz quadrada) é dado por:
Assim, o determinante de terceira ordem é a soma 6=3! termos, cada um dos quais é o produto de 3 fatores - elementos da matriz A, um de cada linha e de cada coluna. Metade dos termos é tomada com o sinal “+”, a outra metade com o sinal “-”.
O principal método para calcular o determinante de terceira ordem é o chamado regra do triângulo (Regra de Sarrus): o primeiro dos três termos incluídos na soma com o sinal “+” é o produto dos elementos da diagonal principal, o segundo e o terceiro são os produtos dos elementos localizados nos vértices de dois triângulos com bases paralelas à diagonal principal; os três termos incluídos na soma com o sinal “-” são definidos de forma semelhante, mas em relação à segunda diagonal (lateral). Abaixo estão 2 esquemas para calcular determinantes de terceira ordem
b)
Arroz. Esquemas para cálculo de determinantes de 3ª ordem
Encontre o determinante:
O determinante de uma matriz quadrada de enésima ordem (n 4) é calculado usando as propriedades dos determinantes.
Propriedades básicas dos determinantes. Métodos para calcular determinantes
Os determinantes da matriz têm as seguintes propriedades básicas:
1. O determinante não muda quando a matriz é transposta.
2. Se duas linhas (ou colunas) forem trocadas no determinante, o determinante mudará de sinal.
3. Um determinante com duas linhas (colunas) proporcionais (em particular, iguais) é igual a zero.
4. Se uma linha (coluna) em um determinante consiste em zeros, então o determinante é igual a zero.
5. O fator comum dos elementos de qualquer linha (ou coluna) pode ser retirado do sinal determinante.
6. O determinante não mudará se a todos os elementos de uma linha (ou coluna) somarmos os elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), multiplicados pelo mesmo número.
7. O determinante das matrizes diagonais e triangulares (superior e inferior) é igual ao produto dos elementos diagonais.
8. O determinante do produto das matrizes quadradas é igual ao produto dos seus determinantes.
Orientações para alunos do 1º ano
Bazey Alexander Anatolievich
Odessa 2008
LITERATURA
1 Hemming R.V. Métodos numéricos para cientistas e engenheiros. – M.: Nauka, 1968. – 400 p.
2 Blazhko S.N. Curso de astronomia esférica. – Moscou, Leningrado, OGIZ, 1948. – 416 p.
3Schigolev B.M. Processamento matemático de observações. – M.: Nauka, 1969. – 344 p.
4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. Métodos computacionais. – M.: Nauka, 1977. volume I, volume II – 400 p.
5 Hudson D. Estatísticas para físicos. – M.: Mir, 1967. – 244 p.
6.Berman G.N. Técnicas contábeis. – Moscou, 1953. – 88 p.
7.Rumshinsky L.Z. Processamento matemático de resultados experimentais. – Moscou, Nauka 1971. – 192 p.
8. Kalitkin N.N. Métodos numéricos. – Moscou, Nauka 1978. – 512 p.
9. Filchakov P.F. Métodos numéricos e gráficos de matemática aplicada. – Kiev, “Naukova Dumka”, 1970. – 800 p.
10. Fikhtengolts G.M. Curso de cálculo diferencial e integral, vol.1-3. – Moscou, Nauka 1966.
Cálculos aproximados 2
Sobre plotagem
Suavização 10
Aproximação 12
Endireitamento (linearização) 13
Método dos mínimos quadrados 15
Interpolação 24
Polinômio de interpolação de Lagrange 26
Termo residual da fórmula de Lagrange 29
Polinômio de interpolação de Newton para uma tabela com passo variável de 30
Interpolação de uma tabela com passo constante de 34
Polinômios de interpolação de Stirling, Bessel, Newton 37
Interpolando a partir de uma tabela de funções de dois argumentos 42
Diferenciação por tabela 44
Solução numérica de equações 46
Dicotomia (método de bissecção) 46
Método de iteração simples 47
Método de Newton 50
Encontrando o mínimo de uma função de uma variável 51
Método da proporção áurea 51
Método da parábola 54
Cálculo da integral definida 56
Fórmula trapezoidal 59
Fórmula de médias ou fórmula de retângulos 61
Fórmula de Simpson 62
Resolvendo equações diferenciais ordinárias. Problema de Cauchy 64
Método clássico de Euler 66
Método de Euler refinado 67
Método de previsão e correção 69
Métodos Runge-Kutta 71
Análise harmônica 74
Sistemas de funções ortogonais 78
Método 12 ordenadas 79
CÁLCULOS APROXIMADOS
Vamos resolver um problema simples. Digamos que um estudante more a uma distância de 1247 m da estação. O trem sai às 17h38. Quanto tempo antes da partida do trem um estudante deve sair de casa se sua velocidade média for de 6 km/h?
Obtemos a solução imediatamente:
.
No entanto, é improvável que alguém realmente use esta solução matematicamente precisa, e aqui está o porquê. Os cálculos foram realizados com absoluta precisão, mas a distância até a estação foi medida com precisão? É possível medir o percurso de um pedestre sem cometer erros? Um pedestre pode caminhar ao longo de uma linha estritamente definida em uma cidade cheia de pessoas e carros se movendo em todas as direções? E a velocidade de 6 km/h - é determinada com absoluta precisão? E assim por diante.
É bastante claro que todos darão preferência neste caso não a uma solução “matematicamente exata” mas sim a uma solução “prática” para este problema, ou seja, estimarão que a caminhada demorará 12-15 minutos e acrescentarão mais alguns minutos para ter certeza.
Por que, então, calcular segundos e suas frações e buscar um grau de precisão que não pode ser usado na prática?
A matemática é uma ciência exata, mas o próprio conceito de “precisão” requer esclarecimento. Para fazer isso, devemos começar pelo conceito de número, uma vez que a precisão dos resultados dos cálculos depende em grande parte da precisão dos números e da confiabilidade dos dados iniciais.
Existem três fontes para obter números: contar, medir e realizar diversas operações matemáticas
Se o número de itens a serem contados for pequeno e constante ao longo do tempo, obteremos absolutamente preciso resultados. Por exemplo, uma mão tem 5 dedos e uma caixa contém 300 rolamentos. A situação é diferente quando dizem: em Odessa em 1979 havia 1.000.000 de habitantes. Afinal, as pessoas nascem e morrem, vêm e vão; seu número muda o tempo todo, mesmo durante o período em que a contagem é concluída. Então, o que realmente queremos dizer é que havia cerca de 1.000.000 de habitantes, talvez 999.125, ou 1.001.263, ou algum outro número próximo de 1.000.000. Neste caso, 1.000.000 dá aproximado número de moradores da cidade.
Qualquer medição não pode ser realizada com absoluta precisão. Cada dispositivo apresenta algum tipo de erro. Além disso, dois observadores que medem a mesma quantidade com o mesmo instrumento geralmente obtêm resultados ligeiramente diferentes; a coincidência completa de resultados é uma rara exceção.
Mesmo um dispositivo de medição tão simples como uma régua tem um “erro de dispositivo” - as bordas e planos da régua são um pouco diferentes das linhas retas e planos ideais, os traços na régua não podem ser aplicados em distâncias absolutamente iguais e os próprios traços tem uma certa espessura; portanto, ao medir, não podemos obter resultados mais precisos do que a espessura dos traços.
Se você mediu o comprimento da mesa e obteve um valor de 1360,5 mm, isso não significa de forma alguma que o comprimento da mesa seja exatamente 1360,5 mm - se esta mesa medir outra ou você repetir a medição, então você pode obter um valor de 1360,4 mm e 1360,6 mm. O número 1360,5 mm expressa o comprimento da mesa aproximadamente.
Nem todas as operações matemáticas podem ser realizadas sem erros. Nem sempre é possível extrair a raiz, encontrar o seno ou o logaritmo, até mesmo dividir com precisão absoluta.
Todas as medições, sem exceção, levam a valores aproximados das grandezas medidas. Em alguns casos, as medições são realizadas de forma grosseira e, em seguida, obtêm-se grandes erros; com medições cuidadosas, os erros são menores. A precisão absoluta nas medições nunca é alcançada.
Consideremos agora o segundo lado da questão. A precisão absoluta é necessária na prática e qual valor é um resultado aproximado?
Ao calcular uma linha de energia ou gasoduto, ninguém determinará a distância entre os suportes com precisão de um milímetro ou o diâmetro de um tubo com precisão de um mícron. Em tecnologia e construção, cada peça ou estrutura só pode ser fabricada dentro de uma certa precisão, que é determinada pelas chamadas tolerâncias. Essas tolerâncias variam de partes de mícron a milímetros e centímetros, dependendo do material, tamanho e finalidade da peça ou estrutura. Portanto, para determinar as dimensões de uma peça, não faz sentido realizar cálculos com precisão superior à necessária.
1) Os dados iniciais dos cálculos, via de regra, apresentam erros, ou seja, são aproximados;
2) Esses erros, muitas vezes aumentados, vão para os resultados dos cálculos. Mas a prática não exige dados precisos, mas se contenta com resultados com alguns erros aceitáveis, cuja magnitude deve ser predeterminada.
3) Só é possível garantir a precisão necessária do resultado quando os dados iniciais são suficientemente precisos e quando todos os erros introduzidos pelos próprios cálculos são levados em consideração.
4) Os cálculos com números aproximados devem ser realizados de forma aproximada, buscando atingir o mínimo de dispêndio de mão de obra e tempo na resolução do problema.
Normalmente, em cálculos técnicos, os erros permitidos variam de 0,1 a 5%, mas em questões científicas podem ser reduzidos a milésimos de por cento. Por exemplo, ao lançar o primeiro satélite artificial da Lua (31 de março de 1966), a velocidade de lançamento de cerca de 11.200 m/s teve que ser assegurada com uma precisão de vários centímetros por segundo para que o satélite entrasse em um círculo circunlunar em vez de do que uma órbita circunsolar.
Observe, além disso, que as regras da aritmética são derivadas da suposição de que todos os números são exatos. Portanto, se os cálculos com números aproximados forem realizados como com os exatos, cria-se uma impressão perigosa e prejudicial de precisão onde na realidade não existe. O verdadeiro rigor científico e, em particular, matemático consiste precisamente em apontar a presença de erros quase sempre inevitáveis e determinar os seus limites.
Apresentação dos dados iniciais do problema e sua solução - como um número ou conjunto de números
É um componente importante do sistema de formação de engenheiros de especialidades técnicas.
A base para métodos computacionais são:
- resolvendo sistemas de equações lineares
- interpolação e cálculo de função aproximada
- solução numérica de equações diferenciais ordinárias
- solução numérica de equações diferenciais parciais (equações da física matemática)
- resolvendo problemas de otimização
Veja também
Notas
Literatura
- Kalitkin N. N. Métodos numéricos. M., Nauka, 1978
- Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. V. “Métodos computacionais para engenheiros”, 1994
- Fletcher K, Métodos Computacionais em Dinâmica de Fluidos, ed. Mundo, 1991, 504 pp.
- E. Alekseev “Resolvendo problemas de matemática computacional nos pacotes Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9”, 2006, 496 páginas.
- Tikhonov A. N., Goncharsky A. V., Stepanov V. V., Yagola A. G. “Métodos numéricos para resolver problemas mal colocados” (1990)
- Bakushinsky A. B., Goncharsky A. V. Problemas mal colocados. Métodos Numéricos e Aplicações, ed. Editora da Universidade de Moscou, 1989
- N. N. Kalitkin, A. B. Alshin, E. A. Alshina, V. B. Rogov. Cálculos em grades quase uniformes. Moscou, Nauka, Fizmatlit, 2005, 224 pp.
- Yu. Ryzhikov “Métodos Computacionais” ed. BHV, 2007, 400 pp., ISBN 978-5-9775-0137-8
- Métodos Computacionais em Matemática Aplicada, International Journal, ISSN 1609-4840
Ligações
- Revista científica “Métodos computacionais e programação. Novas tecnologias de computação"
Fundação Wikimedia. 2010.
- Matemática computacional e física matemática
- Pipeline computacional
Veja o que são “Métodos computacionais” em outros dicionários:
Métodos de química eletroanalítica- Conteúdo 1 Métodos de química eletroanalítica 2 Introdução 3 Parte teórica ... Wikipedia
Métodos de codificação de sinal digital- Este artigo não contém links para fontes de informação. As informações devem ser verificáveis, caso contrário poderão ser questionadas e excluídas. Você pode... Wikipédia
MÉTODOS NUMÉRICOS DE DINÂMICA DE GÁS- métodos de resolução de problemas de dinâmica de gases baseados em algoritmos computacionais. Consideremos os principais aspectos da teoria dos métodos numéricos para resolução de problemas de dinâmica de gases, escrevendo as equações de dinâmica de gases na forma de leis de conservação no inercial... ... Enciclopédia Matemática
MÉTODOS DE DIFUSÃO- métodos de resolução de cinética. equações de transporte de nêutrons (ou outras partículas) que modificam as equações de aproximação de difusão. Já a aproximação da difusão dá a forma correta da equação assintótica. resolvendo a equação de transporte (longe das fontes e... ... Enciclopédia Matemática
MÉTODOS DE MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES GULISH- métodos numéricos para encontrar mínimos de funções de muitas variáveis. Seja dada uma função, limitada por baixo, duas vezes continuamente diferenciável em relação aos seus argumentos, para a qual se sabe que para um determinado vetor (sinal de transposição) leva... ... Enciclopédia Matemática
GOST R 53622-2009: Tecnologias da informação. Sistemas de informação e computação. Etapas e etapas do ciclo de vida, tipos e integridade dos documentos- Terminologia GOST R 53622 2009: Tecnologias de informação. Sistemas de informação e computação. Etapas e etapas do ciclo de vida, tipos e integridade dos documentos documento original: 3.1 plataforma de software de hardware: Conjunto unificado de ferramentas... ...
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ST SEV 4291-83: Máquinas de computação e sistemas de processamento de dados. Pacotes de discos magnéticos com capacidade de 100 e 200 MB. Requisitos técnicos e métodos de teste- Terminologia ST SEV 4291 83: Máquinas de computação e sistemas de processamento de dados. Pacotes de discos magnéticos com capacidade de 100 e 200 MB. Requisitos técnicos e métodos de teste: 8. Amplitude do sinal da superfície de informação VTAA Média de todo o ... Livro de referência de dicionário de termos de documentação normativa e técnica
Métodos de exploração geofísica- estudo da estrutura da crosta terrestre utilizando métodos físicos para fins de busca e exploração de minerais; a geofísica de exploração é parte integrante da geofísica (ver Geofísica). G.m.r. baseado no estudo de campos físicos... ... Grande Enciclopédia Soviética
Livros
- Métodos computacionais. Livro didático, Andrey Avenirovich Amosov, Yuliy Andreevich Dubininsky, Natalya Vasilievna Kopchenova. O livro discute métodos computacionais mais utilizados na prática de cálculos aplicados e técnico-científicos: métodos para resolução de problemas de álgebra linear, equações não lineares,...
