Сразу оговорюсь, что в статье пойдет речь о разложении тангенса в нуле, то что во многих учебниках называют разложением Маклорена .
Ну и все функции будут бесконечно диффиренцируемы там где нам надо.
В то время как большинство других простейших элементарных функций достаточно легко разлагаются в ряд Тейлора и закон по которому образуются члены разложения чаще всего не сложен и просто угадывается, для тангенса это не так. Хотя казалось бы, последний есть всего лишь отношение синуса к косинусу, функций с которыми не возникает никаких проблем при разложении. А между тем, чтобы указать вид общего члена для тангенса, нам придется начать несколько издалека и применять искусственные приемы. Но, на практике, зачастую и не требуется знать все кооффициенты ряда, достаточно лишь нескольких членов разложения. С такой постановкой задачи, студенты встречаются чаще всего. Так что, с нее-то мы и начнем. Чтобы особенно не утруждаться, разложение будем искать до кооффициента при пятой степени.
Первое, что здесь приходит в голову, это попытаться использовать формулу Тейлора непосредственно. Зачастую народ, попросту, не имеет никакого представления о других способах разложения в ряд. Кстати, наш семинарист по мат. анализу, на втором курсе, искал разложение именно так, хотя ничего плохого про него я сказать не могу, дядька умный, может он просто хотел показать свои способности во взятии производных. Как бы там ни было, а брать производные высоких порядков от тангенса удовольствие еще то, крайне муторное занятие, как раз из тех, что проще доверить машине, а не человеку. Но, нас, как настоящих спортсменов, интересует не результат, а процесс, и желательно, чтобы процесс был по проще. Производные такие (вычисленно в системе maxima): 
, 
, 
, 
, . Кто считает, что производные легко получить вручную, пусть займется, надосуге. Как бы там ни было, теперь мы можем выписать разложение: 
.
Упростить здесь можно вот что, замечаем, что 
и так, первая производная от тангенса выражается через тангенс же, кроме того из этого следует, что и все остальные производные от тангенса будут полиномами от тангенса, что позволяет нам не мучатся с производными частного от синусов и косинусов:
,
,
,
.
Разложение, понятное дело, получается тем же самым.
О другом способе разложения в ряд я узнал непосредственно на экзамене по мат. анализу и за незнание этого метода я тогда получил хор. вместо отл.-а. Смысл метода состоит в том, что нам известно разложение в ряд и синуса и косинуса, а так же функции , последнее разложение позволяет найти разложение секонса: . Раскрыв скобки мы получим ряд, который нужно перемножить с разложением синуса. А теперь нам нужно просто перемножить два ряда . Если говорить о сложности, то мне сомнительно, чтобы она уступала первому методу, тем более, что объем вычислений быстро растет при повышении степени членов разложения, которые требуется найти.
Следующий способ, это вариант метода неопределенных кооффициентов. Поставим для начала вопрос, а что нам вообще известно про тангенс из того, что может помочь нам построить разложение, так сказать a priori. Самым важным, здесь является то, что тангенс функция нечетная, а следовательно все кооффициенты при четных степенях равны нулю, иными словами, нахождение половины кооффициентов не требуется. Тогда можно написать , или , разлагая синус и косинус в ряд, получим . И приравнивая кооффициенты при одинаковых степенях получим , 
, 
и в общем случае 
. Таким образом, с помощью итерационного процесса, мы можем найти любое количество членов разложения.
Четвертый метод, также является методом неопределенных кооффициентов, но для него нам не потребуется разложение каких-либо иных функций. Мы рассмотрим диффиринциальное уравнение для тангенса. Выше мы видели, что производная от тангенса может быть выражена как функция от тангенса . Подставляя в это уравнение ряд из неопределенных кооффициентов можно написать . Возведя в квадрат и отсюда, опять же, итерационным процессом можно будет найти кооффициенты разложения.
Эти методы не в пример проще первых двух, но найти выражения для общего члена ряда таким образом не выйдет, а хотелось бы. Как я и говорил в начале, начать придется издалека (я буду следовать учебнику Куранта). Начнем мы с разложения в ряд функции . В результате, мы получим ряд, который будет записан в виде 
, где числа , это числа Бернулли.
Изначально эти числа были найдены Яковом Бернулли при нахождении сумм m-тых степеней натуральных чисел 
. Казалось бы, причем здесь тригонометрия? Позже Эйлер, решая задачу о сумме обратных квадратов ряда натуральных чисел, получил ответ из разложения синуса в бесконечное произведение. Далее оказалось, что разложение котангенса содержит суммы вида , для всех натуральных n. И уже исходя из этого Эйлер получил выражения для таких сумм через числа Бернулли. Так что связи здесь есть, и не следует удивляться, что разложение тангенса содержит данную последовательность.
Но вернемся к разложению дроби. Раскладывая експоненту, вычитая единицу и деля на "x", мы, в конце концов, получим . Отсюда уже очевидно, что первое из чисел Бернулли равно единице, второе минус одной второй и так далее. Выпишем выражение для k-того числа Бернулли, начиная с единицы . Умножив это выражение на , перепишем выражение в следующем виде . А из этого выражения мы можем по очереди получать числа Бернулли, в частности: , , 
Как вставить математические формулы на сайт?
Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.
Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.
Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.
Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :
Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.
Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.
Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.
Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.
Изучающим высшую математику должно быть известно, что суммой некоего степенного ряда, принадлежащего интервалу сходимости данного нам ряда, оказывается непрерывное и безграничное число раз дифференцированная функция. Возникает вопрос: можно ли утверждать, что заданная произвольная функция f(х) - это сумма некоего степенного ряда? То есть при каких условиях ф-ия f(х) может быть изображена степенным рядом? Важность такого вопроса состоит в том, что существует возможность приближенно заменить ф-ию f(х) суммой нескольких первых членов степенного ряда, то есть многочленом. Такая замена функции довольно простым выражением - многочленом - является удобной и при решении некоторых задач а именно: при решении интегралов, при вычислении и т. д.
Доказано, что для некой ф-ии f(х), в которой можно вычислить производные до (n+1)-го порядка, включая последний, в окрестности (α - R; x 0 + R) некоторой точки х = α справедливой является формула:
Данная формула носит имя известного ученого Брука Тейлора. Ряд, который получают из предыдущего, называется ряд Маклорена:
Правило, которое дает возможность произвести разложение в ряд Маклорена:
R n (х) -> 0 при n -> бесконечности. В случае если таковой существует, в нем функция f(х) должна совпадать с суммой ряда Маклорена.
Рассмотрим теперь ряды Маклорена для отдельных функций.
1. Итак, первой будет f(x) = е х. Разумеется, что по своим особенностям такая ф-ия имеет производные самых разных порядков, причем f (k) (х) = e x , где k равняется всем Подставим х=0. Получим f (k) (0) = e 0 =1, k=1,2... Исходя из вышесказанного, ряд е х будет выглядеть следующим образом:
2. Ряд Маклорена для функции f(х) = sin х. Сразу же уточним, что ф-ия для всех неизвестных будет иметь производные, к тому же f " (х) = cos х = sin(х+п/2), f "" (х) = -sin х = sin(х+2*п/2)..., f (k) (х) = sin(х+k*п/2), где k равняется любому натуральному числу. То есть, произведя несложные расчеты, можем прийти к выводу, что ряд для f(х) = sin х будет такого вида:
3. Теперь попробуем рассмотреть ф-ию f(х) = cos х. Она для всех неизвестных имеет производные произвольного порядка, причем |f (k) (x)| = |cos(х+k*п/2)|
