Et les anciens Égyptiens utilisaient des méthodes pour calculer les aires de diverses figures, similaires à nos méthodes.
Dans mes livres "Les débuts" le célèbre mathématicien grec Euclide a décrit tout à fait grand nombre méthodes de calcul des superficies de plusieurs formes géométriques. Les premiers manuscrits en Rus contenant des informations géométriques ont été rédigés au XVIe siècle. Ils décrivent les règles permettant de trouver les aires de figures de formes diverses.
Aujourd'hui, avec l'aide méthodes modernes vous pouvez trouver l'aire de n'importe quelle figure avec une grande précision.
Considérons l'une des figures les plus simples - un rectangle - et la formule pour trouver son aire.
Formule de zone rectangulaire
Considérons une figure (Fig. 1), composée de carrés $8$ avec des côtés de $1$ cm. L'aire d'un carré d'un côté de $1$ cm est appelée un centimètre carré et s'écrit $1\ cm^2. $.
L'aire de cette figure (Fig. 1) sera égale à $8\cm^2$.
L'aire d'une figure pouvant être divisée en plusieurs carrés d'un côté de $1\ cm$ (par exemple, $p$) sera égale à $p\ cm^2$.
En d'autres termes, l'aire de la figure sera égale à autant de $cm^2$ en combien de carrés d'un côté de $1\ cm$ cette figure peut être divisée.
Considérons un rectangle (Fig. 2), composé de bandes de 3 $, chacune étant divisée en carrés de 5 $ d'un côté de 1 $\ cm$. le rectangle entier se compose de $5\cdot 3=15$ de tels carrés, et son aire est de $15\cm^2$.
Image 1.
Figure 2.
La zone des chiffres est généralement désignée par la lettre $S$.
Pour trouver l'aire d'un rectangle, il faut multiplier sa longueur par sa largeur.
Si nous désignons sa longueur par la lettre $a$ et sa largeur par la lettre $b$, alors la formule pour l'aire d'un rectangle ressemblera à :
Définition 1
Les chiffres sont appelés égal si, superposés les uns aux autres, les chiffres coïncident. Des chiffres égaux ont zones égales et des périmètres égaux.
L'aire d'une figure peut être trouvée comme la somme des aires de ses parties.
Exemple 1
Par exemple, sur la figure $3$, le rectangle $ABCD$ est divisé en deux parties par la ligne $KLMN$. L'aire d'une partie est de 12 $\ cm^2$ et l'autre est de 9\ cm^2$. Alors l'aire du rectangle $ABCD$ sera égale à $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Trouvez l'aire du rectangle à l'aide de la formule :
Comme vous pouvez le constater, les aires trouvées par les deux méthodes sont égales.
Figure 3.
Graphique 4.
Le segment de droite $AC$ divise le rectangle en deux triangles égaux : $ABC$ et $ADC$. Cela signifie que l'aire de chaque triangle est égale à la moitié de l'aire du rectangle entier.
Définition 2
Rectangle avec côtés égaux appelé carré.
Si nous désignons le côté d'un carré par la lettre $a$, alors l'aire du carré sera trouvée par la formule :
D'où le nom carré du nombre $a$.
Exemple 2
Par exemple, si le côté d’un carré mesure 5$ cm, alors son aire est :
Volumes
Avec le développement du commerce et de la construction à l’époque des civilisations anciennes, le besoin de trouver des volumes s’est fait sentir. En mathématiques, il existe une branche de la géométrie qui s'occupe de l'étude figures spatiales, appelée stéréométrie. Mentions à ce sujet dans une direction séparée les mathématiciens se rencontraient déjà au $IV$ siècle avant JC.
Les mathématiciens anciens ont développé une méthode pour calculer le volume de figures simples - un cube et un parallélépipède. Tous les bâtiments de cette époque avaient cette forme. Mais des méthodes ultérieures ont été trouvées pour calculer le volume de figures de formes plus complexes.
Volume d'un parallélépipède rectangle
Si vous remplissez un moule avec du sable humide puis que vous le retournez, vous obtenez figure tridimensionnelle, qui se caractérise par le volume. Si vous réalisez plusieurs de ces figures en utilisant le même moule, vous obtiendrez des figures qui auront le même volume. Si vous remplissez le moule avec de l'eau, le volume d'eau et le volume de la figurine de sable seront également égaux.
Graphique 5.
Vous pouvez comparer les volumes de deux récipients en remplissant l’un d’eau et en le versant dans le deuxième récipient. Si le deuxième récipient est complètement rempli, alors les récipients ont des volumes égaux. S'il reste de l'eau dans le premier, alors le volume du premier récipient est supérieur au volume du second. Si, lors du versement de l'eau du premier récipient, il n'est pas possible de remplir complètement le deuxième récipient, alors le volume du premier récipient est inférieur au volume du second.
Le volume est mesuré à l'aide des unités suivantes :
$mm^3$ -- millimètre cube,
$cm^3$ -- centimètre cube,
$dm^3$ -- décimètre cube,
$m^3$ -- mètre cube,
$km^3$ -- kilomètre cube.
N'importe lequel corps géométrique peut être caractérisé par la surface (S) et le volume (V). La superficie et le volume ne sont pas du tout la même chose. Un objet peut avoir un V relativement petit et un grand S, par exemple, c'est ainsi que fonctionne le cerveau humain. Il est beaucoup plus facile de calculer ces indicateurs pour des formes géométriques simples.
Parallélépipède : définition, types et propriétés
Un parallélépipède est prisme quadrangulaire, à la base duquel se trouve un parallélogramme. Pourquoi pourriez-vous avoir besoin d’une formule pour trouver le volume d’une figure ? Livres, cartons d'emballage et bien d'autres choses de chez Vie courante. Les pièces des immeubles d’habitation et de bureaux sont généralement des parallélépipèdes rectangles. Pour installer une ventilation, une climatisation et déterminer le nombre d’éléments chauffants dans une pièce, il est nécessaire de calculer le volume de la pièce.
La figure a 6 faces - des parallélogrammes et 12 arêtes ; deux faces arbitrairement sélectionnées sont appelées bases. Un parallélépipède peut être de plusieurs types. Les différences sont dues aux angles entre les bords adjacents. Les formules pour trouver les V de différents polygones sont légèrement différentes.
Si les 6 faces d’une figure géométrique sont des rectangles, alors elle est aussi appelée rectangulaire. Le cube est cas particulier un parallélépipède dont les 6 faces sont des carrés égaux. Dans ce cas, pour trouver V, vous devez connaître la longueur d'un seul côté et l'élever à la troisième puissance.
Pour résoudre des problèmes, vous aurez besoin de connaître non seulement les formules toutes faites, mais également les propriétés de la figure. La liste des propriétés de base d'un prisme rectangulaire est petite et très facile à comprendre :
- Les côtés opposés de la figure sont égaux et parallèles. Cela signifie que les nervures situées en face ont la même longueur et le même angle d'inclinaison.
- Toutes les faces latérales d'un parallélépipède droit sont des rectangles.
- Les quatre diagonales principales d'une figure géométrique se coupent en un point et sont divisées en deux par celui-ci.
- Le carré de la diagonale d'un parallélépipède est égal à la somme des carrés des dimensions de la figure (découle du théorème de Pythagore).
théorème de Pythagore déclare que la somme des aires des carrés construits sur les côtés d'un triangle rectangle est égale à l'aire d'un triangle construit sur l'hypoténuse du même triangle.
La preuve de la dernière propriété peut être vue dans l’image ci-dessous. Le processus de résolution du problème est simple et ne nécessite pas d'explications détaillées.
Formule pour le volume d'un parallélépipède rectangle
La formule pour trouver pour tous les types de figures géométriques est la même : V=S*h, où V est le volume requis, S est l'aire de la base du parallélépipède, h est la hauteur abaissée depuis le sommet opposé et perpendiculaire à la base. Dans un rectangle, h coïncide avec l'un des côtés de la figure, donc pour trouver le volume d'un prisme rectangulaire, il faut multiplier trois dimensions.
Le volume est généralement exprimé en cm3. Connaissant les trois valeurs de a, b et c, trouver le volume d'une figure n'est pas du tout difficile. Le type de problème le plus courant dans l'examen d'État unifié consiste à trouver le volume ou la diagonale d'un parallélépipède. Résolvez de nombreux types Travaux d'examen d'État unifié C’est impossible sans la formule du volume d’un rectangle. Un exemple de tâche et la conception de sa solution sont présentés dans la figure ci-dessous.
Note 1. L'aire d'un prisme rectangulaire peut être trouvée en multipliant par 2 la somme des aires des trois faces de la figure : la base (ab) et deux faces latérales adjacentes (bc + ac).
Note 2. La surface des faces latérales peut être facilement déterminée en multipliant le périmètre de la base par la hauteur du parallélépipède.
Basé sur la première propriété des parallélépipèdes AB = A1B1 et face B1D1 = BD. Selon les corollaires du théorème de Pythagore, la somme de tous les angles d’un triangle rectangle est de 180° et la branche opposée à l’angle de 30° est égale à l’hypoténuse. En appliquant ces connaissances à un triangle, nous pouvons facilement trouver la longueur des côtés AB et AD. Ensuite, nous multiplions les valeurs obtenues et calculons le volume du parallélépipède.
Formule pour trouver le volume d'un parallélépipède incliné
Pour trouver le volume d'un parallélépipède incliné, il faut multiplier l'aire de la base de la figure par la hauteur abaissée de cette base du coin opposé.
Ainsi, le V requis peut être représenté sous la forme de h - le nombre de feuilles avec une surface de base S, de sorte que le volume du jeu est constitué des V de toutes les cartes.
Exemples de résolution de problèmes
Les tâches de l'examen unique doivent être accomplies dans un certain délai. Tâches typiques, en règle générale, ne contiennent pas grandes quantités calculs et fractions complexes. On demande souvent à un étudiant comment trouver le volume d'une figure géométrique irrégulière. Dans de tels cas, une règle simple à retenir est que le volume total égal à la somme Les composants de V.
Comme vous pouvez le voir sur l’exemple de l’image ci-dessus, il n’y a rien de difficile à résoudre de tels problèmes. Les tâches de sections plus complexes nécessitent la connaissance du théorème de Pythagore et de ses conséquences, ainsi que de la formule de la longueur de la diagonale d'une figure. Pour résoudre avec succès les tâches de test, il suffit de se familiariser à l'avance avec des exemples de problèmes typiques.
Pour résoudre des problèmes de géométrie, vous devez connaître des formules - comme l'aire d'un triangle ou l'aire d'un parallélogramme - ainsi que techniques simples, dont nous parlerons.
Tout d’abord, apprenons les formules pour les aires des figures. Nous les avons spécialement rassemblés dans un tableau pratique. Imprimez, apprenez et postulez !
Bien entendu, toutes les formules géométriques ne figurent pas dans notre tableau. Par exemple, pour résoudre des problèmes de géométrie et de stéréométrie dans la deuxième partie de l'examen d'État unifié de profil en mathématiques, d'autres formules pour l'aire d'un triangle sont utilisées. Nous vous en parlerons certainement.
Que faire si vous avez besoin de trouver non pas l'aire d'un trapèze ou d'un triangle, mais l'aire de certains figure complexe? Il existe des moyens universels ! Nous les montrerons à l'aide d'exemples de la banque de tâches FIPI.
1. Comment trouver l'aire d'une figure non standard ? Par exemple, un quadrilatère arbitraire ? Une technique simple - divisons cette figure en celles dont nous savons tout et trouvons son aire - comme la somme des aires de ces figures.
Divisez ce quadrilatère par une ligne horizontale en deux triangles de base commune égale à . Les hauteurs de ces triangles sont égales à et . Alors l'aire du quadrilatère est égale à la somme des aires des deux triangles : .
Répondre: .
2. Dans certains cas, l'aire d'une figure peut être représentée comme la différence de certaines aires.
Il n'est pas si simple de calculer à quoi sont égales la base et la hauteur de ce triangle ! Mais on peut dire que son aire est égale à la différence entre les aires d'un carré avec un côté et de trois triangles rectangles. Les voyez-vous sur la photo ? On a: .
Répondre: .
3. Parfois, dans une tâche, vous devez trouver l'aire non pas de la figure entière, mais d'une partie de celle-ci. Nous parlons généralement de l'aire d'un secteur - partie d'un cercle Trouvez l'aire d'un secteur d'un cercle de rayon dont la longueur de l'arc est égale à .
Sur cette image, nous voyons une partie d'un cercle. L'aire du cercle entier est égale à . Reste à savoir quelle partie du cercle est représentée. Puisque la longueur du cercle entier est égale (puisque) et que la longueur de l'arc d'un secteur donné est égale, la longueur de l'arc est donc un facteur inférieur à la longueur du cercle entier. L'angle auquel cet arc repose est également un facteur inférieur à un cercle complet (c'est-à-dire en degrés). Cela signifie que la superficie du secteur sera plusieurs fois inférieure à la superficie du cercle entier.
Et les anciens Égyptiens utilisaient des méthodes pour calculer les aires de diverses figures, similaires à nos méthodes.
Dans mes livres "Les débuts" Le célèbre mathématicien grec Euclide a décrit un assez grand nombre de façons de calculer les aires de nombreuses figures géométriques. Les premiers manuscrits en Rus contenant des informations géométriques ont été rédigés au XVIe siècle. Ils décrivent les règles permettant de trouver les aires de figures de formes diverses.
Aujourd'hui, en utilisant des méthodes modernes, vous pouvez trouver l'aire de n'importe quelle figure avec une grande précision.
Considérons l'une des figures les plus simples - un rectangle - et la formule pour trouver son aire.
Formule de zone rectangulaire
Considérons une figure (Fig. 1), composée de carrés $8$ avec des côtés de $1$ cm. L'aire d'un carré d'un côté de $1$ cm est appelée un centimètre carré et s'écrit $1\ cm^2. $.
L'aire de cette figure (Fig. 1) sera égale à $8\cm^2$.
L'aire d'une figure pouvant être divisée en plusieurs carrés d'un côté de $1\ cm$ (par exemple, $p$) sera égale à $p\ cm^2$.
En d'autres termes, l'aire de la figure sera égale à autant de $cm^2$ en combien de carrés d'un côté de $1\ cm$ cette figure peut être divisée.
Considérons un rectangle (Fig. 2), composé de bandes de 3 $, chacune étant divisée en carrés de 5 $ d'un côté de 1 $\ cm$. le rectangle entier se compose de $5\cdot 3=15$ de tels carrés, et son aire est de $15\cm^2$.
Image 1.
Figure 2.
La zone des chiffres est généralement désignée par la lettre $S$.
Pour trouver l'aire d'un rectangle, il faut multiplier sa longueur par sa largeur.
Si nous désignons sa longueur par la lettre $a$ et sa largeur par la lettre $b$, alors la formule pour l'aire d'un rectangle ressemblera à :
Définition 1
Les chiffres sont appelés égal si, superposés les uns aux autres, les chiffres coïncident. Les figures égales ont des aires et des périmètres égaux.
L'aire d'une figure peut être trouvée comme la somme des aires de ses parties.
Exemple 1
Par exemple, sur la figure $3$, le rectangle $ABCD$ est divisé en deux parties par la ligne $KLMN$. L'aire d'une partie est de 12 $\ cm^2$ et l'autre est de 9\ cm^2$. Alors l'aire du rectangle $ABCD$ sera égale à $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Trouvez l'aire du rectangle à l'aide de la formule :
Comme vous pouvez le constater, les aires trouvées par les deux méthodes sont égales.
Figure 3.
Graphique 4.
Le segment de droite $AC$ divise le rectangle en deux triangles égaux : $ABC$ et $ADC$. Cela signifie que l'aire de chaque triangle est égale à la moitié de l'aire du rectangle entier.
Définition 2
Un rectangle à côtés égaux s’appelle carré.
Si nous désignons le côté d'un carré par la lettre $a$, alors l'aire du carré sera trouvée par la formule :
D'où le nom carré du nombre $a$.
Exemple 2
Par exemple, si le côté d’un carré mesure 5$ cm, alors son aire est :
Volumes
Avec le développement du commerce et de la construction à l’époque des civilisations anciennes, le besoin de trouver des volumes s’est fait sentir. En mathématiques, il existe une branche de la géométrie qui traite de l’étude des figures spatiales, appelée stéréométrie. Des mentions de cette branche distincte des mathématiques ont déjà été trouvées au $IV$ siècle avant JC.
Les mathématiciens anciens ont développé une méthode pour calculer le volume de figures simples - un cube et un parallélépipède. Tous les bâtiments de cette époque avaient cette forme. Mais des méthodes ultérieures ont été trouvées pour calculer le volume de figures de formes plus complexes.
Volume d'un parallélépipède rectangle
Si vous remplissez le moule avec du sable humide puis le retournez, vous obtiendrez une figure tridimensionnelle caractérisée par le volume. Si vous réalisez plusieurs de ces figures en utilisant le même moule, vous obtiendrez des figures qui auront le même volume. Si vous remplissez le moule avec de l'eau, le volume d'eau et le volume de la figurine de sable seront également égaux.
Graphique 5.
Vous pouvez comparer les volumes de deux récipients en remplissant l’un d’eau et en le versant dans le deuxième récipient. Si le deuxième récipient est complètement rempli, alors les récipients ont des volumes égaux. S'il reste de l'eau dans le premier, alors le volume du premier récipient est supérieur au volume du second. Si, lors du versement de l'eau du premier récipient, il n'est pas possible de remplir complètement le deuxième récipient, alors le volume du premier récipient est inférieur au volume du second.
Le volume est mesuré à l'aide des unités suivantes :
$mm^3$ -- millimètre cube,
$cm^3$ -- centimètre cube,
$dm^3$ -- décimètre cube,
$m^3$ -- mètre cube,
$km^3$ -- kilomètre cube.
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