Formules de base et méthodes d'intégration. La règle pour intégrer une somme ou une différence. Déplacer la constante en dehors du signe intégral. Méthode de remplacement variable. Formule d'intégration par parties. Un exemple de résolution d'un problème.
Les quatre principales méthodes d’intégration sont énumérées ci-dessous.
1)
La règle pour intégrer une somme ou une différence.
.
Ici et ci-dessous u, v, w sont des fonctions de la variable d'intégration x.
2)
Déplacer la constante en dehors du signe intégral.
Soit c une constante indépendante de x. Ensuite, il peut être retiré du signe intégral.
3)
Méthode de remplacement variable.
Considérons l'intégrale indéfinie.
Si nous pouvons trouver une telle fonction φ (X) de x, donc
,
alors, en remplaçant la variable t = φ(x) , on a
.
4)
Formule d'intégration par parties.
,
où u et v sont des fonctions de la variable d'intégration.
Le but ultime du calcul d'intégrales indéfinies est, par des transformations, de réduire une intégrale donnée aux intégrales les plus simples, appelées intégrales tabulaires. Les intégrales de tableau sont exprimées par des fonctions élémentaires utilisant des formules connues.
Voir le tableau des intégrales >>>
Exemple
Calculer l'intégrale indéfinie
Solution
On note que l'intégrande est la somme et la différence de trois termes :
, Et .
Appliquer la méthode 1
.
Ensuite, on remarque que les intégrandes des nouvelles intégrales sont multipliées par des constantes 5, 4,
Et 2
, respectivement. Appliquer la méthode 2
.
Dans le tableau des intégrales on trouve la formule
.
En supposant que n = 2
, on trouve la première intégrale.
Réécrivons la deuxième intégrale sous la forme
.
Nous remarquons que .
Alors Utilisons la troisième méthode. On change la variable t = φ.
.
(x) = journal x
Dans le tableau des intégrales on trouve la formule
Puisque la variable d'intégration peut être désignée par n'importe quelle lettre, alors
.
Réécrivons la troisième intégrale sous la forme
Nous appliquons la formule d'intégration par parties.
Disons-le.
;
;
;
;
.
Alors
Listons les intégrales des fonctions élémentaires, que l'on appelle parfois tabulaires :
N'importe laquelle des formules ci-dessus peut être prouvée en prenant la dérivée du membre de droite (le résultat sera l'intégrande).
Méthodes d'intégration
Examinons quelques méthodes d'intégration de base. Ceux-ci inclus:(1. Méthode de décomposition).
Cette méthode est basée sur l'utilisation directe d'intégrales tabulaires, ainsi que sur l'utilisation des propriétés 4 et 5 de l'intégrale indéfinie (c'est-à-dire sortir le facteur constant des parenthèses et/ou représenter l'intégrande comme une somme de fonctions - décomposition de l'intégrande en termes).
Exemple 1. Par exemple, pour trouver(dx/x 4) vous pouvez utiliser directement l'intégrale de table pourx n dx. En fait,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Regardons quelques exemples supplémentaires.
Exemple 2. Pour le trouver, on utilise la même intégrale :
Exemple 3. Pour le trouver, vous devez prendre
Exemple 4. Pour trouver, nous représentons la fonction intégrande sous la forme 
et utilisez l'intégrale de table pour la fonction exponentielle :
Considérons l'utilisation du bracketing comme un facteur constant.
Exemple 5.
Trouvons, par exemple 
. En considérant cela, on obtient
Exemple 6. Nous le trouverons. Parce que le 
, utilisons l'intégrale de table 
On a
Dans les deux exemples suivants, vous pouvez également utiliser des parenthèses et des intégrales de tableau :
Exemple 7.
(nous utilisons et 
);
Exemple 8.
(nous utilisons 
Et 
).
Examinons des exemples plus complexes qui utilisent l'intégrale somme.
Exemple 9. Par exemple, trouvons 
. Pour appliquer la méthode d'expansion au numérateur, nous utilisons la formule du cube somme , puis divisons le polynôme résultant par le dénominateur, terme par terme.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Il est à noter qu'à la fin de la solution une constante commune C est écrite (et non distinctes lors de l'intégration de chaque terme). À l'avenir, il est également proposé d'omettre les constantes de l'intégration des termes individuels dans le processus de solution tant que l'expression contient au moins une intégrale indéfinie (nous écrirons une constante à la fin de la solution).
Exemple 10. Nous trouverons 
. Pour résoudre ce problème, factorisons le numérateur (après cela nous pouvons réduire le dénominateur).
Exemple 11. Nous le trouverons. Les identités trigonométriques peuvent être utilisées ici.
Parfois, pour décomposer une expression en termes, il faut utiliser des techniques plus complexes.
Exemple 12. Nous trouverons 
. Dans l'intégrande on sélectionne toute la partie de la fraction 
. Alors
Exemple 13. Nous trouverons
2. Méthode de remplacement des variables (méthode de substitution)
La méthode est basée sur la formule suivante : f(x)dx=f((t))`(t)dt, où x =(t) est une fonction différentiable sur l'intervalle considéré.
Preuve. Trouvons les dérivées par rapport à la variable t des côtés gauche et droit de la formule.
Notez que sur le côté gauche se trouve une fonction complexe dont l’argument intermédiaire est x = (t). Par conséquent, pour la différencier par rapport à t, nous différencions d’abord l’intégrale par rapport à x, puis prenons la dérivée de l’argument intermédiaire par rapport à t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Dérivé du côté droit :
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Puisque ces dérivées sont égales, par corollaire du théorème de Lagrange, les côtés gauche et droit de la formule à prouver diffèrent d’une certaine constante. Puisque les intégrales indéfinies elles-mêmes sont définies jusqu'à un terme constant indéfini, cette constante peut être omise de la notation finale. Éprouvé.
Un changement de variable réussi permet de simplifier l'intégrale d'origine et, dans les cas les plus simples, de la réduire à une intégrale tabulaire. Dans l'application de cette méthode, une distinction est faite entre les méthodes de substitution linéaire et non linéaire.
a) Méthode de substitution linéaire Regardons un exemple.
Exemple 1.
. Soit t= 1 – 2x, alors
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Il convient de noter que la nouvelle variable n'a pas besoin d'être écrite explicitement. Dans de tels cas, on parle de transformer une fonction sous le signe différentiel ou d'introduire des constantes et des variables sous le signe différentiel, c'est-à-dire Ô remplacement de variable implicite.
Exemple 2. Par exemple, trouvonscos(3x + 2)dx. Par les propriétés du différentiel dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), alorscos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
Dans les deux exemples considérés, la substitution linéaire t=kx+b(k0) a été utilisée pour trouver les intégrales.
Dans le cas général, le théorème suivant est valable.
Théorème de substitution linéaire. Soit F(x) une primitive de la fonction f(x). Alorsf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, où k et b sont des constantes,k0.
Preuve.
Par définition de l'intégrale f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Retirons le facteur constant k du signe intégral : kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nous pouvons maintenant diviser les côtés gauche et droit de l’égalité en deux et obtenir l’énoncé à prouver jusqu’à la désignation du terme constant.
Ce théorème stipule que si dans la définition de l'intégrale f(x)dx= F(x) + C à la place de l'argument x on substitue l'expression (kx+b), cela conduira à l'apparition d'un facteur 1/k devant la primitive.
En utilisant le théorème prouvé, nous résolvons les exemples suivants.
Exemple 3.
Nous trouverons 
. Ici kx+b= 3 –x, c'est-à-dire k= -1,b= 3. Alors
Exemple 4.
Nous le trouverons. Icikx+b= 4x+ 3, soit k= 4,b= 3. Alors
Exemple 5.
Nous trouverons 
. Ici kx+b= -2x+ 7, soit k= -2,b= 7. Alors
.
Exemple 6. Nous trouverons 
. Ici kx+b= 2x+ 0, c'est-à-dire k= 2,b= 0.
.
Comparons le résultat obtenu avec l'exemple 8, qui a été résolu par la méthode de décomposition. En résolvant le même problème en utilisant une méthode différente, nous avons obtenu la réponse 
. Comparons les résultats : Ainsi, ces expressions diffèrent les unes des autres par un terme constant 
, c'est à dire. Les réponses reçues ne se contredisent pas.
Exemple 7. Nous trouverons 
. Sélectionnons un carré parfait au dénominateur.
Dans certains cas, la modification d'une variable ne réduit pas directement l'intégrale à une intégrale tabulaire, mais peut simplifier la solution, permettant d'utiliser la méthode d'expansion à une étape ultérieure.
Exemple 8. Par exemple, trouvons 
. Remplacez t=x+ 2, puis dt=d(x+ 2) =dx. Alors
,
où C = C 1 – 6 (en remplaçant l'expression (x+ 2) au lieu des deux premiers termes, nous obtenons ½x 2 -2x– 6).
Exemple 9. Nous trouverons 
. Soit t= 2x+ 1, alors dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Remplaçons t par l'expression (2x+ 1), ouvrons les parenthèses et donnons des similaires.
Notez qu'au cours du processus de transformations, nous sommes passés à un autre terme constant, car le groupe de termes constants pourrait être omis lors du processus de transformation.
b) Méthode de substitution non linéaire Regardons un exemple.
Exemple 1.
. Soit= -x 2. Ensuite, on pourrait exprimer x en fonction de t, puis trouver une expression pour dx et implémenter un changement de variable dans l'intégrale souhaitée. Mais dans ce cas, il est plus facile de faire les choses différemment. Trouvons dt=d(-x 2) = -2xdx. Notez que l'expression xdx est un facteur de l'intégrande de l'intégrale souhaitée. Exprimons-le à partir de l'égalité résultantexdx= - ½dt. Alors
Dans des documents antérieurs, la question de la recherche de la dérivée a été envisagée et ses diverses applications ont été présentées : calcul de la pente d'une tangente à un graphique, résolution de problèmes d'optimisation, étude des fonctions de monotonie et d'extrema. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$
Image 1.
Le problème de trouver la vitesse instantanée $v(t)$ en utilisant la dérivée le long d'un chemin parcouru précédemment connu, exprimé par la fonction $s(t)$, a également été envisagé.
Figure 2.
Le problème inverse est également très courant, lorsqu'il faut trouver le chemin $s(t)$ parcouru par un instant $t$, connaissant la vitesse du point $v(t)$. Si l'on rappelle, la vitesse instantanée $v(t)$ se trouve comme la dérivée de la fonction chemin $s(t)$ : $v(t)=s'(t)$. Cela signifie que pour résoudre le problème inverse, c'est-à-dire calculer le chemin, vous devez trouver une fonction dont la dérivée sera égale à la fonction vitesse. Mais on sait que la dérivée du chemin est la vitesse, soit : $s'(t) = v(t)$. La vitesse est égale à l'accélération multipliée par le temps : $v=at$. Il est facile de déterminer que la fonction de chemin souhaitée aura la forme : $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Mais ce n’est pas une solution tout à fait complète. La solution complète aura la forme : $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, où $C$ est une constante. La raison pour laquelle il en est ainsi sera discutée plus loin. Pour l'instant, vérifions l'exactitude de la solution trouvée : $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =à=v( t)$.
Il convient de noter que trouver un chemin basé sur la vitesse est la signification physique d’une primitive.
La fonction résultante $s(t)$ est appelée la primitive de la fonction $v(t)$. Un nom assez intéressant et inhabituel, n’est-ce pas. Il contient une grande signification qui explique l'essence de ce concept et conduit à sa compréhension. Vous remarquerez qu'il contient deux mots « premier » et « image ». Ils parlent pour eux-mêmes. Autrement dit, c'est la fonction qui est la fonction initiale de la dérivée que nous avons. Et en utilisant cette dérivée, nous recherchons la fonction qui était au début, était « première », « première image », c'est-à-dire primitive. On l'appelle parfois aussi fonction primitive ou primitive.
Comme nous le savons déjà, le processus de recherche de la dérivée est appelé différenciation. Et le processus de recherche de la primitive est appelé intégration. L’opération d’intégration est l’opération inverse de l’opération de différenciation. L’inverse est également vrai.
Définition. Une primitive d'une fonction $f(x)$ sur un certain intervalle est une fonction $F(x)$ dont la dérivée est égale à cette fonction $f(x)$ pour tous les $x$ de l'intervalle spécifié : $F' (x)=f (x)$.
Quelqu'un peut avoir une question : d'où viennent $F(x)$ et $f(x)$ dans la définition, si au départ on parlait de $s(t)$ et $v(t)$. Le fait est que $s(t)$ et $v(t)$ sont des cas particuliers de désignation de fonction qui ont une signification spécifique dans ce cas, c'est-à-dire qu'ils sont respectivement fonction du temps et de la vitesse. C'est la même chose avec la variable $t$ : elle indique le temps. Et $f$ et $x$ sont respectivement la variante traditionnelle de la désignation générale d'une fonction et d'une variable. Il convient de prêter une attention particulière à la notation de la primitive $F(x)$. Tout d’abord, $F$ est le capital. Les primitives sont indiquées en majuscules. Deuxièmement, les lettres sont les mêmes : $F$ et $f$. Autrement dit, pour la fonction $g(x)$, la primitive sera notée $G(x)$, pour $z(x)$ – par $Z(x)$. Quelle que soit la notation, les règles pour trouver une fonction primitive sont toujours les mêmes.
Regardons quelques exemples.
Exemple 1. Montrer que la fonction $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ est une primitive de la fonction $f(x)=\cos5x$.
Pour le prouver, nous utiliserons la définition, ou plutôt le fait que $F'(x)=f(x)$, et trouverons la dérivée de la fonction $F(x)$ : $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Cela signifie que $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ est la primitive de $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.
Exemple 2. Trouvez quelles fonctions correspondent aux primitives suivantes : a) $F(z)=\tg z$ ; b) $G(l) = \sin l$.
Pour trouver les fonctions recherchées, calculons leurs dérivées :
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$ ;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.
Exemple 3. Quelle sera la primitive de $f(x)=0$ ?
Utilisons la définition. Pensons à quelle fonction peut avoir une dérivée égale à $0$. En rappelant le tableau des dérivées, nous constatons que toute constante aura une telle dérivée. Nous trouvons que la primitive que nous recherchons est : $F(x)= C$.
La solution résultante peut être expliquée géométriquement et physiquement. Géométriquement, cela signifie que la tangente au graphique $y=F(x)$ est horizontale en chaque point de ce graphique et coïncide donc avec l'axe $Ox$. Physiquement, cela s'explique par le fait qu'un point avec une vitesse égale à zéro reste en place, c'est-à-dire que le chemin qu'il a parcouru est inchangé. Sur cette base, nous pouvons formuler le théorème suivant.
Théorème. (Signe de constance des fonctions). Si sur un intervalle $F'(x) = 0$, alors la fonction $F(x)$ sur cet intervalle est constante.
Exemple 4. Déterminer quelles fonctions sont des primitives de a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ ; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$ ; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$ ; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, où $a$ est un nombre.
En utilisant la définition d'une primitive, nous concluons que pour résoudre ce problème, nous devons calculer les dérivées des fonctions primitives qui nous sont données. Lors du calcul, n'oubliez pas que la dérivée d'une constante, c'est-à-dire d'un nombre quelconque, est égale à zéro.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$ ;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$ ;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$ ;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.
Que voit-on ? Plusieurs fonctions différentes sont des primitives d'une même fonction. Cela suggère que toute fonction a une infinité de primitives, et elles ont la forme $F(x) + C$, où $C$ est une constante arbitraire. Autrement dit, l’opération d’intégration est multivaluée, contrairement à l’opération de différenciation. Sur cette base, formulons un théorème qui décrit la propriété principale des primitives.
Théorème. (La propriété principale des primitives). Soit les fonctions $F_1$ et $F_2$ des primitives de la fonction $f(x)$ sur un certain intervalle. Ensuite, pour toutes les valeurs de cet intervalle, l'égalité suivante est vraie : $F_2=F_1+C$, où $C$ est une constante.
Le fait de la présence d’un nombre infini de primitives peut être interprété géométriquement. En utilisant la translation parallèle le long de l'axe $Oy$, on peut obtenir l'un de l'autre les graphiques de deux primitives quelconques pour $f(x)$. C'est la signification géométrique de la primitive.
Il est très important de faire attention au fait qu'en choisissant la constante $C$, vous pouvez vous assurer que le graphique de la primitive passe par un certain point.
Figure 3.
Exemple 5. Trouver une primitive pour la fonction $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ dont le graphique passe par le point $(3; 1)$.
Trouvons d'abord toutes les primitives de $f(x)$ : $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Ensuite, nous trouverons un nombre C pour lequel le graphe $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ passera par le point $(3; 1)$. Pour ce faire, nous substituons les coordonnées du point dans l'équation graphique et la résolvons pour $C$ :
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Nous avons obtenu un graphe $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, qui correspond à la primitive $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Tableau des primitives
Un tableau de formules pour trouver des primitives peut être compilé à l'aide de formules pour trouver des dérivées.
| Les fonctions | Primitifs |
| $0$ | $CAN$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\en R$ | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\péché x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctg x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tg x+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsinx+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctg x+C$ |
Vous pouvez vérifier l'exactitude du tableau de la manière suivante : pour chaque ensemble de primitives situées dans la colonne de droite, trouvez la dérivée, ce qui donnera les fonctions correspondantes dans la colonne de gauche.
Quelques règles pour trouver des primitives
Comme on le sait, de nombreuses fonctions ont une forme plus complexe que celles indiquées dans le tableau des primitives et peuvent être n'importe quelle combinaison arbitraire de sommes et de produits de fonctions de ce tableau. Et ici la question se pose : comment calculer les primitives de telles fonctions. Par exemple, à partir du tableau, nous savons comment calculer les primitives de $x^3$, $\sin x$ et $10$. Comment, par exemple, calculer la primitive $x^3-10\sin x$ ? Pour l’avenir, il convient de noter qu’il sera égal à $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Si $F(x)$ est une primitive pour $f(x)$, $G(x)$ pour $g(x)$, alors pour $f(x)+g(x)$ la primitive sera égal à $ F(x)+G(x)$.
2. Si $F(x)$ est une primitive pour $f(x)$ et $a$ est une constante, alors pour $af(x)$ la primitive est $aF(x)$.
3. Si pour $f(x)$ la primitive est $F(x)$, $a$ et $b$ sont des constantes, alors $\frac(1)(a) F(ax+b)$ est la primitive pour $f (ax+b)$.
En utilisant les règles obtenues, nous pouvons élargir le tableau des primitives.
| Les fonctions | Primitifs |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Exemple 5. Trouver des primitives pour :
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$ ;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$ ;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+$CAN ;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$ ;
c) 5 $\sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$ ;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
Fonction primitive et intégrale indéfinie
Fait 1. L'intégration est l'action inverse de la différenciation, à savoir la restauration d'une fonction à partir de la dérivée connue de cette fonction. La fonction ainsi restaurée F(X) est appelé primitive pour la fonction F(X).
Définition 1. Fonction F(X F(X) sur un certain intervalle X, si pour toutes les valeurs Xà partir de cet intervalle l'égalité est vraie F "(X)=F(X), c'est-à-dire cette fonction F(X) est la dérivée de la fonction primitive F(X). .
Par exemple, la fonction F(X) = péché X est une primitive de la fonction F(X) = cos X sur toute la droite numérique, puisque pour toute valeur de x (péché X)" = (car X) .
Définition 2. Intégrale indéfinie d'une fonction F(X) est l'ensemble de toutes ses primitives. Dans ce cas, la notation est utilisée
∫
F(X)dx
,où est le signe ∫ appelée signe intégral, la fonction F(X) – fonction intégrande, et F(X)dx – expression intégrande.
Ainsi, si F(X) – une primitive pour F(X) , Que
∫
F(X)dx = F(X) +C
Où C - constante arbitraire (constante).
Pour comprendre la signification de l’ensemble des primitives d’une fonction en tant qu’intégrale indéfinie, l’analogie suivante est appropriée. Qu'il y ait une porte (porte traditionnelle en bois). Sa fonction est « d’être une porte ». De quoi est faite la porte ? En bois. Cela signifie que l'ensemble des primitives de l'intégrande de la fonction « être une porte », c'est-à-dire son intégrale indéfinie, est la fonction « être un arbre + C », où C est une constante, qui dans ce contexte peut désignent, par exemple, le type d'arbre. Tout comme une porte est fabriquée à partir de bois à l'aide de certains outils, une dérivée d'une fonction est « fabriquée » à partir d'une fonction primitive à l'aide de formules que nous avons apprises en étudiant la dérivée .
Ensuite, le tableau des fonctions des objets communs et leurs primitives correspondantes (« être une porte » - « être un arbre », « être une cuillère » - « être du métal », etc.) est similaire au tableau des fonctions de base intégrales indéfinies, qui seront données ci-dessous. Le tableau des intégrales indéfinies répertorie les fonctions communes avec une indication des primitives à partir desquelles ces fonctions sont « faites ». Dans une partie des problèmes de recherche de l'intégrale indéfinie, on donne des intégrandes qui peuvent être intégrées directement sans trop d'effort, c'est-à-dire en utilisant le tableau des intégrales indéfinies. Dans des problèmes plus complexes, l'intégrande doit d'abord être transformée afin que les intégrales de table puissent être utilisées.
Fait 2. Lors de la restauration d'une fonction en primitive, il faut prendre en compte une constante arbitraire (constante) C, et afin de ne pas écrire une liste de primitives avec diverses constantes de 1 à l'infini, vous devez écrire un ensemble de primitives avec une constante arbitraire C, par exemple, comme ceci : 5 X³+C. Ainsi, une constante arbitraire (constante) est incluse dans l'expression de la primitive, puisque la primitive peut être une fonction, par exemple 5 X³+4 ou 5 X³+3 et une fois différencié, 4 ou 3, ou toute autre constante tend vers zéro.
Posons le problème d'intégration : pour cette fonction F(X) trouver une telle fonction F(X), dont le dérivéégal à F(X).
Exemple 1. Trouver l'ensemble des primitives d'une fonction
Solution. Pour cette fonction, la primitive est la fonction
Fonction F(X) est appelée primitive de la fonction F(X), si la dérivée F(X) est égal à F(X), ou, ce qui revient au même, différentiel F(X) est égal F(X) dx, c'est à dire.
(2)
La fonction est donc une primitive de la fonction. Cependant, ce n’est pas la seule primitive de . Ils remplissent également des fonctions
Où AVEC– constante arbitraire. Cela peut être vérifié par différenciation.
Ainsi, s'il existe une primitive pour une fonction, alors il existe pour elle un nombre infini de primitives qui diffèrent par un terme constant. Toutes les primitives d’une fonction sont écrites sous la forme ci-dessus. Cela découle du théorème suivant.
Théorème (énoncé formel du fait 2). Si F(X) – primitive de la fonction F(X) sur un certain intervalle X, puis toute autre primitive pour F(X) sur le même intervalle peut être représenté sous la forme F(X) + C, Où AVEC– constante arbitraire.
Dans l'exemple suivant, nous nous tournons vers le tableau des intégrales, qui sera donné au paragraphe 3, après les propriétés de l'intégrale indéfinie. Nous faisons cela avant de lire l'intégralité du tableau afin que l'essence de ce qui précède soit claire. Et après la table et les propriétés, nous les utiliserons dans leur intégralité lors de l'intégration.
Exemple 2. Trouver des ensembles de fonctions primitives :
Solution. On retrouve des ensembles de fonctions primitives à partir desquelles ces fonctions sont « faites ». Lorsque vous mentionnez des formules du tableau des intégrales, acceptez pour l'instant qu'il existe de telles formules là-bas, et nous étudierons un peu plus loin le tableau des intégrales indéfinies lui-même.
1) Application de la formule (7) du tableau des intégrales pour n= 3, on obtient
2) En utilisant la formule (10) du tableau des intégrales pour n= 1/3, on a
3) Depuis
puis selon la formule (7) avec n= -1/4 on trouve
Ce n'est pas la fonction elle-même qui s'écrit sous le signe intégral. F, et son produit par le différentiel dx. Ceci est fait principalement afin d'indiquer par quelle variable la primitive est recherchée. Par exemple,
,
;
ici dans les deux cas l'intégrande est égale à , mais ses intégrales indéfinies dans les cas considérés s'avèrent différentes. Dans le premier cas, cette fonction est considérée comme fonction de la variable X, et dans le second - en fonction de z .
Le processus de recherche de l’intégrale indéfinie d’une fonction est appelé intégration de cette fonction.
Signification géométrique de l'intégrale indéfinie
Supposons que nous devions trouver une courbe y=F(x) et on sait déjà que la tangente de l'angle tangent en chacun de ses points est une fonction donnée f(x) abscisse de ce point.
D'après le sens géométrique de la dérivée, la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente en un point donné de la courbe y=F(x)égal à la valeur du dérivé F"(x). Il faut donc trouver une telle fonction F(x), Pour qui F"(x)=f(x). Fonction requise dans la tâche F(x) est une primitive de f(x). Les conditions du problème ne sont pas satisfaites par une seule courbe, mais par une famille de courbes. y=F(x)- une de ces courbes, et toute autre courbe peut en être obtenue par translation parallèle le long de l'axe Oy.
Appelons le graphe de la fonction primitive de f(x) courbe intégrale. Si F"(x)=f(x), puis le graphique de la fonction y=F(x) il existe une courbe intégrale.
Fait 3. L'intégrale indéfinie est représentée géométriquement par la famille de toutes les courbes intégrales , comme sur l'image ci-dessous. La distance de chaque courbe à l'origine des coordonnées est déterminée par une constante d'intégration arbitraire C.
Propriétés de l'intégrale indéfinie
Fait 4. Théorème 1. La dérivée d'une intégrale indéfinie est égale à l'intégrande, et sa différentielle est égale à l'intégrande.
Fait 5. Théorème 2. Intégrale indéfinie de la différentielle d'une fonction F(X) est égal à la fonction F(X) jusqu'à un terme constant , c'est à dire.
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Les théorèmes 1 et 2 montrent que la différenciation et l'intégration sont des opérations mutuellement inverses.
Fait 6. Théorème 3. Le facteur constant dans l'intégrande peut être retiré du signe de l'intégrale indéfinie , c'est à dire.
À l’école, de nombreuses personnes ne parviennent pas à résoudre les intégrales ou ont des difficultés avec celles-ci. Cet article vous aidera à le comprendre, car vous y trouverez tout. tableaux intégraux.
Intégral est l'un des principaux calculs et concepts de l'analyse mathématique. Son apparition répondait à deux objectifs :
Premier but- restaurer une fonction en utilisant sa dérivée.
Deuxième but- calcul de l'aire située à la distance du graphique à la fonction f(x) sur la droite où, a est supérieur ou égal à x supérieur ou égal à b et à l'axe des x.
Ces objectifs nous conduisent à des intégrales définies et indéfinies. Le lien entre ces intégrales réside dans la recherche de propriétés et le calcul. Mais tout coule et tout change avec le temps, de nouvelles solutions ont été trouvées, des ajouts ont été identifiés, conduisant ainsi des intégrales définies et indéfinies vers d'autres formes d'intégration.
Ce qui s'est passé intégrale indéfinie tu demandes. Il s'agit d'une fonction primitive F(x) d'une variable x dans l'intervalle a supérieur à x supérieur à b. est appelée toute fonction F(x), dans un intervalle donné pour toute désignation x, la dérivée est égale à F(x). Il est clair que F(x) est primitive pour f(x) dans l'intervalle a est supérieur à x est supérieur à b. Cela signifie que F1(x) = F(x) + C. C - est n'importe quelle constante et primitive de f(x) dans un intervalle donné. Cette affirmation est inversible ; pour la fonction f(x) - 2, les primitives ne diffèrent que par la constante. Sur la base du théorème du calcul intégral, il s'avère que chaque continu dans l'intervalle a
Intégrale définie est compris comme une limite en sommes entières, ou dans le cas d'une fonction donnée f(x) définie sur une ligne (a,b) ayant une primitive F dessus, c'est-à-dire la différence de ses expressions aux extrémités d'une ligne donnée F(b) - F(une).
Pour illustrer l'étude de ce sujet, je vous propose de regarder la vidéo. Il raconte en détail et montre comment trouver des intégrales.
Chaque tableau d'intégrales en lui-même est très utile, car il aide à résoudre un type spécifique d'intégrale.
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