Même les enfants d’âge préscolaire savent à quoi ressemble un triangle. Mais les enfants commencent déjà à comprendre à quoi ils ressemblent à l’école. Un type est un triangle obtus. Le moyen le plus simple de comprendre de quoi il s’agit est d’en voir une photo. Et en théorie, c'est ce qu'ils appellent le « polygone le plus simple » avec trois côtés et sommets, dont l'un est
Comprendre les notions
En géométrie, il existe ce type de figures à trois côtés : les triangles aigus, rectangles et obtus. De plus, les propriétés de ces polygones les plus simples sont les mêmes pour tous. Ainsi, pour toutes les espèces répertoriées, cette inégalité sera observée. La somme des longueurs de deux côtés sera nécessairement supérieure à la longueur du troisième côté.
Mais pour être sûr qu'il s'agit d'une figure complète, et non d'un ensemble de sommets individuels, il faut vérifier que la condition principale est remplie : la somme des angles d'un triangle obtus est égale à 180 degrés . Il en va de même pour les autres types de figures à trois côtés. Certes, dans un triangle obtus, l’un des angles sera même supérieur à 90°, et les deux autres seront certainement aigus. Dans ce cas, c’est l’angle le plus grand qui sera opposé au côté le plus long. Certes, ce ne sont pas toutes les propriétés d’un triangle obtus. Mais même en ne connaissant que ces caractéristiques, les écoliers peuvent résoudre de nombreux problèmes de géométrie.
Pour tout polygone à trois sommets, il est également vrai qu'en continuant l'un des côtés, on obtient un angle dont la taille sera égale à la somme de deux sommets internes non adjacents. Le périmètre d'un triangle obtus se calcule de la même manière que pour les autres formes. Elle est égale à la somme des longueurs de tous ses côtés. Pour déterminer cela, les mathématiciens ont développé diverses formules, en fonction des données initialement présentes.
Style correct
L'une des conditions les plus importantes pour résoudre les problèmes de géométrie est le dessin correct. Les professeurs de mathématiques disent souvent que cela aidera non seulement à visualiser ce qui est donné et ce qui est exigé de vous, mais aussi à se rapprocher à 80 % de la bonne réponse. C’est pourquoi il est important de savoir construire un triangle obtus. Si vous avez juste besoin d'une figure hypothétique, vous pouvez dessiner n'importe quel polygone à trois côtés de sorte que l'un des angles soit supérieur à 90 degrés.
Si certaines valeurs des longueurs des côtés ou des degrés d'angle sont données, il est alors nécessaire de dessiner un triangle obtus conformément à celles-ci. Dans ce cas, il faut essayer de représenter les angles le plus précisément possible, en les calculant à l'aide d'un rapporteur, et d'afficher les côtés proportionnellement aux conditions données dans la tâche.
Lignes principales
Souvent, il ne suffit pas aux écoliers de savoir à quoi devraient ressembler certains chiffres. Ils ne peuvent pas se limiter à indiquer uniquement quel triangle est obtus et lequel est juste. Le cours de mathématiques nécessite que leur connaissance des caractéristiques fondamentales des figures soit plus complète.
Ainsi, chaque écolier devrait comprendre la définition de la bissectrice, de la médiane, de la médiatrice et de la hauteur. De plus, il doit connaître leurs propriétés fondamentales.
Ainsi, les bissectrices divisent un angle en deux et le côté opposé en segments proportionnels aux côtés adjacents.
La médiane divise tout triangle en deux de même superficie. Au point d'intersection, chacun d'eux est divisé en 2 segments dans un rapport de 2 : 1, vu du sommet d'où il a émergé. Dans ce cas, la grande médiane est toujours dessinée vers son plus petit côté.
Pas moins d'attention n'est accordée à la hauteur. Ceci est perpendiculaire au côté opposé au coin. La hauteur d'un triangle obtus a ses propres caractéristiques. S'il est tiré d'un sommet pointu, alors il ne se retrouve pas du côté de ce polygone le plus simple, mais dans son prolongement.
La médiatrice est le segment de droite qui s'étend à partir du centre de la face du triangle. De plus, il est situé à angle droit par rapport à celui-ci.
Travailler avec des cercles
Au début de l'étude de la géométrie, il suffit aux enfants de comprendre comment dessiner un triangle obtus, d'apprendre à le distinguer des autres types et de mémoriser ses propriétés fondamentales. Mais pour les lycéens, ces connaissances ne suffisent plus. Par exemple, lors de l'examen d'État unifié, des questions sont souvent posées sur les cercles circonscrits et inscrits. Le premier d'entre eux touche les trois sommets du triangle et le second a un point commun avec tous les côtés.
Construire un triangle obtus inscrit ou circonscrit est beaucoup plus difficile, car pour ce faire, vous devez d'abord savoir où doivent se trouver le centre du cercle et son rayon. À propos, dans ce cas, non seulement un crayon avec une règle, mais également un compas deviendront un outil nécessaire.
Les mêmes difficultés surviennent lors de la construction de polygones inscrits à trois côtés. Les mathématiciens ont développé diverses formules qui leur permettent de déterminer leur emplacement le plus précisément possible.
Triangles inscrits
Comme indiqué précédemment, si un cercle passe par les trois sommets, on l’appelle alors un cercle circonscrit. Sa principale propriété est d’être unique. Pour savoir comment doit être localisé le cercle circonscrit d'un triangle obtus, il faut se rappeler que son centre est à l'intersection des trois perpendiculaires bissectrices qui vont sur les côtés de la figure. Si dans un polygone à angle aigu avec trois sommets, ce point sera situé à l'intérieur, alors dans un polygone à angle obtus, il sera à l'extérieur.
Sachant par exemple que l'un des côtés d'un triangle obtus est égal à son rayon, vous pouvez trouver l'angle opposé à la face connue. Son sinus sera égal au résultat de la division de la longueur du côté connu par 2R (où R est le rayon du cercle). C'est-à-dire que le péché de l'angle sera égal à ½. Cela signifie que l'angle sera égal à 150°.
Si vous avez besoin de trouver le rayon circonscrit d'un triangle obtus, vous aurez alors besoin d'informations sur la longueur de ses côtés (c, v, b) et son aire S. Après tout, le rayon est calculé comme ceci : (c x v x b) : 4 x S. D'ailleurs, peu importe le type de figure que vous avez : un triangle scalène obtus, isocèle, à angle droit ou aigu. Dans n'importe quelle situation, grâce à la formule ci-dessus, vous pouvez connaître l'aire d'un polygone donné à trois côtés.
Triangles circonscrits
Il faut aussi souvent travailler avec des cercles inscrits. Selon une formule, le rayon d'une telle figure, multiplié par la moitié du périmètre, sera égal à l'aire du triangle. Certes, pour le comprendre, vous devez connaître les côtés d'un triangle obtus. Après tout, pour déterminer la moitié du périmètre, vous devez additionner leurs longueurs et diviser par 2.
Pour comprendre où doit se trouver le centre d'un cercle inscrit dans un triangle obtus, il faut tracer trois bissectrices. Ce sont les lignes qui coupent les coins en deux. C'est à leur intersection que se situera le centre du cercle. Dans ce cas, il sera équidistant de chaque côté.
Le rayon d'un tel cercle inscrit dans un triangle obtus est égal au quotient (p-c) x (p-v) x (p-b) : p. Dans ce cas, p est le demi-périmètre du triangle, c, v, b sont ses côtés.
Désignations standards
Triangle avec sommets UN, B Et C est désigné comme (voir figure). Un triangle a trois côtés :
Les longueurs des côtés d'un triangle sont indiquées par des lettres latines minuscules (a, b, c) :
Un triangle a les angles suivants :
Les valeurs d'angle aux sommets correspondants sont traditionnellement désignées par des lettres grecques (α, β, γ).
Signes d'égalité des triangles
Un triangle sur le plan euclidien peut être déterminé de manière unique (jusqu'à congruence) par les triplets d'éléments de base suivants :
- a, b, γ (égalité des deux côtés et angle qui les sépare) ;
- a, β, γ (égalité du côté et deux angles adjacents) ;
- a, b, c (égalité sur trois côtés).
Signes d'égalité des triangles rectangles :
- le long de la jambe et de l'hypoténuse ;
- sur deux jambes;
- le long de la jambe et de l'angle aigu ;
- le long de l'hypoténuse et de l'angle aigu.
Certains points du triangle sont « appariés ». Par exemple, il existe deux points à partir desquels tous les côtés sont visibles soit sous un angle de 60°, soit sous un angle de 120°. Ils s'appellent Points Torricelli. Il existe également deux points dont les projections sur les côtés se situent aux sommets d'un triangle régulier. Ce - Points d'Apollonius. Les points et autres sont appelés Points Brocard.
Direct
Dans tout triangle, le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit se trouvent sur la même droite, appelée la ligne d'Euler.
La droite passant par le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine s'appelle Axe Brocard. Les points d'Apollonius reposent dessus. La pointe Torricelli et la pointe Lemoine se trouvent également sur la même ligne. Les bases des bissectrices externes des angles d'un triangle se trouvent sur la même droite, appelée axe des bissectrices externes. Les points d'intersection des lignes contenant les côtés d'un orthotriangle avec les lignes contenant les côtés du triangle se trouvent également sur la même ligne. Cette ligne s'appelle axe orthocentrique, elle est perpendiculaire à la droite d’Euler.
Si nous prenons un point sur le cercle circonscrit d'un triangle, alors ses projections sur les côtés du triangle se situeront sur la même ligne droite, appelée Simson est hétéro ce point. Les lignes de Simson des points diamétralement opposés sont perpendiculaires.
Triangles
- Un triangle dont les sommets à la base passent par un point donné est appelé triangle cévien ce point.
- Un triangle dont les sommets sont dans les projections d'un point donné sur les côtés est appelé gazon ou triangle de pédale ce point.
- Un triangle avec des sommets aux deuxièmes points d'intersection des lignes passant par les sommets et un point donné avec le cercle circonscrit est appelé triangle circonférentiel. Le triangle circonférentiel est similaire au triangle de gazon.
Cercles
- Cercle inscrit- un cercle touchant les trois côtés du triangle. Elle est la seule. Le centre du cercle inscrit s'appelle au centre.
- Circoncercle- un cercle passant par les trois sommets du triangle. Le cercle circonscrit est également unique.
- Excercle- un cercle touchant un côté du triangle et le prolongement des deux autres côtés. Il y a trois cercles de ce type dans un triangle. Leur centre radical est le centre du cercle inscrit du triangle médial, appelé Le point de Spiker.
Les milieux des trois côtés d'un triangle, les bases de ses trois altitudes et les milieux des trois segments reliant ses sommets à l'orthocentre se trouvent sur un cercle appelé cercle de neuf points ou cercle d'Euler. Le centre du cercle à neuf points se trouve sur la droite d'Euler. Un cercle de neuf pointes touche un cercle inscrit et trois excercles. Le point de tangence entre le cercle inscrit et le cercle de neuf points est appelé pointe Feuerbach. Si à partir de chaque sommet nous posons vers l'extérieur du triangle sur des lignes droites contenant les côtés, des orthèses de longueur égale aux côtés opposés, alors les six points résultants se trouvent sur le même cercle - Cercle de Conway. Trois cercles peuvent être inscrits dans n'importe quel triangle de telle manière que chacun d'eux touche deux côtés du triangle et deux autres cercles. De tels cercles sont appelés Cercles Malfatti. Les centres des cercles circonscrits des six triangles dans lesquels le triangle est divisé par les médianes se trouvent sur un cercle appelé circonférence de Lamun.
Un triangle comporte trois cercles qui touchent deux côtés du triangle et le cercle circonscrit. De tels cercles sont appelés semi-inscrit ou Cercles de Verrier. Les segments reliant les points de tangence des cercles de Verrier au cercle circonscrit se coupent en un point appelé Le point de Verrier. Il sert de centre d'une homothétie, qui transforme un cercle circonscrit en cercle inscrit. Les points de contact des cercles de Verrier avec les côtés se situent sur une droite passant par le centre du cercle inscrit.
Les segments reliant les points de tangence du cercle inscrit avec les sommets se coupent en un point appelé Pointe Gergonne, et les segments reliant les sommets aux points de tangence des excercles sont en Pointe Nagel.
Ellipses, paraboles et hyperboles
Conique inscrite (ellipse) et son perspecteur
Un nombre infini de coniques (ellipses, paraboles ou hyperboles) peuvent s'inscrire dans un triangle. Si nous inscrivons une conique arbitraire dans un triangle et connectons les points tangents aux sommets opposés, alors les lignes droites résultantes se couperont en un point appelé perspective couchettes. Pour tout point du plan qui ne se trouve pas sur un côté ou sur son prolongement, il y a une conique inscrite avec un perspecteur en ce point.
L'ellipse de Steiner décrite et les cevians passant par ses foyers
Vous pouvez inscrire une ellipse dans un triangle qui touche les côtés au milieu. Une telle ellipse s'appelle Ellipse de Steiner inscrite(sa perspective sera le centre de gravité du triangle). L'ellipse circonscrite, qui touche les lignes passant par les sommets parallèles aux côtés, s'appelle décrit par l'ellipse de Steiner. Si nous transformons un triangle en triangle régulier en utilisant une transformation affine (« inclinaison »), alors son ellipse de Steiner inscrite et circonscrite se transformera en un cercle inscrit et circonscrit. Les lignes de Chevian tracées à travers les foyers de l'ellipse de Steiner décrite (points de Scutin) sont égales (théorème de Scutin). De toutes les ellipses décrites, l'ellipse de Steiner décrite a la plus petite superficie, et de toutes les ellipses inscrites, l'ellipse de Steiner inscrite a la plus grande superficie.
Ellipse de Brocard et son perspecteur - Pointe Lemoine
Une ellipse avec des foyers aux points de Brocard s'appelle Ellipse de Brocard. Sa perspective est le point Lemoine.
Propriétés d'une parabole inscrite
Parabole de Kiepert
Les perspectives des paraboles inscrites se situent sur l'ellipse de Steiner décrite. Le foyer d'une parabole inscrite se trouve sur le cercle circonscrit et la directrice passe par l'orthocentre. Une parabole inscrite dans un triangle et ayant pour directrice d'Euler pour directrice s'appelle Parabole de Kiepert. Son perspecteur est le quatrième point d'intersection du cercle circonscrit et de l'ellipse circonscrite de Steiner, appelé Pointe Steiner.
L'hyperbole de Kiepert
Si l'hyperbole décrite passe par le point d'intersection des hauteurs, alors elle est équilatérale (c'est-à-dire que ses asymptotes sont perpendiculaires). Le point d'intersection des asymptotes d'une hyperbole équilatérale se situe sur le cercle de neuf points.
Transformations
Si les lignes passant par les sommets et certains points ne se trouvant pas sur les côtés et leurs extensions sont réfléchies par rapport aux bissectrices correspondantes, alors leurs images se couperont également en un point, appelé conjugué isogonalement celui d'origine (si le point se trouve sur le cercle circonscrit, alors les lignes résultantes seront parallèles). De nombreuses paires de points remarquables sont conjuguées isogonalement : le centre circonscrit et l'orthocentre, le centroïde et le point de Lemoine, les points de Brocard. Les points d'Apollonius sont conjugués de manière isogonale aux points de Torricelli, et le centre du cercle inscrit est conjugué de manière isogonale à lui-même. Sous l'action de la conjugaison isogonale, les droites se transforment en coniques circonscrites, et les coniques circonscrites en droites. Ainsi, l'hyperbole de Kiepert et l'axe de Brocard, l'hyperbole de Jenzabek et la droite d'Euler, l'hyperbole de Feuerbach et la ligne des centres des cercles inscrits et circonscrits sont conjuguées de manière isogonale. Les cercles circonscrits des triangles des points isogonalement conjugués coïncident. Les foyers des ellipses inscrites sont conjugués isogonalement.
Si, au lieu d'un cevian symétrique, nous prenons un cevian dont la base est aussi éloignée du milieu du côté que la base de celle d'origine, alors ces cevian se couperont également en un point. La transformation résultante est appelée conjugaison isotomique. Il convertit également les lignes droites en coniques décrites. Les points Gergonne et Nagel sont isotomiquement conjugués. Sous transformations affines, les points isotomiquement conjugués sont transformés en points isotomiquement conjugués. Avec la conjugaison isotomique, l'ellipse de Steiner décrite ira dans la ligne droite infiniment éloignée.
Si dans les segments coupés par les côtés du triangle du cercle circonscrit, nous inscrivons des cercles touchant les côtés aux bases des cevians passés par un certain point, puis relions les points tangents de ces cercles au cercle circonscrit aux sommets opposés, alors ces lignes droites se couperont en un point. Une transformation plane qui fait correspondre le point d'origine au point résultant est appelée transformation isocirculaire. La composition des conjugués isogonaux et isotomiques est la composition d'une transformation isocirculaire avec elle-même. Cette composition est une transformation projective, qui laisse les côtés du triangle en place, et transforme l'axe des bissectrices externes en une droite à l'infini.
Si nous étendons les côtés d'un triangle de Chevian d'un certain point et prenons leurs points d'intersection avec les côtés correspondants, alors les points d'intersection résultants se situeront sur une ligne droite, appelée polaire trilinéaire point de départ. L'axe orthocentrique est la polaire trilinéaire de l'orthocentre ; la polaire trilinéaire du centre du cercle inscrit est l'axe des bissectrices externes. Les polaires trilinéaires de points situés sur une conique circonscrite se coupent en un point (pour un cercle circonscrit c'est le point de Lemoine, pour une ellipse de Steiner circonscrite c'est le centroïde). La composition d'un conjugué isogonal (ou isotomique) et d'une polaire trilinéaire est une transformation de dualité (si un point conjugué isogonalement (isotomiquement) à un point se trouve sur la polaire trilinéaire d'un point, alors la polaire trilinéaire d'un point isogonalement (isotomiquement) conjugué à un point se trouve sur la polaire trilinéaire d'un point).
Cubes
Rapports dans un triangle
Note: dans cette section, , sont les longueurs des trois côtés du triangle, et , sont les angles respectivement opposés à ces trois côtés (angles opposés).
Inégalité triangulaire
Dans un triangle non dégénéré, la somme des longueurs de ses deux côtés est supérieure à la longueur du troisième côté, dans un triangle dégénéré elle est égale. En d’autres termes, les longueurs des côtés d’un triangle sont liées par les inégalités suivantes :
L'inégalité triangulaire est l'un des axiomes de la métrique.
Théorème de la somme des angles du triangle
Théorème des sinus
,où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle. Il résulte du théorème que si un< b < c, то α < β < γ.
Théorème du cosinus
Théorème de la tangente
Autres ratios
Les rapports métriques dans un triangle sont donnés pour :
Résoudre des triangles
Le calcul des côtés et des angles inconnus d’un triangle sur la base de ceux connus est historiquement appelé « résolution de triangles ». Les théorèmes trigonométriques généraux ci-dessus sont utilisés.
Aire d'un triangle
Cas particuliers NotationPour la zone, les inégalités suivantes sont valables :
Calculer l'aire d'un triangle dans l'espace à l'aide de vecteurs
Soit les sommets du triangle aux points , , .
Introduisons le vecteur de zone . La longueur de ce vecteur est égale à l'aire du triangle, et elle est dirigée normalement au plan du triangle :
Posons , où , , sont les projections du triangle sur les plans de coordonnées. Où
et de même
L'aire du triangle est .
Une alternative consiste à calculer les longueurs des côtés (en utilisant le théorème de Pythagore) puis à utiliser la formule de Heron.
Théorèmes des triangles
Théorème de Desargues: si deux triangles sont en perspective (les lignes passant par les sommets correspondants des triangles se coupent en un point), alors leurs côtés correspondants se coupent sur la même ligne.
Théorème de Sonda: si deux triangles sont perspective et orthologues (perpendiculaires tirées des sommets d'un triangle vers les côtés opposés aux sommets correspondants du triangle, et vice versa), alors les deux centres d'orthologie (les points d'intersection de ces perpendiculaires) et le centre de perspective se situent sur une même droite, perpendiculaire à l'axe de perspective (droite du théorème de Desargues).
Triangle - définition et concepts généraux
Un triangle est un polygone simple composé de trois côtés et possédant le même nombre d'angles. Ses plans sont limités par 3 points et 3 segments reliant ces points deux à deux.
Tous les sommets de tout triangle, quel que soit son type, sont désignés par des lettres latines majuscules, et ses côtés sont représentés par les désignations correspondantes des sommets opposés, non seulement en lettres majuscules, mais en petites. Ainsi, par exemple, un triangle dont les sommets sont étiquetés A, B et C a des côtés a, b, c.
Si l’on considère un triangle dans l’espace euclidien, il s’agit alors d’une figure géométrique formée de trois segments reliant trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite.
Regardez attentivement l'image ci-dessus. Sur celui-ci, les points A, B et C sont les sommets de ce triangle, et ses segments sont appelés les côtés du triangle. Chaque sommet de ce polygone forme des angles à l'intérieur.
Types de triangles
Selon la taille des angles des triangles, ils sont divisés en variétés telles que : Rectangulaire ;
Angulaire aigu ;
Obtus.
Les triangles rectangulaires comprennent ceux qui ont un angle droit et les deux autres ont des angles aigus.
Les triangles aigus sont ceux dont tous les angles sont aigus.
Et si un triangle a un angle obtus et les deux autres angles aigus, alors un tel triangle est classé comme obtus.
Chacun de vous comprend parfaitement que tous les triangles n’ont pas des côtés égaux. Et selon la longueur de ses côtés, les triangles peuvent être divisés en :
Isocèle;
Équilatéral;
Polyvalent.
Devoir : Dessinez différents types de triangles. Définissez-les. Quelle différence voyez-vous entre eux ?
Propriétés de base des triangles
Bien que ces polygones simples puissent différer les uns des autres par la taille de leurs angles ou de leurs côtés, chaque triangle possède les propriétés fondamentales caractéristiques de cette figure.
Dans n'importe quel triangle :
La somme totale de tous ses angles est de 180º.
S'il appartient aux équilatéraux, alors chacun de ses angles mesure 60º.
Un triangle équilatéral a des angles égaux et égaux.
Plus le côté du polygone est petit, plus l'angle opposé à celui-ci est petit, et vice versa, plus l'angle est opposé au plus grand côté.
Si les côtés sont égaux, alors en face d'eux se trouvent des angles égaux, et vice versa.
Si nous prenons un triangle et étendons son côté, nous nous retrouvons avec un angle externe. Elle est égale à la somme des angles internes.
Dans tout triangle, son côté, quel que soit celui que vous choisissez, sera toujours inférieur à la somme des 2 autres côtés, mais supérieur à leur différence :
1. un< b + c, a >avant JC;
2.b< a + c, b >a–c ;
3.c< a + b, c >un B.
Exercice
Le tableau montre les deux angles déjà connus du triangle. Connaissant la somme totale de tous les angles, trouvez à quoi est égal le troisième angle du triangle et inscrivez-le dans le tableau :
1. Combien de degrés a le troisième angle ?
2. À quel type de triangle appartient-il ?
Tests d'équivalence des triangles
je signe
signe II
signe III
Hauteur, bissectrice et médiane d'un triangle
L'altitude d'un triangle - la perpendiculaire tracée du sommet de la figure à son côté opposé est appelée l'altitude du triangle. Toutes les altitudes d'un triangle se coupent en un point. Le point d'intersection des 3 altitudes d'un triangle est son orthocentre.
Un segment tiré d'un sommet donné et le reliant au milieu du côté opposé est la médiane. Les médianes, ainsi que les altitudes d'un triangle, ont un point d'intersection commun, appelé centre de gravité du triangle ou centroïde.
La bissectrice d'un triangle est un segment reliant le sommet d'un angle et un point du côté opposé, et divisant également cet angle en deux. Toutes les bissectrices d'un triangle se coupent en un point, appelé centre du cercle inscrit dans le triangle.
Le segment qui relie les milieux des 2 côtés d’un triangle s’appelle la ligne médiane.
Référence historique
Une figure telle qu'un triangle était connue dans l'Antiquité. Cette figure et ses propriétés ont été mentionnées sur des papyrus égyptiens il y a quatre mille ans. Un peu plus tard, grâce au théorème de Pythagore et à la formule de Héron, l'étude des propriétés du triangle est passée à un niveau supérieur, mais cela s'est quand même produit il y a plus de deux mille ans.
Aux XVe et XVIe siècles, de nombreuses recherches ont commencé à être menées sur les propriétés d'un triangle, ce qui a donné naissance à une science telle que la planimétrie, appelée « Nouvelle géométrie du triangle ».
Le scientifique russe N.I. Lobatchevski a apporté une énorme contribution à la connaissance des propriétés des triangles. Ses travaux trouvèrent plus tard des applications en mathématiques, en physique et en cybernétique.
Grâce à la connaissance des propriétés des triangles, une science telle que la trigonométrie est née. Il s'est avéré nécessaire pour une personne dans ses besoins pratiques, puisque son utilisation est simplement nécessaire lors de l'élaboration de cartes, de la mesure de zones et même lors de la conception de divers mécanismes.
Quel est le triangle le plus célèbre que vous connaissez ? Il s'agit bien sûr du Triangle des Bermudes ! Il a reçu ce nom dans les années 50 en raison de la situation géographique des points (sommets du triangle), à l'intérieur desquels, selon la théorie existante, sont apparues les anomalies qui lui sont associées. Les sommets du Triangle des Bermudes sont les Bermudes, la Floride et Porto Rico.
Devoir : Quelles théories sur le Triangle des Bermudes avez-vous entendu ?
Saviez-vous que dans la théorie de Lobatchevski, lors de l’addition des angles d’un triangle, leur somme donne toujours un résultat inférieur à 180º. Dans la géométrie de Riemann, la somme de tous les angles d'un triangle est supérieure à 180º, et dans les travaux d'Euclide, elle est égale à 180 degrés.
Devoirs
Résoudre des mots croisés sur un sujet donné
Questions pour les mots croisés :
1. Quel est le nom de la perpendiculaire qui est tracée du sommet du triangle à la droite située du côté opposé ?
2. Comment, en un mot, peut-on appeler la somme des longueurs des côtés d'un triangle ?
3. Nommez un triangle dont les deux côtés sont égaux ?
4. Nommez un triangle qui a un angle égal à 90° ?
5. Quel est le nom du plus grand côté du triangle ?
6. Quel est le nom du côté d’un triangle isocèle ?
7. Il y en a toujours trois dans un triangle.
8. Quel est le nom d'un triangle dont l'un des angles dépasse 90° ?
9. Le nom du segment reliant le haut de notre figure au milieu du côté opposé ?
10. Dans un polygone simple ABC, la lettre majuscule A est... ?
11. Quel est le nom du segment qui divise l'angle d'un triangle en deux ?
Questions sur le thème des triangles :
1. Définissez-le.
2. Combien de hauteurs a-t-il ?
3. Combien de bissectrices possède un triangle ?
4. Quelle est sa somme d’angles ?
5. Quels types de ce polygone simple connaissez-vous ?
6. Nommez les points des triangles dits remarquables.
7. Quel appareil pouvez-vous utiliser pour mesurer l’angle ?
8. Si les aiguilles de l'horloge indiquent 21 heures. Quel angle font les aiguilles des heures ?
9. Sous quel angle une personne se tourne-t-elle si on lui donne le commandement « à gauche », « cercle » ?
10. Connaissez-vous d'autres définitions associées à une figure qui a trois angles et trois côtés ?
Triangle est un polygone à trois côtés (ou trois angles). Les côtés d'un triangle sont souvent indiqués par des lettres minuscules qui correspondent aux lettres majuscules représentant les sommets opposés.
Triangle aigu appelé triangle dans lequel les trois angles sont aigus.
Triangle obtus s'appelle un triangle dont l'un des angles est obtus.
Triangle rectangle appelé triangle dont l'un des angles est droit, c'est-à-dire égal à 90° ; les côtés a, b formant un angle droit sont appelés jambes; le côté c opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse.
Triangle isocèle appelé triangle dont les deux côtés sont égaux (a = c) ; ces côtés égaux sont appelés latéral, le tiers est appelé base du triangle.
Triangle équilatéral s'appelle un triangle dont tous les côtés sont égaux (a = b = c). Si dans un triangle aucun de ses côtés (abc) n'est égal, alors ceci triangle équilatéral.
Propriétés de base des triangles
Dans n'importe quel triangle :
Signes d'égalité des triangles
Les triangles sont congrus s'ils sont respectivement égaux :
Signes d'égalité des triangles rectangles
Deux triangles rectangles sont congruents si l'une des conditions suivantes est vraie :
HauteurTriangle est une perpendiculaire tombée de n'importe quel sommet vers le côté opposé (ou sa continuation). Ce côté s'appelle base du triangle. Les trois altitudes d'un triangle se coupent toujours en un point appelé orthocentre du triangle.
L'orthocentre d'un triangle aigu est situé à l'intérieur du triangle et l'orthocentre d'un triangle obtus est à l'extérieur ; L'orthocentre d'un triangle rectangle coïncide avec le sommet de l'angle droit.
Médian est un segment reliant n'importe quel sommet d'un triangle au milieu du côté opposé. Les trois médianes d'un triangle se coupent en un point, qui se trouve toujours à l'intérieur du triangle et constitue son centre de gravité. Ce point divise chaque médiane dans un rapport de 2 : 1, à partir du sommet.
Bissecteur- c'est le segment bissecteur de l'angle allant du sommet au point d'intersection avec le côté opposé. Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point, qui se trouve toujours à l'intérieur du triangle et est le centre du cercle inscrit. La bissectrice divise le côté opposé en parties proportionnelles aux côtés adjacents.
Perpendiculaire médiane est une perpendiculaire tirée du milieu d’un segment (côté). Les trois perpendiculaires médianes d’un triangle se coupent en un point, qui est le centre du cercle circonscrit.
Dans un triangle aigu, ce point se trouve à l’intérieur du triangle, dans un triangle obtus il se trouve à l’extérieur, dans un triangle rectangle il se trouve au milieu de l’hypoténuse. L'orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit ne coïncident que dans un triangle équilatéral.
théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des jambes.
Preuve du théorème de Pythagore
Construisons un carré AKMB en utilisant l'hypoténuse AB comme côté. Puis on prolonge les côtés du triangle rectangle ABC pour obtenir un carré CDEF dont le côté est a + b. Or il est clair que l'aire du carré CDEF est égale à (a + b) 2. Par contre, cette aire est égale à la somme des aires des quatre triangles rectangles et du carré AKMB, c'est-à-dire ,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
et finalement nous avons :
c 2 = une 2 + b 2 .
Rapport hauteur/largeur dans un triangle arbitraire
Dans le cas général (pour un triangle arbitraire) on a :
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
où C est l'angle entre les côtés a et b.
- school-club.ru - quels types de triangles existe-t-il ?
- math.ru - types de triangles ;
- raduga.rkc-74.ru - tout sur les triangles pour les plus petits.
En étudiant les mathématiques, les élèves commencent à se familiariser avec différents types de formes géométriques. Aujourd'hui, nous allons parler de différents types de triangles.
Définition
Les figures géométriques constituées de trois points qui ne sont pas sur la même ligne sont appelées triangles.
Les segments reliant les points sont appelés côtés et les points sont appelés sommets. Les sommets sont désignés en majuscules, par exemple : A, B, C.
Les côtés sont désignés par les noms des deux points qui les composent - AB, BC, AC. En se croisant, les côtés forment des angles. La face inférieure est considérée comme la base de la figure.
Riz. 1. Triangle ABC.
Types de triangles
Les triangles sont classés par angles et côtés. Chaque type de triangle possède ses propres propriétés.
Il existe trois types de triangles aux coins :
- à angle aigu;
- rectangulaire;
- à angle obtus.
Tous les angles à angle aigu les triangles sont aigus, c'est-à-dire que la mesure en degré de chacun ne dépasse pas 90 0.
Rectangulaire un triangle contient un angle droit. Les deux autres angles seront toujours aigus, sinon la somme des angles du triangle dépassera 180 degrés, ce qui est impossible. Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse et les deux autres s’appellent les jambes. L'hypoténuse est toujours plus grande que la jambe.
Obtus le triangle contient un angle obtus. C'est-à-dire un angle supérieur à 90 degrés. Les deux autres angles d’un tel triangle seront aigus.
Riz. 2. Types de triangles aux coins.
Un triangle de Pythagore est un rectangle dont les côtés sont 3, 4, 5.
De plus, le plus grand côté est l’hypoténuse.
De tels triangles sont souvent utilisés pour construire des problèmes simples de géométrie. N'oubliez donc pas : si deux côtés d'un triangle sont égaux à 3, alors le troisième sera certainement 5. Cela simplifiera les calculs.
Types de triangles sur les côtés :
- équilatéral;
- isocèle;
- polyvalent.
Équilatéral un triangle est un triangle dont tous les côtés sont égaux. Tous les angles d'un tel triangle sont égaux à 60 0, c'est-à-dire qu'il est toujours aigu.
Isocèle triangle - un triangle dont seulement deux côtés sont égaux. Ces côtés sont appelés latéraux et le troisième est appelé base. De plus, les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux et toujours aigus.
Polyvalent ou un triangle arbitraire est un triangle dans lequel toutes les longueurs et tous les angles ne sont pas égaux les uns aux autres.
Si le problème ne contient aucune précision sur la figure, il est généralement admis que nous parlons d'un triangle arbitraire.
Riz. 3. Types de triangles sur les côtés.
La somme de tous les angles d’un triangle, quel que soit son type, est de 1 800.
En face du plus grand angle se trouve le plus grand côté. Et aussi la longueur d’un côté est toujours inférieure à la somme de ses deux autres côtés. Ces propriétés sont confirmées par le théorème d'inégalité triangulaire.
Il existe un concept de triangle d'or. Il s'agit d'un triangle isocèle dans lequel deux côtés sont proportionnels à la base et égaux à un certain nombre. Dans une telle figure, les angles sont proportionnels au rapport 2:2:1.
Tâche:
Existe-t-il un triangle dont les côtés mesurent 6 cm, 3 cm, 4 cm ?
Solution:
Pour résoudre cette tâche, vous devez utiliser l'inégalité a
Qu'avons-nous appris ?
Grâce à ce matériel du cours de mathématiques de 5e année, nous avons appris que les triangles sont classés en fonction de leurs côtés et de la taille de leurs angles. Les triangles possèdent certaines propriétés qui peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes.
