Résolvez des équations trigonométriques complexes avec des solutions détaillées. Équations trigonométriques. Le guide ultime (2019)

En résolvant plusieurs problèmes mathématiques, en particulier ceux qui surviennent avant la 10e année, l'ordre des actions effectuées qui mèneront à l'objectif est clairement défini. De tels problèmes incluent, par exemple, les équations linéaires et quadratiques, les inégalités linéaires et quadratiques, les équations fractionnaires et les équations qui se réduisent aux équations quadratiques. Le principe pour résoudre avec succès chacun des problèmes mentionnés est le suivant : vous devez établir le type de problème que vous résolvez, vous rappeler la séquence d'actions nécessaire qui mènera au résultat souhaité, c'est-à-dire répondez et suivez ces étapes.

Il est évident que le succès ou l'échec de la résolution d'un problème particulier dépend principalement de la manière dont le type d'équation à résoudre est correctement déterminé et de la manière dont la séquence de toutes les étapes de sa solution est correctement reproduite. Bien entendu, dans ce cas, il est nécessaire d’avoir les compétences nécessaires pour effectuer des transformations et des calculs identiques.

La situation est différente avec équations trigonométriques. Il n'est pas du tout difficile d'établir que l'équation est trigonométrique. Des difficultés surviennent lors de la détermination de la séquence d'actions qui mènerait à la bonne réponse.

Il est parfois difficile de déterminer son type à partir de l’apparence d’une équation. Et sans connaître le type d'équation, il est quasiment impossible de choisir la bonne parmi plusieurs dizaines de formules trigonométriques.

Pour résoudre une équation trigonométrique, vous devez essayer :

1. amener toutes les fonctions incluses dans l'équation aux « mêmes angles » ;
2. ramener l'équation à des « fonctions identiques » ;
3. factoriser le côté gauche de l'équation, etc.

Considérons méthodes de base pour résoudre des équations trigonométriques.

I. Réduction aux équations trigonométriques les plus simples

Diagramme de solutions

Étape 1. Exprimer une fonction trigonométrique en termes de composantes connues.

Étape 2. Trouvez l'argument de la fonction à l'aide des formules :

cosx = une ; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

péché x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

bronzage x = une; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Étape 3. Trouvez la variable inconnue.

Exemple.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solution.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z ;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Réponse : ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Remplacement variable

Diagramme de solutions

Étape 1. Réduisez l’équation sous forme algébrique par rapport à l’une des fonctions trigonométriques.

Étape 2. Notons la fonction résultante par la variable t (si nécessaire, introduisez des restrictions sur t).

Étape 3.Écrivez et résolvez l’équation algébrique résultante.

Étape 4. Effectuez un remplacement inversé.

Étape 5. Résolvez l'équation trigonométrique la plus simple.

Exemple.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solution.

1) 2(1 – péché 2 (x/2)) – 5 péché (x/2) – 5 = 0 ;

2 péché 2 (x/2) + 5 péché (x/2) + 3 = 0.

2) Soit sin (x/2) = t, où |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ;

t = 1 ou e = -3/2, ne satisfait pas à la condition |t| ≤ 1.

4) péché(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Réponse : x = π + 4πn, n Є Z.

III. Méthode de réduction de l'ordre des équations

Diagramme de solutions

Étape 1. Remplacez cette équation par une équation linéaire, en utilisant la formule de réduction du degré :

péché 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x) ;

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x) ;

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant les méthodes I et II.

Exemple.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solution.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4 ;

3/2 car 2x = 3/4 ;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Réponse : x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Équations homogènes

Diagramme de solutions

Étape 1. Réduisons cette équation à la forme

a) a sin x + b cos x = 0 (équation homogène du premier degré)

ou à la vue

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (équation homogène du deuxième degré).

Étape 2. Divisez les deux côtés de l'équation par

une) cosx ≠ 0 ;

b) cos 2 x ≠ 0 ;

et obtenez l'équation pour tan x :

a) un bronzage x + b = 0 ;

b) un bronzage 2 x + b arctan x + c = 0.

Étape 3. Résolvez l'équation en utilisant des méthodes connues.

Exemple.

5 péché 2 x + 3 péché x cos x – 4 = 0.

Solution.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0 ;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0 ;

péché 2 x + 3 péché x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.

3) Soit tg x = t, alors

t 2 + 3t – 4 = 0 ;

t = 1 ou t = -4, ce qui signifie

tg x = 1 ou tg x = -4.

D'après la première équation x = π/4 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Réponse : x = π/4 + πn, n Є Z ; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Méthode de transformation d'une équation à l'aide de formules trigonométriques

Diagramme de solutions

Étape 1. En utilisant toutes les formules trigonométriques possibles, réduisez cette équation à une équation résolue par les méthodes I, II, III, IV.

Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant des méthodes connues.

Exemple.

péché x + péché 2x + péché 3x = 0.

Solution.

1) (péché x + péché 3x) + péché 2x = 0 ;

2 péché 2x cos x + péché 2x = 0.

2) péché 2x (2cos x + 1) = 0 ;

péché 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0 ;

D'après la première équation 2x = π/2 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation cos x = -1/2.

Nous avons x = π/4 + πn/2, n Є Z ; à partir de la deuxième équation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

En conséquence, x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Réponse : x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

La capacité et l'habileté à résoudre des équations trigonométriques sont très important, leur développement nécessite un effort important, tant de la part de l’élève que de la part de l’enseignant.

De nombreux problèmes de stéréométrie, de physique, etc. sont associés à la solution d'équations trigonométriques. Le processus de résolution de ces problèmes incarne de nombreuses connaissances et compétences acquises en étudiant les éléments de la trigonométrie.

Les équations trigonométriques occupent une place importante dans le processus d’apprentissage des mathématiques et du développement personnel en général.

Vous avez encore des questions ? Vous ne savez pas comment résoudre des équations trigonométriques ?
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Équations trigonométriques plus complexes

Équations

péché x = un,
parce que x = un,
tg x = un,
CTG x = un

sont les équations trigonométriques les plus simples. Dans cette section, nous examinerons des équations trigonométriques plus complexes à l'aide d'exemples spécifiques. En règle générale, leur solution consiste à résoudre les équations trigonométriques les plus simples.

Exemple 1 . Résous l'équation

péché 2 X=cos X péché 2 X.

En transférant tous les termes de cette équation vers la gauche et en factorisant l'expression résultante, on obtient :

péché 2 X(1 - parce que X) = 0.

Le produit de deux expressions est égal à zéro si et seulement si au moins un des facteurs est égal à zéro et l'autre prend n'importe quelle valeur numérique, pour autant qu'elle soit définie.

Si péché 2 X = 0 , puis 2 X= n π ; X = π / 2n.

Si 1 - parce que X = 0 , alors parce que X = 1; X = 2kπ .

Nous avons donc deux groupes de racines : X = π / 2n; X = 2kπ . Le deuxième groupe de racines est évidemment contenu dans le premier, puisque pour n = 4k l'expression X = π / 2n devient
X = 2kπ .

Par conséquent, la réponse peut s’écrire dans une formule : X = π / 2n, Où n- n'importe quel entier.

Notez que cette équation ne peut pas être résolue en réduisant par sin 2 X. En effet, après réduction on obtiendrait 1 - cos x = 0, d'où X= 2k π . Donc on perdrait quelques racines, par exemple π / 2 , π , 3π / 2 .

Exemple 2. Résous l'équation

Une fraction n'est égale à zéro que si son numérateur est égal à zéro.
C'est pourquoi péché 2 X = 0 , d'où 2 X= n π ; X = π / 2n.

A partir de ces valeurs X vous devez rejeter comme étrangères les valeurs auxquelles péchéX tend vers zéro (les fractions avec des dénominateurs nuls n'ont aucune signification : la division par zéro n'est pas définie). Ces valeurs sont des nombres multiples de π . Dans la formule
X = π / 2n ils sont obtenus même pour n. Les racines de cette équation seront donc les nombres

X = π / 2 (2k + 1),

où k est n'importe quel entier.

Exemple 3 . Résous l'équation

2 péché 2 X+ 7cos X - 5 = 0.

Exprimons péché 2 X à travers parce queX : péché 2 X = 1 - cos 2X . Alors cette équation peut être réécrite comme

2 (1 - cos2 X) + 7 cos X - 5 = 0 , ou

2cos 2 X- 7 pièces X + 3 = 0.

Désignation parce queX à travers à, on arrive à l'équation quadratique

2у 2 - 7у + 3 = 0,

dont les racines sont les nombres 1/2 et 3. Cela signifie que soit cos X= 1 / 2, ou cos X= 3. Cependant, cette dernière est impossible, puisque le cosinus de tout angle ne dépasse pas 1 en valeur absolue.

Reste à admettre que parce que X = 1 / 2 , où

X = ± 60° + 360°n.

Exemple 4 . Résous l'équation

2 péché X+ 3 cos X = 6.

Depuis le péché X et parce que X en valeur absolue ne dépasse pas 1, alors l'expression
2 péché X+ 3 cos X ne peut pas prendre de valeurs supérieures à 5 . Cette équation n’a donc pas de racine.

Exemple 5 . Résous l'équation

péché X+cos X = 1

En mettant au carré les deux côtés de cette équation, on obtient :

péché 2 X+ 2 péchés X parce que X+ parce que 2 X = 1,

Mais péché 2 X + parce que 2 X = 1 . C'est pourquoi 2 péché X parce que X = 0 . Si péché X = 0 , Que X = nπ ; si
parce que X , Que X = π / 2 + kπ . Ces deux groupes de solutions peuvent être écrits dans une seule formule :

X = π / 2n

Puisque nous avons mis au carré les deux côtés de cette équation, il est possible qu’il y ait des racines superflues parmi les racines que nous avons obtenues. C'est pourquoi dans cet exemple, contrairement à tous les précédents, il est nécessaire de faire une vérification. Toutes les significations

X = π / 2n peut être divisé en 4 groupes

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X *= π /* 2** + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X *= 3π /* 2** + 2kπ .	(n = 4k + 3)

À X = 2kπ péché X+cos X= 0 + 1 = 1. Par conséquent, X = 2kπ sont les racines de cette équation.

À X = π / 2 + 2kπ. péché X+cos X= 1 + 0 = 1 Donc X = π / 2 + 2kπ- aussi les racines de cette équation.

À X = π + 2kπ péché X+cos X= 0 - 1 = - 1. Par conséquent, les valeurs X = π + 2kπ ne sont pas les racines de cette équation. De même, on montre que X = 3π / 2 + 2kπ. ne sont pas des racines.

Ainsi, cette équation a les racines suivantes : X = 2kπ Et X = π / 2 + 2mπ., Où k Et m- tous les entiers.

Les équations trigonométriques les plus simples sont généralement résolues à l'aide de formules. Permettez-moi de vous rappeler que les équations trigonométriques les plus simples sont :

sinx = un

cosx = un

tgx = un

ctgx = un

x est l'angle à trouver,
a est n’importe quel nombre.

Et voici les formules avec lesquelles vous pouvez immédiatement écrire les solutions de ces équations les plus simples.

Pour le sinus :

Pour le cosinus :

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pour la tangente :

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Pour la cotangente :

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

En fait, c'est la partie théorique de la résolution des équations trigonométriques les plus simples. D'ailleurs, tout !) Rien du tout. Cependant, le nombre d’erreurs sur ce sujet est tout simplement hors du commun. Surtout si l'exemple s'écarte légèrement du modèle. Pourquoi?

Oui, parce que beaucoup de gens écrivent ces lettres, sans en comprendre du tout le sens ! Il écrit avec prudence, de peur que quelque chose n'arrive...) Il faut régler ce problème. Trigonométrie pour les gens, ou gens pour la trigonométrie, après tout !?)

Voyons ça ?

Un angle sera égal à arccos un, deuxième: -arccos a.

Et cela fonctionnera toujours ainsi. Pour toute UN.

Si vous ne me croyez pas, passez votre souris sur l'image ou touchez l'image sur votre tablette.) J'ai changé le numéro UN à quelque chose de négatif. Quoi qu'il en soit, nous avons un coin arccos un, deuxième: -arccos a.

Par conséquent, la réponse peut toujours s’écrire sous la forme de deux séries de racines :

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Combinons ces deux séries en une seule :

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Et c'est tout. Nous avons obtenu une formule générale pour résoudre l'équation trigonométrique la plus simple avec cosinus.

Si vous comprenez qu'il ne s'agit pas d'une sorte de sagesse superscientifique, mais juste une version abrégée de deux séries de réponses, Vous serez également capable de gérer les tâches « C ». Avec des inégalités, avec une sélection de racines dans un intervalle donné... Là, la réponse avec un plus/moins ne fonctionne pas. Mais si vous traitez la réponse de manière pragmatique et la divisez en deux réponses distinctes, tout sera résolu.) En fait, c’est pourquoi nous l’examinons. Quoi, comment et où.

Dans l'équation trigonométrique la plus simple

sinx = un

on obtient également deux séries de racines. Toujours. Et ces deux séries peuvent aussi être enregistrées en une seule ligne. Seule cette ligne sera plus délicate :

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Mais l’essence reste la même. Les mathématiciens ont simplement conçu une formule pour créer une entrée au lieu de deux pour une série de racines. C'est tout!

Vérifions les mathématiciens ? Et on ne sait jamais...)

Dans la leçon précédente, la solution (sans aucune formule) d'une équation trigonométrique avec sinus a été discutée en détail :

La réponse a abouti à deux séries de racines :

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Si nous résolvons la même équation en utilisant la formule, nous obtenons la réponse :

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

En fait, c'est une réponse inachevée.) L'étudiant doit savoir que arc sin 0,5 = π /6. La réponse complète serait :

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Cela soulève une question intéressante. Répondre via x1 ; x2 (c'est la bonne réponse !) et par la solitude X (et c'est la bonne réponse !) - est-ce la même chose ou pas ? Nous le découvrirons maintenant.)

Nous remplaçons la réponse par x1 valeurs n =0; 1; 2 ; etc., on compte, on obtient une série de racines :

x 1 = π/6 ; 13π/6 ; 25π/6 et ainsi de suite.

Avec la même substitution en réponse avec x2 , on a:

x2 = 5π/6 ; 17π/6 ; 29π/6 et ainsi de suite.

Maintenant, remplaçons les valeurs n (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4...) dans la formule générale pour un seul X . C'est-à-dire que nous élevons moins un à la puissance zéro, puis à la première, à la seconde, etc. Eh bien, bien sûr, nous remplaçons 0 dans le deuxième terme ; 1; 2 3 ; 4, etc Et nous comptons. On obtient la série :

X = π/6 ; 5π/6 ; 13π/6 ; 17π/6 ; 25π/6 et ainsi de suite.

C'est tout ce que vous pouvez voir.) La formule générale nous donne exactement les mêmes résultats tout comme les deux réponses séparément. Juste tout à la fois, dans l'ordre. Les mathématiciens n'étaient pas dupes.)

Les formules de résolution d'équations trigonométriques avec tangente et cotangente peuvent également être vérifiées. Mais nous ne le ferons pas.) Ils sont déjà simples.

J'ai écrit toutes ces substitutions et vérifications spécifiquement. Ici, il est important de comprendre une chose simple : il existe des formules pour résoudre des équations trigonométriques élémentaires, juste un bref résumé des réponses. Pour cette brièveté, nous avons dû insérer plus/moins dans la solution cosinus et (-1) n dans la solution sinus.

Ces inserts ne gênent en rien les tâches où il suffit d'écrire la réponse à une équation élémentaire. Mais si vous avez besoin de résoudre une inégalité, ou si vous devez faire quelque chose avec la réponse : sélectionner des racines sur un intervalle, vérifier l'ODZ, etc., ces insertions peuvent facilement déstabiliser une personne.

Donc qu'est ce que je devrais faire? Oui, soit écrivez la réponse en deux séries, soit résolvez l'équation/inégalité à l'aide du cercle trigonométrique. Ensuite ces insertions disparaissent et la vie devient plus facile.)

Nous pouvons résumer.

Pour résoudre les équations trigonométriques les plus simples, il existe des formules de réponse toutes faites. Quatre pièces. Ils sont parfaits pour écrire instantanément la solution d’une équation. Par exemple, vous devez résoudre les équations :

sinx = 0,3

Facilement: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Aucun problème: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Facilement: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Un dernier: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cosx = 1,8

Si vous, brillant de connaissances, écrivez instantanément la réponse :

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

alors tu brilles déjà, ceci... cela... d'une flaque d'eau.) Bonne réponse : il n'y a pas de solutions. Vous ne comprenez pas pourquoi ? Lisez ce qu'est l'arc cosinus. De plus, si sur le côté droit de l'équation d'origine se trouvent les valeurs tabulaires du sinus, du cosinus, de la tangente, de la cotangente, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 et ainsi de suite. - la réponse à travers les arches sera inachevée. Les arches doivent être converties en radians.

Et si vous rencontrez des inégalités, comme

alors la réponse est :

x πn, n ∈ Z

il y a de rares absurdités, oui...) Ici, vous devez résoudre en utilisant le cercle trigonométrique. Ce que nous ferons dans le sujet correspondant.

Pour ceux qui lisent héroïquement ces lignes. Je ne peux tout simplement pas m’empêcher d’apprécier vos efforts titanesques. Bonus pour vous.)

Prime:

Lorsqu'ils écrivent des formules dans une situation de combat alarmante, même les nerds chevronnés ne savent souvent pas où πn, Et où 2πn. Voici une astuce simple pour vous. Dans tout le monde des formules qui valent πn. Sauf pour la seule formule avec arc cosinus. Il est là 2πn. Deux panne. Mot-clé - deux. Dans cette même formule il y a deux signe au début. Plus et moins. Ici et là - deux.

Alors si tu écrivais deux signe avant l'arc cosinus, c'est plus facile de se rappeler ce qui va se passer à la fin deux panne. Et c’est le contraire qui se produit. La personne manquera le signe ± , arrive à la fin, écrit correctement deux Pien, et il reprendra ses esprits. Il y a quelque chose à venir deux signe! La personne reviendra au début et corrigera l’erreur ! Comme ça.)

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Pour résoudre une équation trigonométrique, vous devez essayer :

1. amener toutes les fonctions incluses dans l'équation aux « mêmes angles » ;
2. ramener l'équation à des « fonctions identiques » ;
3. factoriser le côté gauche de l'équation, etc.

Considérons méthodes de base pour résoudre des équations trigonométriques.

I. Réduction aux équations trigonométriques les plus simples

Diagramme de solutions

Étape 1. Exprimer une fonction trigonométrique en termes de composantes connues.

Étape 2. Trouvez l'argument de la fonction à l'aide des formules :

cosx = une ; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

péché x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

bronzage x = une; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Étape 3. Trouvez la variable inconnue.

Exemple.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solution.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z ;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Réponse : ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Remplacement variable

Diagramme de solutions

Étape 1. Réduisez l’équation sous forme algébrique par rapport à l’une des fonctions trigonométriques.

Étape 2. Notons la fonction résultante par la variable t (si nécessaire, introduisez des restrictions sur t).

Étape 3.Écrivez et résolvez l’équation algébrique résultante.

Étape 4. Effectuez un remplacement inversé.

Étape 5. Résolvez l'équation trigonométrique la plus simple.

Exemple.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solution.

1) 2(1 – péché 2 (x/2)) – 5 péché (x/2) – 5 = 0 ;

2 péché 2 (x/2) + 5 péché (x/2) + 3 = 0.

2) Soit sin (x/2) = t, où |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ;

t = 1 ou e = -3/2, ne satisfait pas à la condition |t| ≤ 1.

4) péché(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Réponse : x = π + 4πn, n Є Z.

III. Méthode de réduction de l'ordre des équations

Diagramme de solutions

Étape 1. Remplacez cette équation par une équation linéaire, en utilisant la formule de réduction du degré :

péché 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x) ;

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x) ;

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant les méthodes I et II.

Exemple.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solution.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4 ;

3/2 car 2x = 3/4 ;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Réponse : x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Équations homogènes

Diagramme de solutions

Étape 1. Réduisons cette équation à la forme

a) a sin x + b cos x = 0 (équation homogène du premier degré)

ou à la vue

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (équation homogène du deuxième degré).

Étape 2. Divisez les deux côtés de l'équation par

une) cosx ≠ 0 ;

b) cos 2 x ≠ 0 ;

et obtenez l'équation pour tan x :

a) un bronzage x + b = 0 ;

b) un bronzage 2 x + b arctan x + c = 0.

Étape 3. Résolvez l'équation en utilisant des méthodes connues.

Exemple.

5 péché 2 x + 3 péché x cos x – 4 = 0.

Solution.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0 ;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0 ;

péché 2 x + 3 péché x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.

3) Soit tg x = t, alors

t 2 + 3t – 4 = 0 ;

t = 1 ou t = -4, ce qui signifie

tg x = 1 ou tg x = -4.

D'après la première équation x = π/4 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Réponse : x = π/4 + πn, n Є Z ; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Méthode de transformation d'une équation à l'aide de formules trigonométriques

Diagramme de solutions

Étape 1. En utilisant toutes les formules trigonométriques possibles, réduisez cette équation à une équation résolue par les méthodes I, II, III, IV.

Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant des méthodes connues.

Exemple.

péché x + péché 2x + péché 3x = 0.

Solution.

1) (péché x + péché 3x) + péché 2x = 0 ;

2 péché 2x cos x + péché 2x = 0.

2) péché 2x (2cos x + 1) = 0 ;

péché 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0 ;

D'après la première équation 2x = π/2 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation cos x = -1/2.

Nous avons x = π/4 + πn/2, n Є Z ; à partir de la deuxième équation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

En conséquence, x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Réponse : x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Les équations trigonométriques occupent une place importante dans le processus d’apprentissage des mathématiques et du développement personnel en général.

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Nécessite la connaissance des formules de base de la trigonométrie - la somme des carrés du sinus et du cosinus, l'expression de la tangente par le sinus et le cosinus, et autres. Pour ceux qui les ont oubliés ou ne les connaissent pas, nous recommandons de lire l'article "".
Nous connaissons donc les formules trigonométriques de base, il est temps de les utiliser dans la pratique. Résoudre des équations trigonométriques avec la bonne approche, c’est une activité assez passionnante, comme par exemple résoudre un Rubik’s cube.

D'après le nom lui-même, il est clair qu'une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l'inconnue est sous le signe de la fonction trigonométrique.
Il existe des équations trigonométriques dites les plus simples. Voici à quoi ils ressemblent : sinx = a, cos x = a, tan x = a. Considérons comment résoudre de telles équations trigonométriques, pour plus de clarté, nous utiliserons le cercle trigonométrique déjà familier.

sinx = un

cos x = une

bronzage x = une

lit bébé x = un

Toute équation trigonométrique est résolue en deux étapes : on réduit l’équation à sa forme la plus simple puis on la résout comme une équation trigonométrique simple.
Il existe 7 méthodes principales par lesquelles les équations trigonométriques sont résolues.

Substitution de variables et méthode de substitution

Résolvez l’équation 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

En utilisant les formules de réduction, nous obtenons :

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Remplacez cos(x + /6) par y pour simplifier et obtenir l'équation quadratique habituelle :

2 ans 2 – 3 ans + 1 + 0

Dont les racines sont y 1 = 1, y 2 = 1/2

Maintenant, allons-y dans l'ordre inverse

Nous substituons les valeurs trouvées de y et obtenons deux options de réponse :

Résoudre des équations trigonométriques par factorisation

Comment résoudre l’équation sin x + cos x = 1 ?

Déplaçons tout vers la gauche pour que 0 reste à droite :

péché x + cos x – 1 = 0

Utilisons les identités discutées ci-dessus pour simplifier l'équation :

péché x - 2 péché 2 (x/2) = 0

Factorisons :

2 péché(x/2) * cos(x/2) - 2 péché 2 (x/2) = 0

2 péché (x/2) * = 0

On obtient deux équations

Réduction à une équation homogène

Une équation est homogène par rapport au sinus et au cosinus si tous ses termes sont relatifs au sinus et au cosinus de même puissance du même angle. Pour résoudre une équation homogène, procédez comme suit :

a) transférer tous ses membres vers le côté gauche ;

b) retirer tous les facteurs communs des parenthèses ;

c) égaliser tous les facteurs et parenthèses à 0 ;

d) une équation homogène d'un degré inférieur est obtenue entre parenthèses, qui à son tour est divisée en un sinus ou un cosinus d'un degré supérieur ;

e) résoudre l’équation résultante pour tg.

Résoudre l'équation 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Utilisons la formule sin 2 x + cos 2 x = 1 et débarrassons-nous des deux ouverts à droite :

3 péché 2 x + 4 péché x cos x + 5 cos x = 2 péché 2 x + 2 cos 2 x

péché 2 x + 4 péché x cos x + 3 cos 2 x = 0

Diviser par cos x :

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Remplacez tan x par y et obtenez une équation quadratique :

y 2 + 4y +3 = 0, dont les racines sont y 1 =1, y 2 = 3

De là, nous trouvons deux solutions à l’équation originale :

x 2 = arctan 3 + k

Résoudre des équations par la transition vers un demi-angle

Résolvez l’équation 3sin x – 5cos x = 7

Passons à x/2 :

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Déplaçons tout vers la gauche :

2 péché 2 (x/2) – 6 péché (x/2) * cos (x/2) + 12 cos 2 (x/2) = 0

Diviser par cos(x/2) :

tg2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Introduction de l'angle auxiliaire

Pour considération, prenons une équation de la forme : a sin x + b cos x = c,

où a, b, c sont des coefficients arbitraires et x est une inconnue.

Divisons les deux côtés de l'équation par :

Or les coefficients de l'équation, selon les formules trigonométriques, ont les propriétés sin et cos, à savoir : leur module n'est pas supérieur à 1 et la somme des carrés = 1. Notons-les respectivement cos et sin, où - c'est l'angle dit auxiliaire. L’équation prendra alors la forme :

cos * péché x + péché * cos x = C

ou sin(x + ) = C

La solution de cette équation trigonométrique la plus simple est

x = (-1) k * arcsin C - + k, où