Что же такое натуральные и ненатуральные числа? Как объяснить ребенку, а может и не ребенку, в чем же отличия между ними? Давайте разбираться. Насколько известно, ненатуральные и натуральны числа изучают в 5 классе, и нашей целью является объяснить ученикам так, чтобы они действительно поняли и усвоили, что и как.
История
Натуральные числа - это одно из давних понятий. Давным-давно, когда люди еще не умели считать и не имели понятия о числах, когда им требовалось что-либо пересчитать, к примеру, рыбу, животных, они выбивали на различных предметах точечки или черточки, как это позже выяснилось археологами. В то время им было очень тяжело жить, но цивилизация развилась сначала до римской системы счисления, а затем до десятичной системы счисления. Сейчас же почти все используют арабские цифры
Все о натуральных числах
Натуральные числа - это простые числа, которыми мы пользуемся в повседневной нашей жизни для подсчета предметов для того, чтобы определить количество и порядок. В настоящее время для записи чисел мы используем десятичную систему счисления. Для того чтобы записать любое число, мы используем десять цифр - от нуля до девяти.
Натуральные числа - это те числа, которые мы используем при счете предметов или указании порядкового номера чего-либо. Пример: 5, 368, 99, 3684.
Числовым рядом называют натуральные числа, которые расположены в порядке возрастания, т.е. от единицы до бесконечности. Такой ряд начинается с наименьшего числа - 1, а наибольшего натурального числа не бывает, так как ряд чисел просто бесконечен.
Вообще, ноль - натуральным числом не считается, так как он означает отсутствие чего-либо, и счет предметов так же отсутствует
Арабская система счисления - это современная система, которой мы пользуемся каждый день. Она является одним из вариантов индийской (десятичной).
Такая система счисления стала современной из-за цифры 0, которую и изобрели арабы. До этого в индийской системе она отсутствовала.
Ненатуральные числа. Что это?
К натуральным числам не относятся отрицательные числа и нецелые. Значит, они и есть - ненатуральные числа
Ниже приведены примеры.
Ненатуральные числа бывают:
- Отрицательные числа, например: -1, -5, -36.. и так далее.
- Рациональные числа, которые выражены десятичными дробями: 4,5, -67, 44,6.
- В виде простой дроби: 1 / 2, 40 2 /7 и т.д.
Иррациональные числ, такие, как e = 2,71828, √2 = 1,41421 и тому подобное.
Мы надеемся, что очень помогли вам разобраться с ненатуральными и натуральными числами. Теперь вам станет легче объяснить своему малышу данную тему, и он усвоит ее так же хорошо, как великие математики!
Натуральные числа – натуральные числа это числа которые используются для счета предметов. Множество всех натуральных чисел иногда называют натуральным рядом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, и т.д.
Для записи натуральных чисел используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью них, можно записать любое натуральное число. Такая запись чисел называется десятичной.
Натуральный ряд чисел можно продолжать бесконечно. Нет такого числа, которые было бы последнее, потому что к последнему числу всегда можно прибавить единицу и получится число, уже большее искомого. В таком случае говорят, что в натуральном ряду нет наибольшего числа.
Разряды натуральных чисел
В записи любого числа с помощью цифр, место на котором цифра стоит в числе имеет решающее значение. Например, цифра 3 означает: 3 единицы, если она будет стоять в числе на последнем месте; 3 десятка, если она будет стоять в числе на предпоследнем месте; 4 сотни, если она будет стоять в числе на третьем месте с конца.
Последняя цифра означает разряд единиц, предпоследняя – разряд десятков, 3 с конца –разряд сотен.
Однозначные и многозначные цифры
Если в каком-либо разряде числа стоит цифра 0, это означает, что в данном разряде нет единиц.
С помощью цифры 0 обозначается число ноль. Ноль это «ни одного».
Нуль не относится к натуральным числам. Хотя некоторые математики считаю иначе.
Если число состоит из одной цифры его называют однозначным, из двух – двузначным, из трех – трехзначными, и т.д.
Числа которые не являются однозначными еще называют многозначными.
Классы из цифр для чтения больших натуральных чисел
Для чтения больших натуральных чисел, число разбивают на группы из трех цифр, начиная с правого края. Эти группы называются классы.
Первые три цифры с правого края составляют класс единиц, следующие три – класс тысяч, следующие три – класс миллионов.
Миллион – тысяча тысяч, для записи используют сокращение млн. 1 млн. = 1 000 000.
Миллиард = это тысяча миллионов. Для записи используют сокращение млрд. 1 млрд. = 1 000 000 000.
Пример записи и чтения
Это число имеет в классе миллиардов 15 единиц, 389 единиц в классе миллионов, нуль единиц в классе тысяч и 286 единиц в ласе единиц.
Данное число читается так: 15 миллиардов 389 миллионов 286.
Читают числа слева направо. По очереди называют число единиц каждого класса и потом добавляют название класса.
Математика выделилась из общей философии примерно в шестом веке до н. э., и с этого момента началось ее победное шествие по миру. Каждый этап развития вносил что-то новое - элементарный счет эволюционировал, преображался в дифференциальное и интегральное исчисление, сменялись века, формулы становились все запутаннее, и настал тот момент, когда «началась самая сложная математика - из нее исчезли все числа». Но что же лежало в основе?
Начало начал
Натуральные числа появились наравне с первыми математическими операциями. Раз корешок, два корешок, три корешок… Появились они благодаря индийским ученым, которые вывели первую позиционную
Слово «позиционность» означает, что расположение каждой цифры в числе строго определено и соответствует своему разряду. Например, числа 784 и 487 - цифры одни и те же, но числа не являются равносильными, так как первое включает в себя 7 сотен, тогда как второе - только 4. Нововведение индийцев подхватили арабы, которые довели числа до того вида, который мы знаем сейчас.
В древности числам придавалось мистическое значение, Пифагор полагал, что число лежит в основе сотворения мира наравне с основными стихиями - огнем, водой, землей, воздухом. Если рассматривать все лишь с математической стороны, то что такое натуральное число? Поле натуральных чисел обозначается как N и представляет собой бесконечный ряд из чисел, которые являются целыми и положительными: 1, 2, 3, … + ∞. Ноль исключается. Используется в основном для подсчета предметов и указания порядка.
Что такое в математике? Аксиомы Пеано
Поле N является базовым, на которое опирается элементарная математика. С течением времени выделяли поля целых, рациональных,
Работы итальянского математика Джузеппе Пеано сделали возможной дальнейшую структуризацию арифметики, добились ее формальности и подготовили почву для дальнейших выводов, которые выходили за рамки области поля N.
Что такое натуральное число, было выяснено ранее простым языком, ниже будет рассмотрено математическое определение на базе аксиом Пеано.
- Единица считается натуральным числом.
- Число, которое идет за натуральным числом, является натуральным.
- Перед единицей нет никакого натурального числа.
- Если число b следует как за числом c, так и за числом d, то c=d.
- Аксиома индукции, которая в свою очередь показывает, что такое натуральное число: если некоторое утверждение, которое зависит от параметра, верно для числа 1, то положим, что оно работает и для числа n из поля натуральных чисел N. Тогда утверждение верно и для n=1 из поля натуральных чисел N.
Основные операции для поля натуральных чисел
Так как поле N стало первым для математических расчетов, то именно к нему относятся как области определения, так и области значений ряда операций ниже. Они бывают замкнутыми и нет. Основным различием является то, что замкнутые операции гарантированно оставляют результат в рамках множества N вне зависимости от того, какие числа задействованы. Достаточно того, что они натуральные. Исход остальных численных взаимодействий уже не столь однозначен и напрямую зависит от того, что за числа участвуют в выражении, так как он может противоречить основному определению. Итак, замкнутые операции:
- сложение - x + y = z, где x, y, z включены в поле N;
- умножение - x * y = z, где x, y, z включены в поле N;
- возведение в степень - x y , где x, y включены в поле N.
Остальные операции, итог которых может не существовать в контексте определения "что такое натуральное число", следующие:
Свойства чисел, принадлежащих полю N
Все дальнейшие математические рассуждения будут основываться на следующих свойствах, самых тривиальных, но от этого не менее важных.
- Переместительное свойство сложения - x + y = y + x, где числа x, y включены в поле N. Или всем известное "от перемены мест слагаемых сумма не меняется".
- Переместительное свойство умножения - x * y = y * x, где числа x, y включены в поле N.
- Сочетательное свойство сложения - (x + y) + z = x + (y + z), где x, y, z включены в поле N.
- Сочетательное свойство умножения - (x * y) * z = x * (y * z), где числа x, y, z включены в поле N.
- распределительное свойство - x (y + z) = x * y + x * z, где числа x, y, z включены в поле N.
Таблица Пифагора
Одним из первых шагов в познании школьниками всей структуры элементарной математики после того, как они уяснили для себя, какие числа называются натуральными, является таблица Пифагора. Ее можно рассматривать не только с точки зрения науки, но и как ценнейший научный памятник.
Данная таблица умножения претерпела с течением времени ряд изменений: из нее убрали ноль, а числа от 1 до 10 обозначают сами себя, без учета порядков (сотни, тысячи...). Она представляет собой таблицу, в которой заглавия строк и столбцов - числа, а содержимое ячеек их пересечения равно их же произведению.
В практике обучения последних десятилетий наблюдалась необходимость заучивания таблицы Пифагора "по порядку", то есть сначала шло зазубривание. Умножение на 1 исключалось, так как результат был равен 1 или большему множителю. Между тем в таблице невооруженным взглядом можно заметить закономерность: произведение чисел растет на один шаг, который равен заглавию строки. Таким образом, второй множитель показывает нам, сколько раз нужно взять первый, дабы получить искомое произведение. Данная система не в пример удобнее той, что практиковалась в средние века: даже понимая, что такое натуральное число и насколько оно тривиально, люди умудрялись осложнять себе повседневный счет, пользуясь системой, которая базировалась на степенях двойки.
Подмножество как колыбель математики
На данный момент поле натуральных чисел N рассматривается лишь как одно из подмножеств комплексных чисел, но это не делает их менее ценными в науке. Натуральное число - первое, что познает ребенок, изучая себя и окружающий мир. Раз пальчик, два пальчик... Благодаря ему у человека формируется логическое мышление, а также умение определять причину и выводить следствие, подготавливая почву для больших открытий.
Натуральные числа
Натуральные числа определение - это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:
Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица - это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.
Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:
Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:
с - это всегда натуральное число.
Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе - нет.
Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b
где с - натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a - делимое, b - делитель, c - частное.
Делитель натурального числа - это натуральное число, на которое первое число делится нацело.
Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.
Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.
Единицу не считают простым числом.
Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:
Единицу не считают составным числом.
Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.
Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.
Свойства сложения и умножения натуральных чисел:
переместительное свойство сложения
сочетательное свойство сложения
(a + b) + c = a + (b + c);
переместительное свойство умножения
сочетательное свойство умножения
(ab) c = a (bc);
распределительное свойство умножения
A (b + c) = ab + ac;
Целые числа
Целые числа - это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.
Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа, например:
1; -2; -3; -4;...
Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.
Рациональные числа
Рациональные числа - это целые числа и дроби.
Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.
Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера.
Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.
Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.
Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.
Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.
Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.
Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.
Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.
Классы натуральных чисел.
Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .
Сравнение натуральных чисел.
Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .
Таблица разрядов и классов чисел.
1-й класс единицы |
1-й разряд единицы 2-й разряд десятки 3-й разряд сотни |
2-й класс тысячи |
1-й разряд единицы тысяч 2-й разряд десятки тысяч 3-й разряд сотни тысяч |
3-й класс миллионы |
1-й разряд единицы миллионов 2-й разряд десятки миллионов 3-й разряд сотни миллионов |
4-й класс миллиарды |
1-й разряд единицы миллиардов 2-й разряд десятки миллиардов 3-й разряд сотни миллиардов |
Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — ептиллионы. Основные свойства натуральных чисел.
Действия над натуральными числами. 4. Деление натуральных чисел - операция, обратная операции умножения. Если b ∙ с = а , то Формулы для деления: а: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (а ∙ b) : c = (a:c) ∙ b (а ∙ b) : c = (b:c) ∙ a Числовые выражения и числовые равенства. Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением . Например, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами . У равенства есть левая и правая части. Порядок выполнения арифметических действий. Сложение и вычитание чисел - это действия первой степени, а умножение и деление - это действия второй степени. Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно слева направо. Когда выражения состоят из действия только первой и второй степени, то сначала выполняют действия второй степени, а потом - действия первой степени. Когда в выражении есть скобки - сначала выполняют действия в скобках. Например, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |